初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識點和典型例題

1、初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識點和典型例題初中數(shù)學(xué)人教版第二十二章二次函數(shù)的知識點和典型例題:² 相關(guān)概念及定義Ø 二次函數(shù)的概念：一般地，形如是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)Ø 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項² 二次函數(shù)各種形式之間的變換Ø 二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.Ø 二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：；.² 二次函數(shù)解析

2、式的表示方法Ø 一般式：，為常數(shù)，；Ø 頂點式：，為常數(shù)，；Ø 兩根式：，是拋物線與軸兩交點的橫坐標.Ø 注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.² 二次函數(shù)圖象的畫法Ø 五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，假設(shè)與軸沒有交點，那么取兩組關(guān)

3、于對稱軸對稱的點.Ø 畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.² 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值² 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值² 二次函數(shù)的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下X=h時，隨的增

4、大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值² 二次函數(shù)的性質(zhì)的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值² 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.Ø 的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.Ø 對稱軸：平行于軸或重合的直線記作.特別地，軸記作直線.Ø 頂點坐標：Ø 頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是

5、頂點的位置不同.² 拋物線中，與函數(shù)圖像的關(guān)系Ø 二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然 當時，拋物線開口向上，越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小Ø 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè) 在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，

6、即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置總結(jié)：Ø 常數(shù)項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總結(jié)起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的² 求拋物線的頂點、對稱軸的方法Ø 公式法：，頂點是，對稱軸是直線.Ø 配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.Ø 運用拋物線的對稱性：由于

7、拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 用配方法求得的頂點，再用公式法或?qū)ΨQ性進行驗證，才能做到萬無一失.² 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式Ø 一般式：.圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.Ø 頂點式：.圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.Ø 交點式：圖像與軸的交點坐標、，通常選用交點式：.² 直線與拋物線的交點Ø 軸與拋物線得交點為(0, ).Ø 與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).Ø 拋物線與軸的交點:二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交

8、點的橫坐標、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： 有兩個交點拋物線與軸相交； 有一個交點頂點在軸上拋物線與軸相切； 沒有交點拋物線與軸相離.Ø 平行于軸的直線與拋物線的交點 可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為，那么橫坐標是的兩個實數(shù)根.Ø 一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組 的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時與有兩個交點; 方程組只有一組解時與只有一個交點；方程組無解時與沒有交點.Ø 拋物線與軸兩交點之間的距離：假設(shè)拋物線與軸兩交點為，由于

9、、是方程的兩個根，故² 二次函數(shù)圖象的對稱:二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達Ø 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；Ø 關(guān)于軸對稱 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；Ø 關(guān)于原點對稱 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；Ø 關(guān)于頂點對稱 關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是Ø 關(guān)于點對稱 關(guān)于點對稱后，得到的解析式是Ø 總結(jié)：根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一

10、定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線或表達式的拋物線的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式² 二次函數(shù)圖象的平移Ø 平移步驟： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：Ø 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的根底上“值正右移，負左移；值正上移，負下移概括成八個字“左加右減，上加下減² 根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達式的幾種根本思路。Ø 三點式。1，拋物線y

11、=ax2+bx+c 經(jīng)過A，0，B，0，C0，-3三點，求拋物線的解析式。2，拋物線y=a(x-1)+4 ， 經(jīng)過點A2，3，求拋物線的解析式。Ø 頂點式。1，拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點為A2，1，求拋物線的解析式。2，拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點為3，1，求拋物線的解析式。Ø 交點式。1，拋物線與 x 軸兩個交點分別為3，0,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。2，拋物線線與 x 軸兩個交點4，0，1，0求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。Ø 定點式。1，在直角坐標系中，不管a 取何值，拋物線經(jīng)過x 軸上一定點

12、Q，直線經(jīng)過點Q,求拋物線的解析式。2，拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3，拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點A，求拋物線的解析式。Ø 平移式。1， 把拋物線y= -2x2 向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。2， 拋物線向上平移,使拋物線經(jīng)過點C(0,2),求拋物線的解析式.Ø 距離式。1，拋物線y=ax2+4ax+1(a0)與x軸的兩個交點間的距離為2，求拋物線的解析式。2，拋物線y=m x2+3mx-4m(m0)

13、與 x軸交于A、B兩點，與 軸交于C點，且AB=BC,求此拋物線的解析式。Ø 對稱軸式。1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個交點，這兩點間的距離等于拋物線頂點到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。2、 拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸于A,B點A在點B左邊兩點，交 y軸于點C,且OB-OA=OC，求此拋物線的解析式。Ø 對稱式。1， 平行四邊形ABCD對角線AC在x軸上，且A-10，0，AC=16，D2，6。AD交y 軸于E，將三角形ABC沿x 軸折疊，點B到B1的位置，求經(jīng)過A,B,E三點的拋物線的解析式。2， 求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸或

