高二數(shù)學(xué)必修2課件 空間幾何體的表面積和體積ppt

1、1.3 1.3 簡單幾何體的表面積和體積簡單幾何體的表面積和體積 1 1、表面積：幾何體表面的面積、表面積：幾何體表面的面積 2 2、體積：幾何體所占空間的大小。、體積：幾何體所占空間的大小。回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念回憶復(fù)習(xí)有關(guān)概念1、直棱柱：、直棱柱：2、正棱柱：、正棱柱：3、正棱錐：、正棱錐：4、正棱臺(tái)：、正棱臺(tái)：側(cè)棱和底面?zhèn)壤夂偷酌娲怪贝怪钡睦庵兄崩庵睦庵兄崩庵酌媸钦噙呅蔚牡酌媸钦噙呅蔚闹敝崩庵姓庵庵姓庵酌媸钦噙呅?，底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心的棱錐的棱錐正棱錐正棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面之間的部分被平行于底面的平面所

2、截，截面和底面之間的部分叫正棱臺(tái)叫正棱臺(tái)作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找作直三棱柱、正三棱錐、正三棱臺(tái)各一個(gè)，找出出斜高斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念 棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，棱柱、棱錐、棱臺(tái)都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，h它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計(jì)算它們的計(jì)算它們的表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積表面積就是計(jì)算它的各個(gè)側(cè)面面積和底面面積之和之和棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？h正棱柱的側(cè)面展開圖正棱柱的側(cè)面展開圖底側(cè)表面

3、積SSS2把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？chhcbaS)（直棱柱側(cè)habcabchh棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？/h/h正三棱錐的側(cè)面展開圖正三棱錐的側(cè)面展開圖把正三棱錐側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？hh21chS正棱錐側(cè)正棱錐側(cè)側(cè)面展開正五棱錐的側(cè)面展開圖正五棱錐的側(cè)面展開圖底側(cè)表面積SSS3/7/2022 4:53:08 PM3/7/2022 4:53:08 PM 云在漫步云在漫步3/7/2022 4:53:08 PM3/7/2022 4:53:08 PM 云在漫步云在漫步 例例1 已

4、知棱長為已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面，各面均為等邊三角形的四面體體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 3/7/2022 4:53:08 PM3/7/2022 4:53:08 PM 云在漫步云在漫步3/7/2022 4:53:08 PM3/7/2022 4:53:08 PM 云在漫步云在漫步DBCAS 分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形分析：四面體的展開圖是由四個(gè)全等的正三角形組成組成因?yàn)橐驗(yàn)锽C=a，aSBSD2360sin所以：所以： 243232121aaaSDBCSABC因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)D解：先求解：先求 的面積，

5、過點(diǎn)作的面積，過點(diǎn)作 ，ABCBCSD 22343.4Saa把正三棱臺(tái)側(cè)面沿一條側(cè)棱展開，得到什么圖形？側(cè)面積怎么求？（類比梯形的面積）類比梯形的面積）hh) 21hccS （正正棱棱臺(tái)臺(tái)側(cè)側(cè)側(cè)面展開hh正四棱臺(tái)的側(cè)面展開圖正四棱臺(tái)的側(cè)面展開圖棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是什么？如何計(jì)算它的表面積？下底上底側(cè)表面積SSSS例2:(1)一個(gè)正三棱柱的底面是邊長為5的正三角形，側(cè)棱長為4，則其側(cè)面積為 _;(2)正四棱錐底面邊長為6 ,高是4，中截面把棱錐截成一個(gè)小棱錐和一個(gè)棱臺(tái)，求棱臺(tái)的側(cè)面積.例3：一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長分別是3cm和6cm，高是3/2cm

6、，求三棱臺(tái)的側(cè)面積. 分析：關(guān)鍵是求出斜高，注意圖中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E答：6079答：思思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rlr2 長長寬寬llSSr2 長長方方形形圓圓柱柱側(cè)側(cè) 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形2222()Srrlr rl OOrl2 r 底側(cè)表面積SSS2思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別

