復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)——閾值與全局穩(wěn)定性分析

1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)閾值與全局穩(wěn)定性分析閾值與全局穩(wěn)定性分析傅新楚傅新楚上海大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海大學(xué)數(shù)學(xué)系，Based on collaborative works with:Based on collaborative works with:GuanrongGuanrong Chen and Chen and MengMeng Yang Yang隨機(jī)圖與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)隨機(jī)圖與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研討會(huì)2012年年5月月25-28日，華東師范大學(xué)日，華東師范大學(xué)目目 錄錄一一引言引言二二標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)SISSIS模型及免疫策略模型及免疫策略三三復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶媒介的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶媒介的SISSIS

2、模型及其地方病平衡點(diǎn)和模型及其地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性四四復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類修正的帶媒介的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類修正的帶媒介的SISSIS模型及其地方模型及其地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性五五注記注記：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由具有一定特征和功能的、相互關(guān)聯(lián)及相互影響的基本單復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是由具有一定特征和功能的、相互關(guān)聯(lián)及相互影響的基本單元所構(gòu)成的復(fù)雜集合體。在現(xiàn)實(shí)生活中，許多復(fù)雜問(wèn)題都可用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)刻元所構(gòu)成的復(fù)雜集合體。在現(xiàn)實(shí)生活中，許多復(fù)雜問(wèn)題都可用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來(lái)刻畫和建模。例如，流行病的傳播與控制、計(jì)算機(jī)病毒在網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散、謠言畫和建模。例如，流行

3、病的傳播與控制、計(jì)算機(jī)病毒在網(wǎng)絡(luò)中的擴(kuò)散、謠言的流傳、交通疏導(dǎo)等，都可以看作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上服從某種規(guī)律的傳播行為。的流傳、交通疏導(dǎo)等，都可以看作復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上服從某種規(guī)律的傳播行為。目前，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病的傳播與控制已有很多研究成果。在具有齊次目前，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上流行病的傳播與控制已有很多研究成果。在具有齊次性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上，傳染病的流行與否取決于流行病閾值。當(dāng)傳染率大于流性質(zhì)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上，傳染病的流行與否取決于流行病閾值。當(dāng)傳染率大于流行病閾值時(shí)，隨著時(shí)間的推移傳染病會(huì)在總?cè)丝谥姓加幸欢ǖ谋壤?，反之，行病閾值時(shí)，隨著時(shí)間的推移傳染病會(huì)在總?cè)丝谥姓加幸欢ǖ谋壤?，反之，傳染病最終會(huì)消失。而對(duì)于具有非

4、齊次性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，人們一度認(rèn)為，只傳染病最終會(huì)消失。而對(duì)于具有非齊次性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，人們一度認(rèn)為，只要在初始時(shí)刻存在感染者，傳染病會(huì)始終存在；但隨后的研究表明，在一定要在初始時(shí)刻存在感染者，傳染病會(huì)始終存在；但隨后的研究表明，在一定更貼近現(xiàn)實(shí)的條件限制下，對(duì)于非齊次網(wǎng)絡(luò)也存在正的流行病閾值（一般較更貼近現(xiàn)實(shí)的條件限制下，對(duì)于非齊次網(wǎng)絡(luò)也存在正的流行病閾值（一般較?。?。?。?。本報(bào)告首先簡(jiǎn)單介紹研究的背景、進(jìn)展及我們的主要工作；接著介紹標(biāo)準(zhǔn)本報(bào)告首先簡(jiǎn)單介紹研究的背景、進(jìn)展及我們的主要工作；接著介紹標(biāo)準(zhǔn)SIS模型的動(dòng)力學(xué)行為及免疫策略；然后討論非齊次復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介模型的動(dòng)力學(xué)行為及免疫策略

5、；然后討論非齊次復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的的SIS模型及其地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；最后談?wù)劮驱R次模型及其地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性；最后談?wù)劮驱R次復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類修正的帶傳播媒介的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上一類修正的帶傳播媒介的SIS模型，求出該模型的流行病閾值，模型，求出該模型的流行病閾值，并證明當(dāng)感染率大于該閾值時(shí)，只要模型存在初始感染節(jié)點(diǎn)，模型就總存在并證明當(dāng)感染率大于該閾值時(shí)，只要模型存在初始感染節(jié)點(diǎn)，模型就總存在唯一的正不動(dòng)點(diǎn)，從而證明了該模型的傳染過(guò)程的地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡唯一的正不動(dòng)點(diǎn)，從而證明了該模型的傳染過(guò)程的地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。點(diǎn)的全局穩(wěn)定性。近年來(lái)，

