數(shù)學(xué)公式大全84154

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流數(shù)學(xué)公式大全84154.精品文檔.因子個(gè)數(shù)： 設(shè) ，其中 為正質(zhì)因子， ，則(1) 之正因子個(gè)數(shù) (2) 之因子個(gè)數(shù) (3) 之正因子總和= (4) 之正因子乘積找因子： (1)   2之倍數(shù) 末位為偶數(shù)(2)   4之倍數(shù) 末兩位為4之倍數(shù)(3)   8之倍數(shù) 末三位為8之倍數(shù)(4)   5之倍數(shù) 末位為0或5(5)   3之倍數(shù) 數(shù)字之和為3之倍數(shù)(6)   9之倍數(shù) 數(shù)字之和為9之倍數(shù)(7)   1

2、1之倍數(shù) (奇位數(shù)字和)(偶位數(shù)字和)恰為11的倍數(shù)(8)   7(13)之倍數(shù) 末位起向左每三位為一區(qū)間(第奇數(shù)個(gè)區(qū)間之和) (第偶數(shù)個(gè)區(qū)間之和)為7(13)之倍數(shù)質(zhì)數(shù)檢驗(yàn)： 設(shè) ， ，若 沒(méi)有小于等于 的正質(zhì)因子，則 為質(zhì)數(shù)。尤拉公式： 設(shè) ， 表質(zhì)因子， (1)   不大于 而與 互質(zhì)者：個(gè)(2)   不大于 ，為 的倍數(shù)但不為 倍數(shù)者有 個(gè)(3)   不大于 ，為 的倍數(shù)但不為 的倍數(shù)者有 個(gè)因倍數(shù)及公因子，公倍數(shù)性質(zhì)： (1) ，若 ，則 為 之公因子(2) 且 ，則 (3) ， ，則必有二整數(shù) ，使 (

3、4) ，若 輾轉(zhuǎn)相除法原理： 若 ， ，若 ， ， ，則 整數(shù)解： (1) 型化為 (2) 為整數(shù))有整數(shù)解 (3)若已知有一解 ，則 有理數(shù)、實(shí)數(shù)： (1)    有理數(shù)：凡是能寫(xiě)成形如 ( 都是整數(shù)，且 )的數(shù)叫有理數(shù)。(2)    ， ，若 (3)    整數(shù)之離散性：設(shè) ，若 ，則 (不等整數(shù)之距離至少為1)(4)    實(shí)數(shù)之稠密性：設(shè) ，若 ，則存在 ，使 (5)    證無(wú)理數(shù)之另一方法：證 為一方程式 之根，但 沒(méi)有有根，或有理根

4、不可能為 。復(fù)數(shù)： (1)    若 ， ，則Z之實(shí)部 之虛部 ，又 ， (2)    為實(shí)數(shù)：且 為純虛數(shù) (3)    若 ， ， ，則 且 (4)    設(shè) ，則 (5)    為實(shí)系數(shù)， 為實(shí)數(shù)，則 等差與等比公式： (1)級(jí)數(shù)成等差，若首項(xiàng) ，公差 ，則 ；(2)級(jí)數(shù)成等比，若首項(xiàng) ，等比 ，則 ；若 ， (3)調(diào)和級(jí)數(shù)：倒數(shù)成等差，故可用等差公式。雜級(jí)數(shù)公式： (1)連積之和(依此類(lèi)推)(2)     &

5、#160; 無(wú)窮等比數(shù)列及級(jí)數(shù)之?dāng)可?若 ，則(a)  無(wú)窮等比級(jí)數(shù)   (b)  無(wú)窮雜級(jí)數(shù)無(wú)窮循環(huán)小數(shù)，無(wú)窮幾何級(jí)數(shù)： (1)循環(huán)小數(shù)化為無(wú)窮等比級(jí)數(shù)求之(2)化為數(shù)字9之級(jí)數(shù)(3) (其他類(lèi)似)(4)無(wú)窮幾何級(jí)數(shù)求法要領(lǐng)：先求首項(xiàng)及公比 距離公式：(1)    A( )，A( )，  則 (2)   中到三頂點(diǎn)等距支點(diǎn)為外心(3) 則    在 時(shí)，產(chǎn)生最小值。分點(diǎn)公式： (a) 若A-P-B則 或 (b) 若A-B-P(或P-A-B) ，則P 或 (c) ABC中，A

