高等數(shù)學(xué)高職

1、高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)書(shū)名：高等數(shù)學(xué)（下）ISBN： 978-7-111-31288-8作者：陶金瑞出版社：機(jī)械工業(yè)出版社本書(shū)配有電子課件高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件第九章第九章 無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)：l理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的基本概念，掌握正理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的基本概念，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法；項(xiàng)級(jí)數(shù)和交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法；l掌握簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)收斂于的求法，會(huì)將簡(jiǎn)單的函掌握簡(jiǎn)單冪級(jí)數(shù)收斂于的求法，會(huì)將簡(jiǎn)單的函數(shù)用間接展開(kāi)法展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)；數(shù)用間接展開(kāi)法展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)；l掌握將周期函數(shù)和奇、偶函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)掌握將周期函數(shù)和奇、偶函數(shù)展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)的方法。數(shù)的方法。高等數(shù)

2、學(xué)高等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件內(nèi)容提要內(nèi)容提要無(wú)窮級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念數(shù)概念和性質(zhì)和性質(zhì)周期為周期為2L的函數(shù)的函數(shù)的傅立的傅立葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù)傅立葉傅立葉級(jí)數(shù)的級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)形式形式正弦與余正弦與余弦級(jí)數(shù)弦級(jí)數(shù) 周期延拓周期延拓傅立傅立葉葉級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)函數(shù)的函數(shù)的冪級(jí)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)數(shù)展開(kāi)任意任意項(xiàng)項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)冪級(jí)冪級(jí)數(shù)數(shù)正項(xiàng)正項(xiàng)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件第一節(jié)第一節(jié) 無(wú)窮級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)無(wú)窮級(jí)數(shù)概念與性質(zhì)v重點(diǎn)：（重點(diǎn)：（1 1） 級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)及其收斂與發(fā)散 （2 2） 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) （3 3） 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件v難點(diǎn)難點(diǎn)

3、: : 用定義判斷級(jí)數(shù)的斂散性用定義判斷級(jí)數(shù)的斂散性 高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念一、無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂和發(fā)散nnn10310003100310310313 . 01031S33. 010310322S333. 0103103103323S 例例 1 討論級(jí)數(shù)討論級(jí)數(shù) 101解：這是以解：這是以為公比的等比級(jí)數(shù)，分別取級(jí)數(shù)的前為公比的等比級(jí)數(shù)，分別取級(jí)數(shù)的前1 項(xiàng)，項(xiàng)， 前前 2 項(xiàng)，項(xiàng)，前前n項(xiàng)做和：項(xiàng)做和： 高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件3333. 01031031031

4、0332nnS 當(dāng)當(dāng)n時(shí)，有時(shí)，有 313 . 03333. 0limnnS 它反映了級(jí)數(shù)它反映了級(jí)數(shù)1103nn的無(wú)窮多項(xiàng)累加的結(jié)果為的無(wú)窮多項(xiàng)累加的結(jié)果為 31，我們，我們 把極限值把極限值31叫作級(jí)數(shù)叫作級(jí)數(shù)1103nn的“和” 。的“和” 。 高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件定定義義 如如果果SSnnlim，則則稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nnu收收斂斂，稱稱極極限限值值S為為級(jí)級(jí) 數(shù)數(shù)的的和和，記記作作 nnnnuuuuS211 此此時(shí)時(shí)稱稱21nnnnSSSSr為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的余余項(xiàng)項(xiàng)。如如果果nnSlim 不不存存在在，則則稱稱級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nnu發(fā)發(fā)散

5、散，發(fā)發(fā)散散的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)沒(méi)沒(méi)有有和和。 高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件1) 1(11111n11111 22 33 4(1)n nnn1ln34ln23ln12lnn321 判定下列級(jí)數(shù)的斂散性判定下列級(jí)數(shù)的斂散性（1） （2） （3） （4） 2) 1(321nnnSn2) 1(limlimnnSnnn1nn解：（解：（1） 級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)的部分和為 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù)發(fā)散。發(fā)散。高等數(shù)學(xué)（下） 高職高專(zhuān) ppt 課件11S02S13S04S112nS02nSnnSlim11) 1(nn（2） 級(jí)數(shù)的部分和為級(jí)數(shù)的部分和為 ， ， ， ， 即即 ， 所以所以 不存在，所以級(jí)數(shù)不存在

6、，所以級(jí)數(shù) 發(fā)散。發(fā)散。 111) 1(1nnnn111)111()4131()3121()211 (nnnSn1)111 (limlimnSnnn1) 1(1nnn1（3）因?yàn)橐驗(yàn)椋?所以級(jí)數(shù)的部分和為所以級(jí)數(shù)的部分和為 而而 所以級(jí)數(shù)所以級(jí)數(shù) 收斂，其和為收斂，其和為 。 nnnnln) 1ln(1ln11lnnnn) 1ln()ln) 1(ln()3ln4(ln)2ln3(ln) 1ln2(lnnnnSn) 1ln(limlimnSnnn（4） 因?yàn)?， 所以 而 所以級(jí)數(shù) 發(fā)散。 )0( a12naqaqaqaqqaSnn1)1 ( 例 3 討論等比級(jí)數(shù)等比級(jí)數(shù)（又稱幾何級(jí)數(shù)幾何級(jí)數(shù)）

7、 的斂散性。 解：此級(jí)數(shù)的部分和為 三、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)三、無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)Svuvunnnnnnn111)(1nnuS1nnCuCS性質(zhì)性質(zhì) 1 若若 ， C 為常數(shù)，則為常數(shù)，則 。 1nnuS1nnv性質(zhì)性質(zhì) 2 若若 ， ，則有，則有 性質(zhì)性質(zhì) 3 一個(gè)級(jí)數(shù)增加或去掉有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散一個(gè)級(jí)數(shù)增加或去掉有限項(xiàng)，不改變級(jí)數(shù)的斂散 性（但收斂級(jí)數(shù)的和要變）。性（但收斂級(jí)數(shù)的和要變）。 性質(zhì)性質(zhì) 4 收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所形成的新級(jí)數(shù)仍收斂，收斂級(jí)數(shù)任意加括號(hào)后所形成的新級(jí)數(shù)仍收斂，其和不變。其和不變。 注意：注意：性質(zhì)性質(zhì) 4 的逆命題是錯(cuò)誤的。的逆命題是錯(cuò)誤的。 11)3) 1(2(n