6、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動(dòng)力學(xué)研究，已取得近年來(lái)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動(dòng)力學(xué)研究，已取得了豐碩成果了豐碩成果當(dāng)傳染率大于流行病閾值時(shí)，隨著時(shí)間的推移傳染當(dāng)傳染率大于流行病閾值時(shí)，隨著時(shí)間的推移傳染病會(huì)在總?cè)丝谥姓加幸欢ǖ谋壤?；反之，傳染病最病?huì)在總?cè)丝谥姓加幸欢ǖ谋壤?；反之，傳染病最終會(huì)消失終會(huì)消失閾值與全局穩(wěn)定性閾值與全局穩(wěn)定性一、引言一、引言 本報(bào)告擬在我們近期研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，匯報(bào)：本報(bào)告擬在我們近期研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，匯報(bào)：1.1.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的SISSIS模型的地方病和無(wú)病平模型的地方病和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性分析；衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性分析；2.2.一類修正后的帶傳播

7、媒介的一類修正后的帶傳播媒介的SISSIS模型的地方病和無(wú)病模型的地方病和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性問(wèn)題。平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性問(wèn)題。主要工作主要工作二、標(biāo)準(zhǔn)二、標(biāo)準(zhǔn)SISSIS模型及免疫策略模型及免疫策略那么可知：那么可知：根據(jù)平均場(chǎng)理論，可得模型如下：根據(jù)平均場(chǎng)理論，可得模型如下： 其中：其中：1kkSI(t)+(t)( )1( )( )( )kkkdtIktttIIdt1( )( )( )ktkp ktIk易感者（S）感染者（I）傳染概率恢復(fù)概率根據(jù)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性理論，考慮如下平衡：根據(jù)動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性理論，考慮如下平衡： 那么可得：那么可得： 于是可得自洽方程：于是可得自洽方程： 那么當(dāng)且僅當(dāng)：那么

8、當(dāng)且僅當(dāng)： 計(jì)算可得閾值為：計(jì)算可得閾值為：( )0kdtIdt( )1kktIk2( )()1p kkfkk ()1|0dfd2ckk幾類免疫策略幾類免疫策略隨機(jī)免疫隨機(jī)免疫：隨機(jī)免疫就是完全隨機(jī)地選取網(wǎng)絡(luò)中的：隨機(jī)免疫就是完全隨機(jī)地選取網(wǎng)絡(luò)中的一部分節(jié)點(diǎn)機(jī)型免疫，那么可建立下列模型：一部分節(jié)點(diǎn)機(jī)型免疫，那么可建立下列模型： 其中其中: : 表示免疫率，表示免疫率， 易知：易知：01( )(1)1( ) ( )( )kkkdtIktttIIdt2(1)kck1cc目標(biāo)免疫目標(biāo)免疫：選取少量度大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，也就是對(duì)那些與：選取少量度大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，也就是對(duì)那些與周圍聯(lián)系較為緊密的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行

9、免疫。那么可以建立下列模型：周圍聯(lián)系較為緊密的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫。那么可以建立下列模型： 其中：其中： 那么可得：那么可得： 易證得：易證得：( )(1)1( ) ( )( )kkkkdtIktttIIdt1,0 ,kkc kk22ckkkkcc熟人免疫熟人免疫：從網(wǎng)絡(luò)中選取一定比例的節(jié)點(diǎn)，再?gòu)拿總€(gè)被選中：從網(wǎng)絡(luò)中選取一定比例的節(jié)點(diǎn)，再?gòu)拿總€(gè)被選中的節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，可以建立下列模的節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選擇一個(gè)鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，可以建立下列模型：型： 其中，令：其中，令： 易得：易得：( )(1)1( ) ( )( )kkkkdtIktttIIdt( )( )kkp kppNkp kN kk

10、23( )ckpp kkkkcc主動(dòng)免疫主動(dòng)免疫：選擇一定比例的感染節(jié)點(diǎn)，再對(duì)這些節(jié)點(diǎn)的度大于：選擇一定比例的感染節(jié)點(diǎn)，再對(duì)這些節(jié)點(diǎn)的度大于指定值的鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，可建立下列模型：指定值的鄰居節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，可建立下列模型： 其中，令：其中，令： 易得：易得：( )1( ) ( )(1)( )kkkkdtIktttIIdt( )kkkkkp kkk2kckkk2kcckk三、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的三、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上帶傳播媒介的SISSIS模型的全模型的全局穩(wěn)定性分析局穩(wěn)定性分析 非齊次網(wǎng)絡(luò)上帶媒介的非齊次網(wǎng)絡(luò)上帶媒介的SISSIS模型包括三種狀態(tài)：易模型包括三種狀態(tài)：易感者、感染者、傳播媒介。感者

