數(shù)字信號處理實驗信號處理中FFT的應用

1、word數(shù)字信號處理實驗報告實驗名稱： 信號處理中FFT的應用學號： 姓名： 評語： 成績： 一、實驗目的1、理解用FFT對周期序列進行頻譜分析時所面臨的問題并掌握其解決方法。2、掌握用時域窗函數(shù)加權處理的技術。3、理解用FFT對非周期信號進行頻譜分析所面臨的問題并掌握其解決方法。二、實驗原理與計算方法、對周期序列進行頻譜分析應注意的問題 k k(a)時域周期整數(shù)倍截斷 (b)時域非周期整數(shù)倍截斷圖 4-1 周期函數(shù)的幅頻曲線對時間序列作FFT時，實際上要作周期延拓如果取長序列的一段進行計算還要先作截斷。周期序列是無限長時間序列，如果截斷區(qū)間剛好就是該序列周期的整數(shù)倍，那么在進行周期延拓后，將

2、復原出原來的周期序列，由此可以較精確地計算出的該周期序列的頻譜。反之，如果截斷區(qū)間并不是該序列周期的整數(shù)倍，那么在進行周期延拓后，就不可能復原出原來的周期序列，由此計算出的頻譜與該周期序列的頻譜存在誤差，而且誤差的大小與截斷區(qū)間的選取直接相關，如圖4-1所示，其中幅度頻譜的量值表示為，以dB(分貝)為單位。這種誤差是由于周期序列與矩形截斷序列相乘在頻域產(chǎn)生二者的頻譜卷積形成的。矩形窗的頻譜是抽樣函數(shù)序列，如圖4-2所示。除了k = 0處主瓣內集中了大局部的能量外，兩旁的較小峰值處的旁瓣也分散了一局部能量，它與周期序列頻譜卷積的結果使原來集中的頻譜展寬，稱為頻率泄漏。 k圖 4-2 矩形窗的頻譜

3、如果對周期的信號作頻譜分析，在進行時域截斷時，完全可以選取其周期的整數(shù)倍裁取，從而可以防止這種頻率泄漏的發(fā)生。不過，通常需要進行頻譜分析的信號是周期未知的信號，或隨機信號，無法判斷它的周期值，為了盡量防止頻率泄漏對結果的影響，在作時間截斷時，就應選取其頻譜的旁瓣較小的截斷函數(shù)，以減輕泄漏問題。2、時域窗函數(shù)的應用作為截斷函數(shù)，矩形窗在作時間截斷時，對所截取區(qū)間內的信號不加以任何影響，而其它的窗函數(shù)都將對所截取區(qū)間內的信號作加權處理。除了在實驗二中已經(jīng)介紹過三角窗、Hanning窗和Hamming窗外，常用的窗函數(shù)還有很多，例如Parzen窗、Kaiser窗、Chebyshev窗、Tukey窗、

4、Poisson窗、Caushy窗、Gaussian窗和Blackman窗等等。本次實驗仍是采用實驗二中的幾種窗函數(shù)，但是利用窗函數(shù)作時域加權截斷。 0 t 0 k(a) 正弦函數(shù)的加權的非周期時域截斷(b)減小了泄漏的頻譜 圖 4-3 采用Hanning窗加權后的時域截斷和頻譜圖 4-3 中給出了采用Hanning窗對正弦函數(shù)作非整周期的時域加權截斷后的波形和頻譜，與圖4-1(b)比擬，泄漏已明顯減少。應該指出，前面所給出的窗函數(shù)都是定義為以0點為中心、寬度為N +1的加權函數(shù)，在這里應用時，需要將其右移，成為區(qū)間內的加權函數(shù)。3、對非周期序列進行頻譜分析應注意的問題混疊一般非周期信號作FFT

5、之前要進行時域采樣和周期延拓(無限長時間信號還應先截斷再延拓)。根據(jù)Fourier變換理論，經(jīng)等周期的沖激采樣后，離散序列的頻譜是原信號頻譜以為周期的周期延拓。按照Nyquist采樣定理，由采樣引起周期延拓后頻譜之間不發(fā)生混疊的條件是：(1)原信號應該是有限帶寬信號，設其頻帶寬度為fm；(2)頻譜的周期，即采樣周期應滿足Nyquist 條件。 0 n 0 N/2 N (a)時域按周期Ts采樣 (b)頻域一個周期內在N/2附近出現(xiàn)混疊 圖 4-4 非周期函數(shù)采樣后的幅頻曲線由于實際上有限長時間信號的FT是頻域的無限函數(shù)，因此采樣所得的離散序列的頻譜必定產(chǎn)生混疊，減小采樣周期只能減小而不能消除混疊

