34實際問題與一元一次方程專題復習

1、一元一次方程應一元一次方程應用題專題復習用題專題復習 問題問題1： 畢達哥拉斯是古希臘著名的數學家，畢達哥拉斯是古希臘著名的數學家，有一次有位數學家問他：有一次有位數學家問他：“尊敬的畢達哥拉斯尊敬的畢達哥拉斯先生，請告訴我，有多少名學生在你的學校里先生，請告訴我，有多少名學生在你的學校里聽你講課？聽你講課？” 畢達哥拉斯回答說：畢達哥拉斯回答說：“我的學生，我的學生，現在有現在有 在學習數學，在學習數學， 在學習音樂，在學習音樂， 沉默沉默無言，此外，還有三名婦女無言，此外，還有三名婦女.”算一算：畢達哥算一算：畢達哥拉斯的學生有多少名？拉斯的學生有多少名？ 214171開啟 智慧你能解出這

2、道方程嗎？把你的解法與你能解出這道方程嗎？把你的解法與其他同學交流一下，看誰的解法好。其他同學交流一下，看誰的解法好?？偨Y：像上面這樣的方程中有些系數是分數，總結：像上面這樣的方程中有些系數是分數，如果能化去分母，把系數化為整數，則可以使如果能化去分母，把系數化為整數，則可以使解方程中的計算更方便些。解方程中的計算更方便些。解：設畢達哥拉斯的學生有解：設畢達哥拉斯的學生有x名，由題意得名，由題意得我的學生，現在有我的學生，現在有 在學習數學，在學習數學， 在學習在學習音樂，音樂， 沉默無言，此外，還有三名婦女沉默無言，此外，還有三名婦女 214171x3x71x41x21英國倫敦博物館保存著一

3、部極其珍英國倫敦博物館保存著一部極其珍貴的文物貴的文物紙莎草文書。這是古紙莎草文書。這是古代埃及人用象形文字寫在一種特殊代埃及人用象形文字寫在一種特殊的草上的著作，它于公元前的草上的著作，它于公元前1700年年左右寫成，至今已有三千七百多年。左右寫成，至今已有三千七百多年。這部書中記載了許多有關數學的問這部書中記載了許多有關數學的問題，其中有如下一道著名的求未知題，其中有如下一道著名的求未知數的問題。數的問題。問題問題2：一個數，它的三分之二，它一個數，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是加起來總共是33，求這個數？，求這個數？紙莎草文書

4、紙莎草文書你能解決這個問題嗎你能解決這個問題嗎?開啟 智慧問題問題 一個數，它的三分之二，它的一半，它一個數，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起來總共是的七分之一，它的全部，加起來總共是3333。用現在的數學符號表示，這道題就是方程用現在的數學符號表示，這道題就是方程33xx71x21x32解：設這個數為x，33x424262128971386x 像左面這樣的方程中像左面這樣的方程中有些系數是分數，有些系數是分數，如果能化去分母，如果能化去分母，把系數化為整數，把系數化為整數，則可以使解方程中則可以使解方程中的計算更方便些。的計算更方便些。33xx71x21x32334242

5、xx7142x2142x3242138642x6x21x28x138697x 971386x 各分母的最小公倍數時42，方程兩邊同乘42，則得到合并同類項，系數化為1，思考：方程兩邊同乘42的依據是什么？用上述方法解下列方程用上述方法解下列方程: :分析：分析：由于方由于方程中的某些項程中的某些項含有分母，我含有分母，我們可先利用等們可先利用等式的性質，去式的性質，去掉方程的分母，掉方程的分母，再進行去括號、再進行去括號、移項、合并同移項、合并同類項等變形求類項等變形求解。解。 (1)這個方程中各分母的最小公倍數是多少這個方程中各分母的最小公倍數是多少?(2)你認為方程兩邊應該同時乘以多少你認

