傳染病模型建模

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)對傳染病的傳播的研究摘 要 本文以常見傳染病的傳播為研究方向，并結(jié)合微分方程的知識建立傳染病的傳播與控制模型。在模型的基礎(chǔ)上，運用MATLAB軟件擬合出患者人數(shù)與時間的關(guān)系曲線，從而能夠從圖中直觀地對該病的傳播作出分析并提出應(yīng)對措施。 在問題一，我們把該地區(qū)人群分為五類：患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人。在對該傳染病擴散與傳播的控制模型的建立中，我們將疑似患者看作是潛伏期患者，主要考慮各項人數(shù)的增減情況，通過單位時間內(nèi)正常人數(shù)的變化、單位時間內(nèi)潛伏期患者人數(shù)的變化、單位時間內(nèi)確診患者人數(shù)的變化、單位時間內(nèi)非參與者人數(shù)的變化聯(lián)系建立微分方程模型。

2、在問題二、三中，利用所建立的微分方程模型代入給出的數(shù)據(jù)，從而用MATLAB擬合出各項人數(shù)隨時間的變化曲線，分析所得圖形及其合理性，得到有關(guān)該傳染病的信息。 在問題四中，根據(jù)以上所建立的模型，提出相應(yīng)的應(yīng)對措施：一旦發(fā)現(xiàn)患病情況就及時去醫(yī)院就診；加大隔離措施強度；個人應(yīng)養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣，勤洗手，多通風(fēng)，減少與病菌的接觸可能，適當(dāng)鍛煉來防止被傳染。關(guān)鍵詞：傳染病 微分方程模型 MATLAB 曲線擬合 應(yīng)對措施目錄一、問題重述1.1. 相關(guān)情況2013年，某種傳染病的出現(xiàn)成為熱點，尤其是其高致死率，引起了人們的恐慌，最近又有研究顯示，這種傳染病有變異的可能現(xiàn)在假設(shè)有一種未知的病毒潛伏期為-天，患病

3、者的治愈時間為天，假設(shè)該病毒可以通過人與人之間的直接接觸，患者每天接觸的人數(shù)為，因接觸被感染的概率為 (為感染率) 為了控制疾病的傳播與擴散，將人群分成五類，患者、疑似患者、治愈者、死亡者、正常人潛伏期內(nèi)的患者被隔離的比例為（為潛伏期內(nèi)患者被隔離的百分數(shù)）。1.2. 問題的提出問題一：在合理的假設(shè)下建立該病毒擴散與傳播的控制模型。問題二：利用你所建立的模型對如下數(shù)據(jù)進行模擬： , 初始發(fā)病人數(shù)100，疑似患者210，患者2天后入院，疑似患者2天后被隔離由上面的數(shù)據(jù)請給出患者人數(shù)隨時間變化的曲線，并分析所給結(jié)果的合理性。問題三：隔離強度由30%提高到80%，患者人數(shù)將有何變化。問題四：請據(jù)此模型

4、，給出控制此傳染病傳播的建議。二、模型假設(shè)1、 在該傳染病的考察期內(nèi)，該考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)為常數(shù)，不考慮人口流動。2、 將病毒的所有傳播途徑都視為與病原體的直接接觸造成。3、 忽略該考察時間內(nèi)人口的自然死亡率和出生率。4、 被隔離的人群完全斷絕與外界的接觸，因此不具有傳染性。5、 被治愈者獲得抗體，不考慮其二次傳染患病。6、 將治愈者和死亡者定義為非參與者，即退出研究的傳染病傳播體系。7、 疑似患者即為潛伏期的患者，是被有效接觸后具有傳染性且傳染概率也為，經(jīng)過隔離治療可轉(zhuǎn)為治愈者（非參與者），治愈時間為天。8、 潛伏期患者和確診患者接觸傳染的均為易感病正常人，且均將其傳染為潛伏期患者。三、符號的