7、得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？rl180lnl 扇扇lR 扇扇rllllnSS 扇扇扇扇圓圓錐錐側(cè)側(cè)213602圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形r2lOr2()Srrlr rl 思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線思考：把圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面分別沿著一條母線 展開，分別得到什么圖形展開，分別得到什么圖形?展開的圖形與原圖展開的圖形與原圖 有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？1r2rllrrSS)21 （扇環(huán)扇環(huán)圓臺(tái)側(cè)圓臺(tái)側(cè) r2lOrO r2 r22()Srrr lrl xrxrxl rxr xr l S側(cè)側(cè)()()r lxr xrlrxr

8、 x ()r lrl 22()Srrr lrl lOrO r圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？lOOrrr上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大lOrr0上底縮小上底縮小2222()Srrlr rl 2()Srrlr rl 22()Srrr lrl 3/7/2022 4:53:09 PM3/7/2022 4:53:09 PM 云在漫步云在漫步3/7/2022 4:53:09 PM3/7/2022 4:53:09 PM 云在漫步云在漫步 例例4 4 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆，盆底直徑為底直徑為15cm

9、15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm1.5 cm，盆壁長，盆壁長15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取3.143.14，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？2cm3/7/2022 4:53:09 PM3/7/2022 4:53:09 PM 云在漫步云在漫步3/7/2022 4:53:09 PM3/7/2022 4:53:09 PM 云在漫步云在漫步cm15cm20cm15 解：由圓臺(tái)的表面積公式得解：由圓臺(tái)的表面積公式得 花盆的表面積：花盆的表面積：2225 . 11522015215215S)(9992cm答：花盆

10、的表面積約是答：花盆的表面積約是999 999 2cm例5 圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為2和4，高為 ，求其側(cè)面展開圖扇環(huán)所對的圓心角32例6：圓臺(tái)的上、下底半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖的扇環(huán)的圓心角是1800，那么圓臺(tái)的側(cè)面積是多少？（結(jié)果中保留）答：1800小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對應(yīng)的面積公式) cc21hS（正棱臺(tái)側(cè)C=021chS正三棱錐側(cè)C=CchchS直棱柱側(cè)S圓柱側(cè)= 2rlS圓錐側(cè)= rlS圓臺(tái)側(cè)=（r1+r2)lr1=0r1=r2柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖)(

11、22rllrrrS 圓臺(tái)圓臺(tái)圓柱圓柱)(2lrrS)(lrrS圓錐圓錐幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積幾何體占有空間部分的大小叫做它的體積一、體積的概念與公理一、體積的概念與公理:公理公理1、長方體的體積等于它的長、寬、高的積、長方體的體積等于它的長、寬、高的積。V長方體長方體= abc推論推論1 、長方體的體積等于它的底面積、長方體的體積等于它的底面積s和高和高h(yuǎn)的積的積。V長方體長方體= sh推論推論2 、正方體的體積等于它的棱長、正方體的體積等于它的棱長a 的立方。的立方。V正方體正方體= a3定理定理1： 柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積的底面積

12、 s 和高和高 h 的積。的積。V柱體柱體= sh二：柱體的體積二：柱體的體積推論推論 ： 底面半徑為底面半徑為r，高為高為h圓柱的體積是圓柱的體積是V圓柱圓柱= r2h三三:錐體體積錐體體積例例2 2： 如圖：三棱柱如圖：三棱柱ADAD1 1C C1 1-BDC,-BDC,底面積為底面積為S S, ,高為高為h h. . ABD C D1C1CDA BCD1ADCC1D1A答答:可分成可分成棱錐棱錐A-D1DC, 棱錐棱錐A-D1C1C, 棱錐棱錐A-BCD. 問：（問：（1 1）從）從A A點(diǎn)出發(fā)棱柱能點(diǎn)出發(fā)棱柱能分割分割成幾個(gè)三棱錐？成幾個(gè)三棱錐？ 3.13.1錐體（棱錐、圓錐）的體積錐