6、 ，B ，C ，重心為G，則= 斜率：m（） ，若 ，則 ：若 ，則 無(wú)斜率（不加以定義）（）直線(xiàn)之斜率，則，則右上升 ；，則右下降 ，為水平線(xiàn) 越大，則越接近鉛直 越小，則越接近水平。（） 之斜率分別為 （），三點(diǎn)共線(xiàn) 直線(xiàn)方程式：(1)   點(diǎn)斜式：A( )，且斜率m之直線(xiàn)為 (2)   斜截式：斜率m，截距b之直線(xiàn)為 (3)   兩點(diǎn)式：過(guò)A( )，B( )且 則 ： (4)   截距式： ， ，且 之直線(xiàn)為 (5)   ， ，則過(guò) 交點(diǎn)之直線(xiàn)可設(shè)為 (6)   過(guò) 又

7、在P點(diǎn)之象限與兩軸圍成最小面積之直線(xiàn)為 ，而最小面積 對(duì)稱(chēng)點(diǎn)及對(duì)稱(chēng)方程式：對(duì)稱(chēng)軸(點(diǎn))A( xo , yo )之對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)圖形f( x , y )=0之對(duì)稱(chēng)圖形( 0 , 0 )A( -xo , -yo )F(-x , -y)=0( a , b )A(2a-xo , 2b-yo)F(2a-x , 2b-y)=0X軸A(xo , -yo)F(x , -y)=0Y軸A(-xo , yo)F(-x , y)=0X=hA(2h-xo , yo)F(2h-x , y)=0Y=kA(xo , 2k-yo)F(x , 2k-y)=0X+Y-k=0A(k-yo , k-xo)F(k-y , k-x)=0X-Y

8、-k=0A(yo+k , xo+k)F(y+k , x-k)=0 (注):x+y-k=0   ; x+y-k=0 由此可幫助記憶最后二個(gè)公式 菱形與正方形之圖形：若 ， ，則 之圖形為一菱形(a=b則為正方形)，而其圍成面積為 ，當(dāng)然 之圖形亦為菱形，只不過(guò)中心為(h,k)而已，故其面積仍為2ab。三角型面積：則aABC= | |一元二次方程式設(shè)a,b,c R，a 0對(duì)于ax2+bx+c=0中(1)   x= (2)   二相異實(shí)根， 相等實(shí)根， 共軛虛根。(注):若a , b , c Q，且 為有理數(shù)之平方 根為相異有理根(3)根之

9、正負(fù):設(shè)實(shí)系數(shù)二次方程式 ax2+bx+c=0 的兩根為 1. 皆為正根 (a) 0 (b) (c) >02. 皆為負(fù)根 (a) (b) (c) >03. 為同號(hào)(皆正或負(fù)) 且 >0   4. 為異號(hào)(一正根一負(fù)根) <05. 為純虛數(shù) b=0且 >0 根與系數(shù)關(guān)系(1)   若 , 為 ax2 + bx + c = 0 ( a 0)之兩根(2) 二次函數(shù): 之圖形拋物線(xiàn)(1)圖形坐標(biāo)： (2)對(duì)稱(chēng)軸 (3) (4) 最小二乘方定理，則當(dāng) ， 比較時(shí)，有最小值由二次圖形求不等式之解集( ：時(shí)，1、 或 2、 時(shí)，1、 2、

10、 或 恒正恒負(fù)條件 多項(xiàng)式之基本性質(zhì)(1)若 一多項(xiàng)式，則一切系數(shù)之和 1、一切奇式項(xiàng)之系數(shù)和 2、一切偶式項(xiàng)之系數(shù)和 (2)多項(xiàng)式之相等1、 同次向?qū)?yīng)系數(shù)相等2、任何值a代換x恒有 3、 不超過(guò) 次，只要有  n + 1 以上 之值帶入相等，則 。(其逆為真)除法應(yīng)用(1)求 之近似值：化 再以 代入，適當(dāng)略去后面部分可得所求。(2)除法求值：  若 為 之一根， 為一多項(xiàng)式，求 時(shí)，    可用除法求出 ，使 ，則 余式定理跟因式定理(1)   余式定理：   除以 之余式為 (2) &#

11、160; 因式定理：又  ，且 求余式之假設(shè)法(1) (2) 而mx+n為 除以 之余式(3) 除以g(x)之余式 = 除以 之余式(4) 除 之余式   (5) 則 除以 之余式為 牛頓定理(一次因式之檢驗(yàn))(1) ， ，若 有 之因式，則 ， (2)若 為 之因式，則 最高因式與最低公倍式(1)   利用析因式法(先分解以知式，在觀(guān)察共同因式)(2)   利用輾轉(zhuǎn)相除法(到整除時(shí)之最后除式為最高公因式)(3)   利用和差法:(4) 為常數(shù))n次方程式:(1)   代數(shù)基本定理:每