8、nn例例4 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 是否收斂，如果收斂，并求其和。是否收斂，如果收斂，并求其和。 131nn31q213113141311313) 1(11nnn11)3) 1(2(nnn4541212413123) 1(32)3) 1(2(111111nnnnnnnnnn解：解： 是是 的等比級(jí)數(shù)，收斂并且和為的等比級(jí)數(shù)，收斂并且和為 。 同理同理 根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)1，2 可知，可知， 也收斂，其和為也收斂，其和為 四、級(jí)數(shù)收斂的必要條件四、級(jí)數(shù)收斂的必要條件 1nnu只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件而不是充分條件；只是級(jí)數(shù)收斂的必要條件而不是充分條件；0limnnu0limnnu0limnnu

9、定理：定理：若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 收斂，則收斂，則 。 注：注： 1） 2） 若若 不成立，則級(jí)數(shù)必定發(fā)散。我們經(jīng)常用不成立，則級(jí)數(shù)必定發(fā)散。我們經(jīng)常用 這個(gè)結(jié)論來(lái)證明級(jí)數(shù)發(fā)散。這個(gè)結(jié)論來(lái)證明級(jí)數(shù)發(fā)散。 101. 0nnnnnu21001. 00110limlim2nnnnu例例 5 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù) 的斂散性。的斂散性。 解：解： 所以所以 由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得原級(jí)數(shù)是發(fā)散的。由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得原級(jí)數(shù)是發(fā)散的。 第二節(jié)第二節(jié) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)v重點(diǎn)：重點(diǎn)： 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的兩個(gè)判別法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的兩個(gè)判別法v難點(diǎn)：難點(diǎn)： 比較判別法中尺度的選擇比較判別法中尺度的選擇一、比較審斂法一、比較審斂

10、法1nnu0nu1nnu1. 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 的每一項(xiàng)的每一項(xiàng) ，則稱，則稱 為為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 1nnv1nnunnvu )3 , 2 , 1(n1nnv1nnu1nnu1nnv2. 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù) 和和 滿足：滿足： 則則 （1） 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 收斂，收斂， 也收斂，也收斂， （2） 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 收斂，收斂， 也收斂。也收斂。 這個(gè)判別法稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的這個(gè)判別法稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法比較判別法。 11312111nnn例例1 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 叫作調(diào)和級(jí)數(shù)，試判別其叫作調(diào)和級(jí)數(shù)，試判別其 斂散性。斂散性。 0 x ln(1)xx111123111ln(1 1)ln(1)ln(1)ln

11、(1)23341ln2lnlnln23nnnn解：解： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，有時(shí)，有 （此不等式可用函數(shù)的（此不等式可用函數(shù)的 單調(diào)性來(lái)證明）單調(diào)性來(lái)證明） 所以所以 p11npn(0)p 例例2 討論討論 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的斂散性。的斂散性。 由比較判別法知由比較判別法知1pp1p pnn11pnn11npn1p 122331111111111 ()()()234567891524812481111222ppppppppppppppp 解：（解：（1） 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 級(jí)數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故發(fā)散。級(jí)數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故發(fā)散。 （2） 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ，因此，因此 ， 發(fā)散。發(fā)散。 （3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，將級(jí)數(shù)改寫(xiě)成：時(shí)，

12、將級(jí)數(shù)改寫(xiě)成： 解：（解：（1） 因?yàn)橐驗(yàn)?2121nnn，而，而121nn是是12 p 的的p級(jí)數(shù)，故級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)，故級(jí)數(shù)1221nnn 是收斂的。是收斂的。 （2） 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)，有時(shí)，有)1ln(xx， 所以，所以， )1ln(nn，即，即nn1)1ln(1， 而而11nn是發(fā)散的，故級(jí)數(shù)是發(fā)散的，故級(jí)數(shù)1)1ln(1nn發(fā)散。發(fā)散。 （4） 因?yàn)橐驗(yàn)?1122nnnnnn， 而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)111nn是發(fā)散的是發(fā)散的 故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)121nnn發(fā)散。發(fā)散。 （3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)是公比為是公比為 54的等比級(jí)數(shù)，且收斂的。的等比級(jí)數(shù)，且收斂的。 故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)1354nnnn收斂。收斂。

13、125)54(nn25)54()531 (54)53(1 (54354nnnnnnnnn比較判別法的極限形式：比較判別法的極限形式： 設(shè)設(shè)1nnu和和1nnv是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若avunnnlim，Ra， 則這兩個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性相同。則這兩個(gè)級(jí)數(shù)的斂散性相同。 11sinnn例例1 判別級(jí)數(shù)判別級(jí)數(shù)的斂散性。的斂散性。 解：易知解：易知11sinnn是正弦級(jí)數(shù)，因?yàn)槭钦壹?jí)數(shù)，因?yàn)?11sinlimnnn， 而而11nn發(fā)散，發(fā)散，故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)11sinnn發(fā)散。發(fā)散。 二、比值審斂法二、比值審斂法例例5 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 （1） 1nnna (0a) (

14、2) 1!nnnn (3) 12nnn 解：解： （1） annananauunnnnnnn1lim1limlim11 因?yàn)橐驗(yàn)?a，所以當(dāng)，所以當(dāng)10 a時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)1a時(shí)時(shí) 級(jí)數(shù)發(fā)散。級(jí)數(shù)發(fā)散。 （2） 1)1(lim!)!1() 1(limlim11ennnnnnuunnnnnnnn 所所以以級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的。 （3） 12121lim221limlim11nnnnnnnnnnnuu 所所以以級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)是是發(fā)發(fā)散散的的。 第三節(jié)第三節(jié) 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)v重點(diǎn)：重點(diǎn)：（1） 交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法 （2） 絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂v難點(diǎn)：難點(diǎn)：