13、體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積（底面積S，高高h(yuǎn)） 注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個(gè)面都可以作為底面，可以用來求點(diǎn)到面的距離shV31三棱錐定理定理如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面如果一個(gè)錐體（棱錐、圓錐）的底面 積是，高是，那么它的體積是：積是，高是，那么它的體積是：推論：如果圓錐的底面半徑是推論：如果圓錐的底面半徑是，高是，高是， 那么它的體積是：那么它的體積是：hSS錐體錐體 3131圓錐圓錐 Shss/ss/hx四四.臺(tái)體的體積臺(tái)體的體積V V臺(tái)體臺(tái)體= =1 1h h( (s s+ +s ss s + +s s) )3 3上下底面積分別是上下底面積分別是s/

14、,s,高是高是h，則，則推論：如果圓臺(tái)的上推論：如果圓臺(tái)的上, ,下底面半徑是下底面半徑是r r1 1.r.r2,2,高是高是，那么它的體積是：，那么它的體積是：31圓臺(tái)圓臺(tái) h)(222121rrrr五五.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？hSSSSV)(31S為底面面積，為底面面積，h為柱體高為柱體高ShV 0SS分別為上、下分別為上、下底面底面面積，面積，h 為臺(tái)體高為臺(tái)體高ShV31SS S為底面面積，為底面面積，h為錐體高為錐體高上底擴(kuò)大上底擴(kuò)大上底縮小上底縮小 例例7 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是

15、 ）六角螺帽共重）六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊，已知底面是正六邊形，邊長為形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm，高為，高為10mm，問這堆螺帽大約有多少個(gè)（問這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取取3.14）？）？3/8 . 7cmg10)210(14. 3106124322V)(29563mm)(956. 23cm所以螺帽的個(gè)數(shù)為所以螺帽的個(gè)數(shù)為252)956. 28 . 7(10008 . 5（個(gè)）（個(gè)）答：這堆螺帽大約有答：這堆螺帽大約有252252個(gè)個(gè) 解：六角螺帽的體積是六棱解：六角螺帽的體積是六棱柱的體積與圓柱體積之差，即柱的體積與圓柱體積之差，即: :例8從一個(gè)正方

16、體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐ABCD，求它的體積是正方體體積的幾分之幾？1 1 球的球的概念和概念和性質(zhì)性質(zhì)2 2球的球的體積體積3 3 球的球的表面積表面積4 4 例題例題講解講解5 5 課堂課堂練習(xí)練習(xí)6 6 課堂課堂小結(jié)小結(jié)7 7 課堂課堂作業(yè)作業(yè)球球球的概球的概念和性念和性質(zhì)質(zhì) 球的概念球的概念A(yù)BORC一一 如圖所示，半圓以它的直如圖所示，半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做叫做球面球面. . 球面所圍成的幾何球面所圍成的幾何體叫做體叫做球體球體，簡稱簡稱球球. . 半圓的半圓的圓心叫圓心叫球心球心, ,圖中點(diǎn)圖中點(diǎn)O O. . 連

17、結(jié)球連結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做做球的半徑，球的半徑，( (圖中線段圖中線段R)R). . 連連結(jié)球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的結(jié)球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過球心的線段叫做線段叫做球的直徑，球的直徑，( (圖中線段圖中線段AB)AB). .球的概球的概念和性念和性質(zhì)質(zhì) 球的概念球的概念一一QPO 球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做大圓大圓（如（如圖中紅色部分），被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫圖中紅色部分），被不經(jīng)過球心的截面截得的圓叫做做小圓小圓（如圖中綠色部分）（如圖中綠色部分）. . 球面上兩點(diǎn)之間最短連線球面上兩點(diǎn)之間最短連線的長度，就是經(jīng)過這

