泛函分析1H-文檔資料

1、1泛函分析 大家以前多學(xué)過一些數(shù)學(xué)方面的課程，比如分析方面的數(shù)學(xué)分析、實(shí)（復(fù)）變函數(shù)等等，都是歸并于經(jīng)典分析，其思想是：如果某個(gè)量難以被直接了解，那就將它放到某個(gè)變化過程中去考慮，后通過對(duì)該過程的考察以獲取所求量的信息，產(chǎn)生了變量、函數(shù)、極限、連續(xù)、微分和積分等基本概念。類似的，如果對(duì)某個(gè)變量（如函數(shù)）本身難以被直接了解，那能否轉(zhuǎn)而研究一族變動(dòng)的變量（如函數(shù)空間），然后通過施以變量一定的運(yùn)算和極限，獲得有關(guān)原變量的知識(shí)?參考書：應(yīng)用泛函分析，薛小平（哈工大）、胡適耕（華中科技大）、程曹宗（北京工大） 以上學(xué)校圖書館都有，當(dāng)然還有外文的，不列舉了泛函分析導(dǎo)論及應(yīng)用 加歐文克雷斯齊格 2345泛函

2、分析 泛函分析是研究拓?fù)渚€性空間到拓?fù)渚€性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù)條件的映射的數(shù)學(xué)分支，用的統(tǒng)一的觀點(diǎn)把古典分析的基本概念和方法一般化，運(yùn)用代數(shù)學(xué)、幾何學(xué)等學(xué)科的觀點(diǎn)和方法研究分析學(xué)的課題，可以看作無限維的分析學(xué)。 今天，它的觀點(diǎn)和方法已經(jīng)滲入到不少工程技術(shù)的學(xué)科中，起著重要的作用，已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。 泛函分析的最基本的內(nèi)容：三個(gè)空間，四個(gè)定理6第一章 預(yù)備知識(shí) 1.集合 所謂集合，是指具有某種特定性質(zhì)事物的全體，構(gòu)成集合的“事物”稱為集合的元素。 集合的表示方法：1.列舉法；2.描述法。 相關(guān)的概念和符號(hào)：集合相等，子集，真子集，有限集，空集，無窮集合；數(shù)集的常用符號(hào)NQZRC。

3、注：對(duì)于給定的集合A，一元素a是否屬于A是確定的。72.集合的運(yùn)算 集合的交 、并、 差（A-B）、取余（A是B的子集，B-A）。 集合的運(yùn)算性質(zhì)：有限交（并）滿足結(jié)合律，交換律和分配律；任意交（并）滿足對(duì)偶原理 集合的笛卡爾積 集合列的上下極限83.映射 定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，若存在由A到B的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，滿足對(duì)A中任意一元素x，都有B中唯一元素y（=f(x)）與之對(duì)應(yīng)。 映射的分類：單的，滿的，雙射，逆映射、恒定映射 注：1.當(dāng)B是數(shù)集時(shí)，映射f稱為泛函；A、B都是數(shù)集時(shí)，映射f稱為函數(shù)。 2. 即使逆映射不存在，也可以進(jìn)行取原像運(yùn)算. 3. 在A、B引入拓?fù)湟院螅涂梢远x映射

4、的 連續(xù)的概念（開集的原像是開集）94.集合的基數(shù) 主要應(yīng)用于無限集合的分類：可數(shù)集和不可數(shù)集。 集合AB對(duì)等（AB）：存在由A到B的雙射f 對(duì)等關(guān)系是個(gè)等價(jià)關(guān)系（滿足自反性、對(duì)稱性和傳遞性）；證明常用Bernstein定理。 與自然數(shù)集對(duì)等的集合稱為可數(shù)集或可列集，有限集和可數(shù)集統(tǒng)稱至多可數(shù)集，其余的集合稱為不可數(shù)集，例如閉區(qū)間0,1。 可數(shù)基數(shù)a，連續(xù)基數(shù)c。10 主要結(jié)論：1.可數(shù)集的子集至多可數(shù)； 2.有限或可數(shù)多個(gè)可數(shù)集合的并是可數(shù)集； 3.有限個(gè)可數(shù)集的直積是可數(shù)集； 4. 無限集必于它的某真子集對(duì)等，含可數(shù)子集；可數(shù)集的例子：整數(shù)集，有理數(shù)集，n維歐式空間中的有理點(diǎn)集。實(shí)數(shù)的基本

