斷裂力學講義ch3-線彈性斷裂力學_new2_427108896

1、第三章：線彈性斷裂力學第三章：線彈性斷裂力學斷裂模式及對稱性分析斷裂模式及對稱性分析三型裂紋裂尖場的漸近解三型裂紋裂尖場的漸近解復變函數（回顧）復變函數（回顧）三型裂紋裂尖場的解三型裂紋裂尖場的解應力強度因子應力強度因子KK-G關系關系計算計算K的常用方法的常用方法討論討論0,3, 3321u332032 u反平面剪切問題（一個相對簡單的問題）反平面剪切問題（一個相對簡單的問題）整理可得調和方程（或由整理可得調和方程（或由NavierNavier方程直接簡化）方程直接簡化）漸近解漸近解為什么有如此漸近的形式？為什么有如此漸近的形式？M.L. Williams. On the stress di

2、stribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics 24, 109-115 (1957). 133uru0 as0iur分離變量法分離變量法 33,urR r u222333322210uRRRuuurrrr2223333222110uuuurrrr2222322321101urRrRRrRru George Rankine IrwinG.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a

3、plate. Journal of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).應力強度因子應力強度因子KI,II,III與與G之間的關系之間的關系G 與裂紋延伸時與裂紋延伸時能量的變化能量的變化有關有關KI,II,III僅與僅與裂紋尖端區(qū)域的場強度裂紋尖端區(qū)域的場強度有關有關KI,II,III與與G之間的關系之間的關系?1eeUUGABa 2212032,0lim2,0,0IIIrIIIKrKrrKr首先假設固定位移加載首先假設固定位移加載針對針對III型裂紋型裂紋1x2xu uu u aB113210lim2,0IIIxKxx1+-+23313131122,=

4、2,=IIIKuuaxuaxuaxax A1x2x a32131000321311001limlim,021lim,0,aABaaaaUUGxu dxaaxuaxdxa 3211,02IIIKxx22IIIKG針對針對I、II、III型裂紋型裂紋2222IIIIIIKEKKG如果不是固定位移載荷加載（如固定力），是何結論？如果不是固定位移載荷加載（如固定力），是何結論？ 1x2x a1x2xu uu u a 2112MiKaOxxIIIIIIMi3, 2, 111111,2,124MiiiiIIKaaaxuuaxuaxuaxIIII 211002111001lim,021lim,0,aiiaa

5、iiaGxu dxaxuaxdxa 【作業(yè)題作業(yè)題3-5】21110,0,aiitipG axuaxdxwa 復合型裂紋復合型裂紋dddFUaGFddUdawtip1x2x a1x2xu uu u aFF2222IIIIIIKKKGE可由能量平衡來理解可由能量平衡來理解逐漸放松保持力過程逐漸放松保持力過程這種假設裂紋閉合張開的虛擬過程的分析仍然適用。這種假設裂紋閉合張開的虛擬過程的分析仍然適用。 裂紋擴展裂紋擴展q 能量釋放率和應力強度因子關系是假定能量釋放率和應力強度因子關系是假定裂紋呈直線延伸裂紋呈直線延伸下得下得到的。到的。q 在在II型和型和III型加載下裂紋擴展往往會發(fā)生拐折和分叉。

6、對很型加載下裂紋擴展往往會發(fā)生拐折和分叉。對很多材料的實驗觀察表明，多材料的實驗觀察表明，裂紋實際的擴展路徑會逐漸轉向為裂紋實際的擴展路徑會逐漸轉向為I型斷裂占優(yōu)的路徑。型斷裂占優(yōu)的路徑。q 此外，此外，I型斷裂最為危險。型斷裂最為危險。2222IIIIIIKEKKGEKGI2平面應變斷裂韌性：平面應變斷裂韌性：實驗測量應力強度因子實驗測量應力強度因子電測法電測法光彈法光彈法熱彈性法（熱彈性法（Thermoelastic Method）數字圖像相關（數字圖像相關（Digital image correlation）裂尖應變裂尖應變裂尖溫度場裂尖溫度場裂尖位移場裂尖位移場裂尖主應力裂尖主應力臨界

7、狀態(tài)安全ICIKK基于應力強度因子的斷裂準則基于應力強度因子的斷裂準則KIC 材料的斷裂韌性材料的斷裂韌性（Fracture toughness）實驗測量實驗測量KICASTMCompact tension (CT)Single edge notch bend (SENB)22.5ICyKB22.5ICyKa平面應變平面應變Crack mouth opening displacement (CMOD)QQPaKfWB W此前，只討論了裂尖的漸近解，這里將討論如何結合幾何和載此前，只討論了裂尖的漸近解，這里將討論如何結合幾何和載荷條件來確定應力強度因子。主要有以下一些方法：荷條件來確定應力強度因

