數(shù)值計(jì)算課后習(xí)題答案--石瑞民

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2、3.141592653.140.001590.0016。相對誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，3.140.314×10，m=1。而3.143.141592653.140.00159所以3.140.001590.005=0.5×102所以，3.14作為的近似值有3個有效數(shù)字。（2）絕對誤差:e(x)=3.153.141592653.140.0084070.0085。相對誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，3.150.315×10，m=1。而3.153.141592653.1

3、50.008407所以3.150.0084070.05=0.5×101所以，3.15作為的近似值有2個有效數(shù)字。（3）絕對誤差:相對誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作為的近似值有3個有效數(shù)字。（4）絕對誤差:相對誤差：有效數(shù)字：因?yàn)?.14159265=0.314159265×10，m=1。而所以所以，作為的近似值有7個有效數(shù)字。指出：實(shí)際上，本題所求得只能是絕對誤差限和相對誤差限，而不是絕對誤差和相對誤差。2、用四舍五入原則寫出下列各數(shù)的具有五位有效數(shù)字的近似數(shù)。3467854，7000009，0000

4、1324580，0600300解：346785434679，700000970000，00001324580000013246，0600300060030。指出：注意0。只要求寫出不要求變形。3、下列各數(shù)都是對準(zhǔn)確數(shù)進(jìn)行四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出他們的絕對誤差限和相對誤差限和有效數(shù)字的位數(shù)。分析：首先，本題的準(zhǔn)確數(shù)未知，因此絕對誤差限根據(jù)四舍五入規(guī)則確定。其次，應(yīng)當(dāng)先求絕對誤差限，再求相對誤差限，最后確定有效數(shù)字個數(shù)。有效數(shù)字由定義可以直接得出。解：由四舍五入的概念，上述各數(shù)的絕對誤差限分別是由絕對誤差和相對誤差的關(guān)系，相對誤差限分別是有效數(shù)字分別有3位、4位、4位、4位。指出：本題顯

5、然是直接指出有效數(shù)位、直接寫出絕對誤差，用定義求出相對誤差。4.計(jì)算的近似值，使其相對誤差不超過0.1。解：設(shè)取n個有效數(shù)字可使相對誤差小于0.1，則而，顯然，此時，即，也即所以，n=4。此時，。5、在計(jì)算機(jī)數(shù)系F(10,4,-77,77)中，對，試求它們的機(jī)器浮點(diǎn)數(shù)及其相對誤差。解：其相對誤差分別是6、在機(jī)器數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)，試按兩種算法計(jì)算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：精確計(jì)算得：第一種算法按從小到大計(jì)算,但出現(xiàn)了兩個數(shù)量級相差較大的數(shù)相加,容易出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù).而第二種算法則出現(xiàn)了兩個相近的數(shù)相減,容易導(dǎo)致有效數(shù)位的減少。計(jì)算結(jié)果證明，兩者精度水平是相同的。在機(jī)器

6、數(shù)系F(10,8,L,U)中，取三個數(shù)，試按兩種算法計(jì)算的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。解：第一種算法是按從小到大的順序計(jì)算的，防止了大數(shù)吃小數(shù)，計(jì)算更精確。精確計(jì)算得：顯然，也是第一種算法求出的結(jié)果和精確結(jié)果更接近。7、某計(jì)算機(jī)的機(jī)器數(shù)系為F(10,2,L,U)，用浮點(diǎn)運(yùn)算分別從左到右計(jì)算及從右到左計(jì)算試比較所得結(jié)果。解：從左到右計(jì)算得從右到左計(jì)算得從右到左計(jì)算避免了大數(shù)吃小數(shù)，比從左到右計(jì)算精確。8、對于有效數(shù)，估計(jì)下列算式的相對誤差限分析：求和差的相對誤差限采取先求出和差的絕對誤差限再求相對誤差限的方法。求積商的相對誤差限采取先求每一個數(shù)的相對誤差限再求和的方法。解：因?yàn)槎际怯行?shù)，所以則

7、指出:如果簡單地用有效數(shù)字與誤差的關(guān)系計(jì)算,則不夠精確。注意是相對誤差限的討論。符號要正確，商的誤差限是誤差限的和而不是差。9、試改變下列表達(dá)式，使其計(jì)算結(jié)果比較精確（其中表示x充分接近0，表示x充分大）。(1)；(2)；(3)；(4);(5)。分析：根據(jù)算法設(shè)計(jì)的原則進(jìn)行變形即可。當(dāng)沒有簡單有效的方法時就采用泰勒展開的方法。解：(1)；(2) (3)或(4)(5)指出：采用等價(jià)無窮小代換的方法一般不可行。近似計(jì)算中的誤差并不是無窮小量，利用無窮小量等價(jià)代換，兩個量的差別可能恰恰是影響精度的因素。采用等價(jià)無窮小代換，可能只會得到精度水平比較低的結(jié)論。例如試與上例比較。有時候這種方法可以使用，例

