八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假專題5勾股定理華東師大版

1、1 / 10初二數(shù)學(xué)初二數(shù)學(xué)寒假專題寒假專題勾股定理勾股定理華東師大版華東師大版【本講教育信息本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：寒假專題勾股定理1. 勾股定理及其逆定理的概念；2. 勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用；3. 解有關(guān)勾股定理的題型時(shí)常用的輔助線和數(shù)學(xué)思想方法.二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)： 勾股定理及其逆定理的概念; 勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用. 2. 難點(diǎn)：勾股定理與勾股定理逆定理的了解與區(qū)別;解有關(guān)勾股定理題時(shí)常用的輔助線和數(shù)學(xué)思想方法.三. 知識(shí)梳理： 1. 勾股定理及其逆定理的概念 勾股定理的內(nèi)容：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.例如：如圖所示，在等腰ABC

2、中，若 ABAC13，BC10，求底邊上的高. A B H C 如圖所示，在ABC 中，ACB90，AC4，CB3，求斜邊 AB 上的高. C A H B 解：解：作 AHBCABAC13，AHBC12513AH5HCBH22AC4，BC3543AB225HC34512HC 勾股定理逆定理的內(nèi)容：如果三角形一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形，這條邊所對(duì)的角是直角.2 / 10例如：如圖所示，在ABC 中，三條邊之比為 9：12：15，那么此三角形為何三角形？如圖所示，在ABC 中，若22a4c ，22a3b ，那么此三角形為何三角形？解：解：15:12:9c:b:a

3、設(shè)，k12bk9a k15c 2222)k12()k9(ba222k225ck225，222cba此三角形是 Rt.證：2222a3ba4c，222cba此三角形是 Rt.注：勾股定理與勾股定理逆定理的了解與區(qū)別：區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是直角三角形的判定定理;了解：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān).2. 勾股定理的證明方法介紹勾股定理曾引起很多人的興趣，幾千年來，人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了 400 多種勾股定理的證明方法，其中包括大畫家達(dá)芬奇和美國(guó)總統(tǒng)詹姆士阿加菲爾 德.以下我們擷取幾個(gè)優(yōu)美而巧妙的證法供同學(xué)們欣賞.（1）趙爽的拼圖法）趙爽的拼圖法我國(guó)古

4、代著名數(shù)學(xué)家趙爽在勾股圓方圖一書中運(yùn)用四個(gè)相同的直角三角形組成一個(gè)正方形，從面積的角度證明了勾股定理，其方法簡(jiǎn)捷、優(yōu)美.如圖，在邊長(zhǎng)為c的正方形中，有四個(gè)斜邊為c的全等的直角三角形，已知它們的直角邊為a、b利用這個(gè)圖，即可證明勾股定理.理由如下：因?yàn)檎叫芜呴L(zhǎng)為c，所以正方形的面積為2c.又因?yàn)檎叫蔚拿娣e22214()2ababab，所以有222abc.（2）旋轉(zhuǎn)面積法）旋轉(zhuǎn)面積法3 / 10如圖，設(shè)矩形 ABCD 為火柴盒側(cè)面，將這個(gè)火柴盒推倒至 ABCD 的位置，D 點(diǎn)不動(dòng).若設(shè) ABa，BCb，DBc，則梯形A B BC的面積211()()()22ab abab，又因?yàn)槠涿娣e還等于三個(gè)

5、三角形面積的和，即為： 2111222A B DDB BBCDSSSabcab.所以有：21()2ab2111222abcab.化簡(jiǎn)為：22222ababcab，即222abc.（3）美國(guó)第）美國(guó)第 20 任總統(tǒng)的拼圖面積法任總統(tǒng)的拼圖面積法加菲爾德的證法的關(guān)鍵是用兩個(gè)相同的直角三角形，組成直角梯形，使兩斜邊之間的夾角為 90.如圖所示，將兩個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形，設(shè)ACBEb，BCDEa，ABDBc.因?yàn)?22111()()()(2)222ACEDSab abababab梯形，21()2ABCDBEABDSSScabab.即221(2)2abab21()2cabab即222

6、abc.3. 有關(guān)勾股定理題時(shí)常用的輔助線和數(shù)學(xué)思想方法 解有關(guān)勾股定理的題型時(shí)常作垂線構(gòu)成直角三角形. 解有關(guān)勾股定理的題型時(shí)常用方程思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想.4. 勾股定理及其逆定理的應(yīng)用勾股定理及其逆定理在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，我們要能善于從實(shí)際生活背景中抽象出直角三角形，再運(yùn)用勾股定理及其逆定理解答相關(guān)的問題.【典型例題典型例題】例例 1. 若直角三角形兩直角邊的比是 3：4，斜邊長(zhǎng)是 20，求此直角三角形的面積.分析：分析：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解. 解：解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 3x，4x，根據(jù)題意得：4