18、兩點(diǎn)的的長度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度，這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)的長度，這個(gè)弧長叫做兩點(diǎn)的的球面距離球面距離（如圖中（如圖中 的長的長度就是度就是P P、Q Q兩點(diǎn)之間的球面兩點(diǎn)之間的球面距離距離 ）. .PQ球的概球的概念和性念和性質(zhì)質(zhì) 球的性質(zhì)球的性質(zhì)二二do1o2Rr 用一個(gè)平面（如圖中平面用一個(gè)平面（如圖中平面 ）去截一個(gè)球，）去截一個(gè)球，截面是圓面，球的截面有下面的性質(zhì)：截面是圓面，球的截面有下面的性質(zhì)：、球心和截面圓心的連線、球心和截面圓心的連線 垂直于截面（如圖直線垂直于截面（如圖直線o o1 1o o2 2垂直于平面垂直于平面 ）；）；、球

19、心到截面的距離、球心到截面的距離d d與球的半徑與球的半徑R R及截面的半及截面的半徑徑r r有下面的關(guān)系：有下面的關(guān)系：22drR球的表面積和體積球的表面積和體積 : :球的表面積球的表面積334RV 球的體積球的體積: :2 24 4R RS S 例題例題講解講解例例9 9、如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的如圖，圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑直徑. .求證：求證：（1 1） 球的表面積等于球的表面積等于 圓柱的側(cè)面積；圓柱的側(cè)面積；（2 2） 球的表面積等于球的表面積等于 圓柱全面積的圓柱全面積的2/3.2/3.OROR例題例題講解講解2S4 R球，圓柱面2S2 R 2R=4 R .球

20、圓柱面SS.圓柱全222426,SRRR球24.SR球圓柱全2.3SS(2)(2)證明證明：（：（1 1）設(shè)球的半徑為）設(shè)球的半徑為 R R，則圓柱的底面半徑，則圓柱的底面半徑 為為R R，高為，高為2R2R，得，得例例3.3.如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各個(gè)它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA A

21、B BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對稱圖形可知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。知，它們中心重合，則正方體對角線與球的直徑相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得得：，中中變題變題1.1.如果球如果球O O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=S=。變題變題2.2.如果球如果球O O和

22、這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=S=。2a2 2 a 關(guān)鍵關(guān)鍵：找正方體的棱長找正方體的棱長a a與球半徑與球半徑R R之間的關(guān)系之間的關(guān)系OABCO 例例10已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距離等于球半徑的一半，且離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的體積，表面積體積，表面積解：如圖，設(shè)球解：如圖，設(shè)球O半徑為半徑為R，截面截面 O的半徑為的半徑為r，r332AB2332AO 是是正正三三角角形形，ABCROO ,2 例例11、有三個(gè)球、有三個(gè)球,一球切于正方體的各面一球切于正方體的各面,一球切

23、于正方體的各側(cè)棱一球切于正方體的各側(cè)棱,一球過正方體一球過正方體的各頂點(diǎn)的各頂點(diǎn),求這三個(gè)球的體積之比求這三個(gè)球的體積之比.作軸截面作軸截面柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積和體積面積體積圓柱S側(cè)V 圓錐S側(cè)V 圓臺(tái)S側(cè)V (S上S下 )h2rlSh r2h rl(r1r2)l習(xí)題課習(xí)題課面積體積直棱柱S側(cè)V正棱錐S側(cè) V 正棱臺(tái)S側(cè) V球S球面VChSh4 R21(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)一個(gè)正方體的體積是一個(gè)正方體的體積是8，則這個(gè)正方，則這個(gè)正方體的內(nèi)切球的表面積是體的內(nèi)切球的表面積是()A8 B6C4 D答案：答案： C 解析：設(shè)正方體的棱長為解析：設(shè)正方體的棱長為a