8、如因?yàn)椋?dāng)時，在這個計(jì)算中，由于x是常數(shù)，x的函數(shù)值實(shí)際上放大了每一項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果，使得相近的數(shù)相減的問題不很突出。而利用一階的泰勒展開，當(dāng)時，就有，因此和上面的結(jié)果一樣。但顯然，用泰勒展開的方法具有一般性并能得到精度更高的結(jié)果，而且不會有方法上出錯的可能。采用洛必達(dá)法則也是不可以的。實(shí)際上，無論是等價(jià)無窮小還是洛必達(dá)法則都是極限方法，而因?yàn)榻朴?jì)算中的誤差雖然可以近似地看作是微分，但本質(zhì)上卻是一個確定的可能極小的小數(shù)而不是無窮?。ㄚ呌诹愕淖兞浚?，因此近似計(jì)算是不能采用極限方法的。轉(zhuǎn)化的結(jié)果要化簡，比如化繁分式為簡分式，但不能取極限。取極限就違背的了數(shù)值計(jì)算的本意。所以，是錯誤的。極小的數(shù)做除數(shù)

9、，實(shí)際上是型的不定型，要轉(zhuǎn)化為非不定型。10、用4位三角函數(shù)表，怎樣算才能保證有較高的精度？解：根據(jù)，先查表求出再計(jì)算出要求的結(jié)果精度較高。指出：用度數(shù)就可以。不必化為弧度。11、利用求方程的兩個根，使它們至少具有4位有效數(shù)字。解：由方程的求根公式，本方程的根為因?yàn)椋瑒t如果直接根據(jù)求根公式計(jì)算第二個根，則因?yàn)閮蓚€相近的數(shù)相減會造成有效數(shù)字的減少，誤差增大。因此根據(jù)韋達(dá)定理，在求出后這樣計(jì)算：這樣就保證了求出的根有四位有效數(shù)字。12、試給出一種計(jì)算積分近似值的穩(wěn)定算法。解：當(dāng)n0時，。對In運(yùn)用分部積分法()得由此得到帶初值的遞推關(guān)系式由遞推公式In1nIn1 解得，這是逆向的遞推公式，對In的

10、值作估計(jì)，有另有 (取e的指數(shù)為最小值0，將ex取作 e0 1作為常數(shù)即可簡化公式）。則 。 那么，我們可以取其上下限的平均值作為其近似值。即取可以看出，n越大，這個近似值越精確地接近于準(zhǔn)確值。(n越大，In的上限和下限就越接近，近似值區(qū)間的長度就越短，近似值和精確值就越接近)此時，en1=In1*In1=(In*In) en，e0= en，計(jì)算是穩(wěn)定的。實(shí)際上，如果我們要求I9，可以先求出I20，這樣求出的I9的誤差是比I20的誤差小得多的，而I20的誤差本身也并不大。實(shí)際上，這樣求出的I9比直接計(jì)算出來的精確得多。補(bǔ)充題（一）1、給出數(shù)系F(10,4,-5,5)中的最大數(shù)、最小數(shù)和最小整數(shù)

11、。解：最大數(shù)：0.9999×105；最小數(shù)：0.9999×105；最小正數(shù)：0.0001×105。2、已知，求它在F(10，5，5，5）和F(10，8，5，5）中的浮點(diǎn)數(shù)。解：在F(10，5，5，5）中，在F(10，8，5，5）中，3、已知數(shù)e的以下幾個近似數(shù)，它們分別有幾位有效數(shù)字？相對誤差是多少？分析：題目沒有說明近似數(shù)是通過哪種途徑取得的，也就沒有明確每個近似數(shù)和準(zhǔn)確數(shù)之間的誤差關(guān)系。所以，本題的解答應(yīng)當(dāng)從求近似數(shù)的誤差開始。解：因?yàn)樗?，分別有4、5、8個有效數(shù)字。其相對誤差分別是4、數(shù)與下述各式在實(shí)數(shù)的意義上是相等的，（1），（2），（3），（4），（5

12、），（6）。試說明在浮點(diǎn)數(shù)系中，用哪個公式計(jì)算出的結(jié)果誤差最小。分析：本題實(shí)際上是一個算法分析與設(shè)計(jì)問題，也就是說要應(yīng)用算法設(shè)計(jì)的基本原則進(jìn)行分析討論。解：在本例中，顯然3和在浮點(diǎn)數(shù)系中是相近的數(shù)。進(jìn)一步地，17和、19601和也是相近的數(shù)。因此：為避免相近的數(shù)相減，不應(yīng)采用（1）、（3）、（5）三種計(jì)算方法。在余下的三種計(jì)算方法中，（2）需要進(jìn)行4次乘除法，（4）需要進(jìn)行7次乘除法，（6）需要進(jìn)行1次除法。從減少運(yùn)算次數(shù)來說，應(yīng)采用（6）。所以，采用（6）計(jì)算，計(jì)算結(jié)果誤差最小。5、，當(dāng)時，如何計(jì)算才能獲得準(zhǔn)確的結(jié)果？解：當(dāng)（即很小時），f(x)的分子是兩個相近的小數(shù)相減，而分母也是一個小數(shù)