6、為方程兩邊應該同時乘以多少?(3)方程兩邊同乘上這個數以后分別變成了方程兩邊同乘上這個數以后分別變成了什么什么?532x1023x2213x53210232213xxx5(3x + 1) - 102 = (3x 2) 2(2x + 3)15x + 5 20 = 3x 2 4x 6 15x 3x + 4x = - 2 6 5 + 20 16x = 7 167x去分母（方去分母（方程兩邊同乘程兩邊同乘以各分母的以各分母的最小公倍數）最小公倍數）去括號去括號移項移項合并合并系數化為系數化為1想一想想一想: :去分母時去分母時, ,應注意什么應注意什么問題？問題？例1 解方程：312x321x3x解：

7、去分母（方程兩邊同乘6），得18x+3(x-1)=18-2(2x-1).去括號，得18x+3x-3=18-4x+2移項，得18x+3x+4x=18+2+3.合并同類項，得25x=23系數化為1，得2523x 解方程：解方程：2X-1X-154x+2=-2(x-1)解方程：解方程：2X-1X-154x+2=-2(x-1) 解解: 去分母去分母,得得 5x-1=8x+4-2(x-1) 去括號去括號,得得 5x-1=8x+4-2x-2 移項移項,得得 8x+5x+2x=4-2+1 合并合并,得得 15x =3 系數化為系數化為1,得得 x =5 解一元一次方程的步驟：解一元一次方程的步驟：移移 項項

8、合并同類合并同類項項系數化為系數化為1去括號去括號特別提示：特別提示：求出解后求出解后養(yǎng)成檢驗養(yǎng)成檢驗的習慣的習慣去分母去分母解一元一次方程的一般步驟解一元一次方程的一般步驟: :變 形 名 稱 具體的做法和注意事項去 分 母乘所有的分母的最小公倍數.依據是等式性質二。防止防止漏乘（尤其沒有分母的項），注意添括號漏乘（尤其沒有分母的項），注意添括號；去 括 號先去小括號,再去中括號,最后去大括號.依據是去括號法則和乘法分配律。注意符號，防止漏乘；注意符號，防止漏乘；移 項把含有未知數的項移到一邊,常數項移到另一邊.“過橋變號”，依據是等式性質一。移項要變號，防止漏移項要變號，防止漏項；項；合并

9、同類項將未知數的系數相加，常數項項加。依據是乘法分配律，系數為系數為1或或-1時時,記得省略記得省略1；系 數 化 為1 在方程的兩邊除以未知數的系數.依據是等式性質二。分子、分母不要寫倒了；分子、分母不要寫倒了；2 2（2x2x1 1）1 15 5（x x2 2）2 2（2x2x1 1）1 15 5（x x2 2）解：解：去括號，得去括號，得 4x 4x2 21 15x5x1010移項，得移項，得 4x 4x5x5x1 110102 2合并，得合并，得 9x 9x9 9系數化系數化1 1，得，得 x x1 1 例：例：某工廠要鍛造直徑某工廠要鍛造直徑為為60mm,60mm,高為高為20mm

10、20mm 的圓柱形毛坯的圓柱形毛坯, ,需要截取直徑為需要截取直徑為40mm40mm的圓的圓鋼多長鋼多長? ? 例：例：某工廠要鍛造長某工廠要鍛造長為為40mm,40mm,寬為寬為30mm 30mm ，高為高為15mm15mm的的長方體長方體毛坯毛坯, ,需要截取直徑為需要截取直徑為40mm40mm的圓鋼多長的圓鋼多長? ? 例：例：截取截取20m20m直徑為直徑為40m40m的圓鋼，能鍛造的圓鋼，能鍛造底面積為底面積為120m120m2 2的圓柱形毛坯多么長的圓柱形毛坯多么長? ?例：例： 把先準備好的鐵絲圍成一個長方形，把先準備好的鐵絲圍成一個長方形，有多少種圍法？有多少種圍法？ 它們的它

11、們的周長改變了嗎周長改變了嗎？它們的它們的面積都相等嗎面積都相等嗎？例：例： 墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的墻上釘著用一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖實線所示。小穎將飾物，如圖實線所示。小穎將梯形梯形下底的下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個長方形釘成一個長方形，如圖虛線所示。小穎所釘如圖虛線所示。小穎所釘 長方形的長、寬長方形的長、寬 各為多少厘米？各為多少厘米？1066101010例：例：如圖所示，小明將一個正方如圖所示，小明將一個正方形紙片剪去一個寬為形紙片剪去一個寬為4 4厘米的長厘米的長條后，在從剩下的長方形紙片上條后，在從剩下的長方形紙片上剪去一個寬為剪

