一道數(shù)學(xué)建模例題

1、預(yù)計(jì)期末高等數(shù)學(xué)考試將有3021名同學(xué)參加。其中，海上專業(yè)978名同學(xué)，工科類專業(yè)1764名同學(xué)，文科類專業(yè)219名同學(xué)，數(shù)學(xué)專業(yè)60名同學(xué)。為此特向教務(wù)處申請(qǐng)了如下教室作為考場(chǎng)，如下表所示。 教室編號(hào)教室容量教室編號(hào)教室容量教室編號(hào)教室容量19618963514429619983614439620101371564962110138156596221113916069623111401877962412141187896251214219599626126431951096271304419911962813045199129629130462001396301304720014963114

2、2482091596321444921516963314450216179634144 請(qǐng)你針對(duì)教室的容量，安排每個(gè)考場(chǎng)的考試人數(shù)以及監(jiān)考教師數(shù)。在安排的過(guò)程中，建議考慮以下幾點(diǎn)：1. 每個(gè)教室安排的考試人數(shù)不能超過(guò)教室容量的1/2；2. 不同專業(yè)類別的考生不能分配在同一個(gè)教室中；3. 每個(gè)監(jiān)考教師的監(jiān)考人數(shù)平均不超過(guò)30人，且應(yīng)該盡量相同；4. 使用的教室盡量少。 一、摘要：本文就關(guān)于如何安排期末高數(shù)考試展開(kāi)了討論，分析學(xué)校提供的教室特點(diǎn)，安排每個(gè)教室的考生人數(shù)，以及監(jiān)考老師的人數(shù)。在這里，充分考慮了盡量占用少的教室，以及盡量使每個(gè)老師的監(jiān)考人數(shù)相同，在這些條件下提出了解決方案。 高等數(shù)學(xué)期

3、末考試安排問(wèn)題二、問(wèn)題重述：合理安排教室與監(jiān)考教師對(duì)考試來(lái)說(shuō)是具有重要意義的，這樣能節(jié)約物資與人力。在安排考試教室的時(shí)候要盡量少用，而且不同專業(yè)的學(xué)生不能在一起，并且各個(gè)教室安排的考試人數(shù)不能超過(guò)教室容量的一半?？紤]這個(gè)的同時(shí)，還要讓每個(gè)監(jiān)考教師的監(jiān)考人數(shù)盡量相同，這樣可以對(duì)老師學(xué)生盡量同樣公平。總之在安排教室的時(shí)候，使用的教室數(shù)，監(jiān)考老師的監(jiān)考人數(shù)，還有學(xué)生專業(yè)等因素都要考慮的復(fù)雜問(wèn)題。三、模型假設(shè)：1、 每個(gè)專業(yè)分配的教室數(shù)跟專業(yè)人數(shù)成正比例；2、 每個(gè)教室教師的監(jiān)考人數(shù)25；3、 預(yù)計(jì)的參加考試的人數(shù)在考試當(dāng)天不變。以上假設(shè)均為理想化狀態(tài)，為了彌補(bǔ)安排過(guò)程中存在的差別，每個(gè)教室教師的監(jiān)考

4、人數(shù)乘以一個(gè)不確定因數(shù)00.2，即實(shí)際的監(jiān)考人數(shù)偏離假設(shè)的百分之二十內(nèi)。四、符號(hào)說(shuō)明x1、x2、x3、x4為各個(gè)專業(yè)占用的教室數(shù)；y1、y2、y3、y4分別為各個(gè)專業(yè)的考試人數(shù)；E為各個(gè)教室每個(gè)教師的監(jiān)考人數(shù)；H為各個(gè)教室安排的考試人數(shù)；a(k)為占用的各類教室的個(gè)數(shù);b(k)為各種教室的容量(k表示各類教室的代號(hào)k=1表示容量為96的教室)(k=1,2,3且k<=18)。五、模型建立 數(shù)學(xué)系剛好有60個(gè)人，這樣可以給數(shù)學(xué)系一個(gè)容量121的教室，分配兩個(gè)老師，這樣正好讓這個(gè)教室充分使用了，而且老師的監(jiān)考人數(shù)為30人，符合要求。并且這個(gè)教室的編號(hào)正好在總編號(hào)的中間位置。 假設(shè)中每個(gè)專業(yè)分配

5、的教室數(shù)跟專業(yè)人數(shù)成正比例，y1、y2、y3、y4分別為978、1764、219、60。即y(i)/y(j)=x(i)/x(j)；而且y(i)<=b(1)/2a(1)+b(k)/2a(k)+b(18)/2a(18)六、模型解題 int y1=978，y2=1764，y3=219，y4=60，x4=1，x1，x2，x3； r1=y1/y4;r2=y2/y4;r3=y3/y4; x1=r1*x4;x2=r2*x4;x3=r3*x4;解得x1=16，x2=29，x3=3即海上專業(yè)占用16個(gè)教室，工科類專業(yè)占用29個(gè)教室，文科類專業(yè)占用3個(gè)教室，數(shù)學(xué)專業(yè)占用1個(gè)教室。那么數(shù)學(xué)專業(yè)占用1個(gè)容量為1