13、，因此應(yīng)避免簡單地按原計(jì)算順序直接計(jì)算，而應(yīng)進(jìn)行變形。由泰勒展開得因此此處最后略去部分的第一項(xiàng)為當(dāng)時，這一部分是相當(dāng)小的值，可以略去。指出：如果要提高計(jì)算精度，就可以考慮保留更多的項(xiàng)。補(bǔ)充題（二）（一）1、計(jì)算e的近似值，使其誤差不超過106。2、利用計(jì)算f(0.1)的近似值，其誤差不超過102，求n。 3、3.142和3.141分別作為的近似數(shù)，各有幾位有效數(shù)字？4、已知近似數(shù)x的相對誤差限為0.3,問x至少有幾個有效數(shù)字？5、已知x的下列3個近似數(shù)的絕對誤差限都是0.005，問它們的有效數(shù)字各有幾位？a=138.00，b=-0.0132，c=-0.86×10-46、設(shè)近似值x=1

14、.234，且絕對誤差界為0.0005，則它至少有幾位有效數(shù)字？7、某校有學(xué)生6281人，通常說有6000人。下面哪個式子表示6000這個近似數(shù)合適？分析與解答1、解：令f(x)=ex,而f（k)(x)=ex,f（k)(0)=e0=1。由麥克勞林公式，可知當(dāng)x=1時，故。 當(dāng)n9時，Rn(1)<106，符合要求。此時，e2.718 285解決這類問題其實(shí)很簡單。只要知道了泰勒展開式，余下的就只是簡單的計(jì)算了。泰勒(Taylor)中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在(a,b)上存在n+1階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的x，x0a，,b，至少存在一點(diǎn)（a，,b），使得 其中，

15、 叫做拉格朗日型余項(xiàng)。當(dāng)x0=0時,得到麥克勞林公式。2、解：所以，n=2。3、3.14159265=0.314159265×10，3.1420.3142×10，m=1。因?yàn)?.1423.141592653.1420.00040所以，3.1420.000400.0005=0.5×103所以，3.142作為的近似值有4個有效數(shù)字。 小數(shù)點(diǎn)后幾個0，10的指數(shù)的絕對值就是幾。4、解：設(shè)x有n位有效數(shù)字，其第一位有效數(shù)字按最不利情況取為9，則由上可得n2.2，所以取n=2。5、解：，所以m-n=-2。a=138.00=0.13800×103，則m=3，所以n=

16、3-(-2)=5，即a有5位有效數(shù)字；b=-0.0132=-0.132×10-1，則m=-1，所以n=-1-(-2)=1，所以b有1位有效數(shù)字。c=-0.86×10-4，則m=4，所以n=4-(-2)=2<0，所以c沒有有效數(shù)字。6、解：因?yàn)榻茢?shù)x=1.234的絕對誤差界為0.0005，所以，則m-n=-3。而x=1.2340.1234×101，則m=1，所以n=1-(-3)=4，所以，x=1.234有4位有效數(shù)字。7、解：哪個式子表示6000這個近似數(shù)合適實(shí)際上要看近似數(shù)6000有多少個有效數(shù)字。6281近似到十位、百位，千位分別是寫成科學(xué)記數(shù)的形式分別

17、是可見，上述寫法中，第一種是合適的。實(shí)際上，所以m=4,而所以m-n=3，則n=m-3=4-3=1，即近似數(shù)6000只有一個有效數(shù)字，所以，只有這種寫法是合適的。（二）1、已知測量某長方形場地的長為a110米，寬為b80米。若a*a0.1（米），b*b0.1（米），試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限。2、已知三角形的兩個內(nèi)角的測量誤差都不超過0.1°，則計(jì)算第三個角時，絕對誤差不超過多少。3、若x1=1.03±0.01，x2=0.45±0.01，計(jì)算的近似值并估計(jì)誤差。4、已知測量某長方形場地的長為a110米，寬為b80米。若a*a0.2（米），b*b0.1（米）

18、，試?yán)枚嘣瘮?shù)的誤差分析方法求其面積S=ab的絕對誤差限和相對誤差限，并與四則運(yùn)算的誤差分析比較。5、如果用電表測得一個電阻兩端的電壓和通過的電流分別是V=110±2(V)，I=20±0.5(A)試運(yùn)用歐姆定律求這個電阻值R的近似值，并估計(jì)所求出的近似值的絕對誤差和相對誤差。6、已知近似值a1=2.21,a2=4.63,a3=7.98是由四舍五入得到的，它們的絕對誤差界都是0.005試估計(jì)和的相對誤差界。分析與解答1、2、提示：內(nèi)角和為180°，而且180是準(zhǔn)確數(shù)，沒有誤差。3、由已知，x1=1.03，x10.01，x2=0.45，x20.01。所以，(x1)x