15、絕對(duì)收斂與條件收斂絕對(duì)收斂與條件收斂設(shè)設(shè)0nu， （3 , 2 , 1n） ，下列級(jí)數(shù)：） ，下列級(jí)數(shù)： 1154321) 1(nnnuuuuuu 154321) 1(nnnuuuuuu 稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)， 交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法：交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法： 若（若（1） 1nnuu， , 3 , 2 , 1n （2） 0limnnu 則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且和則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且和1uS ；余項(xiàng)；余項(xiàng)nr的絕對(duì)值的絕對(duì)值1nnur。 一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)一、交錯(cuò)級(jí)數(shù)例例 1 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性。判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性。 （1） 11) 1(nnn （2） 111) 1(nnn 解：（解：（1） nun1，111nu

16、n 顯然有顯然有 1nnuu，且，且 0limnnu 故級(jí)數(shù)收斂。故級(jí)數(shù)收斂。 （2） nun1，111nun 顯然有顯然有 1nnuu，且，且 01limnn， 故級(jí)數(shù)收斂。故級(jí)數(shù)收斂。 如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù)1nnu中各項(xiàng)可取中各項(xiàng)可取任意任意實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)，則稱級(jí)數(shù)，則稱級(jí)數(shù)1nnu為任意項(xiàng)為任意項(xiàng) 級(jí)數(shù)。級(jí)數(shù)。有有如下如下結(jié)論：結(jié)論： （1） 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu收斂，則級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)1nnu一定收斂。此時(shí)稱級(jí)數(shù)一定收斂。此時(shí)稱級(jí)數(shù) 1nnu絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂。 （2） 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu收斂，而級(jí)數(shù)收斂，而級(jí)數(shù)1nnu發(fā)散，則稱發(fā)散，則稱1nnu條件收斂條件收斂。 （3） 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù)1nnu

17、發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)1nnu可能收斂，也可能發(fā)散?？赡苁諗?，也可能發(fā)散。 二、絕對(duì)收斂與條件收斂二、絕對(duì)收斂與條件收斂例例 2 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù)121sin) 1(nnnn收斂。收斂。 證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)?211sin) 1(nnnn，而級(jí)數(shù)，而級(jí)數(shù)121nn是是2p時(shí)時(shí) 的的p級(jí)數(shù)，它是收斂的，所以由比較判別法，級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)，它是收斂的，所以由比較判別法，級(jí)數(shù) 121sin) 1(nnnn 收斂，從而級(jí)數(shù)收斂，從而級(jí)數(shù)121sin) 1(nnnn是絕對(duì)收斂的。是絕對(duì)收斂的。 故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)121sin) 1(nnnn收斂。收斂。 例例 3 指出下列級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂還是條件收斂：指出下列級(jí)數(shù)是

18、絕對(duì)收斂還是條件收斂： （1） 111) 1(nnn （2） 111) 1(nnnn 解：（解：（1）級(jí)數(shù)）級(jí)數(shù)111) 1(nnn是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法可知是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法可知 它收斂。而它收斂。而 11111) 1(nnnnn是是1p的的p級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，級(jí)數(shù)，是發(fā)散的， 故級(jí)數(shù)故級(jí)數(shù)111) 1(nnn條件收斂。條件收斂。 （2）級(jí)數(shù)）級(jí)數(shù)111) 1(nnnn的每項(xiàng)取絕對(duì)值得級(jí)數(shù)的每項(xiàng)取絕對(duì)值得級(jí)數(shù)11nnn，它是，它是23p 的的p級(jí)數(shù)，是收斂的，因此級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)，是收斂的，因此級(jí)數(shù)111) 1(nnnn絕對(duì)收斂。它本身一絕對(duì)收斂。它本身一 定收斂。定收斂。 第四節(jié)第四

19、節(jié) 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)v重點(diǎn)：重點(diǎn)：（1）冪級(jí)數(shù)概念及收斂半徑、收斂）冪級(jí)數(shù)概念及收斂半徑、收斂 區(qū)間區(qū)間 （2）冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)）冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)v難點(diǎn)：難點(diǎn)：利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求冪級(jí)利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求冪級(jí) 數(shù)的和數(shù)的和一、冪級(jí)數(shù)的概念一、冪級(jí)數(shù)的概念 例例 1 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) nxxxx321的收斂域及和函數(shù)的收斂域及和函數(shù))(xS. 1x x(,11,)解：這是一個(gè)公比為解：這是一個(gè)公比為 的等比級(jí)數(shù)，因此當(dāng)?shù)牡缺燃?jí)數(shù)，因此當(dāng) ， 即即11x時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)1x時(shí)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)時(shí)發(fā)散，所以級(jí)數(shù) nxxxx321 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)? 1 , 1(，發(fā)散域?yàn)?，發(fā)散域?yàn)?。 由等比級(jí)

20、數(shù)的求和公式知由等比級(jí)數(shù)的求和公式知,它的和函數(shù)為它的和函數(shù)為xxS11)(，即，即 nxxxxx32111 ) 1 , 1(x 定定理理：設(shè)設(shè)冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nnnxa的的系系數(shù)數(shù)滿滿足足1limnnnaRa （1） 如如果果 R0，則則當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí)，冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂； 當(dāng)當(dāng)Rx 時(shí)時(shí)，冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散；當(dāng)當(dāng)Rx時(shí)時(shí)，須須另另行行判判定定。 （2） 如如果果R，則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在),(內(nèi)內(nèi)絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂。 （3） 如如果果0R，則則冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)僅僅在在0 x點(diǎn)點(diǎn)收收斂斂。 這這個(gè)個(gè)定定理理告告訴訴我我們們，冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nnnxa的的收收斂斂域域是是以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心