6、21的教室，分60個(gè)學(xué)生；文科類專業(yè)占用1個(gè)容量為126，分63個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為156，分76個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為160，分80個(gè)學(xué)生；海上專業(yè)占用2個(gè)容量為200，各分100個(gè)學(xué)生，2個(gè)容量為199，各分99個(gè)學(xué)生，10個(gè)容量為96，各分48個(gè)學(xué)生，2個(gè)容量為101的教室，各分50個(gè)學(xué)生，一共16個(gè)；工科類專業(yè)占用8個(gè)容量為96，各分48個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為98，分49個(gè)學(xué)生，2個(gè)容量為111，各分55個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為121，分60個(gè)學(xué)生，4個(gè)容量為130，各分65個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為142，分71個(gè)學(xué)生，5個(gè)容量為144，各分72個(gè)學(xué)生，2個(gè)容量為156，分78個(gè)學(xué)生，2個(gè)容量為187，各分

7、93個(gè)學(xué)生，2個(gè)容量為195，各分97個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為209，分12個(gè)學(xué)生，共28個(gè)，與理想模型有一定的出入。專業(yè)占用的教室七、模型改進(jìn)1、在用模型解題的時(shí)候，還沒(méi)有充分考慮占用最少的教室改進(jìn)方法：在給工科類專業(yè)分配教室的時(shí)候，先從大教室開(kāi)始，1個(gè)容量為216，分108個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為215，分107個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為209，分104個(gè)學(xué)生，2個(gè)容量為195，各分97個(gè)學(xué)生，2個(gè)容量為187，各分93個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為156，分78個(gè)學(xué)生，5個(gè)容量為144，各分72個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為142，分71個(gè)學(xué)生，4個(gè)容量為130，各分65個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為121，分60個(gè)學(xué)生，1個(gè)容量為98，分4

8、9個(gè)學(xué)生，4個(gè)容量為96的教室，3個(gè)教室分47個(gè)學(xué)生，另一個(gè)分46個(gè)學(xué)生。這樣海上專業(yè)就占用了22個(gè)教室。2,還有老師監(jiān)考的人數(shù)要盡量一樣。第一步改進(jìn)之后數(shù)學(xué)專業(yè)每個(gè)老師監(jiān)考30人；文科類專業(yè)每個(gè)老師監(jiān)考人數(shù)21，26，27人；海上類專業(yè)每個(gè)老師監(jiān)考人數(shù)25、25、24、25人；工科類專業(yè)每個(gè)老師監(jiān)考人數(shù)人27、27、26、25、24、26、24、24、24、22、30、25、24，23；很明顯的，老師監(jiān)考的人數(shù)不是很平均，文科類專業(yè)分1個(gè)容量為96，48個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考24人，1個(gè)容量為160，80個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考27人，1個(gè)容量為187，91個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考23人，海上類專業(yè)老

9、師監(jiān)考人數(shù)還比較均勻，工科類專業(yè)1個(gè)容量為216，分108個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考27人1個(gè)容量為215的，分107個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考27人1個(gè)容量為209的，分104個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考26人2個(gè)容量為195的，各分97個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考25人1個(gè)容量為187的，分93個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考24人2個(gè)容量為156的，分78個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考26人5個(gè)容量為144的，各分72個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考24人1個(gè)容量為142的，分71個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考24人4個(gè)容量為130的，其中2個(gè)分60人，每個(gè)老師監(jiān)考30個(gè)，1個(gè)65人，每個(gè)老師監(jiān)考22人，還有1個(gè)分59人，每個(gè)老師監(jiān)考30人1個(gè)容量為126的

10、，分60個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考30人1個(gè)容量為121的，分60個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考30人2個(gè)容量為111的，分55個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考28人1個(gè)容量為98的，分49個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考25人1個(gè)容量為96的，分48個(gè)學(xué)生，每個(gè)老師監(jiān)考24人。下面用MATLAB求老師監(jiān)考人數(shù)的方差其中每個(gè)內(nèi)填寫老師監(jiān)考的人數(shù)A=······D=std(A)P=mean(A)V=var(A)stem(A)S=sum(A)set(gcf,'color','w')title('每名老師監(jiān)考的人數(shù)分布圖') 如圖所示，每個(gè)教室的監(jiān)考人數(shù)比較平均。最后得到的安排的每個(gè)考場(chǎng)的考生及監(jiān)考老師數(shù)如下：算得方差4.1590,均差25.2250 教室編號(hào)學(xué)生數(shù)監(jiān)考老師數(shù)教室編號(hào)學(xué)生數(shù)監(jiān)考老師數(shù)1482296022482306533482317134482327235482337236482347237482357238482367239482377831