19、10.01，(x2) x20.01。所以，y的絕對誤差限為將有關(guān)數(shù)據(jù)代入函數(shù)表達(dá)式，可以求出函數(shù)值的近似值為則y的相對誤差限為進(jìn)一步地，本題的絕對誤差限可以看作是0.05，那么計(jì)算結(jié)果中只需要保留到百分位就可以了，即最終結(jié)果取1.8，那么計(jì)算過程中各數(shù)只需要取到千分位。)4、（。6、略解。則所以，則相對誤差限為下略。解二:根據(jù)函數(shù)的函數(shù)值的絕對誤差相對誤差公式計(jì)算。（三）1、用秦九韶算法的多項(xiàng)式格式乘法計(jì)算多項(xiàng)式P(x)=x7-2x6-3x4+4x3-x26x-1在x=2處的值p(2)。2、利用等價(jià)變換使下面式子的計(jì)算結(jié)果比較精確。3、指出下列各題的合理計(jì)算途徑（對給出具體數(shù)據(jù)的，請算出結(jié)果）

20、11cos1（三角函數(shù)值取四位有效數(shù)字）2（對數(shù)函數(shù)值取六位有效數(shù)字）3 (其中x的絕對值很?。?x12754、設(shè)近似值T0=S0=35.70具有四位有效數(shù)字，計(jì)算中無舍入誤差，試分析分別用遞推式和計(jì)算T20和S20所得結(jié)果是否可靠。5、計(jì)算的值。分析與解答1、p(2)92、3、1 2 3 4x127x·x2·x4·x8·x16·x32·x64 5由小到大依次相加。 4、設(shè)計(jì)算Ti的絕對誤差為e(Ti)=Ti*Ti，其中計(jì)算T0的誤差為，那么計(jì)算T20的誤差為 e(T20)=T20*T20（5T19*142.8）（5T19142.8）

21、=5(T19*T19) 5e(T19)=52e(T18)=520e(T0)顯然誤差被放大，結(jié)果不可靠。同理，誤差縮小，結(jié)果可靠。5、解：將所給多項(xiàng)式的系數(shù)按降冪排列，缺項(xiàng)系數(shù)為0。所以。習(xí) 題 二 解 答1用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在區(qū)間3，4內(nèi)的根，精確到10-3，即誤差不超過。分析：精確到10-3與誤差不超過10-3不同。解：因?yàn)閒(3)-100，f(4)=90，所以，方程在區(qū)間3，4上有根。由有2n-11000，又為21010241000，所以n11，即只需要二分11次即可。列表討論如下：nanbnxnf(xn)的符號1343.50023.50043.75033.5003.

22、7503.62543.6253.7503.68853.6253.6883.65763.6253.6573.64173.6253.6413.63383.6253.6333.62993.6293.6333.631103.6313.6333.632113.6313.6323.632x*x11=3.632。指出：（1）注意精確度的不同表述。精確到10-3和誤差不超過10-3是不同的。（2）在計(jì)算過程中按規(guī)定精度保留小數(shù)，最后兩次計(jì)算結(jié)果相同。如果計(jì)算過程中取4位小數(shù)，結(jié)果取3位，則如下表：nanbnxnf(xn)的符號1343.500023.500043.750033.50003.75003.6250

23、43.62503.75003.687553.62503.68753.656363.62503.65633.640773.62503.64073.632983.62503.63293.629093.62903.63293.6310103.63103.63293.6320113.63103.63203.6315（3）用秦九韶算法計(jì)算f(xn)比較簡單。1*求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根區(qū)間。解：令，則當(dāng)時，有。函數(shù)單調(diào)區(qū)間列表分析如下：x(-,)2(2,+)y+00+y15因?yàn)椋苑匠淘趨^(qū)間上無根；因?yàn)?，而函?shù)在上單調(diào)增，函數(shù)值不可能變號，所以方程在該區(qū)間上無根；因?yàn)椋瘮?shù)在(2,+)上

24、單調(diào)增，所以方程在該區(qū)間上最多有一個根，而(3)=-10<0,y(4)=9>0，所以方程在區(qū)間(3,4)有一個根。所以，該方程有一個根，隔根區(qū)間是(3.4)。2證明在0,1內(nèi)有一個根，使用二分法求誤差不大于的根，需要迭代多少次？分析：證明方程在指定區(qū)間內(nèi)有一個根，就是證明相應(yīng)的函數(shù)在指定區(qū)間有至少一個零點(diǎn)。解：令，因?yàn)?，則，由零點(diǎn)定理，函數(shù)f(x)在0,1區(qū)間有一個根。 由有2n-110000，又為2101024，2138192<10000，21416384>10000所以n15，即需要二分15次。指出：要證明的是有一個解而不是唯一解，因此不必討論單調(diào)性。3試用迭代公式

25、，求方程的根，要求精確到。分析：精確到即誤差不超過解：令列表進(jìn)行迭代如下：01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.36881151.36881指出：精確到可以從兩個方面判定。第一，計(jì)算過程中取小數(shù)到位，最后兩個計(jì)算

26、結(jié)果相同，終止計(jì)算。第二，計(jì)算過程中取小數(shù)到，當(dāng)終止計(jì)算。本題采用第一種方法。4將一元非線性方程寫成收斂的迭代公式，并求其在附近的根，要求精確到。解：改寫為，則，設(shè)有在處，因?yàn)樗缘ㄔ诘泥徲騼?nèi)收斂。列表迭代如下：005107120693069此時。5為求方程在附近的一個根，設(shè)將方程改為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：試分析每種迭代公式的收斂性，并取一種公式求出具有4位有效數(shù)字的近似值。解：（1）因?yàn)?，所以迭代函?shù)為，則，滿足局部收斂性條件，所以迭代公式具有局部收斂性。（2）因?yàn)?所以迭代函數(shù)為,則滿足局部收斂性條件,所以迭代公式具有收斂性。（3）因?yàn)?，所以迭代函?shù)為，則不滿足收斂性條件