6、。對于時間有限函數(shù)，當采樣周期較大時，也會在FFT得到的頻域出現(xiàn)混疊，形成頻譜失真，造成頻譜分析結果與原信號的實際頻譜的差異，也無法恢復出原信號。當然，實際工作中只要采樣和截斷產(chǎn)生的誤差在許可的范圍內就行了，但應該認識到混疊是引起頻譜分析誤差的一個主要原因。還應該注意的是，離散Fourier變換的頻域也是周期化的，區(qū)間內的樣點實際上是負頻率區(qū)的量值，因此如果出現(xiàn)混疊，就將在一個周期內出現(xiàn)，并發(fā)生在附近的區(qū)域，如圖4-4所示。要減少混疊，就要盡量減小采樣周期。泄漏周期函數(shù)截斷引起的頻率泄漏問題，在非周期函數(shù)截斷處理后同樣存在，這種誤差是由于采樣后的離散序列與矩形截斷序列相乘在頻域造成二者的頻譜卷

7、積形成的。矩形窗的頻譜是抽樣函數(shù)序列，它與離散序列頻譜卷積的結果使原來集中于每一個樣點處的頻譜展寬，其影響在高頻區(qū)(接近N/2的樣點)特別明顯，如圖4-5所示。同樣，為了盡量防止頻率泄漏對結果的影響，在對非周期函數(shù)作時間截斷時，除盡量增加截斷序列的寬度外，也應選取其頻譜的旁瓣較小的截斷函數(shù)，以減輕泄漏問題。 0 n 0 N/2 N (a)時域截斷 (b)頻域一個周期內在N/2附近出現(xiàn)泄漏 圖 4-5 函數(shù)采樣后作截斷的幅頻曲線在選取了適當?shù)拇昂瘮?shù)后，應當使窗函數(shù)的寬度與被處理的序列長度相同，如果作變換前還需要補零例如為了作卷積運算或防止柵欄效應，那么應將原序列與窗函數(shù)相乘后再補零，即補零的樣點

8、不用窗函數(shù)加權處理。柵欄效應非周期信號應具有連續(xù)的頻譜，在對作抽樣后進行DFT，得到的是離散的頻譜。如果排除混疊和泄漏等誤差的影響，所得的結果也只是的連續(xù)頻譜上的個樣值。這就象通過柵欄上的等間距縫隙觀看到的另一邊的景象，故此稱柵欄效應。被柵欄遮住的景象中有可能存在與顯現(xiàn)出的頻譜差異較大的變化，即顯示信號特征的頻譜分量。為了使被柵欄遮住的局部能盡可能地顯現(xiàn)出來，可以采用增加頻域樣點密度的方法，即在不增加信號采樣點的情況下，用時域補零加寬變換尺度N來實現(xiàn)，稱為補零重構。例如原來信號采樣得到12個樣點，在其后面再加上4個零，使序列的總長度為16個樣點。這樣處理的結果原來信號的采樣間隔和頻率都沒有改變

9、，設采樣頻率為，經(jīng)補零重構之后，采樣頻率仍然為，但是原來頻域樣點間寬度為/12，經(jīng)補零重構之后頻域樣點間寬度為/16。這就使補零重構之后頻域樣點密度增加，而且顯示出原來沒有顯露的一些頻率位置的頻譜。三、實驗內容1將余弦函數(shù)cos(2pt)以Ts=1/53 s抽樣，對余弦序列做樣點數(shù)為N=128的FFT，畫出頻譜曲線，觀察并記錄頻率泄漏現(xiàn)象，然后用Hamming窗和三角窗作加權截斷，觀察并記錄泄漏的衰減。實驗代碼：n=0:127;N=128;Ts=1./53;t=n.*Ts;xn=cos(2.*pi.*t);w1=hamming(N);w2=bartlett(N);H=xn.*w1'B=