7、 / 10（3x）2（4x）2202化簡(jiǎn)得 x216；直角三角形的面積213x4x6x296例例 2. 如圖，在長(zhǎng)方形 ABCD 中，DC5cm，在 DC 上存在一點(diǎn) E，沿直線 AE 把AED 折疊，使點(diǎn) D 恰好落在 BC 邊上，設(shè)此點(diǎn)為 F，若 ABF 的面積為 30cm2，那么折疊的 AED 的面積為_.分析：分析： 注意折疊后相等的角與相等的線段的轉(zhuǎn)化，通過設(shè)未知數(shù)列方程求解.解：解：由已知條件可得 BF12，則在 RtABF 中，AB5，BF12 根據(jù)勾股定理可知AF13，再由折疊的性質(zhì)可知 ADAF13，所以 FC1，可設(shè) DEEFx，則EC5x，則在 RtEFC 中，可得方程：

8、12(5x)2x2.解這個(gè)方程，得 x135.所以SAED121351316.9(cm2).例例 3. 直角三角形周長(zhǎng)為 12cm，斜邊長(zhǎng)為 5cm，求直角三角形的面積.分析：分析：兩條直角邊長(zhǎng)不能直接求出，要求直角三角形的面積，只要求出兩直角邊長(zhǎng)的積即可.解：解：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 x，y，根據(jù)題意得：)2(5) 1 (125222yxyx由（1）得：xy7，（xy）249，x22xyy249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面積是21xy21126（cm2）例例 4. 等邊三角形的邊長(zhǎng)為 2，求它的面積.分析：分析：要求等邊三角形的面積，已知邊長(zhǎng)，只需求出任意一邊上的

9、高.解：解：如圖，等邊ABC，作 ADBC 于 D則：BD21BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）5 / 10ABACBC2（等邊三角形各邊都相等）BD1在直角三角形 ABD 中 AB2AD2BD2，即：AD2AB2BD2413AD3SABC21BCAD3注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為 a，則其面積為43a2.例例 5. 飛機(jī)在空中水平飛行，某一時(shí)刻剛好飛到小明頭頂正上方 4000 米處，過了 20 秒，飛機(jī)距離小明頭頂 5000 米，問：飛機(jī)飛行了多少千米？分析：分析：根據(jù)題意，可以先畫出符合題意的圖形，如圖，圖中ABC中的C90，AC4000 米，AB5000 米

10、，要求出飛機(jī)這時(shí)飛行多少千米，就要知道飛機(jī)在 20 秒時(shí)間里飛行的路程，也就是圖中的 BC 長(zhǎng)，在這個(gè)問題中，斜邊和一直角邊是已知的，這樣，我們可以根據(jù)勾股定理來計(jì)算出 BC 的長(zhǎng)解：解： 根據(jù)題意可得示意圖：(如圖)在ABC中的C90，AC4000 米，AB5000 米，根據(jù)勾股定理可得：BC22ABAC22500040003000(千米）所以：飛機(jī)飛行了 3000 千米.例例 6. 以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（ ）A、8，15，17B、4，5，6 C、5，8，10D、8，39，40分析：分析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用 c2a2b2的變形：b2

11、c2a2（ca） （ca）來判斷.例如：對(duì)于選擇項(xiàng) D，82（4039）（4039） ，以 8，39，40 為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形.解：解： 因?yàn)?17282152，所答案為：A.例例 7. 如圖所示的一塊地，AD12m，CD9m，ADC90，AB39m，BC36m，求這塊地的面積 分析：分析： 在求面積時(shí)一般要把不規(guī)則圖形分割為規(guī)則圖形，若連接 BD，則無法求出由于題中含有直角ADC，故可考慮連結(jié) AC，應(yīng)用勾股定理解：解：連結(jié) AC，6 / 10在 RtADC 中，AC2CD2AD292122225，所以 AC15m 在 RtABC 中，AB21521，AC2BC21523621521，

12、 所以AB2AC2BC2，所以ACB90所以 SABCSACD12ACBC12ADCD1215361212927054216（m2） 答：這塊地的面積是 216m2例例 8. 如圖，圓柱的軸截面 ABCD 是邊長(zhǎng)為 4 的正方形，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到 BC 的中點(diǎn) S 的最短路徑長(zhǎng)為 ( )A. 221 B. 2214 C. 421 D. 224 分析：分析：在運(yùn)用勾股定理解決有關(guān)問題時(shí)，常常需要將一些線段通過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等運(yùn)動(dòng)變化從而轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中.化歸思想即轉(zhuǎn)化思想，它是我們初中階段數(shù)學(xué)解題方法的靈魂，是指當(dāng)有些問題如果直接解決則難以入手，于是換一個(gè)角

13、度來考慮，從而使問題清晰明朗.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解題常用的策略有：化復(fù)雜為簡(jiǎn)單;化陌生為熟悉;換一種方式來表達(dá)等等.解：解：求幾何體的表面的最短距離，可了解我們學(xué)過的圓柱體的側(cè)面展開圖，化“曲面”為“平面” ，再尋找解題的途徑.如右圖，可得展開圖中的 AB 長(zhǎng)為 2，BS 為 2，根據(jù)勾股定理，在 RtABS 中，得 AS221所以，動(dòng)點(diǎn) P 從 A 點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到 BC 的中點(diǎn) S 的最短路徑長(zhǎng)為 221.故選 A.例例 9. 在銳角ABC 中，已知其兩邊 a1，b3，求第三邊的變化范圍.分析：分析：顯然第三邊 bacba，但這只是能保證三條邊能組成一個(gè)三角形，卻不能保證它一定是一