5、定理：確界存在原理、單調(diào)有界原理、閉區(qū)間套引理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理等等都當(dāng)成已知115. Lebesgue積分 N-L積分的可積的函數(shù)類不夠廣泛，積分運(yùn)算很不靈活，1902年，法國的Lebesgue引入新積分（另一方法分劃求和取極限）。 相關(guān)概念：L-測(cè)度，可測(cè)集合（函數(shù)） 相關(guān)結(jié)果：Lusin定理、Egoroff定理、Fubini定理、Riesz定理等等。 L-積分與R-積分的關(guān)系。 函數(shù)列的收斂：逐點(diǎn)、一致、以測(cè)度。 更詳細(xì)的知識(shí)大家可以查閱有關(guān)實(shí)變函數(shù)的參考書。1213選擇公理 泛函分析的研究必須首先承認(rèn)一些事情 選擇公理：設(shè)C為一個(gè)由非空集合所組成的集合,那么，我們可以從每一個(gè)在C

6、中的集合中，都選擇一個(gè)元素和其所在的集合配成有序?qū)斫M成一個(gè)新的集合。 Zorn引理：設(shè)（P,）是偏序集，若P的每一個(gè)全序子集在P中都有上界，則P必有極大元 良序原理：所有集合能被良序化。換句話說，對(duì)每一個(gè)集合來說，都存在一種排序方法，使得它的所有子集都有極小元素 Zorn引理是集論的一個(gè)重要工具，與選擇公理，良序原理都是彼此等價(jià)的,主要應(yīng)用于數(shù)學(xué)上存在性定理的證明，而不具體描述尋求的方法。 14第一章 距離空間 1.1 距離空間的定義和例子 1.2 距離空間的拓?fù)?1.3 距離空間的稠密性 1.4 距離空間的可分性 1.5 距離空間的完備性 1.6距離空間的緊性 1.7 不動(dòng)點(diǎn)定理及其應(yīng)用1

7、51617181920212223常用的幾個(gè)公式 赫爾德不等式：p,q1,1/p+1/q=1,則 等號(hào)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們線性相關(guān)1111111() () ,0| ( ) ( )|(| ( )|) (| ( )|)pqpqiiiiiiiiipqpqEEEababa bx t y tdtx tdty tdt級(jí)數(shù)形式：積分形式：24常用的幾個(gè)公式 Minkowski不等式：設(shè)p不小于1,則 等號(hào)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們線性相關(guān)111111111() )(| )(| )(| ( )( )|)(| ( )|)(| ( )|)ppppppiiiiiiippppppEEEababx ty tdtx tdty tdt級(jí)

8、數(shù)形式：積分形式：25例子 以出租車距離定義的平面距離空間; 序列空間 函數(shù)空間Ca,b; 離散距離空間; R上函數(shù)|x-y|2；|x-y|1/2是距離嗎？ Hamming距離：X為所有0和1構(gòu)成的三元序組所構(gòu)成的集合（總數(shù)為8）,元素x，y的距離是x，y中不同的對(duì)應(yīng)分量的個(gè)數(shù)。 在開關(guān)和自動(dòng)化理論以及編碼理論中都有重要的應(yīng)用。,1pllp26 距離空間的拓?fù)?空間引入距離，才有了空間上映射的連續(xù)性概念（開集的原像是開集） 稱X的子集B(x,r)=y;p(x,y)1）在上面定義的距離意義下都是完備的、可分的 不可分距離空間，例如有界序列空間 （利用0，1中點(diǎn)是不可數(shù)多個(gè)） Ca,b按L1距離就