27、，所以迭代公式不具有收斂性。用迭代公式列表計(jì)算如下：015114442148031457414715146261468714648146791465101466111465所以，方程的近似根為。6設(shè)，應(yīng)如何取C才能使迭代公式具有局部收斂性？解：設(shè)C為常數(shù)，因?yàn)?，所以，要使迭代公式具有局部收斂性，需，此時即有，也即。即只要C取滿足如上條件的常數(shù)，就可以使得迭代公式具有局部收斂性。指出：本題的一般形式為：設(shè)，應(yīng)如何取C才能使迭代公式具有局部收斂性？顯然，是迭代格式相應(yīng)的迭代函數(shù)，因此該迭代格式要求解的方程是。也就是說，這是如何選擇C，構(gòu)造一個求解方程f(x)=0的收斂的迭代格式的問題。因?yàn)?，所以?/p>

28、要使迭代格式收斂，需解之得，即C與異號，且。下面的討論利用了本題的特殊條件，求出了具體的結(jié)果：因?yàn)?，所以?dāng)時，有，則，即函數(shù)的不動點(diǎn)為。而，根據(jù)局部收斂性定理，當(dāng)時，迭代格式收斂到；當(dāng)時，迭代格式收斂到。7用牛頓法求方程在初始值鄰近的一個正根，要求。解: 因?yàn)樗杂?，相?yīng)的迭代公式為取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：k0123xk21.88891.87951.8794因?yàn)?符合計(jì)算的精度要求,所以8用牛頓法解方程，導(dǎo)出計(jì)算數(shù)c的倒數(shù)而不用除法的一種簡單的迭代公式。用此公式求0.324的倒數(shù)，設(shè)初始值，要求計(jì)算有5位有效數(shù)字。解：對于方程，有，相應(yīng)的迭代公式為應(yīng)用該迭代公式求0.

29、324的倒數(shù)，列表計(jì)算如下0313084230864330864所以。指出：如果將方程改寫為等價(jià)的，則有，相應(yīng)的迭代公式為無法展開迭代。9設(shè)a為已知數(shù)，試用牛頓法導(dǎo)出求的迭代公式，并求極限解：設(shè)a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，由牛頓法，方程的解為此即求的迭代公式。由此，則 指出：本題中，表面上是的問題，但實(shí)際上卻是的問題，才是極限過程中實(shí)際的變量。本質(zhì)上。本題實(shí)際上是求極限由于討論的是型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此兩次應(yīng)用羅必塔法則。解二：首先證明一個定理：定理：設(shè)，又設(shè)f(x)在的某個鄰域內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則牛頓迭代法具有局部收斂性，且有。證明：因?yàn)樗砸驗(yàn)閒(x)在鄰域內(nèi)具

30、有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，所以在鄰域內(nèi)連續(xù)，且由局部收斂性定理，牛頓迭代法具有局部收斂性。對求導(dǎo)，根據(jù)條件有 由收斂階定理，若，則，牛頓迭代法二階收斂，若，則，牛頓迭代法有更高的收斂階。因?yàn)榕ｎD迭代法有二階收斂性，所以顯然如果是方程f(x)=0的單根，則，且。此時，則，可見定理中的條件“”可以等價(jià)替換為“是方程f(x)=0的單根”對本題來說，是方程的單根，所以則指出：應(yīng)用分組分解法進(jìn)行因式分解，分子、分母約去“0”因子，就可以按連續(xù)函數(shù)的極限性質(zhì)求解了。10用快速弦截求方程在初始值鄰近的實(shí)根（取，要求精確到）。解: 因?yàn)樗杂校鄳?yīng)的迭代公式為取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：kxk

31、xk-xk-1f(xk)f(xk)- f(xk-1)021119-0.10.159-0.841218811-0.01890.0130-0.146318794-0.00170.0001-0.0129418794因?yàn)?符合計(jì)算的精度要求,所以指出：本教程所說快速弦截法是通常所說的弦截法（割線法），而它所說弦截法是通常的單點(diǎn)弦截法。11、分別用下列方法求方程在鄰近的根，要求有三位有效數(shù)字。（1）用牛頓法，??；（2）用弦截法，?。唬?）用快速弦截法，取。解：方程變形為，則。牛頓法、弦截法、快速弦截法公式分別為（1）牛頓法（2）弦截法（3）快速弦截法取3位有效數(shù)字，分別計(jì)算得kxk牛頓法弦截法快速弦截法