21、心， 長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為R2的的區(qū)區(qū)間間，共共有有四四種種可可能能： （1） ),(RR ， （2） ,RR ， （3）),RR ， （4）,(RR ，稱稱 R 為為冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nnnxa的的收收斂斂半半徑徑。 可可見(jiàn)見(jiàn)，求求冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)1nnnxa的的收收斂斂域域，關(guān)關(guān)鍵鍵是是求求它它的的收收斂斂半半徑徑 1limnnnaaR，再再判判定定在在Rx時(shí)時(shí)的的斂斂散散性性，從從而而確確定定其其收收斂斂區(qū)區(qū)間間。 例例1 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間 （1） 0!nnnx （2） 11)(nnnx （3） 1) 1(nnnnx （4） 0212nnnxn 解：收斂半徑為解：收斂半徑為

22、) 1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn 故冪級(jí)數(shù)故冪級(jí)數(shù)0!nnnx的收斂區(qū)間為的收斂區(qū)間為),(。 （2） 收收斂斂半半徑徑為為 0011)11 (1lim1)1(lim) 1(limlim11ennnnnnnaaRnnnnnnnnnn 故故冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)僅僅在在0 x處處收收斂斂。 （3） 收收斂斂半半徑徑為為 11lim11) 1(1) 1(limlim11nnnnaaRnnnnnnn 當(dāng)當(dāng)1x時(shí)時(shí)，代代入入冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)得得11) 1(nnn，它它是是一一個(gè)個(gè)收收斂斂的的交交錯(cuò)錯(cuò)級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)。 當(dāng)當(dāng)1x時(shí)時(shí)，代代入入冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)得得11nn，它它是是調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，

23、是是發(fā)發(fā)散散的的。 故故冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為 1 , 1(。 （4） 所給冪級(jí)數(shù)缺奇次項(xiàng)，不能用上面的方法求收斂所給冪級(jí)數(shù)缺奇次項(xiàng)，不能用上面的方法求收斂 半徑半徑 R。由比值審斂法，得：。由比值審斂法，得： 222)1(2112222lim121) 1(2limlimxxnnxnxnuunnnnnnnnn 根據(jù)比值審斂法，當(dāng)根據(jù)比值審斂法，當(dāng)122x，即，即21x時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；時(shí)，級(jí)數(shù)收斂； 當(dāng)當(dāng)21x時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)21x時(shí)，級(jí)數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項(xiàng)時(shí)，級(jí)數(shù)成為發(fā)散的數(shù)項(xiàng) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)011nn。所以級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。所以級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為)21,21(。 三、冪級(jí)數(shù)的

24、運(yùn)算性質(zhì)三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) 1： 設(shè)冪級(jí)設(shè)冪級(jí)0nnnxa和和0nnnxb的收斂半徑分別為的收斂半徑分別為1R和和2R， 和函數(shù)分別為和函數(shù)分別為)(1xS和和)(2xS，),min(21RRR ，則冪級(jí)數(shù)，則冪級(jí)數(shù) 1)(nnnnxba的收斂半徑為的收斂半徑為 R，且，且 )()()(21000 xSxSxbaxbxannnnnnnnnn， RxR 性質(zhì)性質(zhì) 2： 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)1nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為0R，和函數(shù)為，和函數(shù)為)(xS， 則在區(qū)間則在區(qū)間),(RR內(nèi)和函數(shù)可導(dǎo)，且有內(nèi)和函數(shù)可導(dǎo)，且有 0010)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS 即冪級(jí)數(shù)在

25、其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)。即冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)。 例例3 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 11nnnx的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 12nnn的和。的和。 11limlim1 nnaaRnnnn解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?把把代入冪級(jí)數(shù)后都不收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為代入冪級(jí)數(shù)后都不收斂，所以原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為) 1 , 1( 。設(shè)和函數(shù)為設(shè)和函數(shù)為)(xS， 因?yàn)橐驗(yàn)閚xnxdtnt 01， 所以，所以， xxxdtntdtntdttSnnnxnxnnx 1)()(11010110 1x 兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo)得得： 2)1 (1)1()(xxxxS ) 1 , 1(

26、x 即即 112)1 (1nnnxx， ) 1 , 1(x 將將21x代代入入得得： 2)211 (121)21(2122111nnnnnn 例例4 對(duì)冪級(jí)數(shù)對(duì)冪級(jí)數(shù) nnxxxx) 1(1112 （11 x） 進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分。進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分。 2)1 (1)11(xx 解：由于解：由于，對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得：，對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得： nnnxxxx122) 1(321)1 (1 （11 x） 對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分得：對(duì)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分得： xnnxxxxdttdtttdttddtt002000) 1(11 （11 x） 即即 nnxnxxxxx1) 1(413121)1ln(1432

27、（11 x） 例例5 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 1!nnnx的和函數(shù)。的和函數(shù)。 解：例解：例 2 中已經(jīng)求出它的收斂區(qū)間為中已經(jīng)求出它的收斂區(qū)間為),(， 設(shè)和函數(shù)為設(shè)和函數(shù)為)(xS， ! 21)(2nxxxxSn即：即： ),( x 逐項(xiàng)求導(dǎo)得：逐項(xiàng)求導(dǎo)得：)(! 21)(2xSnxxxxSn 即即 )()(xSxS 解這個(gè)微分方程得：解這個(gè)微分方程得：xCexS )( 由于由于1)0( S，所以，所以1 C，于是，于是xexS )( 即即 ! 212nxxxenx 綜合例綜合例 3，例，例 4，例，例 5，有如下幾個(gè)等式：，有如下幾個(gè)等式： (1) 1321124321)1 (1nnnnxxx

28、xnxx (2) nnnxxxx122) 1(321)1 (1 （11x） (3) nnxnxxxxx1) 1(413121)1ln(1432（11x） (4) ! 212nxxxenx （x） 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)v重點(diǎn)重點(diǎn) （1）把函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)）把函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù) （2）求函數(shù)的收斂區(qū)間）求函數(shù)的收斂區(qū)間v難點(diǎn)難點(diǎn) （1）冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)技巧）冪級(jí)數(shù)的展開(kāi)技巧 （2）冪級(jí)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用）冪級(jí)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)一、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：（1） 在（在（1）式中，系數(shù)）式中，系數(shù)0a，1a，2a，na如何確定？如何確定？ （2） )(xf滿足什