10、xn.*w2'figure(1);subplot(2,1,1);stem(n,xn,'.');title('xn函數(shù)')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(xn,N),'.');title('xn頻譜曲線')figure(2);subplot(2,1,1);stem(n,H,'.');title('Hamming窗加權')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(H,N),'.');title('Hamming窗加權頻譜曲線'

11、)figure(3);subplot(2,1,1);stem(n,B,'.');title('三角窗加權')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(B,N),'.');title('三角窗加權頻譜曲線')實驗截圖：2將幅度為1，周期為2的方波信號，按Ts=1/37 s的間距抽樣，做樣點數(shù)N=128的FFT，畫出頻譜曲線，然后用Hamming窗和三角窗作加權截斷，觀察并記錄作不同的加權截斷引起的頻譜差異。實驗代碼：n=0:1:127;N=128;Ts=1./37;t=n.*Ts;xn=square(1.*pi.*t,

12、50);w1=hamming(N);w2=bartlett(N);H=xn.*w1'B=xn.*w2'figure(1)subplot(2,1,1);stem(n,xn,'.');title('方波函數(shù)')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(xn,N),'.');title('方波頻譜曲線')figure(2)subplot(2,1,1);stem(n,H,'.');title('Hamming窗加權')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(H,

13、N),'.');title('Hamming窗加權頻譜曲線')figure(3)subplot(2,1,1);stem(n,B,'.');title('三角窗加權')subplot(2,1,2);stem(abs(fft(B,N),'.');title('三角窗加權頻譜曲線')實驗截圖：3將單邊指數(shù)函數(shù)x(t)=e-tu(t)抽樣截斷后作FFT，首先選取不同的抽樣周期Ts=0.05,0.1,0.5 s，并取N = 128，觀察頻譜混疊。然后作不同寬度的截斷，選取矩形窗寬為4，8，32等，并保持N =

14、 128，觀察頻譜泄漏。實驗代碼：n=0:3;N=128;Ts=0.05;t=n.*Ts;xn=exp(-t).*u(t);f=boxcar(4);J=xn.*f'subplot(3,2,1);stem(abs(fft(xn),'.');title('Ts=0.05抽樣函數(shù)')subplot(3,2,2);stem(abs(fft(J,N),'.');title('矩形窗寬4加權頻譜曲線')n=0:7N=128Ts=0.1t=n.*Tsxn=exp(-t).*u(t)f=boxcar(8)J=xn.*f'subpl

15、ot(3,2,3);stem(abs(fft(xn),'.');title('Ts=0.1抽樣函數(shù)')subplot(3,2,4);stem(abs(fft(J,N),'.');title('矩形窗寬8加權頻譜曲線')n=0:31N=128Ts=0.5t=n.*Tsxn=exp(-t).*u(t)f=boxcar(32)J=xn.*f'subplot(3,2,5);stem(abs(fft(xn),'.');title('Ts=0.5抽樣函數(shù)')subplot(3,2,6);stem(abs

16、(fft(J,N),'.');title('矩形窗寬8加權頻譜曲線')實驗截圖：4計算下面三個正弦函數(shù)的組合的頻譜其中頻率f1=6.3，f2=9.7，f3=15.3，令t=nTs，抽樣周期Ts=1/64。分別取N=32,64,128將其截斷后作FFT，觀察和記錄混疊和泄漏形態(tài)。分別采取補零加寬和增加截取時間寬度的方法作出頻譜圖，了解柵欄效應和頻率分辨力的意義。實驗代碼：n=0:31;N=32;Ts=1./64;t=n.*Ts;xn=(sin(2.*pi.*6.3.*t)+sin(2.*pi.*9.7.*t)+sin(2.*pi.*15.3.*t).*u(t);subplot(3,2,1);stem(abs(fft(xn,N),'.');title('N=32截斷');subplot(3,2,2);stem(n,abs(fft(xn),'.');n=0:63;N=64;Ts=1./64;t=n.*Ts;xn=(sin(2.*pi.*6.3.*t)+sin(2.*pi.*9.7.*t)+sin(2.*pi.*15.3.*t).*u(t);subplot(3,2,3);stem(abs(fft(xn,N),'.');title('N=64截斷');sub