高中數(shù)學：圓的極坐標方程

1、1.31.3簡單曲線的極坐標方程簡單曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程一、定義：一、定義：如果曲線上的點與方程如果曲線上的點與方程f( , )=0有如下關系有如下關系()曲線上任一點的坐標曲線上任一點的坐標(所有坐標中所有坐標中至少有一個至少有一個)符合方程符合方程f( , )=0 ；()方程方程f( , )=0的所有解為坐標的點的所有解為坐標的點都在曲線上。都在曲線上。 則曲線的方程是則曲線的方程是f( , )=0 。探究:如圖，半徑為如圖，半徑為a的圓的圓心坐標為的圓的圓心坐標為(a,0)(a0)，你能用一個等式表示，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標圓上任意一點的極坐標

2、( , )滿足滿足的條件？的條件？xC(a,0)O) 1 ()0 ,2(),2, 0() 1.(.cos2cos),(,2的坐標滿足等式可以驗證，點即中。在以外的任意一點，那么，為圓上除點設，那么是交點。設圓與極軸的另一個解：圓經(jīng)過極點aAOaMOAOAOMAMORtAMOMAOMaOAAO的點都在這個圓上。等式，可以驗證，坐標適合滿足的條件，另一方面坐標就是圓上任意一點的極所以，等式) 1 (),() 1 (的極坐標方程。叫做曲線那么方程上，的點都在曲線并且坐標適合方程一個滿足方程一點的極坐標中至少有上任意，如果平面曲線一般地，在極坐標系中CfCffC0),(0),(0),(的圓的極坐標方程

3、。為半徑就是圓心在所以，aaaCa),0)(0 ,(cos2極坐標方程：極坐標方程：例例1、已知圓、已知圓O的半徑為的半徑為r，建立怎樣的極坐，建立怎樣的極坐標系，可以使圓的極坐標方程簡單？標系，可以使圓的極坐標方程簡單？xOrM簡單。上比式合時的極坐標方程在形顯然，使極點與圓心重即為圓上任意一點，則設都等于半徑何特征就是它們的極徑幾圖），那么圓上各點的為極軸建立坐標系（如出發(fā)的一條射線為極點，從解：如果以圓心) 1 (,),(.rrOMMrOO5 3cos5sin已知一個圓的方程是 求圓心坐思考：標和半徑。222225 3cos5sin5 3 cos5 sin5 355 35()()2522

4、5 35(,),522xyxyxy解： 兩邊同乘以 得即化為直角坐標為即所以圓心為半徑是你可以用極坐標方程直接來求嗎？你可以用極坐標方程直接來求嗎？3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為Oaaaa此圓過極點圓的極坐標方程為半徑為圓心為)cos(2)0)(,(練習以極坐標系中的點以極坐標系中的點(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC3110(cossin)10cos()226(5,),56解：原式可化為所以圓心為半徑為Oaaaa此圓過極點圓的極坐標方程為半徑為圓

5、心為)cos(2)0)(,(練習以極坐標系中的點以極坐標系中的點(1,1)為圓心，為圓心，1為為半徑的圓的方程是半徑的圓的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC題組練習題組練習1 1求下列圓的極坐標方程求下列圓的極坐標方程()中心在極點，半徑為中心在極點，半徑為2；()中心在中心在(a,0)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在(a, /2)，半徑為，半徑為a；()中心在中心在( 0, )，半徑為，半徑為r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2方程是什么？化為直角坐標、曲線的極坐標方程sin414)2(22 yx圓的圓心距是多

6、少？的兩個和、極坐標方程分別是sincos21cos( ,0)2sincos()cos()2212sin( ,),2 22解：圓 圓心的坐標是圓圓 的圓心坐標是所以圓心距是題組練習題組練習2 23cos()4、極坐標方程所表示的曲線是（ ）A、雙曲線、雙曲線 B、橢圓、橢圓 C、拋物線、拋物線 D、圓、圓D為半徑的圓。為圓心，以解：該方程可以化為21)4,21()4cos(41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxyxyx即解：410cos()3、圓 的圓心坐標是)0 , 5( 、A)3, 5(、B)3, 5(、C)32, 5(、D（ ）C5(

7、2,)2A、寫出圓心在點處且過極點的圓的極坐標方程，并把它化成直角坐標方程。222224cos()4sin24 sin4(2)4xyyxy解： 化為直角坐標系為即2126:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圓圓試判斷兩圓的位置關系。所以兩圓相外切。半徑為，圓心半徑為圓心坐標方程為解：將兩圓都化為直角21)3, 0(1)3(:1)0 , 1 (, 1) 1( :2122221221OOOyxCOyxC78cosOCONON、從極點 作圓 ： 的弦，求的中點的軌跡方程。ONMC(4,0)(4,0),4,4cosCrOCCMMONCMONM解：如圖，圓 的圓心半徑連結，是弦的中點所以，動點