14、x軸對稱的拋物線的解析式。Ø 切點式。1，直線y=ax-a2(a0) 與拋物線y=mx2 有唯一公共點，求拋物線的解析式。2， 直線y=x+a 與拋物線y=ax2 +k 的唯一公共點A2，1,求拋物線的解析式。Ø 判別式式。1、關(guān)于X的一元二次方程m+1x2+2(m+1)x+2=0有兩個相等的實數(shù)根，求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。2、 拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點在x軸上,求拋物線的解析式。3、拋物線y=(m+1)x2+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點，求拋物線的解析式。二次函數(shù)測試題一、選擇題每題3分，共30分1.拋物線的對稱軸是 A

15、直線B直線C直線D直線2對于拋物線，以下說法正確的選項是 A開口向下，頂點坐標B開口向上，頂點坐標C開口向下，頂點坐標D開口向上，頂點坐標3.假設(shè)A，B，C為二次函數(shù)的圖象上的三點，那么的大小關(guān)系是( ) ABCD4.二次函數(shù)的圖象與軸有交點，那么的取值范圍是( )ABC D5拋物線向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是( ) A B C D6煙花廠為揚州三月經(jīng)貿(mào)旅游節(jié)特別設(shè)計制作一種新型禮炮，這種禮炮的升空高度與飛行時間的關(guān)系式是，假設(shè)這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，那么從點火升空到引爆需要的時間為ABCDxy24820 7.如下列圖是二次函數(shù)的圖象在軸上方的一局部，對于這

16、段圖象與軸所圍成的陰影局部的面積，你認為與其最接近的值是 A4BC D8.如圖，某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，為節(jié)約資源，現(xiàn)要按圖中所示的方法從這些邊角料上截取矩形陰影局部鐵皮備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長應(yīng)分別為 AB CD9如圖，當0時，函數(shù)與函數(shù)的圖象大致是 O1xy10.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖像如下列圖,以下結(jié)論正確的選項是( )Aac0 B當x=1時,y0C方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個大于1的實數(shù)根D存在一個大于1的實數(shù)x0,使得當xx0時,y隨x的增大而減小; 當xx0時,y隨x的增大而增大.二、填空題每題3分，共18分10.平移拋物線

17、，使它經(jīng)過原點，寫出平移后拋物線的一個解析式 .11. 拋物線的圖象經(jīng)過原點，那么 .xyO12.將化成的形式為 .13.某商店經(jīng)營一種水產(chǎn)品，本錢為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，假設(shè)按每千克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產(chǎn)品的銷售情況，銷售單價定為 元時，獲得的利潤最多.14.二次函數(shù)的圖象如下列圖，那么點在第 象限15.二次函數(shù)的局部圖象如右圖所示，那么關(guān)于的一元二次方程的解為 16老師給出一個二次函數(shù),甲,乙,丙三位同學(xué)各指出這個函數(shù)的一個性質(zhì)： 甲：函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限；乙：當2時，隨的增大而減小.丙：函數(shù)的圖像與坐

18、標軸只有兩個交點.這三位同學(xué)表達都正確，請構(gòu)造出滿足上述所有性質(zhì)的一個函數(shù)_.三、解答題第17小題6分，第18、19小題各7分，共20分17.一拋物線與x軸的交點是、B1，0，且經(jīng)過點C2，8。1求該拋物線的解析式；2求該拋物線的頂點坐標。18. 拋物線的局部圖象如下列圖.1求c的取值范圍；2假設(shè)拋物線經(jīng)過點，試確定拋物線的解析式；19二次函數(shù)的圖象如下列圖，根據(jù)圖象解答以下問題：1寫出方程的兩個根；2寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍；3假設(shè)方程有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.四、第小題8分，共16分20.小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S單位：平方米隨矩形一邊長x單位：米的變化而變化1求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；2當x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？21某商場將進價為30元的書包以40元售出， 平均每月能售出600個，調(diào)查說明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就減少10個。1請寫出每月售出書包的利潤y元與每個書包漲價x元間的函數(shù)關(guān)系式；2設(shè)每月的利潤為10000的利潤是否為該月最大利潤？如果是，請說明理由；如果不是，請求出最大利潤，并指出此時書包的售價應(yīng)定為多少元。3請分析并答復(fù)售價在什么范圍內(nèi)商家就可獲得