29、么條件才能展開(kāi)為滿足什么條件才能展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)？的冪級(jí)數(shù)？ 我們來(lái)解決問(wèn)題（我們來(lái)解決問(wèn)題（1 ），不妨設(shè)展開(kāi)式（），不妨設(shè)展開(kāi)式（1）成立，那么根據(jù)冪）成立，那么根據(jù)冪 級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)法，對(duì)式（級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)法，對(duì)式（ 1）依次求出各階導(dǎo)數(shù)：）依次求出各階導(dǎo)數(shù)： )(xf0nnnxa對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)對(duì)于一個(gè)給定的函數(shù)，如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù)，如果能找到一個(gè)冪級(jí)數(shù),使使 （RxR） （1） 成立，那么就說(shuō)函數(shù)成立，那么就說(shuō)函數(shù))(xf可以展開(kāi)為可以展開(kāi)為x 的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù), ,（1）式稱為）式稱為)(xf 的的x的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 2012( )nnf xaa xa xa x

30、把把0 x代入（代入（1）式及上述各式中得：）式及上述各式中得： 0)0(af ，1)0(af ，2! 2)0(af ，nnanf!)0()( ， 于是于是 )0(0fa ，! 1)0(1fa ，! 2)0(2fa ， ，!)0()(nfann ， 代入到（代入到（ 1）式中得）式中得 nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0(! 1)0()0()()(2（RxR ） （2） 1232132)(nnxnaxaxaaxf 221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn 232) 1(232)(nxnnxaaxf稱式（稱式（2）為）為)(xf的的麥克勞林展開(kāi)式麥克勞林展開(kāi)式，（或

31、稱，（或稱)(xf在在0 x 處的處的泰勒展開(kāi)式泰勒展開(kāi)式）。式（式（2 ) )右端的級(jí)數(shù)稱為右端的級(jí)數(shù)稱為)(xf的的麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù) （或稱（或稱)(xf在在0 x處的處的泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)）。）。 并且我們可以得到：如果并且我們可以得到：如果)(xf在包含點(diǎn)在包含點(diǎn)0 x在內(nèi)的某一在內(nèi)的某一 區(qū)間區(qū)間),(RR內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且 （x在在 0 和和x之間，之間，RxR） 那么，那么，)(xf在在),(RR區(qū)間內(nèi)就可以展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)。用上述區(qū)間內(nèi)就可以展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)。用上述 方法把已知函數(shù)展開(kāi)成方法把已知函數(shù)展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)叫做叫做直接展開(kāi)法直接展開(kāi)

32、法。 (1)1( )lim( )lim0(1)!nnnnnfR xxnx例例1 把函數(shù)把函數(shù)xexf)(展開(kāi)為展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 ! 2! 112nxxxn），（.321n解：由于解：由于xnexf)()(，故得，故得1)0()(nf， 由公式（由公式（2）得，）得，xe的麥克勞林級(jí)數(shù)為的麥克勞林級(jí)數(shù)為 由第四節(jié)的例由第四節(jié)的例 2 知，它的收斂半徑為知，它的收斂半徑為R，下面證明這，下面證明這 個(gè)級(jí)數(shù)在個(gè)級(jí)數(shù)在),(內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于xe。 （ x在在 0 和和 x之間）之間） (1)11( )( )(1)!(1)!nnnnfe xR xxnnxx 因?yàn)橐驗(yàn)閤eex，故對(duì)任意給定的故

33、對(duì)任意給定的x，xe有界，而有界，而 )!1(1nxn 是收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，對(duì)任意是收斂級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)，所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，對(duì)任意 的的x ，都有，都有 0)!1(lim1nxnn 從而，從而， 0)(limxRnn， Rx 這樣，我們得到這樣，我們得到xe的麥克勞林級(jí)數(shù)為的麥克勞林級(jí)數(shù)為 ! 2! 112nxxxenx （x） 例例2 求正弦函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)。求正弦函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)。 解：解： xysin的各階導(dǎo)數(shù)為的各階導(dǎo)數(shù)為 )2sin()()(pnxxfn （ 0,1,2,3n ） )0()(nf（n=0，1，2，3，）依次循環(huán)地取）依次循環(huán)地取

34、0，1，0，-1， 于是得于是得xsin的展開(kāi)式為的展開(kāi)式為 )!12() 1(! 5! 31253nxxxxnn （ 0,1,2,3n ） 容易求得此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為容易求得此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為),(。而。而 11)()!1(2) 1(sin)!1()()(nnnnxnnxnfxRpxx （ x在在 0 和和 x之間）之間） 例例3 余弦函數(shù)余弦函數(shù)xxfcos)(的麥克勞林級(jí)數(shù)。的麥克勞林級(jí)數(shù)。 解：根據(jù)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)解：根據(jù)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)xsin的展開(kāi)式兩邊求導(dǎo)得：的展開(kāi)式兩邊求導(dǎo)得： !2) 1(! 4! 21cos242nxxxxnn （x） 因?yàn)橐驗(yàn)?所以由例所以由例 1

35、 的討論可得的討論可得 0)(limxRnn， Rx 于是得：于是得： )!12() 1(! 5! 3sin1253nxxxxxnn （x） 12) 1(sinpxn例例4 求函數(shù)求函數(shù)xxxf11ln)(的麥克勞林級(jí)數(shù)。的麥克勞林級(jí)數(shù)。 解：解： )1ln()1ln(11ln)(xxxxxf 可先求可先求)1ln(x和和)1ln(x的展開(kāi)式：的展開(kāi)式： 1) 1(32)1ln(132nxxxxxnn （11x） 把上式中的把上式中的x換為換為x，得：，得： 132)1ln(132nxxxxxn （11x） 兩式相減便得：兩式相減便得： )1253(211ln123nxxxxxxn （11x）