12、一 n 次程序，只要   ，至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根。(2)   k重根算 k 個(gè)，則 n 次方程式有 n 個(gè)。(3)   實(shí)系數(shù)方程式之虛根成共軛對(duì)出現(xiàn)。又理系數(shù)方程式若有根式之根，亦成共軛對(duì)出現(xiàn)。(4) 為實(shí)系數(shù)，則 中間值定理與勘根定理(1)   設(shè) 為一連續(xù)函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù)必為連續(xù))，      若a>b且 ，則必有一根介于a與b之間。(2)   若a<b，k重根算k個(gè)根，則1、 間有奇數(shù)個(gè)根。2、 間無(wú)實(shí)數(shù)根或有偶數(shù)個(gè)實(shí)根(3) &

13、#160; 利用勘根定理可勘查無(wú)理根位置，以求無(wú)理根之近似值。(用二分逼近法或十分逼近法)(A)指數(shù)率：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (B)根數(shù)率：(1) ； a<0，b<0 (2) ； a>0，b<0 (3) (C)對(duì)數(shù)定義及性質(zhì)：(1)   設(shè)b>0，a>0， ，則 (定義)(2)   ； (定義之推論)(3)   運(yùn)算：(1) (2) (但A>0，B>0)(3) (但A>0，B>0)(4) (換底公式)(5) (連鎖原理)(6) ； (7) (

14、倒數(shù)關(guān)系)(8) (D)指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)圖形：(1) 及 之圖形如下：(1)a>1(增函數(shù))(2)0<a<1(減函數(shù)(2)設(shè)a>b>1(1)x>0時(shí)， 的圖形恒在 圖形的上方  (2)x<0時(shí)， 的圖形恒在 圖形的下方（）指數(shù)與對(duì)數(shù)方程式：(1) 指數(shù)方程式：(a) 。(b) 兩方取對(duì)數(shù)解之。(c) 指數(shù)常數(shù)化為系數(shù)。(d) 必要時(shí)適當(dāng)化改為之方程式先解之。(2) 對(duì)數(shù)方程式：(a)先列出有意有之基本之限制(真數(shù) ，底數(shù) ，底數(shù) )(b)可化為同底時(shí)：(c)不可化為同底時(shí)利用換底公式求之。(d)求得之解代入之有意義限制，除不合者。(e)必要

15、時(shí)令 ，為 之方程式解之。(F)指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式：(1)   指數(shù)不等式：(1)   底數(shù)相同時(shí)：(a)則 (b)則 (2)底數(shù)不同，兩方取對(duì)數(shù)(3)必要時(shí)，令 ，常數(shù)指數(shù)化為系數(shù)，轉(zhuǎn)成t之不等式。(2)   對(duì)數(shù)不等式：(1)   先注意對(duì)數(shù)有意義之限制(2)   底數(shù)相同時(shí)：(a)    若欲解 (b)   若欲解 (3)底數(shù)不同時(shí) => 換底(4)下列可當(dāng)公式用(當(dāng)然也可以直接討論) (G)常用對(duì)數(shù)：(1) 

16、  以10為底之對(duì)數(shù)，稱(chēng)常用對(duì)數(shù)，常省略其底，即 (2)   科學(xué)記號(hào)表示法：若，則存在 ，使 ，且 (3)   設(shè)且 ， ， ， 稱(chēng)n為loga之首數(shù)，logb稱(chēng)為loga之尾數(shù)(4)   logx之首數(shù)，=logx，logx之尾數(shù) =logx-logx(5)   若 且logb之首數(shù)為m，則b之整數(shù)部分為m+1位；若且logb之首數(shù)為m，則b在小數(shù)點(diǎn)后最初有 個(gè)0。(6)   首數(shù) => 判斷位數(shù)：尾數(shù)了解用到之?dāng)?shù)字(有效之?dāng)?shù)字)。例如：log345000之首數(shù)為5；尾數(shù)lo

17、g3.45log0.0345之首數(shù)為 2；尾數(shù)log3.4!(7)   A為n位數(shù) ó (8)   LogA之首數(shù)為 n ó ólogA=n+b， 。(9)   LogA與logB之尾數(shù)相同 => logA-logB為整數(shù)例如：logx之首數(shù)為1且 與 之尾數(shù)相同，求x可利用此原理(10)log2=0.3010，log3=0.4771，log5=1-log2=0.6990，log7=0.8451 (H)加強(qiáng)及注意：(1) (2) ，則 (3)a，b均正， 或 x = y = z = 0(4

18、) ，比較2x，3y，5z之大小時(shí)x，y，z為正 ；x = y = z = 0 x，y，z為負(fù) 。(5)判斷A+B為幾位數(shù)，可先求A之位數(shù)及首位數(shù)字；B之位數(shù)及位數(shù)字然后判斷A+B位數(shù)。(6) 或 型，則兩方取 ，可化簡(jiǎn)成 之代數(shù)式，在令 解之。(7)由 (A)角之度量：(1)   弧度：弧長(zhǎng)等于半徑所對(duì)圓心角稱(chēng)一弧度，簡(jiǎn)稱(chēng)一弳.(2)   弧長(zhǎng)s，半徑r，所對(duì)圓心角 (3)   一周角= 1弳= (4)   如右圖：扇形面積 弓形面積=（扇形面積）（三角形面積）( 表圓心角之度量)(5)  