32、0078507850785115915715721411331333139140138413913814051391396138139補(bǔ)充題（一）1、確定方程x5+x-100的根的個數(shù)，找出隔根區(qū)間。2、用二分法求方程f(x)=x32x-5=0在2，3的根的近似值，要求誤差不超過0.005。3、用二分法求方程f(x)=x32x-5=0在2，3的根的近似值，要求誤差不超過0.05。4、用二分法求方程的非零實(shí)近似根，使誤差不超過102。5、分析方程的根的分布情況，并用二分法求正根的近似值，使誤差不超過102。6、估計(jì)用二分法求方程f(x)=x34x2-10=0在1，2內(nèi)的根的近似值，為使誤差不超過

33、105時所需要的二分次數(shù)。分析與解答1、令,顯然,而且函數(shù)沒有不可導(dǎo)點(diǎn),所以，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增的，故方程最多有一個根。因?yàn)椋苑匠淘冢?，2）區(qū)間有一個根，（0，2）即為方程的隔根區(qū)間。2、因?yàn)閒(2)=70，f(3)=280，實(shí)際上本方程在指定范圍內(nèi)無根。但如果不加判定，也可以計(jì)算出一個值來。所以，用二分法求方程的根必須先行判定。要特別注意的是，完整的二分法的過程是，第一步代入初值，第二步判斷是否有解，第三步在有解的前提下求出解來。不進(jìn)行判斷就形式地套用二分法的過程是不可以的，同樣地，如果因?yàn)闊o解就放棄討論也是不正確的。3、因?yàn)閒(2)=10，f(3)=160，所以方程在區(qū)間上有解。，

34、所以，2n20，n=5。x*2.104、畫出y=sinx和的曲線，可以看出，兩條曲線除了原點(diǎn)外，在第一象限有且只有一個交點(diǎn)。交點(diǎn)的橫坐標(biāo)介于1.5與2之間（顯然，21.5，sin(2)=1，所以在2點(diǎn)，f(x)0，而當(dāng)x2時，sinx1,所以在2點(diǎn)，f(x)0。5、畫出y=sinx和的曲線，可以看出，兩條曲線除了原點(diǎn)外，在第一象限有且只有一個交點(diǎn)。交點(diǎn)的橫坐標(biāo)介于1.8與1.9之間（根據(jù)圖像，用計(jì)算器計(jì)算估計(jì)，當(dāng)sinx的值從大于的值變?yōu)樾∮跁r，隔根區(qū)間就找到了）。要求x*xn0.01，可以求出用二分法計(jì)算的次數(shù)。在區(qū)間1.8，1.9上，因?yàn)樗裕琻=4。具體計(jì)算過程如下nanbnxnf(xn

35、)的符號11.81.91.8521.851.91.87531.8751.91.887541.88751.91.89 所以，x*x41.89指出：確定求根區(qū)間和根的初始近似值，應(yīng)用MATLAB工具，用交軌法是重要的途徑，可以先確定大致范圍，再縮小區(qū)間重新畫圖精細(xì)化。在用普通的手工畫草圖的方法畫交軌圖的時候，可以借助于計(jì)算器使得隔根區(qū)間更短，但這種方法只對簡單問題有效。6、x*xn105，即 ，所以 2n105。 因?yàn)?1532768，21665537，217131072，所以n=17。（二）1、對于方程3x2ex0，為求最大正根與最小正根的近似值，試分別確定迭代函數(shù)g(x)及區(qū)間a,b，使得當(dāng)x

36、0a,b時，相應(yīng)的迭代過程xk+1=g(xk)收斂到要求的根。2、證明：當(dāng)x0=1.5時，迭代法 和 都收斂于方程f(x)=x3+4x2-10=0在區(qū)間1，2內(nèi)的唯一實(shí)根x*，分別用上述迭代法求滿足精度xk+1xk105的近似根。3、為求方程f(x)=x3x210在x01.5附近的一個根，可將方程改寫成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式1改寫成,迭代公式為；2改寫成x3=1+x2，迭代公式為；3改寫成，迭代公式為。試分析每一種迭代公式的收斂性。分析與解答1、根據(jù)3x2和ex的圖像可知，方程3x2ex0在實(shí)數(shù)域上有三個根，分別在區(qū)間(1,0)，(0,1)，(3,4)內(nèi)。其最大正根在3，4區(qū)間，最

37、小正根在0，1區(qū)間。取迭代函數(shù)g(x)=ln3x2，可以得到最大正根，而取迭代函數(shù)，可以得到最小正根。2、兩種迭代法的迭代函數(shù)分別在區(qū)間1，2和1，1.5上滿足定理2（不動點(diǎn)原理）的條件，故當(dāng)x0=1.5時兩種迭代法都收斂，且分別迭代9次和25，都可得到近似根1.36523。我們討論第一種迭代法，用定理2證明。它的迭代函數(shù)為。首先，g(x)是一個減函數(shù)，當(dāng)x=1時，當(dāng)x2時，。所以當(dāng)x1,2時，1g(2)g(x)g(1)2，即g(x)1,2。其次，顯然這是一個增函數(shù)，當(dāng)x2時，其函數(shù)值為 ，所以，g(x) g(2)1。指出：只給出了含根區(qū)間，就只能用定理2證明。3、1給出了初始近似值，也即知道