12、去一個寬為5 5厘米的長條，如厘米的長條，如果果兩次剪下的長條面積正好相等，兩次剪下的長條面積正好相等，那么每一個長那么每一個長 條的面積為多少條的面積為多少？5厘米厘米4厘米厘米類型三：打折銷售類型三：打折銷售 1、 進 價（成本） 2、 原 價（定價） 3、 售 價 4、 利潤 5、利潤率 6、折扣1、利潤=售價-進價2、標價=成本（1+提高率）3、售價=標價折/104、利潤率= = 利潤進價售價-進價進價100100一、此類型中的量二、此類型中的等量關系一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價,又以8折優(yōu)惠賣出,結果每件服裝仍獲利15元.這種服裝每件的成本價是多少元? 一家商店將某種服

13、裝按成本價提高40%后標價,又以8折優(yōu)惠賣出,結果每件服裝仍獲利15元.這種服裝每件的成本價是多少元?解解: 如果設每件服裝的成本價為如果設每件服裝的成本價為x元，那么元，那么每件服裝的標價為：每件服裝的標價為：(1+40%)X 元元每件服裝的實際售價為：每件服裝的實際售價為：80%(1+40%) X 元元每件服裝的利潤為：每件服裝的利潤為：80%(1+40%)X - X 元由此，列出方程：由此，列出方程：80%(1+40%)X-X=15解方程，得解方程，得x=125因此每件服裝的成本價是因此每件服裝的成本價是125125元。元。例：某種商品因換季準備打折出售，如 果按定價的七五折出售將賠25

14、元，而 按定價的九折出售將賺20元，這種商 品的定價是多少元？例：張、王、李三戶分別裝有相同的電燈2只、4只和3只，共用一塊電表，按照電燈只數分攤16.2元的電費，則各家應分別分攤多少元電費？例：某洗衣機廠今年計劃生產洗衣機3000臺，其中型、型、型三種洗衣機的數量的比是2：3：5，這三種洗衣機計劃各生產多少臺？題型：例：（勞力分配問題）某工程隊每天安排120個勞力修建水庫，平均每天每個勞力能挖土5方或運土3方，為了挖出的土及時運走，問應如何安排挖土和運土的勞力？例： （比例問題）我國四大發(fā)明之一的黑火藥，它所用的原料為硝酸鉀、硫磺、木炭，它們的重量比是15：2：3，要配制這種火藥280千克，

15、三種原料應各取多少千克？ 1 1、某水利工地派、某水利工地派 48 48 人去挖土人去挖土和運土，如果每人每天平均挖土和運土，如果每人每天平均挖土5 5方方或運土或運土3 3方，那么應怎樣安排人員，方，那么應怎樣安排人員，正好能使挖出的土及時運走？正好能使挖出的土及時運走？練一練練一練 1 1、某水利工地派、某水利工地派 48 48 人去挖土和運土，如果人去挖土和運土，如果每人每天平均挖土每人每天平均挖土5 5方或運土方或運土3 3方，那么應怎樣安排方，那么應怎樣安排人員，正好能使挖出的土及時運走？人員，正好能使挖出的土及時運走？練一練練一練解：設安排解：設安排 x 人去挖土，則有（人去挖土，

16、則有（48 x ）人運土，根據）人運土，根據題意，得題意，得 5 x = 3 ( 48 x )去括號，得去括號，得 5x = 144 3x移項及合并，得移項及合并，得 8x = 144 x = 18運土的人數為運土的人數為 48 x = 48 18 = 30答：應安排答：應安排18人去挖土，人去挖土，30人去運土，正好能使挖出的人去運土，正好能使挖出的土及時運走。土及時運走。3、 某車間每天能生產甲種零件某車間每天能生產甲種零件120個，個，或乙種零件或乙種零件180個，甲、乙兩種零件分別取個，甲、乙兩種零件分別取2個、個、3個才能配成一套，現要在個才能配成一套，現要在30天內生產天內生產最多