24、，則，則a38，a2.而此而此正方體的內(nèi)切球直徑為正方體的內(nèi)切球直徑為2，S表表4r24.答案：答案： A4(教材習(xí)題改編教材習(xí)題改編)在在ABC中，中，AB2，BC3，ABC120，若使，若使ABC繞直線繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為成的幾何體的體積為_答案：答案： 3答案：答案： C5如圖所示，某幾何體的正視圖、側(cè)視圖均為等腰三如圖所示，某幾何體的正視圖、側(cè)視圖均為等腰三角形，俯視圖是正方形，則該幾何體的外接球的體角形，俯視圖是正方形，則該幾何體的外接球的體積是積是_1求體積時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)求體積時(shí)應(yīng)注意的幾點(diǎn)(1)求一些不規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已求一些不

25、規(guī)則幾何體的體積常用割補(bǔ)的方法轉(zhuǎn)化成已 知體積公式的幾何體進(jìn)行解決知體積公式的幾何體進(jìn)行解決(2)與三視圖有關(guān)的體積問題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及與三視圖有關(guān)的體積問題注意幾何體還原的準(zhǔn)確性及 數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性2求組合體的表面積時(shí)注意幾何體的銜接部分的處理求組合體的表面積時(shí)注意幾何體的銜接部分的處理題型一題型一 幾何體的展開與折疊幾何體的展開與折疊 有一根長為有一根長為3 cm3 cm，底面半徑為，底面半徑為1 cm1 cm的的 圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2 2圈，并圈，并 使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母

26、線的兩端, , 則鐵絲的最短長度為多少？則鐵絲的最短長度為多少？ 把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn)把圓柱沿這條母線展開，將問題轉(zhuǎn) 化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離. .題型分類題型分類 深度剖析深度剖析解解 把圓柱側(cè)面及纏繞其上把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到的鐵絲展開，在平面上得到矩形矩形ABCDABCD（如圖所示），（如圖所示），由題意知由題意知BCBC=3 cm=3 cm，ABAB=4 cm=4 cm，點(diǎn)，點(diǎn)A A與點(diǎn)與點(diǎn)C C分別是鐵絲的起、止位分別是鐵絲的起、止位置，故線段置，故線段ACAC的長度即為鐵絲的最短長度的長度即為鐵絲的最短長度. .故鐵絲的最

27、短長度為故鐵絲的最短長度為5 cm.5 cm.cm,522BCABAC題型二題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示如圖所示, ,半徑為半徑為R R的半圓內(nèi)的的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑陰影部分以直徑ABAB所在直線為軸所在直線為軸, ,旋旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體轉(zhuǎn)一周得到一幾何體, ,求該幾何體的求該幾何體的 表面積表面積( (其中其中BACBAC=30=30) )及其體積及其體積. . 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀形狀, ,再求表面積再求表面積. .解解 如圖所示如圖所示, ,過過C C作作COCO1 1ABAB于于O O1 1,

28、 ,在半圓中可得在半圓中可得BCABCA=90=90, ,BACBAC=30=30, ,ABAB=2=2R R, ,ACAC= = , ,BCBC= =R R, ,S S球球=4=4R R2 2, ,R3,231RCO ,231123234,2323,233232222112121RRRRSSSSRRRSRRRSBOAOBOAO側(cè)圓錐側(cè)圓錐球幾何體表側(cè)圓錐側(cè)圓錐.23112R表面積為旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的 解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算然后利用有關(guān)公式進(jìn)行

29、計(jì)算. . .652134)(41314131,34333111221111221113RRRVVVVBORCOBOVAORCOAOVRVBOAOBOAO圓錐圓錐球幾何體圓錐圓錐球又知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為已知球的半徑為R R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 知能遷移知能遷移2 2 解解 如圖為軸截面如圖為軸截面. . 設(shè)圓柱的高為設(shè)圓柱的高為h h，底面半徑為，底面半徑為r r， 側(cè)面積為側(cè)面積為S S，則，則,)2(222