38、了精確根的大致位置，可以用定理4（局部收斂性定理）證明。由題意，方程有實(shí)根。下面證明g(x)連續(xù)和g(x*)1（x*是方程的精確根）。方程，可見g(x)在1.5及其附近是連續(xù)減函數(shù)，因?yàn)間(1.5)= 0.59，1.5又在x*的鄰域內(nèi)，由函數(shù)g(x)的連續(xù)性，g(x*)1，所以此迭代法具有局部的收斂性。指出：一般地說，用定理2（不動點(diǎn)原理）證明只要利用函數(shù)的單調(diào)性與區(qū)間上的最值就可以討論，而用定理4（局部收斂性定理）則需要用到函數(shù)的連續(xù)性。習(xí) 題 三 解 答1、用高斯消元法解下列方程組。（1）解：，消去第二、三個方程的，得：再由消去此方程組的第三個方程的，得到三角方程組：回代，得：所以方程組的

39、解為注意：算法要求，不能化簡?；唲t不是嚴(yán)格意義上的消元法，在算法設(shè)計(jì)上就多出了步驟。實(shí)際上，由于數(shù)值計(jì)算時用小數(shù)進(jìn)行的，化簡既是不必要的也是不能實(shí)現(xiàn)的。無論是順序消元法還是選主元素消元法都是這樣。消元法要求采用一般形式,或者說是分量形式，不能用矩陣，以展示消元過程。要通過練習(xí)熟悉消元的過程而不是矩陣變換的技術(shù)。矩陣形式錯一點(diǎn)就是全錯，也不利于檢查。一般形式或分量形式：矩陣形式向量形式必須是方程組到方程組的變形。三元方程組的消元過程要有三個方程組，不能變形出單一的方程。消元順序，不能顛倒。按為支援在方程組中的排列順序消元也是存儲算法的要求。實(shí)際上，不按順序消元是不規(guī)范的選主元素。不能化簡方程，

40、否則系數(shù)矩陣會變化，也不利于算法設(shè)計(jì)。（2）解：，消去第二、三個方程的，得：再由消去此方程組的第三個方程的，得到三角方程組：回代，得：所以方程組的解為2、將矩陣作LU分解。解：設(shè)根據(jù)矩陣乘法，先求U的第一行，由，得再求L的第一列，由矩陣乘法，因?yàn)?，所以，而，所以，所以。再求U的第二行，得，則，則，則再求L的第二列，得，則，則再求U的第三行，得，則，則再求L的第三列，得，則再求U的第四行，得，則所以，矩陣A的LU分解為：指出：用分?jǐn)?shù)而表示元素，不能化成近似小數(shù)也不化成小數(shù)表示。3、用LU分解緊湊格式分解法解方程組。解一，用一般格式求解：將系數(shù)矩陣作LU分解得：Ly=b方程組為解之得同樣地，解方程

41、組Ux=y得解二，用LU緊湊格式分解法求解：對增廣矩陣三角分解：原方程組化成同解的上三角方程組為：回代得指出：緊湊格式是直接應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果保存在A的相應(yīng)元素位置。從算法的角度，緊湊格式實(shí)際體現(xiàn)在數(shù)據(jù)的存儲方法上。由于緊湊格式計(jì)算時不再需要A的前面的元素，因此可以進(jìn)行。4、 用列主元的三角分解法解線性方程組。解一，列選主元素消元法：先選第一列主元為，將第一個方程與第二個方程交換，消去得：再選第二列主元為，交換第二、三兩個方程，消去得三角形方程組：回代求得方程組的解，所以方程組的解為解二，列主元素三角分解法： 同解的三角形方程組為回代求得方程組的解，所以方程組的解為說明：用矩陣討論中，

42、矩陣元素進(jìn)行了化簡。5用追趕法解方程組分析：三對角矩陣可以分解如下形式的兩個矩陣：即由矩陣乘法規(guī)則，有這樣可以求出矩陣L和U的所有元素。設(shè)有系數(shù)矩陣為A的方程組：這樣的方程組稱為三對角方程組。三對角方程組經(jīng)LU分解分解為求解之這就是所謂追趕法。解：由公式由此得下三角方程組和上三角方程組解上三角方程組代入并解上三角方程組6、用改進(jìn)的Cholesky分解法解方程組解：設(shè)此方程組的系數(shù)矩陣為A，右端向量為b，則矩陣A是對稱正定矩陣，可以進(jìn)行喬累斯基分解。設(shè)由矩陣乘法得由得再由得7、用改進(jìn)的Cholesky分解法解方程組解： 解下三角方程組得解上三角方程組得指出：6、7兩題應(yīng)用一般的喬累斯基分解而沒有

43、采用書上的方法。用MATLAB求解為：>> format rat>> a=4,1,-1,0;1,3,-1,0;-1,-1,5,2;0,0,2,4a = 4 1 -1 0 1 3 -1 0 -1 -1 5 2 0 0 2 4 >> P,q=chol(a)P = 2 1/2 -1/2 0 0 1985/1197 -379/838 0 0 0 1179/553 1106/1179 0 0 0 5617/3180 q = 0 8、設(shè)，求解：9、設(shè)，求。解：；則解之得，則。指出：三次方程可用三次方程的求根公式求出根來。用我們學(xué)過的知識，三次方程的根有如下求法：用二分法