19、常用角度之換算表：D度R0(A)角之度量：(1)   (2)   位于標(biāo)準(zhǔn)位置之角終邊上之一點(diǎn)P(x，y)(x0，y0)，則(1)   三角函數(shù)直在各象限之正負(fù)：  第一象限第二象限第三象限第四象限+-+-+-+-(2)   函數(shù)值之增減(在第一象限):   為增函數(shù)   為減函數(shù)(E)基本不等性質(zhì):(1) (2)若 ，則     若 ，則 、 (3) ； (F)基本恒等式:(1)倒數(shù)關(guān)系：(2)平方關(guān)系:(3)商數(shù)關(guān)系:(4)次要恒等

20、式:1、 2、 (G)化任意之三角函數(shù)為銳角三角形函數(shù)值：任一角之三角函數(shù)值，通常由某一銳角之三角函數(shù)數(shù)值求出，其求法如下：(1)   負(fù)角之三角函數(shù)：但     1、n為偶數(shù)時(shí)：       例： 、 、 2、n為奇數(shù)時(shí)：例： 、 (2)   空欄符號(hào)乃要吾人填“+”號(hào)或“-”，其取正或負(fù)需視 為正銳角時(shí)，在第幾象限，對(duì)左邊原三角函數(shù)該選正或負(fù)。（）三角形之一些關(guān)系：（） 中， 分別以，代表，依序表 之對(duì)邊長(zhǎng)； ，表內(nèi)切圓半徑，表外接圓半徑，依次表 之內(nèi)部之傍切圓

21、半徑（），內(nèi)切圓半徑，則 （面積） ，而 （）；（面積） （看圖推出）（）三角形之面積公式：  之面積（）邊形關(guān)系之重要定理：（1）正弦定律：（注）：求外接圓半徑，可由正弦定律求之。（2）余弦定理： （）：投影定律： （）解三角形：（1）由已知之編輯角，求未知之邊與角，叫解三角形。（2）.之解法：第三邊用余弦定律求出在利用正弦定律求出另兩角。（3）.之解法：利用余弦定律求出各角（4）.之解法：利用三角度量和 求出第三角形，          利用正弦定律求其他邊長(zhǎng)。（5）.之解法： &

22、#160;       例如：已知a，b及一角 由a與b之大小                     與 之大小，可知 是否可能為直角、鈍角，                &#

23、160;  再由 ，求出 (可能無(wú)解或一組解或二解)（）測(cè)量：測(cè)量問(wèn)題：（1）方法：從已知條件作三角形之關(guān)系圖形，利用解三角形求出所要之邊長(zhǎng)或角度。（2）題型：         1、單方向求高度（觀(guān)測(cè)者向目標(biāo)移動(dòng)或仰視、俯視）               利用直角 解之2、多方面求高度   作立體圖形，轉(zhuǎn)成地面之三角形解之。3、航行方位問(wèn)題

24、0;     由平面之方向作成平面之三角形解之(A)和角公式：(1)   主要：(1) (2) (3) (4) (2)   推廣:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (3)   正余切和角公式之一次化(1) (2) (a) (b) (c) (d)  (B)倍角公式(1)(1) (由 推之)(2) (3) (2) (3)(1) (2) (4)輔助公式:(1) (2) (3)  (C)半角公式(1)   (±號(hào)隨 在第幾象限而定) 

25、60;  (±號(hào)隨 在第幾象限而定)(2)  設(shè)      則 (3)   (D)和差與積互化(1) (2) (3) 時(shí)，則(1) (2) (3) (4) (E)常見(jiàn)求極值:(1)           (其中 )    (其中 )(2)           (可利用(1)合并)(3)       可令

26、60;   (4)   (F)三角形邊角關(guān)系之補(bǔ)充公式：(1)   正切定律： (2)      ；     ； (3)   分角線(xiàn)：設(shè) 為 之一分線(xiàn)且 求證： (4)   中線(xiàn)：設(shè) 為 之中線(xiàn)，則(5)高：三邊長(zhǎng)比 (G)復(fù)數(shù)之絕對(duì)值：(1)   設(shè) ，則 ，且不為負(fù)(2)   設(shè) ，則 (3)   設(shè) ，則 ；(4) ，則 (5) (6) 則 表 之距離(H)復(fù)數(shù)絕對(duì)值之幾