30、Rrh.2414,2,22,21.41)21(4)(442.2242242222222222RRRhRrRrRRrrRrrRrrhSrRh最大值是最大圓柱側(cè)面積時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng)即題型三題型三 多面體的表面積及其體積多面體的表面積及其體積 一個(gè)正三棱錐的底面邊長為一個(gè)正三棱錐的底面邊長為6 6，側(cè)棱長，側(cè)棱長 為為 ，求這個(gè)三棱錐的體積，求這個(gè)三棱錐的體積. . 本題為求棱錐的體積問題本題為求棱錐的體積問題. .已知底面已知底面 邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積邊長和側(cè)棱長，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. . 15連接連接AHAH并延長

31、交并延長交BCBC于于E E，則則E E為為BCBC的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且AHAHBCBC. .ABCABC是邊長為是邊長為6 6的正三角形，的正三角形，, 33623 AE. 93393131312153215,Rt. 393362121,. 323222SHSV，AHSASH，AHSASHAAEBCSABCAEAHABCABC正三棱錐中在中在解解 如圖所示，如圖所示， 正三棱錐正三棱錐S SABCABC. . 設(shè)設(shè)H H為正為正ABCABC的中心，的中心， 連接連接SHSH， 則則SHSH的長即為該正三棱錐的高的長即為該正三棱錐的高. .答案答案C巧練模擬巧練模擬答案：答案： A2如圖所示是

32、一個(gè)幾何體的三視圖，根如圖所示是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是_解析：解析：此幾何體的上部為球，球的直徑為此幾何體的上部為球，球的直徑為2，下部為一，下部為一圓柱，圓柱的高為圓柱，圓柱的高為3，底面圓的直徑為，底面圓的直徑為2，所以，所以S表表42312.答案：答案： 12小結(jié)小結(jié)1在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對每一側(cè)面分別求解后再在求多面體的側(cè)面積時(shí)，應(yīng)對每一側(cè)面分別求解后再相加，對于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理相加，對于組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理2以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)σ匀晥D為載體考查幾何體的表

33、面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何給出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治?，從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系3圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和底面圓的面積之和.答案答案B若本例的三視圖變?yōu)槿鐖D所示，求該幾何體的體積若本例的三視圖變?yōu)槿鐖D所示，求該幾何體的體積解：解：該幾何體下部是一個(gè)正方體，棱長為該幾何體下部是一個(gè)正方體，棱長為4，上部為圓，上部為圓柱，底面半徑為

34、柱，底面半徑為1，高為，高為4，則，則V444124644.答案：答案： D小結(jié)小結(jié)1計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)計(jì)算柱、錐、臺(tái)體的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解2注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法，應(yīng)熟練掌握方法，應(yīng)熟練掌握3等積變換法：利用三棱錐的任

35、一個(gè)面可作為三棱錐等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為三棱錐的底面求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)的底面求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方式來計(jì)算；利用算；利用“等積法等積法”可求可求“點(diǎn)到面的距離點(diǎn)到面的距離”.精析考題精析考題例例3 如圖，在如圖，在ABC中，中，ABC45，BAC90，AD是是BC上的高，沿上的高，沿AD把把ABD折起，使折起，使BDC90.(1)證明：平面證明：平面ADB平面平面BDC；(2)若若BD1，求三棱錐，求三棱錐DABC的表面積的表面積自主解答自主解答(1)折起前折起前AD是是BC邊上的高，邊上的高，當(dāng)當(dāng)ABD折起后，折起后，ADDC，ADDB.又又DBDCD，

36、AD平面平面BDC.又又AD平面平面ABD，平面平面ABD平面平面BDC.巧練模擬巧練模擬6如圖所示，已知一個(gè)如圖所示，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長為多面體的平面展開圖由一個(gè)邊長為1的正方形和的正方形和4個(gè)邊長為個(gè)邊長為1的正三角形的正三角形組成，則該多面體的體積是組成，則該多面體的體積是_答案：答案：C小結(jié)小結(jié) 解決折疊問題時(shí)要注意解決折疊問題時(shí)要注意1對于翻折前后，線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離對于翻折前后，線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較，觀察并判斷變化情況加以比較，觀察并判斷變化情況2一般地，分別位于兩個(gè)半平面內(nèi)的元素其相對位置關(guān)系一般地，分別位于兩個(gè)半平面內(nèi)的元