5、約定和說明：確診患者：潛伏期患者（即疑似患者)：非參與者（痊愈和死亡的患者)：普通易感的正常人：潛伏期患者和確診患者的傳染概率：傳染性病毒的潛伏期：潛伏期患者和確診患者被治愈的時間：該地區(qū)總?cè)藬?shù)：該人群的人均每天接觸人數(shù)：潛伏期內(nèi)患者被隔離的百分數(shù)四、對問題一的解答4.1. 問題分析根據(jù)人口守恒的前提，排除人口出生率、自然死亡率以及人口的流動，使該考察地區(qū)的總?cè)丝诒３植蛔?，所以將該地區(qū)分為：確診患者：潛伏期患者（被病毒有效接觸后有傳染性的人)：非參與者（痊愈和死亡的患者）：普通易感者（正常人）建立上述五種情況的人數(shù)在單位時間變化的微分方程模型。 由上述五類得到以下關(guān)系圖： 圖表 1正常人潛伏期

6、患者確診患者治愈者（非參與者）隔離治療死亡者（非參與者）被未隔離潛伏期患者傳染潛伏期被未隔離確診患者傳染4.2. 模型準(zhǔn)備 （1） 單位時間內(nèi)正常人數(shù)變化： 易感正常人與未隔離潛伏期病人及確診患者接觸后均變?yōu)闈摲诨颊撸Y(jié)合以上所給信息 故 即 ··················（1）（2） 單位時間內(nèi)潛伏期患者（疑似患者）人數(shù)變化： 潛伏期患者的數(shù)量變化為正常人被感染為潛伏期患者人數(shù)減去潛伏期患者被治愈和轉(zhuǎn)為確診

7、患者的人數(shù)，結(jié)合以上信息 即 ·······（2）（3）單位時間內(nèi)確診患者人數(shù)變化： 確診患者人數(shù)為潛伏期患者轉(zhuǎn)變?nèi)藬?shù)減去被治愈人數(shù) 即 ·····························（3）（4） 單位時間內(nèi)非參與者的人數(shù)變化：

8、 非參與者人數(shù)為確診患者被治愈人數(shù)或死亡數(shù) 即 ·································（4）（5） 總?cè)藬?shù)： ···········

9、················（5） 對模型的部分說明：1、傳染病毒的平均潛伏期為，即單位時間內(nèi)潛伏期病人以比例常數(shù)，轉(zhuǎn)為感染者；2、確診病人平均死亡或痊愈的療程為,即單位時間感染者的治愈率為；3、潛伏期患者平均療程為，即單位時間內(nèi)潛伏期患者的治愈率為；4、單位時間內(nèi)每個易感者與病人的接觸率參數(shù)為；4.3. 模型的建立 其中， ， ，為系統(tǒng)中各類的初始值。五、對問題二的解答5.1. 問題分析該問題是建立在問題一的基礎(chǔ)上，利用問題一所建

10、立的模型，代入題二中給出的數(shù)據(jù)，用MATLAB解該微分方程并得到患者人數(shù)隨時間變化的曲線，然后對曲線圖對該傳染病的擴散和傳播進行分析。5.2. 模型的建立 , 初始發(fā)病人數(shù)100（即），疑似患者210（即），患者2天后入院，疑似患者2天后被隔離。這樣可以得到患者人數(shù)隨時間變化的曲線（如下圖）： 圖表 2 5.3. 結(jié)果分析 從上圖中可以看出患者人數(shù)先隨時間急劇升高，說明這是病毒傳播初期未有效控制的發(fā)展趨勢，然后可以看到最高點（第13.31天）患者人數(shù)達到最大值人，隨后通過對確診患者和潛伏期患者進行隔離治療，使患病人數(shù)開始較平穩(wěn)下降，并在100天后患者人數(shù)下降到人，說明病情得到了有效控制，且可以

11、看出該結(jié)果與實際情況相符，有良好的合理性。六、對問題三的解答6.1. 問題分析該問題是建立在問題二的基礎(chǔ)上，利用問題二建立的模型，提高值得到新的患者人數(shù)隨時間變化的曲線圖，并與問題二中曲線圖作對比，分析患者人數(shù)的變化情況，從而可知道隔離強度大小對疫情控制的影響。6.2. 模型的建立問題三中, 初始發(fā)病人數(shù)100（即），疑似患者210（即），患者2天后入院，疑似患者2天后被隔離。這樣可得到與問題二的對比圖（綠線為的圖，藍線為的圖）：6.3. 結(jié)果分析分析綠線可以看到病毒傳染初期患者人數(shù)依然急劇升高，最高點（第12.65天）患者人數(shù)達到最大值人，100天后下降到人。最大值時間(天）患病人數(shù)最大值（