27、何意義：(1)   設(shè) 且 在復(fù)數(shù)平面上所對(duì)之點(diǎn)為 ，則 (2)   分點(diǎn)公式：在復(fù)數(shù)平面上，設(shè) ，則 (3)   在復(fù)數(shù)平面上 ，對(duì) 軸之對(duì)稱(chēng)點(diǎn) ，     對(duì) 軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 ，對(duì)原點(diǎn)之對(duì)稱(chēng)點(diǎn) (I)復(fù)數(shù)之極式：(1)   設(shè) ， 之幅度為 ，則 (注)：由 軸正向到 之有角為幅角，其中 叫主幅角，以 表示(2)   隸美弗定理：設(shè) ，則 (注)：亦可推出(3)   若 ，則 ；(J)復(fù)數(shù)平方根：(1)   任一復(fù)數(shù)

28、，除0外，恰有二個(gè)平方根，此二平方根之和為0。(2)   平方根速算法：設(shè) ，      則             (由 b 之正負(fù)決定 x , y 之同號(hào)或異號(hào))(3)   ， 之二根為     之任一平方根。     (不要用根式表示) (K) 復(fù)數(shù) 方根：(1)  設(shè) ，滿(mǎn)足 為已知復(fù)數(shù))之Z叫 次方根，通常有 個(gè)解。(

29、2)  若 ， 而   為其個(gè)方根 則 ， =0 , 1 , 2 , , (3)  上面之 洽分布在一圓上(圓心為原點(diǎn)，半徑 )，且將此圓 等分(即連接可得一正 邊形)(4)  若 ，且 ，則(a) 為 之虛根，而 之解集合。(b) (c) (d) ，若已知有一根為 ，     則此方程式之解集為 (5)   立方根 之性質(zhì)(L)加強(qiáng)及補(bǔ)充：(1)         理由： (2)   &

30、#160;  (3)        (4)       (A)向量定義：(1)   有向線(xiàn)段及向量：若A、B是相異的兩點(diǎn)，線(xiàn)段 賦與游A到B的方向后，就稱(chēng)為是由A到B的有向線(xiàn)段，記為 ，簡(jiǎn)稱(chēng)為向量 (2)   有向線(xiàn)段之始點(diǎn)、終點(diǎn)、長(zhǎng)：向量 的A叫始點(diǎn)，B叫終點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的距離(或 之長(zhǎng))叫 之長(zhǎng)，以 表示。(3)   零向量：A=B時(shí)，稱(chēng) 為零向量，可用 或 表示。(4)  

31、; 若O為原點(diǎn)，A之坐標(biāo)為(a,b)，則 可用(a,b)表示，即 =(a,b)(5)   若A 則 可用 表示【注意】：(終點(diǎn))-(起點(diǎn))(6) ，則 之長(zhǎng)= ，而a叫 之x分量，b叫 之分量。(7) (B)方向角：(1) 與x軸用向所夾之角 之方向角，其中 (2)方向角： (3) ，方向角為，則 C）向量加法： (1) ：設(shè) 是任意兩個(gè)向量，點(diǎn)X使向量 ，則稱(chēng)向量 為向量 與向量 的和，記做 (2)若 ，則 (3)對(duì)任意向量 ，我們定義 (4) ，則 (注)：     （D）系數(shù)積： (1)   1.  

32、;    r0 與 同方向且長(zhǎng)度為原來(lái)r倍2.      r0 與 反方向且長(zhǎng)度為原來(lái)r倍3.      r0 0(2)   向量系數(shù)積之坐標(biāo)表示：設(shè) ，則 (3)   向量系數(shù)積之基本性質(zhì)：1.      2.      ( 為向量)3.      (E)分點(diǎn)公式：(1)

33、60;  且 ，O為任意一點(diǎn)，則 (2)(或)且 ，O為任意一點(diǎn)，則 面積比：若， 且 則 (注)：若，同號(hào)，則在 ABC內(nèi)部，若，不同號(hào)，           則P在A(yíng)BC外部。(G)共線(xiàn)：(1)   A，B，C為三點(diǎn) 。(2)   設(shè)A，B，C為三點(diǎn)，O為任一點(diǎn)，x、y R且 ，則A，B，C共線(xiàn) x + y = 1內(nèi)積：(I)平行與垂直(a0、b0)(1) (2) (3) 則 而 (J)投影與投影量：(1)   在單位向量

34、 之正射影       (其中 之夾角)(2) 同向之單位向量 (3) 在 之正射影     (4) 在 之正射影亦稱(chēng) 在 之分向量     或 在 之投影，而 稱(chēng)為在之分量(投影量)(5) 在( 之諸平行向量)之投影(分向量)均相等。（）科西史瓦滋不等式：（）設(shè) 任二向量，則 （）若 則 且等式成立 （） (L)三角形之五心：(M)面積：(1)    令O、A、B不共線(xiàn)， 則 (2)    若 則 (3)