36、 例例5 把把x1展開(kāi)成展開(kāi)成2 x的冪級(jí)數(shù)。的冪級(jí)數(shù)。 解：解： 把把x 11的展開(kāi)式中的的展開(kāi)式中的x換為換為22 x得：得： )2)2(2)3(2)2(221 (211443322 xxxxx （1221 x） 整理得：整理得： )2)2() 1(2)3(2)2(22211143322 nnnxxxxx （40 x） )22(1121221121)2(211xxxx二、冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例二、冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用舉例例例6 求求o15sin的近似值（精確到的近似值（精確到410）。）。 1215po解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?，由，由xsin的展開(kāi)式得：的展開(kāi)式得： 12153)12()!12(1) 1()1

37、2(! 51)12(! 311212sinnnnppppp 因?yàn)橐驗(yàn)?112412p，所以，所以 當(dāng)取前兩項(xiàng)為其近似值時(shí)，其誤差不大于第三項(xiàng)，當(dāng)取前兩項(xiàng)為其近似值時(shí)，其誤差不大于第三項(xiàng)， 所以，所以，2588. 0)12(! 311212sin3ppp 12123)!12(1)12()!12() 1(nnnnnnRp45210! 531R例例7 計(jì)算積分計(jì)算積分10sindxxx的近似值（精確到的近似值（精確到 410） 解：解： 被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，將被積函數(shù)按冪級(jí)數(shù)被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，將被積函數(shù)按冪級(jí)數(shù) 展開(kāi)，有展開(kāi)，有 )!12() 1(! 5! 31sin242nx

38、xxxxnn （x） 兩邊積分得：兩邊積分得： ) 12()!12(1) 1(5! 513! 311)!12() 1(! 5! 31 sin2421010nndxnxxxdxxxnnn所以所以 若取前若取前 3 項(xiàng)作為其近似值，則誤差不大于第四項(xiàng)，項(xiàng)作為其近似值，則誤差不大于第四項(xiàng)，43107! 71R9461. 05! 513! 311sin10dxxx 例例8 利用冪級(jí)數(shù)證明歐拉公式利用冪級(jí)數(shù)證明歐拉公式 xixeixsincos （*） 證明：在證明：在xe的展開(kāi)式中，將的展開(kāi)式中，將x換為換為ix得：得： !)(! 3)(! 2)(132nixixixixenix 12iii314ii

39、i 5由于由于，所以所以 xixxxxixxxixxixixeixsincos)! 5! 3()! 4! 21 (! 5! 4! 3! 2153425432 證畢。證畢。 同理得：同理得： xixeixsincos （*） 將（將（*）式與（）式與（*）式相加相減得：）式相加相減得： )(21cosixixeex （） )(21sinixixeex （） （*） 、 （） 、 （*） 、 （） 、 （） 、 （） 、 （）四式實(shí)質(zhì)上是一樣的，都稱為）四式實(shí)質(zhì)上是一樣的，都稱為 歐拉公式歐拉公式。它們揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，其應(yīng)。它們揭示了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的關(guān)系，其應(yīng) 用很廣泛

40、。用很廣泛。 第六節(jié)第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)v重點(diǎn)：重點(diǎn)：（1）三角函數(shù)系的正交性）三角函數(shù)系的正交性 （2）把周期為的函數(shù)展開(kāi)為傅立葉）把周期為的函數(shù)展開(kāi)為傅立葉 技術(shù)，并求出收斂于的范圍技術(shù)，并求出收斂于的范圍v難點(diǎn)：難點(diǎn)：（1）收斂定理的理解）收斂定理的理解 （2）傅立葉系數(shù)的計(jì)算）傅立葉系數(shù)的計(jì)算一、問(wèn)題的提出一、問(wèn)題的提出在自然現(xiàn)象和科學(xué)技術(shù)中，常會(huì)遇到各種周期現(xiàn)象，這類(lèi)周期在自然現(xiàn)象和科學(xué)技術(shù)中，常會(huì)遇到各種周期現(xiàn)象，這類(lèi)周期 現(xiàn)象中的有關(guān)量在經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間現(xiàn)象中的有關(guān)量在經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間T以后，又回到原來(lái)的初值。這以后，又回到原來(lái)的初值。這 樣的周期一般是可由周期為樣的周期一般

41、是可由周期為T(mén)的函數(shù)來(lái)描述。的函數(shù)來(lái)描述。 )()(tfTtf 例如例如：彈簧的振動(dòng)可用函數(shù)彈簧的振動(dòng)可用函數(shù))sin(jwtAS來(lái)表示；來(lái)表示； 正弦交流電的電流強(qiáng)度可用函數(shù)正弦交流電的電流強(qiáng)度可用函數(shù) )sin(0jwtII來(lái)表示。來(lái)表示。 其中其中A和和0I叫做叫做振幅振幅，w是是角頻率角頻率，j叫做叫做初位相初位相。它們。它們 都是以都是以wp2T為周期的函數(shù)，它們所描述的周期現(xiàn)象稱為為周期的函數(shù)，它們所描述的周期現(xiàn)象稱為簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 二、三角函數(shù)系的正交性二、三角函數(shù)系的正交性如果級(jí)數(shù)（如果級(jí)數(shù)（1）在某種條件下能收斂于）在某種條件下能收斂于 一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù))(xf，（，（D

42、x），），則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xf能展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，或者說(shuō)三角級(jí)能展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，或者說(shuō)三角級(jí) 數(shù)（數(shù)（1）在這種）在這種條件下收斂于函數(shù)條件下收斂于函數(shù))(xf，即，即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf， Dx 三角級(jí)數(shù)（三角級(jí)數(shù)（1）中出現(xiàn)的函數(shù)綜合）中出現(xiàn)的函數(shù)綜合 稱為稱為三角函數(shù)系三角函數(shù)系 1,cos ,sin ,cos2 ,sin 2 ,cos,sin,xxxxnxnx10)sincos(nnnnxbnxaA由正弦、余弦函數(shù)組成的形如由正弦、余弦函數(shù)組成的形如 的級(jí)數(shù)，的級(jí)數(shù)，稱為稱為三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)，又稱，又稱傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)。 其中其中 都是常數(shù)。都是