8、子。主要有以下一些方法：v Westergaard應力函數法（應力函數法（ Westergaard stress function）v 權函數法（權函數法（Weight function）v 線性疊加法線性疊加法 （Principle of superposition）0 ,2lim12101xxKixM應力強度因子求解應力強度因子求解應力強度因子的計算：應力強度因子的計算：IIIIIIMi3, 2, 1Westergaard應力函數法（應力函數法（ Westergaard stress function）之前的解析函數構造時只關心裂尖處的之前的解析函數構造時只關心裂尖處的漸近場漸近場及邊界條

9、件，及邊界條件，Westergaard應力函數方法將滿足所有邊界，并能給出應力函數方法將滿足所有邊界，并能給出全場解。全場解。I、II型裂紋型裂紋40F ReFzzz dz112212Re 2Re 2Imzzz122Re2Imuzuz34Planestrain3Planestress1應力函數應力函數應力場應力場位移場位移場Westergaard應力函數法（應力函數法（ Westergaard stress function） dzzzzFRe00112，x,1x 0ImIm0022 xxzzzzzz,2FF Azzzx 02yvxuxvyu zzAz zzZI 2在前面的平面問題求解中在前面

10、的平面問題求解中,需要確定兩個解析函數需要確定兩個解析函數 (z)和和 (z) ，其實在對稱和，其實在對稱和反對稱特例下，可利用反對稱特例下，可利用Westergaard函數進一步簡化為一個解析函數的求解。函數進一步簡化為一個解析函數的求解。以以I型問題為例：型問題為例： 利用了對稱性利用了對稱性A為實常數為實常數解析延拓（定義見下頁）：解析延拓（定義見下頁）： I型裂紋的型裂紋的Westergaard應力函數：應力函數： AZxZIIImRe211 AZxZIIImRe222 IZx Re212 121ImRe212AxZxdzZuII 222ReIm212AxZxdzZuII用用Weste

11、rgaard應力函數表示應力、位移應力函數表示應力、位移應力場應力場位移場位移場 zzZI 2 2IzzAZz112212Re 2Re 2Imzzz122Re2Imuzuz當當 x2= 0時剪應力為零，這意味著時剪應力為零，這意味著裂紋面是主平面裂紋面是主平面。I型裂紋型裂紋012, 02122axxi AZxZIIImRe222 0Re1 AxZI12,0 xa xax1 22IR zR zZAAzazaza1122,z 例：雙軸載荷下含中心裂紋的無窮大板例：雙軸載荷下含中心裂紋的無窮大板是是ZI(z)兩個枝點，可猜測兩個枝點，可猜測無窮遠處的邊界條件：無窮遠處的邊界條件：自由裂紋表面：自由

12、裂紋表面：22IzzZzazaza AZxZIIImRe211 AZxZIIImRe2221x2x【作業(yè)題作業(yè)題3-6】雙軸加載，但水雙軸加載，但水平與豎直方向遠平與豎直方向遠場應力不同場應力不同一旦一旦Westergaard函數已知，便可知道全場解函數已知，便可知道全場解12,0 xa x22IzZza 1221221ReIxZxxa轉換坐標到裂尖轉換坐標到裂尖1rxaI型裂紋：型裂紋：1xra1220011lim,0lim22rrxaarxaxarar220lim 2,0IrKrra IKa 112ReImIIZxZ222ReImIIZxZ IZx Re2121212ReIm2IIuZ d

13、zxZ2212ImRe2IIuZ dzxZ應力場應力場位移場位移場裂紋面上裂紋面上221ReIZx21Im4IuZ dz lim2IIzaKZzza2sin21sin2IZaWzW還可用還可用Westergaard函數法考察共行和共列多個裂紋的相互作用（參見函數法考察共行和共列多個裂紋的相互作用（參見Koiter，1959的工作）。的工作）。如何猜測如何猜測Westergaard函數？函數？【題題3-7】對于周期性分布的共行、共列裂紋，如何提邊界條件？并利對于周期性分布的共行、共列裂紋，如何提邊界條件？并利用用Westergaard函數證明裂尖應力強度因子。函數證明裂尖應力強度因子。2tan2

14、IWaKaaW 2x1x共行裂紋的交互作用為共行裂紋的交互作用為加強各自的應力強度因子加強各自的應力強度因子，而共列裂紋則起，而共列裂紋則起相互屏相互屏蔽作用蔽作用。ab1122Im2IIZ22111222IIIIiiZx Z 12242IIIIIIuiuiZz dziZz dzx Zz II裂紋的裂紋的Westergaard應力函數應力函數 2IIZziz裂紋面上裂紋面上應力場應力場位移場位移場12ReIIZ11Im4IIuZ dz22IIzZzaII型中心裂紋承受遠場均勻剪切型中心裂紋承受遠場均勻剪切IIKa2211111,04uxaxxa lim2IIIIzaKi Zzza3231III