35、        則 面積= （N）二向量線(xiàn)性組合之終點(diǎn)圖形：(1)  表一直線(xiàn)。    （可由滿(mǎn)足 之二組 求出兩點(diǎn)，連接之） (2)         則S之面積 ，       其他不同之 、 限制，由作圖后求之。(O)直線(xiàn)之參數(shù)式：（1）點(diǎn)向式：設(shè)直線(xiàn)過(guò)  且與向量   （a ，b）平行       &#

36、160;    L之方程式 （2）點(diǎn)向式之推論：          ，則有一垂直向量（法向量）         為 ， 有一平行向量          又垂直之直線(xiàn)之參數(shù)式可為             過(guò) 又平行之直線(xiàn)之參數(shù)式可為 （3）兩點(diǎn)是： ，

37、則             之參數(shù)式可為 (Q)點(diǎn)到距離：(1)   P點(diǎn)到L線(xiàn)之距離=P到(P到L之投影點(diǎn)Q)之距離        (R為 L之垂直向量之交角) (2)   ， 則 P 到 L 之距離 d     則    (理由)：令 為 L 上某一點(diǎn) ， 為 與 之交角，則(R)交角平分線(xiàn)：（1）    同側(cè)與反

38、側(cè)        1、若 在  L： 之同側(cè)         2、若 在L： 之反側(cè)（2） ： 、 ： 則 之交角平分線(xiàn)為                   即 （注）： 表通過(guò)同號(hào)側(cè)之交角平分線(xiàn)。          

39、      表通過(guò)異號(hào)側(cè)之交角平分線(xiàn)。（3）        1、 ： 、 ：               則兩線(xiàn)交角平分線(xiàn)為 (兩條)        2、已知二條線(xiàn)之斜率為 、 ，交角平分線(xiàn)之斜率為            

40、;     則 （）投影點(diǎn)與對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：（1）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)公式：          設(shè) 表一直線(xiàn)， ，         在之投影點(diǎn)的坐標(biāo)為          在之對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為          （注）：本公式之證明利用投影點(diǎn) 帶入，求 t（2） 最小值求法。

41、        1、異側(cè)型：若、在異側(cè)，則 之最小值           2、同側(cè)型：若、在同側(cè)，則                              

42、 最小值 （3） 之最大值求法：        1、若、在之同側(cè)，則 之最大值           2、若、在異側(cè)，則 之最大值 （4） 之最小值求法：       1、若、在之同側(cè)，最小值           2、若A、B在之異側(cè)，最小值     

43、      3、利用參數(shù)式驗(yàn)上取一動(dòng)點(diǎn) 再求                  化為之二次式，配方求 求。 垂直性質(zhì)：(1)直線(xiàn)與平面之垂直設(shè)平面與直線(xiàn)相交于點(diǎn)，若平面上有兩條通過(guò)的相異直線(xiàn)與垂直，則平面與直線(xiàn)垂直。(2)二平面垂直之性質(zhì)1.      若直線(xiàn)L與平面E垂直，則空間中包含直線(xiàn)L的每個(gè)平面都與平面E垂直。2. &#

44、160;    二平面 與 垂直，則在 上垂直于交線(xiàn)的，任一垂線(xiàn)必垂直另一平面 。(3)三垂線(xiàn)定理：設(shè)直線(xiàn) 與平面垂直于點(diǎn)，在平面上，直線(xiàn) 與直線(xiàn)垂直于點(diǎn)，則直線(xiàn) 也與直線(xiàn)垂直于點(diǎn)。()空間之距離公式及方向余弦：(1) ， 則(2) 其方向余弦為 ，    則 (C)空間向量：(1)   內(nèi)積，為與之夾角(2)   設(shè) 則 (3)若 ，且?jiàn)A角 ，則 (4) 在 之正射影 (D)面積與體積：(1)   令，不共線(xiàn)， 則 之面積 (2)   若 則 (3) 則

45、1.   2.   所張之平行六面體體積     3.   共面(E)空間平面方程式：(1)過(guò)點(diǎn) 法向量為 ，    則方程式為 (2) 截距分別為 則方程式 (3)平行于平面 ，    則方程式設(shè)為 (4)過(guò)二平面之方程式可設(shè)為   (5)平面上有二已知向量     又過(guò)一點(diǎn) ，則平面方程式為(F)空間之直線(xiàn)方程式：(1)   過(guò) 又平行 則直線(xiàn)為 或 (2)