14、個(gè)銳角三角形，為此，先求ABC 為直角三角形時(shí)第三邊的值.7 / 10解：解：設(shè)第三邊為 c，并設(shè)ABC 是直角三角形(1)當(dāng)?shù)谌吺切边厱r(shí)，c2b2a2，c10(2)當(dāng)?shù)谌叢皇切边厱r(shí)，則斜邊一定是 b，b2a2c2，c22（即8）ABC 為銳角三角形所以點(diǎn) A 應(yīng)當(dāng)繞著點(diǎn) B 旋轉(zhuǎn)，使ABC 成為銳角（如圖） ，但當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn) A位置時(shí)ACB 成為直角.故點(diǎn) A 應(yīng)當(dāng)在 A 和 A間移動(dòng)，此時(shí) 22AC10注：此題易忽視或中一種情況，因?yàn)榧僭O(shè)中并沒有明確第三邊是否直角邊，所以有兩種情況要考慮.例例 10. 四邊形 ABCD 中，B90，AB3，BC4，CD12，AD13，求四邊形ABCD 的

15、面積.分析：分析：先根據(jù)勾股定理求出 AC 的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理得到 ADC 是直角三角形，將四邊形 ABCD 分成兩個(gè)直角三角形.本題是一個(gè)典型的勾股定理及其逆定理的應(yīng)用題.解：解：連結(jié) ACB90，AB3，BC4AC2AB2BC225（勾股定理）AC5AC2CD2169，AD2169AC2CD2AD2ACD90（勾股定理逆定理）S四邊形 ABCDSABCSACD21ABBC21ACCD36例例 11. 若x、y為正實(shí)數(shù)，且4xy，則2214xy 的最小值是多少?試求之.解析：解析：此題是競(jìng)賽題，不知從何下手，若仔細(xì)觀察分析，從 x21 和 y24 入手，結(jié)8 / 10合勾股定理的形式

16、可為我們提供解題的思路.可以看出，21x 、24y 分別是以x、1，y、2 為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，這時(shí)，上述問題就變成了求兩條線段之和的最值問題.構(gòu)造如圖所示的圖形：線段 AB4，P 為 AB 上任意一點(diǎn).設(shè)PAx，PBy.CAAB 于 A，DBAB 于 B，且 CA1，BD2，則 PCPD2214xy .要求2214xy 的最小值就是求 PCPD 最小，很明顯，當(dāng)點(diǎn)P、C、D 在同一直線上時(shí)，PCPD 的最小值.再過 C 作 CEDB 交 DB 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E，構(gòu)造 RtDCE，在 RtDCE 中，CEAB4，ED123，所以 PCPDDC22345.所以2214xy 的最小值是

17、5.例例 12. (2006 年山西中考題)如圖，分別以直角 ABC 的三邊 AB，BC，CA 為直徑向外作半圓.設(shè)直線 AB 左邊陰影部分的面積為 S1，右邊陰影部分的面積和為 S2，則（ ）A. S1S2B. S1S2C. S1S2D. 無法確定分析：分析：將陰影部分的面積表示出來，再觀察所列代數(shù)式與直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系可得答案.解：解：直線 AB 左邊陰影部分的面積為： 2()22AB218AB，直線 AB 右邊陰影部分的面積為： 22()()2222ACBC221()8ACBC.ABC 是直角三角形，根據(jù)勾股定理有：222ABACBC.故選 A.【模擬試題模擬試題】 （答題時(shí)間：40

18、 分鐘）一、填空題：一、填空題： 1. 設(shè)直角三角形的三條邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這個(gè)直角三角形的面積是_. 2. 如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn) C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了 520m，則該河流的寬度為_m. 9 / 10二、選擇題：二、選擇題：3. 直角三角形的兩直角邊分別為 5cm，12cm，其中斜邊上的高為（ ）.A. 6cm B. 8.5cm C. 3013cm D. 6013cm4. 有四個(gè)三角形： ABC 的三邊之比為 3：4：5； ABC的三邊之比為 5：12：13； ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為 1：2：3； CDE 的三個(gè)內(nèi)角之比為 1：1：2. 其中是直角三角形的有（ ）. A. B. C. D. 三、解答題：三、解答題：5. 在ABC 中，AC21cm，BC28cm，AB35cm，求ABC 的面積.6. 如圖，ABC 的三邊分別為 AC5，BC12，AB13，將ABC 沿 AD 折疊，使AC落在 AB 上，求 DC 的長(zhǎng).7. 如圖，一只鴨子要從邊長(zhǎng)分別為 16m 和 6m 的長(zhǎng)方形水池一角 M游到水池另一邊中點(diǎn) N，那么這只鴨子游的最短路程應(yīng)為多少米？8. 如圖，鐵路上 A、B 兩點(diǎn)相距 25km，C、D 為兩村莊，DA垂直 AB 于 A，CB 垂直AB 于 B，已知 AD15km，BC10km，