9、不是完備的,它的完備化空間是L1（存在連續(xù)函數(shù)序列，L1收斂到不連續(xù)的可積函數(shù)） 有理數(shù)點(diǎn)構(gòu)成的距離空間也不完備l35距離空間的完備化 我們知道有理直線Q是不完備的，但可以擴(kuò)展為完備的實(shí)直線R。 空間不完備時(shí)，考慮問題就要特別小心，將不完備空間完備化是個(gè)有意義的工作處理方程解的存在性問題時(shí)，在不完備的距離空間中解方程，即使近似解的序列是基本列，也不能保證該序列有極限，從而不能保證方程在該空間內(nèi)有解。 我們還希望完備化后得到的空間能是唯一的最好，相差不多也好。 等距映射、距離空間X，Y是等距的 等距映射一定是同胚的；等距的距離空間，由距離導(dǎo)出的性質(zhì)全一樣，故當(dāng)僅限于考慮與距離有關(guān)的性質(zhì)時(shí)，彼此可

10、以不加區(qū)分。363738距離空間的緊性 設(shè)A的距離空間X的子集，稱A是緊的，如果A的任意一個(gè)開覆蓋都存在有限子覆蓋（如果A中任意一個(gè)序列都存在一個(gè)子列收斂于A中某點(diǎn)）；稱A是列緊的，如果A中任意一個(gè)序列都存在一個(gè)子列收斂于X中某點(diǎn)。 若空間X本身是緊（列緊）集，則稱X是緊（列緊）空間。 例：實(shí)直線R是完備的距離空間，但不是緊的，也不是列緊的；R中任意有界閉集M按R的距離是緊空間，有界開集N是列緊的。 在歐式空間中，有界性和列緊性是一致的。39距離空間的緊性 直接從定義判定一個(gè)集合的緊性比較困難。 稱距離空間X的子集A是全有界的，對(duì)任意r0，都有A中有限個(gè)點(diǎn)，滿足以其為心，r為半徑的開球的并覆蓋

11、了A。 相關(guān)結(jié)論：1.全有界集是有界的，可分的； 2.列緊集是全有界的；（反證法） 3.若X是完備距離空間，列緊等價(jià)于全有界。 Ca,b的子集A是列緊的充要條件是A是一致有界且等度連續(xù)的。40距離空間的緊性 設(shè)X是距離空間，則下述結(jié)論成立 1. X是緊的當(dāng)且僅當(dāng)X是列緊的 2. 緊空間X的閉子集M是緊的。 3. X的列緊的子集是有界集。 緊集的連續(xù)象是緊集 緊集上的連續(xù)函數(shù)是一致連續(xù)的，能取到最大值和最小值。 空間X是有限維的當(dāng)且僅當(dāng)X的閉單位球是緊集。 非緊的空間，可以通過一點(diǎn)緊致化，進(jìn)而利用緊空間的性質(zhì)來研究41小結(jié) 我們討論距離空間的基本性質(zhì) 距離空間就是賦予距離的集合，是三維立體空間概

12、念的推廣，二者既有相同又不完全相同。 研究的空間的目的，在于把由實(shí)際問題歸納出來的某些集合抽象為具有某種屬性的空間，從而利用數(shù)學(xué)上已有的結(jié)論去分析他們的性質(zhì)。 如：關(guān)于點(diǎn)的收斂性就與自控控制系統(tǒng)的輸入輸出穩(wěn)定性、控制算法的收斂性等密切相關(guān)。 下面我們介紹的這個(gè)結(jié)論，不僅在數(shù)學(xué)上，在其它的學(xué)科也能看到廣泛的應(yīng)用。424300*xCauchyx*,(,)(,)(,)0Banach1.nnnTXTx xTx TxTx xTT定理證明：隨便給定一點(diǎn) ，壓縮算子 逐次作用，得到了一個(gè)列，由空間 的完備性，極限點(diǎn)存在且唯一 不動(dòng)點(diǎn)就得到了.。該定理（壓縮映射原理）就是某一類映射的不動(dòng)點(diǎn)存在性和唯一性的問題