46、60;  表二平面交線(xiàn)，其方向向量為(G)空間之平面，直線(xiàn)性質(zhì)：(1) 到平面 之    距離 (2) 到 ： 之距離 (注)：或用參數(shù)式求之(H)投影點(diǎn)及對(duì)稱(chēng)點(diǎn)：   平面E： 則A在上投影點(diǎn)A對(duì)E之對(duì)稱(chēng)點(diǎn)(A)行列式性質(zhì)1.      行與列全部互調(diào) 其值不變2.      將某列(或行)乘以常數(shù)再加至其他列(或行) 其值不變3.      行列式中某列(行)全為0 其值為04.&#

47、160;     行列式中任二列成比例其值為05.      某列(或行)有公因子 可提出6.      行列式前有常數(shù) 可乘人某列或某行7.      相鄰之二列(或行)互換 其值變號(hào)8.      拆項(xiàng)原理： (B)較特殊行列式及常用之三階行列式：1、 2、 3、 4、 (行提列灌法)5、Vandermode行列式 (C)二元一次方程式與行列式方程組 令

48、 ， ， 1.      若 2.      若 ，則 中有一為0，則無(wú)解3.      若 ，則無(wú)限多解(D)比例式： (注意常數(shù)項(xiàng)為0)(E)三元一次方程式與行列式在 ，(F)行列式應(yīng)用：(1)三點(diǎn)共點(diǎn)：(A)  圓之方程式：(1)   以( )為圓心，r為半徑的圓方程式 為 (2)   設(shè)A     則以AB為直徑圓為 (3)   設(shè)圓 與圓

49、 相交，則     1.  過(guò) 與 的圓的交點(diǎn)的圓為， 2.  過(guò) 與 之交點(diǎn)的直線(xiàn)（根軸）(即k=-1)(4)   再平面上有二相異點(diǎn)A,B，則滿(mǎn)足之動(dòng)點(diǎn)P之軌跡唯一圓。  ()方程式之判斷：為表圓之條件為b=0，a=c0， ，此時(shí)圓心 ，半徑 (C)切線(xiàn)段長(zhǎng)及弦長(zhǎng)：圓 外部一點(diǎn) (1)   P點(diǎn)到圓之切線(xiàn)段長(zhǎng) (2)   與圓C之交弦長(zhǎng) ，而d為圓心到 之距離。(D)圓之切線(xiàn)：(1)   過(guò)圓 上一點(diǎn) 的切線(xiàn)方程式為 (2) 

50、60; 過(guò)圓 上一點(diǎn) 的切線(xiàn)方程式為 (3)   斜率m且與 相切的直線(xiàn)方程式為 (E)兩圓相交之關(guān)系：(1)   設(shè)二圓之半徑分別為 ，連心距d (2)二圓 之半徑分別為 ，連心距為d，則1、內(nèi)公切線(xiàn)段長(zhǎng) 2、外公切線(xiàn)段長(zhǎng) (F)球之方程式：(1)標(biāo)準(zhǔn)式：球心為 半徑為a之球方程式為(2)直徑式：設(shè) ，    則 為直徑之球方程式為(3)   過(guò)二球 之圓之球可設(shè)為 (注)：消去平方項(xiàng)則為交圓所在之平面。(G)球之切面與截面：(1)   若球面S與平面E截出一個(gè)圓C，則1、截圓之半徑

51、為 2、截圓的面積為 (2)   過(guò)球面 上一點(diǎn) 的切平面方程式為(H)弦長(zhǎng)，切線(xiàn)段長(zhǎng)：(1)   若直線(xiàn)L與球面S相交于P,Q二點(diǎn)，且球面的半徑為r，球心到直線(xiàn)L的距離為d，則 (2)   過(guò)球面 外一點(diǎn) 的切線(xiàn)段長(zhǎng)為 圓錐曲線(xiàn)定義：(1)拋物線(xiàn)：1.      設(shè)F為定點(diǎn)，L為直線(xiàn)，F(xiàn) L， 稱(chēng)為拋物線(xiàn)，      L稱(chēng)為準(zhǔn)線(xiàn)，F(xiàn)稱(chēng)為焦點(diǎn)。2.      若F L，則圖形表直線(xiàn)。(2

52、)橢圓：F、F為相異二點(diǎn)，2a為正數(shù)， ，則       1.   為一橢圓，F(xiàn)、F稱(chēng)為其二焦點(diǎn)2.    為一線(xiàn)段(即 )3.   為無(wú)圓形(即 )(3)雙曲線(xiàn)：    設(shè)F、F為二相異點(diǎn)，2a為正數(shù)， (B)拋物線(xiàn)之標(biāo)準(zhǔn)式(1) ：    頂點(diǎn)(0,0)，焦點(diǎn)F(c,0)，準(zhǔn)線(xiàn)x=-c，軸y=0，    平移 =(h,k)后得(y-k)2=4c(x-h)， 