43、常數(shù)。 0,(1,2,3,)nnA a b n 三三、周周期期為為 p2的的函函數(shù)數(shù)展展開(kāi)開(kāi)為為傅傅立立葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 設(shè)設(shè))(xf以以p2為周期，并且可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)（為周期，并且可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)（1），即），即 10)sincos()(nnnnxbnxaAxf （2） 首先就要解決如下的兩個(gè)問(wèn)題：首先就要解決如下的兩個(gè)問(wèn)題： （1） 展開(kāi)式中的系數(shù)展開(kāi)式中的系數(shù)0A，na，nb，如何確定？，如何確定？ （2） )(xf滿足什么樣的條件，展開(kāi)式才收斂于滿足什么樣的條件，展開(kāi)式才收斂于)(xf呢？呢？ 下面先來(lái)解決問(wèn)題（下面先來(lái)解決問(wèn)題（1）。假定函數(shù)）。假定函數(shù))(xf在在,pp上可積

44、，并且上可積，并且它的展開(kāi)它的展開(kāi) 式可以逐項(xiàng)積分，則有式可以逐項(xiàng)積分，則有 10)sincos()(nnnnxdxbnxdxadxAdxxfpppppppp 由三角函系的正交性可得：由三角函系的正交性可得： 002)(AdxAdxxfppppp 200aA dxxfa)(10ppp令令，則，則 再用再用kxcos乘以（乘以（2）式右端，并在）式右端，并在,pp上積分，有上積分，有 10)cossincoscos(coscos)(nnnkxdxnxbkxdxnxadxkxAkxdxxfpppppppp 由三角函數(shù)的正交性，得：由三角函數(shù)的正交性，得： ，從而求出，從而求出na： （n=1，2，

45、3，） pppnanxdxxfcos)(pppnxdxxfancos)(1 nanb由（由（3）式所確定的系數(shù)）式所確定的系數(shù)，稱為稱為)(xf的的傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)，把它們代入，把它們代入 （2）式即得）式即得)(xf的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式 10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf （5） 同理用同理用kxsin乘以（乘以（2）式兩端，并在）式兩端，并在,pp上積分，可得：上積分，可得： （n=1，2，3，） pppnxdxxfbnsin)(1（3） （4） 綜上所述，綜上所述，)(xf的展開(kāi)式的系數(shù)可以表示如下：的展開(kāi)式的系數(shù)可以表示如下： （n=1，2，3，）

46、（n=1，2，3，）pppnxdxxfbnsin)(1pppnxdxxfancos)(1狄狄里里克克萊萊定定理理：設(shè)設(shè))(xf以以p2為為周周期期，如如果果它它在在一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)內(nèi)滿滿足足： （1） )(xf連連續(xù)續(xù)或或者者只只有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)； （2） )(xf至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn)（即即)(xf在在一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)內(nèi)不不能能無(wú)無(wú)限限次次 的的振振蕩蕩） ，則則)(xf的的傅傅立立葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，并并且且 （1） 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf； （2） 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)，級(jí)級(jí)數(shù)

47、數(shù)收收斂斂于于)0()0(21xfxf 收收斂斂定定理理告告訴訴我我們們，只只要要)(xf在在,pp上上至至多多有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類(lèi)類(lèi)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，并并 且且不不作作無(wú)無(wú)限限次次的的振振蕩蕩，函函數(shù)數(shù)的的傅傅立立葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)處處就就收收斂斂于于該該點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值，在在 間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)處處收收斂斂于于該該點(diǎn)點(diǎn)左左、右右極極限限的的算算術(shù)術(shù)平平均均值值。 例例1 設(shè)設(shè))(xf以以p2為周期，它在為周期，它在,pp上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 , 1, 1)(xf ppxx00 將將)(xf展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)。展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)。 解：解： 計(jì)算傅立葉系數(shù)計(jì)算傅立葉系數(shù) 0cos1

48、1cos) 1(1cos)(100pppppppnxdxnxdxnxdxxfan , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4) 1(1 2 1coscos1 10cos10cos1sin11sin) 1(1sin)(100nnnnnnnnnxnnxnxdxnxdxnxdxxfbnnpppppppppppppppp（2） 寫(xiě)出傅立葉級(jí)數(shù)寫(xiě)出傅立葉級(jí)數(shù) ) 12sin(1215sin513sin31sin4xnnxxxp ） 0211（1） 討論收斂性：討論收斂性： 由于由于)(xf滿足收斂定理的條件，它在滿足收斂定理的條件，它在pkx （處不連處不連續(xù)，其它地方都連續(xù)，由收斂定理知道

49、，在續(xù)，其它地方都連續(xù)，由收斂定理知道，在pkx 時(shí)，時(shí)， 級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于， , 2, 1, 0kpkx )(xf在在時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于，即，即 ) 12sin(1215sin513sin31sin4)(xnnxxxxfp （x，pkx ，） 其和函數(shù)的圖形如圖。其和函數(shù)的圖形如圖。 , 2, 1, 0kxy4p3p2ppp2p3p4pO11例例2 設(shè)設(shè)ppxxxxf0, 00,)(，以，以p2為周期，將為周期，將)(xf展開(kāi)為展開(kāi)為 傅立葉級(jí)數(shù)。傅立葉級(jí)數(shù)。 解：（解：（1） 計(jì)算傅立葉系數(shù)計(jì)算傅立葉系數(shù) 21)(100ppppppxdxdxxfa 00222111sinco

50、s( ) coscos2,1,3,5,11 cos0,2,4,6,nxnxnxaf xnxdxxnxdxnnnnnnnpppppppppp00212111cossin( ) sinsin1cos( 1)nnxnxnxbf xnxdxxnxdxnnnnnpppppppppp (2) 寫(xiě)出傅立葉級(jí)數(shù)寫(xiě)出傅立葉級(jí)數(shù) )5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(422xxxxxxxxpppp ）不連續(xù)，）不連續(xù)，(3) 討論斂散性討論斂散性 )(xf滿足收斂定理的條件，在滿足收斂定理的條件，在p) 12(kx （ 因此在這些點(diǎn)級(jí)數(shù)收斂于因此在這些點(diǎn)