13、，不動(dòng)點(diǎn)可以通過迭代序列求出。實(shí)際應(yīng)用中 未必是，是壓縮時(shí)，命題仍然成立。注： 該原理是求解代數(shù)方程、微分方程但、積分方002.x0( *,)(,)1nnaxxTx xa程、以及數(shù)值分析迭代算法的收斂性的理論依據(jù)，是數(shù)學(xué)和工程計(jì)算中最經(jīng)常使用的方法之一。迭代序列中可以任意取，可以對(duì)近似不動(dòng)點(diǎn)給予誤差估計(jì)44動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)狀態(tài)軌線的存在性和唯一性 控制論中，確定性動(dòng)態(tài)控制系統(tǒng)可以用如下常微分方程來描述 x(t)表示時(shí)間段T上系統(tǒng)的狀態(tài)軌線（函數(shù)），是n維的向量函數(shù)，u(t)是控制輸入函數(shù)，都視為距離空間中的點(diǎn)。 上式等價(jià)于如下形式的積分方程：00( ), ( )( , ( ), ( ),T ,.f

14、x tx x tF t x t u ttt t0( )( , ( ), ( ),T.ttx txFxudt45 定理：對(duì)由上式所描述的系統(tǒng)，假設(shè)T是有界區(qū)間， 是連續(xù)的，即 注：只要常微分方程滿足定理?xiàng)l件，就可以利用數(shù)值積分和迭代算法來求方程的近似解（Picard逐次逼近法）:F TXUX映射121211|( ,( ), ( )( ,( ), ( )|( )|( )( )|( )0,( ),( )XXF t x t u tF t x t u tM ux tx tM ux tx tX其中0(1)( )0( )( ,( ), ( ),( ),T, nN.tnntxtxFxudx txt 46定理定

15、理3（Picard）設(shè) 是矩形 上的二元連續(xù)函數(shù)，設(shè) ，又 在D上關(guān)于x滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)K，使對(duì)任意的 ，有 ，那么方程 在區(qū)間 上有唯一的滿足初值條件 的連續(xù)函數(shù)解，其中 min . 壓縮映射原理不僅證明了方程 解的存在性和唯一性，而且也提供了求解的方法逐次逼近法，即只要任取 ，令 ，則解 。如果在（3）中，令 ，則有 （4）（4）式給出了用逼近解x的誤差估計(jì)式。,f t x00=,Dt xtta xxb,f t xMt xD,f t x , ,t xt vD,f t xf t vK xv,dxf t xdt00=,Jtt 00 x tx1,baMK Txx0 xX0n

16、nxT xlimnnxxn 01,1mmd xxd x x47以及隱函數(shù)存在定理48 例：線性代數(shù)Ax=b均可寫成x=Cx+D，如果矩陣C滿足條件|C|1,則該方程有唯一解，且可以由迭代求得 練習(xí)：利用壓縮映像原理證明方程x=a sinx只有唯一解x=0，其 中0a1。 隱函數(shù)定理：設(shè)函數(shù) f(x,y)在帶狀區(qū)域D中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)。如果存在常數(shù)mM,滿足 則方程f(x,y)=0在區(qū)間a,b上必有唯一的連續(xù)函數(shù)y=g(x)作為解。其中0( , ).ymfx yMD( , ):,.x yaxby 49 121211221 , ,1()( )( )( , ( ), , .( , )( ) , , , ,11|()( )()( )| |( )( ,( )( )( ,( )|( )C a bTTxxf x