15、iZ3ImIIIuZIII型型裂紋的復變函數表示方法裂紋的復變函數表示方法應力場應力場位移場位移場III型中心裂紋承受遠場均勻剪切型中心裂紋承受遠場均勻剪切22IIIzZza2231111,0uxaxxa IIIKa為了統(tǒng)一為了統(tǒng)一 lim2IIIIIIzaKZzza根據邊界條件猜測根據邊界條件猜測Westergaard函數函數邊界條件邊界條件32120,0 xa x321231,0 x x 3231IIIiZ11Re00 ,IIIZzxixaIIIZz 11IIIIIIZzazaZzaza 22IIIzZza裂紋面裂紋面無窮遠無窮遠III型裂紋面上承受集中力型裂紋面上承受集中力1IIIZza

16、za1IIIZzaza 0IIIZz0IIITZzbizb0IIITZzbizb22IIITTZzaza zbzazb0IIITzbiZizb2222IIITabZzazb0IIITzbiZizb 附：復變函數的性質附：復變函數的性質22zaIII型半無限場裂紋面上承受集中力型半無限場裂紋面上承受集中力10IIIZzziIIITZzbezbiIIITZzbezbIIITZz zbiIIITzbeZizbIIITbZz zbiIIITzbeZizb dAhfdhtKA權函數法權函數法顧名思義，加權累加，所以要求線彈性顧名思義，加權累加，所以要求線彈性Bueckner, H.F., “A Nove

17、l Principle for the Computation of Stress Intensity Factors.” Zeitschrift f r Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 50, 1970, pp. 529545.Rice, J.R., “Some Remarks on Elastic Crack-Tip Stress Fields.” International Journal of Solids and Structures, Vol. 8, 1972, pp. 751758.James R. Rice為什么用機械總勢能？（

18、勒讓德變換來改變變量）為什么用機械總勢能？（勒讓德變換來改變變量） 12P0P2122aK2EPK,*K*u*2PuEhKa dAhfdhtKA2;PuKhxaaE把上述想法連續(xù)化，可得如下求解步驟：把上述想法連續(xù)化，可得如下求解步驟：（1 1）對一裂紋幾何，若已知一種載荷下的解）對一裂紋幾何，若已知一種載荷下的解權函數定義為權函數定義為（2 2）利用權函數可計算其它載荷下的應力強度因子）利用權函數可計算其它載荷下的應力強度因子不需要知道權函數的全場值，只不需要知道權函數的全場值，只需計算與需計算與t 、f 載荷功共軛的部分載荷功共軛的部分權函數的分布值。權函數的分布值。（3 3）該載荷下的位

19、移場滿足）該載荷下的位移場滿足權函數是唯一的，與加載狀態(tài)無關，僅表示裂紋構型的特征！權函數是唯一的，與加載狀態(tài)無關，僅表示裂紋構型的特征！左端還是右端的應力強度因子？左端還是右端的應力強度因子？ 【題題3-8】如何計算左端的應力強度因子？（仍用此坐標系表達）如何計算左端的應力強度因子？（仍用此坐標系表達）無限長裂紋無限長裂紋半無限長裂紋半無限長裂紋Green函數函數權函數方法也可用于三維裂紋權函數方法也可用于三維裂紋線性疊加法線性疊加法對于對于線彈性材料線彈性材料，只要，只要斷裂模式是一致的斷裂模式是一致的，應力強度因子也可以疊加。，應力強度因子也可以疊加。( )( )( )( )abcbII

20、IIKKKK已知已知b、c的應力強度因子，如何求的應力強度因子，如何求a的強度因子？的強度因子？線性疊加法線性疊加法思考題？思考題？討討 論論漸近解漸近解與與全場解全場解的比較的比較2211,02IKxxa1221221,0 xxxa漸近解漸近解全場解全場解K主導區(qū)域主導區(qū)域222222FKKF43KKa坐標在裂紋中心KKll為最小的特征尺度小小 結結 （二）（二）vK與與G之間的關系之間的關系v求解求解K的方法的方法Westergaard函數法、權函數法、線函數法、權函數法、線性疊加法性疊加法v討論關于漸近解與全場解的比較討論關于漸近解與全場解的比較作作 業(yè)業(yè) 題題【作業(yè)題作業(yè)題3-5】：仿照講義中：仿照講義中III型裂紋型裂紋KIII與與G之間的推導，獨立推導之間的推導，獨立推導I、II型裂紋型裂紋KI 、KII與與G之間的關系。之間的關系。（1）給出）給出A圖中裂尖使裂紋閉合的應力表示；圖中裂尖使裂紋閉合的應力表示；（2）給出）給出B圖中裂尖上下表面的位移差表示；圖中裂尖上下表面的位移差表示；（3）代入如下公式計算）代入如下公式計算KI 、KII與與G之間的關系。之間的關系。211002111001lim,021lim,0,aiiaaiiaGxu