勒讓德(legendre)多項式及其性質

1、勒讓德（legendre）多項式及其性質一 勒讓德多項式勒讓德多項式是由勒讓德方程的通解推導出來的，所以我們首先引入勒讓德方程，以及勒讓德方程的冪級數解，勒讓德方程的表達式如下： 其中為非負實數 （1.1）它的冪級數解如下： （1.2）其中： （1.3） （1.4）由達朗貝爾判別法可知，當不為整數時，這兩個級數的收斂半徑為1，在（1.3）式和（1.4）式中，與可以任意取值，它們起著任意常數的作用，顯然，在區(qū)間（1，1）內和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。上面（1.3）和（1.4）冪級數當時級數收斂，此外級數是發(fā)散的。并且，我們發(fā)現，當取非負整數時，和中有一個便退化為次

2、多項式，它就是方程（1.1）在閉區(qū)間-1,1上的有界解。此時，適當的選定這個多項式的最高次冪系數，所得的多項式稱為階勒讓德多項式或第一類勒讓德函數，記作，下面我們來推導勒讓德多項式的表達式。 當為正偶數時退化為次多項式。為求得的表達式，在中我們通過來表示其它各項的系數。為此，將系數遞推關系式改寫成下列形式： （1.5）在（1.5）式中取，得： （1.6）習慣上取為 （1.7）于是有： （1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得： （1.9）一般地，我們有 （） （1.10）我們將這些系數帶入（1.3）中，并把此時的記作，可得： （1.11）這就是當為正偶數時勒讓德多項式。 當為正奇數時退化為次

3、多項式，我們把記作，同理可得： （1.12）把（1.11）和（1.12）寫成統(tǒng)一的形式，得 （1.13）其中表示的整數部分由上述討論可知，當為非負整數時，和中有一個是階勒讓德多項式，而另一個是無窮級數，記作，稱為第二類勒讓德函數，此時方程（1.1）通解為： （1.14）特別當時，由（1.11）和（1.12）式得： 它們的圖形如下：二 勒讓德多項式的性質首先介紹一下勒讓德多項式的母函數：試將函數 （1.15）展開成的冪級數 （1.16）可以證明級數展開式中的系數恰好是勒讓德多項式，最終得到 （1.17）因此稱為勒讓德多項式的母函數。1 （1.18）將式（1.17）中的以代入，以代入，立即得到此結

4、果。此式說明的奇偶性由而定，當為偶數時，為偶函數，當為奇數時，為奇函數。2 （1.19）將代入式（1.17），得到而所以由上式和（1.18）立即得到 3勒讓德多項式的遞推公式： （1.20） （1.21） （1.22） （1.23） （1.24）現在我們來證明（1.20）及其它的導數公式，將母函數分別對微分，得到得到下列兩個恒等式 （1.25） （1.26）又從式（1.25）和（1.26）得到 （1.27）將（1.17）兩端分別對微分，得到 （1.28） （1.29）然后將它們帶入（1.27），得到于是得到與導數之間的關系式其它的導數公式這里不在一一證明。將式（1.17）和（1.29）代入式（1.26）中，得到上面級數的各項系數都等于零，因此，最終得到 這就是遞推公式，由，可以推出，由，可以推出，.4勒讓德多項