12、人）隔離措施強度p患病入院天數(shù)n（天）人均每天接觸人數(shù)r（人）問題二13.317.817×10630%210問題三12.657.555×10680%210對比與（即綠線與藍線），可以看出患者人數(shù)在病毒傳染初期發(fā)展趨勢大致一樣，但是明顯可以看出與相比，達到最高點的時間明顯提前且最多患者人數(shù)更小，且在100天后患者人數(shù)小于時人數(shù)。從對比中可以看出，提高隔離強度可以更好地控制疫情，減少患病人數(shù)。6.4. 對隔離強度的靈敏度分析對于該問題中的隔離強度由30%變?yōu)?0%，通過問題三的圖像中兩條曲線的對比，可以看出：當(dāng)增大后患者人數(shù)最大值相較于問題二來說減少了，同時達到最大值的時間減少

13、了，而且疫情消退的時間也稍微減短了，這說明隔離前度增大時患者人數(shù)的最高峰減少了，同時達到最高峰的時間也相應(yīng)的減短了。因此政府和意愿 應(yīng)盡量增大隔離強度。七、對問題四的解答隨著社會的進步，科技的發(fā)展，一般的傳統(tǒng)的傳染病都能得到及時的防御和治療。要想及時有效地控制傳染病的擴散和傳播，關(guān)鍵在于盡早得到治療。根據(jù)題目我們建立出模型： 從模型中我們可以看出正常人的減少是由于被潛伏期患者以及確診患者的傳染，所以為了有效控制病情的惡性蔓延，應(yīng)該一旦發(fā)現(xiàn)病情則立即前往醫(yī)院隔離治療。從問題二中的結(jié)果看來，同樣也反映了這樣的情況。相同的隔離程度下，發(fā)現(xiàn)并且隔離的時間越早，累計的患者數(shù)量越少。政府和醫(yī)院需要提高警惕

14、，一旦察覺到有疫情的產(chǎn)生就要采取相應(yīng)的疫情防范措施，疑似患者需要及時去醫(yī)院進行確診，既保護自己，又防止有更多人感染，在疫情發(fā)生階段，盡量減少與外人的接觸。模型中越大，越少，而增加也越來越少，因此對疫情的控制有很好的效果。從問題三的結(jié)果中得出，在相同隔離時間下，隔離強度越大，疫情時間持續(xù)越短，累計的患者數(shù)量越少。所以政府和醫(yī)院需要增強隔離強度，做好防御措施，減少拖延患者前去醫(yī)院治療的時間，加派醫(yī)生，保證醫(yī)療設(shè)施和醫(yī)護人員的齊全，普通易感者也需要在家做好殺毒措施，保持通風(fēng)，注意家人衛(wèi)生，并使用84消毒藥水拖地，做好殺菌工作。結(jié)合模型和問題二、三的曲線圖看來，曲線的拖尾較長，說明此次疫情持續(xù)時間長，

15、需要長時間的防護措施應(yīng)對來縮短疫情周期，以避免二次疫情高峰的可能性。所以，防止患病的關(guān)鍵在于自己應(yīng)提高防范意識，不可以懈怠，提升警惕性；少去人流量大的地方；多做運動，強身健體；勤洗手，多通風(fēng)，養(yǎng)成良好的衛(wèi)生習(xí)慣；早睡早起，保證營養(yǎng)，增強個人免疫力。而在醫(yī)療方面，衛(wèi)生部應(yīng)加大隔離防治措施力度，且改進醫(yī)療手段，使治愈時間減小來控制疫情。八、模型的評價及推廣8.1. 模型的優(yōu)缺點模型的優(yōu)點：(1) 、將醫(yī)學(xué)領(lǐng)域的問題轉(zhuǎn)化到數(shù)學(xué)領(lǐng)域進行分析和討論，可以清楚地定量地得出傳染病的發(fā)展趨勢和高峰以及未來的預(yù)測，具有很強的可靠性和實用性。(2) 、模型中各個變量的關(guān)系明確，易于模型的求解。(3) 、本文的數(shù)學(xué)