44、求。10、設(shè)，計(jì)算，并比較與的大小。解：，11、給定方程組。（1）寫出雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法的迭代格式；（2）證明雅可比迭代法收斂而高斯賽德爾迭代法發(fā)散。（3）給定，用迭代法求出該方程組的解，精確到。解：（1）此方程組變形為據(jù)此建立雅可比法迭代格式得高斯賽德爾迭代法迭代格式為（2）證明一：用定理2證明：系數(shù)矩陣雅可比迭代法的迭代矩陣為則令則，所以(BJ)=0<1所以雅可比迭代法收斂。高斯賽德爾迭代法的迭代矩陣為由此求出所以，高斯賽德爾迭代法發(fā)散。證明二：用定理5證明：令則，所以(BJ)=0<1所以雅可比迭代法收斂。而所以(BG-S)=2>1。所以高斯賽德爾迭代法發(fā)散。

45、（3）取迭代初值，用雅可比迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)3000011201023221431246584124658因?yàn)樗苑匠探M的解為。用高斯賽德爾迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001121238240294319610258649563701336因?yàn)楦咚官惖聽柕òl(fā)散，不能求出滿足要求的解。12、給定方程組。（1）寫出Jacobi和Gauss-Seidel迭代格式。解：（1）方程組變形為所以，Jacobi迭代格式為Gauss-Seidel迭代格式為證明：用定理5證明：令則，所以，所以雅可比迭代法發(fā)散?；颍河浺?yàn)樗苑匠淘趨^(qū)間（2，1）有一個根，則(BJ)

46、>1所以雅可比迭代法發(fā)散。而所以(BG-S)=<1,所以高斯賽德爾迭代法收斂。（3）取迭代初值，用高斯賽德爾迭代法迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001030.52-1.754.25-0.753-1.755.5-1.3754-2.0636.438-1.6885-2.3757.063-1.8446-2.6107.454-1.9227-2.7667.688-1.9618-2.8647.825-1.9819-2.9587.939-1.99110-2.9747.965-2.00011-2.9837.983-2.00012-2.9927.992-2.00013-2.9967.996

47、-2.00014-2.9987.998-2.00015-2.9997.999-2.00016-3.0008.000-2.00017-3.0008.000-2.000因?yàn)樗苑匠探M的解為。13、已知，考察Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式的收斂性。解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣是對稱正定矩陣，而且嚴(yán)格對角占優(yōu)，因此兩種迭代法都是收斂的。14、方程組Ax=b，其中利用迭代收斂的充分必要條件確定雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法均收斂的a的取值范圍。解：對雅可比迭代法來說，因?yàn)樗訠J的特征值為所以，迭代矩陣B的譜半徑為當(dāng)時，雅可比迭代法收斂。對高斯賽德爾迭代法，因?yàn)樗愿咚官惖聽柕仃囂卣髦禐?/p>

48、其譜半徑為當(dāng)時，高斯賽德爾迭代法收斂。所以，雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法都收斂的a的范圍是。15、設(shè)方程組，分別用Gauss-Seidel迭代法和1.25的SOR法求解此方程組，準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字（?。?。解：本方程組的Gauss-Seidel迭代格式為取迭代得用SOR方法解方程組迭代格式為取1.25，迭代得17、設(shè)，計(jì)算A的條件數(shù)。解：因?yàn)樗詣t所以。由得所以；得所以；所以。18、設(shè)A是n階非奇異方陣，B是n階奇異方陣，試證明分析：要證明，因?yàn)?，即證：，因?yàn)榉稊?shù)總是不小于0的，也即證：，也即證：，由相容性，只需要證明。而要證明，根據(jù)定義，只需要證明對于某個特殊的，因?yàn)锽是奇異矩陣，所以滿足：

49、利用這個條件，可以完成證明。證明：因?yàn)锽是奇異矩陣，所以滿足：所以故又因?yàn)樗砸驗(yàn)榉稊?shù)總是不小于0的，所以所以而所以19、舉例說明一個非奇異矩陣不一定存在LU分解。解：考慮矩陣顯然A非奇異。若A有LU分解，則有于是，而，矛盾。故并非所有的非奇異矩陣都能LU分解。指出：舉例，從簡單的例子開始。所以可逆。補(bǔ)充題（一）1、設(shè)有矩陣作矩陣的LU分解。解：由矩陣的LU分解公式可得所以指出：a1j=u1j(j=1,2,3,n)，可以直接套用。2、考慮三對角矩陣給出三對角矩陣A的LU分解算法，并給出求解以A為系數(shù)矩陣的線性方程組的算法。解：對于三對角矩陣A，也可以用LU分解方法，把它分解為下三角矩陣L與上三角矩陣U的乘積。即A=LU。但因?yàn)槿龑蔷仃嚨奶厥庑裕覀內(nèi)菀昨?yàn)證，分解出的兩個矩陣具有這樣的形式：即由矩陣乘法規(guī)則，我們有這樣可以求出矩陣L和U的所有元素。設(shè)有系數(shù)矩陣為A的方程組：這樣的方程組