37、素其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，位于同一個(gè)半平面的元素，其相和數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，位于同一個(gè)半平面的元素，其相對位置和數(shù)量關(guān)系不變對位置和數(shù)量關(guān)系不變3對于某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、對于某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計(jì)算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題計(jì)算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題數(shù)學(xué)思想數(shù)學(xué)思想 函數(shù)與方程思想在空間幾函數(shù)與方程思想在空間幾何體中的應(yīng)用何體中的應(yīng)用考題范例考題范例如圖，半徑為如圖，半徑為R的球的球O中有一內(nèi)接圓柱當(dāng)圓柱的側(cè)面中有一內(nèi)接圓柱當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是_巧妙運(yùn)用巧

38、妙運(yùn)用法一法一:設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為，則圓柱高為，則圓柱高為2Rcos ，圓柱底面半徑為，圓柱底面半徑為Rsin ，S圓柱側(cè)圓柱側(cè)2Rsin 2Rcos 2R2sin 2.當(dāng)當(dāng)sin 21時(shí)，時(shí)，S圓柱側(cè)圓柱側(cè)最大為最大為2R2，此時(shí)，此時(shí)，S球表球表S圓柱側(cè)圓柱側(cè)4R22R22R2.答案：答案：2R2柱體、錐體、臺(tái)體的體積柱體、錐體、臺(tái)體的體積ShV31錐體錐體hSSSSV)(31臺(tái)體臺(tái)體柱體柱體ShV SS 0S柱體、錐體、臺(tái)體的表面積柱體、錐體、臺(tái)體的表面積各面面積之和各面面積之和rr0 r展開圖展開圖)(22rllrrrS 圓臺(tái)圓臺(tái)圓柱圓柱)(2lr

39、rS)(lrrS圓錐圓錐規(guī)律方法總結(jié)1直棱柱的側(cè)面展開圖是一些矩形，正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，正棱臺(tái)的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形2斜棱柱的側(cè)面積等于它的直截面(垂直于側(cè)棱并與每條側(cè)棱都相交的截面)的周長與側(cè)棱長的乘積3如果直棱柱的底面周長是如果直棱柱的底面周長是c，高是，高是h，那么它的側(cè)面，那么它的側(cè)面積是積是S直棱柱側(cè)直棱柱側(cè)ch.4應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過程，不要死記硬背公式本應(yīng)注意各個(gè)公式的推導(dǎo)過程，不要死記硬背公式本身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的身，要熟悉柱體中的矩形、錐體中的直角三角形、臺(tái)體中的直角梯形等特征圖形在公式推導(dǎo)中的作用直角梯形等特

40、征圖形在公式推導(dǎo)中的作用規(guī)律方法總結(jié)5如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，在求其側(cè)面如果不是正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)，在求其側(cè)面積或全面積時(shí)，應(yīng)對每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相積或全面積時(shí)，應(yīng)對每一個(gè)側(cè)面的面積分別求解后再相加加6求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑反求球的體積和表面積的關(guān)鍵是求出球的半徑反之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑之，若已知球的表面積或體積，那么就可以得出其半徑的大小的大小7計(jì)算組合體的體積時(shí)，首先要弄清楚它是由哪些計(jì)算組合體的體積時(shí)，首先要弄清楚它是由哪些基本幾何體構(gòu)成，然后再通過軸截面分析和解決問題基本幾何體構(gòu)成，然后再通過軸截面分析和解決問題8計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋出相應(yīng)的底面面積和高，應(yīng)注意充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解方法與技巧方