16、模型是以連續(xù)的微分方程為基礎(chǔ)，不會得出準(zhǔn)確的解析解，本文在合理的參數(shù)確定的前提下，將參數(shù)進行擬合，準(zhǔn)確模擬出傳染病的發(fā)展趨勢和走向的曲線，從宏觀的角度上給社會一個清晰的概念，易于被社會接受，對政府和醫(yī)院控制疫情傳播提供有效地幫助，具有一定地實用價值和直觀性。模型的缺點：(1)、采用微分方程方法建立數(shù)學(xué)模型，易受外界因素變化的影響，其穩(wěn)定性具有相對性。(2)、模型中的參數(shù)變量有其自身的隨機性，雖然本文對已知數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計平均的處理方法，但在計算過程中存在誤差。(3)、模型中涉及的參數(shù)較多，在實際生活中很難確定各參數(shù)，因此模型具有理想化。8.2. 模型的推廣 本文建立的傳染病模型的方法和思維對其他類

17、似的問題也能很實用，可廣泛應(yīng)用于人口、腫瘤、社會、經(jīng)濟等方面。根據(jù)傳染病的模型建立研究進而可以推廣產(chǎn)生SIR模型。該模型是對進行理論性定量研究的一種重要方法，是根據(jù)種群生長的特性，疾病的發(fā)生及在種群內(nèi)的傳播、發(fā)展規(guī)律以及與之有關(guān)的社會等因素,建立能反映傳染病動力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型,通過對模型動力學(xué)性態(tài)的定性，定量分析和數(shù)值模擬，來分析疾病的發(fā)展過程，揭示流行規(guī)律，預(yù)測變化趨勢，分析疾病流行的原因和關(guān)鍵。參考文獻：1.楊啟凡，數(shù)學(xué)建模，浙江：浙江大學(xué)出版社，2006.62.卓金武，MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2011.43.姜啟源，數(shù)學(xué)建模案例選集，北京：高等教育

18、出版社，2006.74.姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003.85.6.梁國業(yè)等，數(shù)學(xué)建模，北京：冶金工業(yè)出版社，2004.97.韓中庚等，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用，北京：高等教育出版社，2005.68.龔春 王正林等，精通MATLAB最優(yōu)化計算，北京：電子工業(yè)出版社 ，2009.4九、附錄：問題二新建m文件夾:function x=pencil(t,x)%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);a1=3;a2=7;a3=60;p=0.3;m=10;b=0.5;x=-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(

19、3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)'在命令窗口內(nèi)輸入：s0=,100,0,210; t,x=ode23s(pencil,0,100,s0) plot(t,x(:,3); hold on text(0,100,'(0,100)','color','r') text(13.31,7.817e+006,'(13.31,7.817e+006)','color',&#

20、39;r') text(100,2.006e+006,'(100,2.006e+006)','color','r') plot(0,100,'g+',13.31,7.817e+006,'g+',100,2.006e+006,'g+')問題三新建m文件夾:function x=pencil(t,x)%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);a1=3;a2=7;a3=60;p=0.3;m=10;b=0.5;x=-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1

21、),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)'function x=pen(t,x)%s=x(1) e=x(2) i=x(3) r=x(4);a1=3;a2=7;a3=60;p=0.8;m=10;b=0.5;x=-b*x(3)*(1-p)*x(1)-b*x(2)*(1-p)*x(1),b*x(3)*(1-p)*x(1)-2/(a1+a2)*x(2)+b*x(2)*(1-p)*x(1)-x(2)*p*1/a3,2/(a1+a2)*x(2)-1/a3*x(3),1/a3*x(3)'命令窗口輸入： s0=,100,0,210; t,x=ode23s(pe