51、級(jí)數(shù)收斂于22)(02)0()0(ppppff在其它點(diǎn)處在其它點(diǎn)處都都 收斂于收斂于)(xf，因此，因此 )3sin312sin21(sin)5cos513cos31(cos24)(22xxxxxxxfpp （x，pkx ，） , 2, 1, 0k, 2, 1, 0k)(xf及及其其展展開(kāi)開(kāi)式式的的圖圖形形如如下下 xx3p2ppp2p3p4pOpp例例 3 )(xf以以p2為周期，在為周期，在,pp上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為xxf)(，將，將)(xf 展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。 解：解： （1） 計(jì)算傅立葉級(jí)數(shù)計(jì)算傅立葉級(jí)數(shù) ppppppp0001)(1xdxxdxdxxfa , 6

52、 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,4 1cos2cossin1cossin1cos1cos1cos)(122020200nnnnnnnxnnxxnnxnnxxxdxxnxdxxnxdxxfanpppppppppppppp0sin1sin)(10pppppnxdxxnxdxxfbnOp2p3p4pp2p3pxy第七節(jié)第七節(jié) 正弦與余弦級(jí)數(shù)正弦與余弦級(jí)數(shù) 周期延拓周期延拓v重點(diǎn)：重點(diǎn)：（1）奇函數(shù)與偶函數(shù)分別展開(kāi)為正）奇函數(shù)與偶函數(shù)分別展開(kāi)為正 弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) （2）把已知函數(shù)進(jìn)行奇延拓和偶延）把已知函數(shù)進(jìn)行奇延拓和偶延 拓拓v難點(diǎn)難點(diǎn)：函數(shù)的周期性延拓函數(shù)的周期性延

53、拓一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)1sinnnnxb10cos2nnnxaa這個(gè)定理說(shuō)明，如果這個(gè)定理說(shuō)明，如果)(xf為奇函數(shù)，那么它的傅立葉級(jí)數(shù)是為奇函數(shù)，那么它的傅立葉級(jí)數(shù)是 只含有正弦項(xiàng)的只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù) 如果如果)(xf為偶函數(shù)，那么它的傅立葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng)為偶函數(shù)，那么它的傅立葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng) 的的余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù) 例例 1 )(xf是周期為是周期為p2的函數(shù)，它在的函數(shù)，它在,pp上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為xxf)(， 將將)(xf展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。 解：解： 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件，它在點(diǎn)所給函數(shù)滿足收斂定理

54、的條件，它在點(diǎn)p) 12(kx處收斂于處收斂于 02)(2)0()0(ppppff 在連續(xù)點(diǎn)處收斂于在連續(xù)點(diǎn)處收斂于)(xf。其次，若不計(jì)。其次，若不計(jì)p) 12(kx，則，則)(xf是周期為是周期為p2的的 奇函數(shù)。顯然，奇函數(shù)。顯然，)(xf的傅立葉級(jí)數(shù)是正弦級(jí)數(shù)。的傅立葉級(jí)數(shù)是正弦級(jí)數(shù)。 ）（,.3 , 2 , 1) 1(2cos2sincos2sin2sin)(210200nnnnnnxnnxxnxdxxnxdxxfbnnppppppp 代入到正弦級(jí)數(shù)表達(dá)式并由收斂定理中得代入到正弦級(jí)數(shù)表達(dá)式并由收斂定理中得)(xf的傅立葉展開(kāi)式的傅立葉展開(kāi)式 xy3p2ppp2p3p4pOpp例例

55、2 將函數(shù)將函數(shù)xExfsin)(（0E）展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。）展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)。 解：解： 因?yàn)橐驗(yàn)?(xf為偶函數(shù)，所以它的展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)，為偶函數(shù)，所以它的展開(kāi)式為余弦級(jí)數(shù)，)(xf是在是在 ),(內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且周期是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且周期是p，當(dāng)然，當(dāng)然p2也是它的周期。也是它的周期。 為偶數(shù)為奇數(shù)nnEnnxnnxnEdxxnxnEnxdxxEnxdxxfan,) 1(4, 01) 1cos(1) 1cos() 1sin() 1sin(cossin2cos)(220000ppppppppp （1n） 補(bǔ)充補(bǔ)充1a， 02sin2cossin2cos)(202001ppppppxE

56、xdxxExdxxfa Oxyp2pp2pE二、函數(shù)的周期性延拓二、函數(shù)的周期性延拓例例 2 將函數(shù)將函數(shù)1)( xxf （p x0）分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。）分別展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。 解：先求正弦級(jí)數(shù)，為此對(duì)函數(shù)解：先求正弦級(jí)數(shù)，為此對(duì)函數(shù))(xf進(jìn)行奇延拓，如圖進(jìn)行奇延拓，如圖 將將nb代入到正弦級(jí)數(shù)中并由收斂定理得代入到正弦級(jí)數(shù)中并由收斂定理得 4sin43sin322sin2sin)2(21xxxxxppppp （p x0） , 6 , 4 , 2,2, 5 , 3 , 1,22cossincos2sin) 1(2sin)(20200nnnnnxnnxnnxxnxdxxxd

57、xxfbnpppppppppOxypp11Oxypp11Oxypp11再求余弦再求余弦級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)，為此對(duì)，為此對(duì))(xf進(jìn)行偶延拓，如進(jìn)行偶延拓，如圖圖 sincossin202nnxnnxnnxxpp22cos) 1(cos)(00 xdxxdxnxxfanpppp , 5 , 3 , 1,4, 6 , 4 , 2, 0 1cos222nnnnnppp 222) 1(20200pppppxxdxxa 將將na代入到余弦級(jí)數(shù)中并由收斂定理得：代入到余弦級(jí)數(shù)中并由收斂定理得： （)5cos513cos31(cos412122xxxxppp x0） 第八節(jié)第八節(jié) 周期為周期為2的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)v重點(diǎn)：把周期為重點(diǎn)：把周期為2的函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)的函數(shù)展開(kāi)