8、的軌跡方程是 化為直角坐標方程。把極坐標方程練習cos241648316844)4(4424cos22222222yxxxxyxxx兩邊平方得：即解：方程可化為直線的極坐標方程直線的極坐標方程答：與直角坐標系里的情況一樣，求答：與直角坐標系里的情況一樣，求曲線的極坐標方程就是找出曲線上動曲線的極坐標方程就是找出曲線上動點的坐標點的坐標 與與 之間的關系，然后列之間的關系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再化簡并討論。，再化簡并討論。怎樣求曲線的極坐標方程？怎樣求曲線的極坐標方程？例題例題1：求過極點，傾角為：求過極點，傾角為 的射線的射線的極坐標方程。的極坐標方程。4 oMx4 分析：分

9、析：如圖，所求的射線如圖，所求的射線上任一點的極角都上任一點的極角都是是 ，其，其/ 4 極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求直線的極坐標方程為直線的極坐標方程為(0)4 新課講授新課講授1、求過極點，傾角為、求過極點，傾角為 的射線的極的射線的極坐標方程。坐標方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求過極點，傾角為、求過極點，傾角為 的直線的極的直線的極坐標方程。坐標方程。4 544 或或 和前面的直角坐標系里直線方程和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射直線表示起來很不方便

10、，要用兩條射線組合而成。原因在哪？線組合而成。原因在哪？0 為了彌補這個不足，可以考慮允許為了彌補這個不足，可以考慮允許極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直極徑可以取全體實數(shù)。則上面的直線的極坐標方程可以表示為線的極坐標方程可以表示為()4R 或或5()4R 例題例題2、求過點求過點A(a,0)(a0)，且垂直，且垂直于極軸的直線于極軸的直線L的極坐標方程。的極坐標方程。解：如圖，設點解：如圖，設點( , )M 為直線為直線L上除點上除點A外的任外的任意一點，連接意一點，連接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cosa 可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式。的坐

11、標也滿足上式。求直線的極坐標方程步驟求直線的極坐標方程步驟1、根據(jù)題意畫出草圖；、根據(jù)題意畫出草圖；2、設點、設點 是直線上任意一點；是直線上任意一點；( , )M 3、連接、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關于、根據(jù)幾何條件建立關于 的方的方 程，并化簡；程，并化簡；, 5、檢驗并確認所得的方程即為所求。、檢驗并確認所得的方程即為所求。練習：練習：設點設點P的極坐標為的極坐標為A ，直，直線線 過點過點P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直求直線線 的極坐標方程。的極坐標方程。 ( ,0)a ll解：如圖，設點解：如圖，設點( , )M 為直線為直線 上異于的點上異于的點l連接連接OM

12、， oMx p在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina顯然顯然A點也滿點也滿足上方程。足上方程。例題例題3設點設點P的極坐標為的極坐標為 ，直線，直線 過點過點P且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標方程。的極坐標方程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如圖，設點解：如圖，設點( , )M 點點P外的任意一點，連接外的任意一點，連接OM為直線上除為直線上除則則 由點由點P的極坐標知的極坐標知 ,OMxOM1OP 1xOP 設直線設直線L與極軸交于點與極軸交于點A。則。則在在MOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11si

13、n()sin() 11sin()sin() 顯然點顯然點P的坐標的坐標也是它的解。也是它的解。平行于極軸的直線。、求過點練習)4, 2(1AOHMA)4, 2( , )(2,)42 sin24sin ,sin2(2,)4sin2lMAMHRt OMHMHOMA 解：在直線 上任意取點在中，即所以，過點平行于極軸的直線方程為的直線的極坐標方程。且斜率為、求過2)3 , 2(2A程這就是所求的極坐標方得代入直線方程將為直線上的任意一點，設角坐標系內(nèi)直線方程為解：由題意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx表示的曲線是、極坐標方程)(31sin3RA、兩條相交的直

14、線、兩條相交的直線B、兩條射線、兩條射線C、一條直線、一條直線D、一條射線、一條射線所以是兩條相交直線兩條直線即所以得可得解：由已知042:, 042:4242tan322cos31sin21yxlyxlxy4cos24cos2,sin2sin2,2sinABCD 、直線關于直線 對稱的直線方程為、 ( )B2sin22化為極坐標方程為即的對稱直線的問題關于線解：此題可以變成求直yxyx3cos3cos33sin33sin)6sin(125、直線的極坐標方程是的，則過圓心與極軸垂直一個圓的方程為、在極坐標系中，已知DCBA( )C4cos, 4cos2cos, 2sinsin46、直線的方程是相切的一條、在極坐標系中，與圓DCBA( )B2cos24)2(04sin42222化為極坐標方程為圓的方程為那