17、的成套產品，問怎樣安排生產甲、乙最多的成套產品，問怎樣安排生產甲、乙兩種零件的天數？兩種零件的天數？ 小明在靜水中劃船的速度為每小時小明在靜水中劃船的速度為每小時12千米，千米，今往返于某河，逆流時用了今往返于某河，逆流時用了10小時，小時，順流時用了順流時用了6小時小時.求兩地距離。求兩地距離。 小明在靜水中劃船的速度為每小時小明在靜水中劃船的速度為每小時12千米，千米，今往返于某河，逆流時用了今往返于某河，逆流時用了10小時，小時，順流時用了順流時用了6小時小時.求兩地距離。求兩地距離。開放與創(chuàng)新：詩仙李白本性嗜酒、豪放、曠達，向有“斗酒詩百篇”的美譽，是唐代“飲中八仙”之一，民間流傳李白

18、買酒歌謠，是一道有趣的數學問題：李白街上走，提壺去買酒；遇店加一倍，見花喝一斗；三遇店和花，喝完壺中酒；試問酒壺中，原有多少酒？飲酒的歷程酒壺中存酒A2xB2x-1C2(2x-1)D2(2x-1)-1E22(2x-1)-1 分析：若設酒壺中原有x斗酒，則李白飲酒的歷程可用表格表示為類型五：能追上小明嗎？類型五：能追上小明嗎？一、涉及到的量 二、三個基本量之間的關系三、類似行程問題的工程問題（路程 速度 時間） 1、路程=速度時間 2、速度=路程時間 3、時間=路程速度 1、工作總量 = 工作效率 工作時間 2、工作效率 = 工作總量 工作時間 3、工作時間 = 工作總量 工作效率例：例：市實驗

19、中學學生步行到郊外旅行。市實驗中學學生步行到郊外旅行。(1)(1)班班學生組成前隊，步行速度為學生組成前隊，步行速度為4 4千米千米/ /時，時，(2)(2)班學生班學生組成后隊，速度為組成后隊，速度為6 6千米千米/ /時。前隊出發(fā)時。前隊出發(fā)1 1小時后，小時后，后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯絡員騎自行車在后隊才出發(fā)，同時后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯絡，他騎車的速度兩隊之間不間斷地來回進行聯絡，他騎車的速度為為1212千米時。千米時。根據上面的事實提出問題，并嘗試解答。根據上面的事實提出問題，并嘗試解答。1、后隊追上前隊需要多長時間？、后隊追上前隊需要多長時間？2、后

20、隊追上前隊時間內，聯絡員走的路程是多少？、后隊追上前隊時間內，聯絡員走的路程是多少？3、兩隊何時相距、兩隊何時相距6千米？千米？4、兩隊何時相距、兩隊何時相距2千米？千米？例：例：小彬和小明每天早晨堅持跑步，小彬每秒跑4米，小明每秒跑6米.（1）如果他們站在百米跑道的兩端同時相 向起跑，那么幾秒后兩人相遇？（2）如果他們兩家相距500米，同時出 發(fā)多長時間見面？ 例：甲、乙兩人在一環(huán)城公路上騎自行車，環(huán)行公路長42km，甲乙兩人的速度分別是21km/h，14km/h.(1)、如果兩人從公路的同一地點同時 反向出發(fā)，那 么經過幾小時后，兩人首次相遇？（2）、如果兩人從公路的同一地點 同時同向出發(fā)

21、，那么經過幾小時后， 兩人首次相遇？注水問題：注水問題：例：一個水池，有甲、乙、丙三個水管，甲、乙是入水管，丙是排水管，單開甲管16分鐘可將水池注滿，單開乙管10分鐘可將水池注滿，單開丙管20分鐘可將全池水放完?，F將甲、乙兩水管打開，4分鐘后關上甲管開丙管，問又經過幾分鐘才能將水池注滿？1、工作效率=1工作時間2、甲工作量+乙工作量+丙工作量=1類型六：教育儲蓄類型六：教育儲蓄一、涉及量二、量之間的關系1、本息和=本金+利息2、利息稅=利息203、利息=本金利率期數4、利息= 本金利率期數（1-20） 1、本金 2、利息 3、本息和 4、利率 （年、月） 5、期數 6、利息稅例：例：為了準備小敏年后上大為了準備小敏年后上大學的