11、、感染者、傳播媒介。根據(jù)平均場(chǎng)理論可得模型如下：根據(jù)平均場(chǎng)理論可得模型如下：12( )( )1( )( )1( ) ( )( )( )1( )( )kkkkdtItkttttIIIdtdttttdt 類似可知其自洽方程為：類似可知其自洽方程為： 易知其閾值為：易知其閾值為：2122221221( )( )1kktkfkkk 122(1)ckk 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性k 0(0) 1 ( )(0) 00(0) 1(t)0( ) 10( ) 10( ) 1.kkkkkp kIIVIttV tI引理一：假設(shè)初始時(shí)刻，度為 的感染者所占的密度滿足且 ，傳播媒介在全體媒介中所占比例滿足

12、，那么對(duì)于任意的t0,模型的解滿足， ， 3120(0)1( )(0)0( ),lim,kkkp kIIkkctIIIIIInt。定理：設(shè)滿足那么當(dāng)時(shí)，有其中是模型的非零不動(dòng)點(diǎn)liminf( ) limsup( )kkkkttluIItt引理命題一命題二inf( )0,inf( )0 inf( )0.0000(0)1( )(0)0,kkckttV tItttkp kII，命題二：若滿足那么當(dāng)時(shí)，有l(wèi)im suplim inf,t,kkkkkluIIttI則命題一：設(shè)模型的解 （ ）滿足1122lim s u p( )111()1221122lim in f( )111()122kkkukktI

13、ktkkkkuukkkkkkklkktIktkkkkllkkkk 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性0(0 )1()(0 )0 ,kpkIIkkc定 理 ： 設(shè) 若滿 足那 么 當(dāng)時(shí) ，無(wú) 病 平 衡 點(diǎn) 全 局 漸 進(jìn) 穩(wěn) 定 。()()(1)0(2)lim() /0,(3)0,(),(4)()0,(5)0=|() =00dyAyHydtnAnnHyDRCDCHyyyTyCyyAHyyGHyy 引 理 ： 對(duì) 于 系 統(tǒng)其 中 ，是矩 陣 ， 且在上 是 連 續(xù) 可 微 的 。 假 設(shè)緊 的 凸 集關(guān) 于 系 統(tǒng) 是 正 不 變 的 ， 且，存 在和的 特 征 向 量， 使 得 對(duì) 于 任

14、 意 的有對(duì) 于 任 意 的 yC,有 ()是 系 統(tǒng) 在yC上 最 大 的 正 不 變 集 ，那 么 可 知是 全 局 漸 0 ,0( ,)lim inf( ,),0000,0 .CyttmmyyytyCyy 進(jìn) 穩(wěn) 定 的 ， 或 者 對(duì) 于 任 意 的系 統(tǒng) 的 解滿 足此 處且 與無(wú) 關(guān) 。此 外 系 統(tǒng) 存 在 一 個(gè) 常 數(shù) 解四、一類修正的帶媒介的四、一類修正的帶媒介的SISSIS模型及其免疫策略模型及其免疫策略及其地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性及其地方病平衡點(diǎn)和無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性根據(jù)平均場(chǎng)理論，可得到模型：根據(jù)平均場(chǎng)理論，可得到模型：可以計(jì)算知其閾值為：可以計(jì)算知其閾

15、值為：12( )( )1( ) ( )1( ) ( )( )( )1( ) ( )kkkkdtItkttttIIIdtdttttdt 1222212(1)()kckkk 地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性k 0(0) 1 ( )(0) 00(0) 1(t)0( ) 10( ) 10( ) 10( ) 1.kkkkkp kIIVItttV tI引理一：假設(shè)初始時(shí)刻，度為 的感染者所占的密度滿足且 ，傳播媒介在全體媒介中所占比例滿足，那么對(duì)于任意的t 0,模型的解滿足， ， ， 3120(0)1( )(0)00(0)1( ),lim,kkckknkp kIIVtIII IIIt。定理：假設(shè)在

16、初始時(shí)刻，度為k的感染者所占比例滿足且傳播媒介在全體媒介中所占的比例滿足,那么當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)的解有其中是模型的非零不動(dòng)點(diǎn)inf( )0,inf( )0 inf( )0,inf( )0.00000(0)1( )(0)0,kkckttV ttIttttkp kII，命題二：若滿足那么當(dāng)時(shí)，有l(wèi)imsupliminf,0,0t,kkkkkkkluIIttluI且，那么命題一：設(shè)模型的解 （ ）滿足111 22lim sup( )11121 22111 22lim inf( )11121 22kkkkuuukkkkktIktkkkkuuuukkkkkkkkkklllkkkkktIktkkkkllllkkkkkk 無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性0(0)1( )(0) 0