53、60;  頂點(diǎn)(h,k)，焦點(diǎn)(h+c,k)，準(zhǔn)線(xiàn)：x-h=-c，軸y-k=0(2) ：    頂點(diǎn)(0,0)，焦點(diǎn)(0,-c)，線(xiàn)y=-c，軸：x=0，    平移 =(h,k)后得(x-h)2=4c(y-k)，    焦點(diǎn)(h,k+c)，準(zhǔn)線(xiàn)：y-k=-c，軸x-h=0橢圓之標(biāo)準(zhǔn)式(1)方程式     則1.C2=a2-b22.長(zhǎng)軸 的長(zhǎng)為2a，短軸 的長(zhǎng)為2b，3.中心為 ( h , k ) 4.焦點(diǎn)為( h ± a , k)5.頂點(diǎn)為 ( h ,

54、k ± b )，( h ± a , k )6.對(duì)稱(chēng)軸為 x h = 0， y k = 07.正焦旋長(zhǎng)為 (2)方程式   則 1.C2=a2+b22.長(zhǎng)軸 的長(zhǎng)為2a，短軸 的長(zhǎng)為2b3.中心為 ( h , k ) 4.焦點(diǎn)為 ( h , k ± c )5.頂點(diǎn)為 ( h , k ± a )，( h ± b , k )6.對(duì)稱(chēng)軸為 x h = 0 ， y k = 07.正焦弦長(zhǎng)為 (D)雙曲線(xiàn)之標(biāo)準(zhǔn)式(E)二次曲線(xiàn)之參數(shù)式：(F)拋物線(xiàn)性質(zhì)：(1)   拋物線(xiàn)上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)等距。(2)  

55、 及 之正焦弦長(zhǎng)4 | c |(3)   拋物線(xiàn)正焦弦長(zhǎng)4d（焦點(diǎn),準(zhǔn)線(xiàn)）(4)   或 之圖形為拋物線(xiàn)，其正焦弦長(zhǎng) (5) 軸不為水平，鉛直方向之拋物線(xiàn)：若焦點(diǎn) ，準(zhǔn)線(xiàn)：ax+by+c=0，則此拋物線(xiàn)方程式為(6)以焦弦（過(guò)焦點(diǎn)之弦）為一直徑之圓， 必與準(zhǔn)線(xiàn)相切。(G)橢圓之性質(zhì)：(1)   橢圓之二焦點(diǎn)介于二長(zhǎng)端點(diǎn)(頂點(diǎn)之間)(2)   橢圓上任一點(diǎn)二焦點(diǎn)距離和等于長(zhǎng)軸之長(zhǎng)(3)   與 共焦點(diǎn)之橢圓可設(shè)為 (4)   之面積 (5)   之內(nèi)接矩形之

56、最大面積為 ，     內(nèi)接正方形之面積為 ，內(nèi)接最大周長(zhǎng) (6)   橢圓 之外切菱形之最小面積 (H)雙曲線(xiàn)之性質(zhì)：(1)   雙曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到二焦點(diǎn)之距離差等于貫軸長(zhǎng)(2)   雙曲線(xiàn)之二頂點(diǎn)(貫軸端點(diǎn))介于二焦點(diǎn)之間(3)   與 與共焦點(diǎn)之錐線(xiàn)可設(shè)為 (4)   之漸近線(xiàn)為 ;之漸近線(xiàn)為 ;反之，漸近線(xiàn)為 及 之雙曲線(xiàn)，其方程式可設(shè)為 (5)   雙曲線(xiàn) 上(或 )上任一點(diǎn)    

57、60; 到二漸近線(xiàn)距離之積 (6)   雙曲線(xiàn) ( )上任一點(diǎn) ，過(guò) 作二漸近線(xiàn)之并行線(xiàn)，則與二漸近線(xiàn)之并行線(xiàn)四邊形面積為 ，      而過(guò) 之任一切線(xiàn)與二漸近線(xiàn)圍成之三角形面積為 (7) 共軛軸之長(zhǎng)等于貫軸之長(zhǎng)之雙曲線(xiàn)叫等軸雙曲線(xiàn)。一雙曲線(xiàn)為等軸 二漸近線(xiàn)互相垂直 三長(zhǎng)相等(貫軸長(zhǎng)=共軛軸長(zhǎng)=正焦弦長(zhǎng))(8) 與 互為共軛雙曲線(xiàn)(I)錐線(xiàn)之弦：(1)   二次曲線(xiàn) 之弦中點(diǎn)為 ，則弦之直線(xiàn)方程式為由 及次式便是（或由根與系數(shù)），先求弦之斜率）(2)   求弦長(zhǎng)：求ymxk與 之交點(diǎn)

58、A,B，1、令 2、利用(b)及根與系數(shù)關(guān)系代入(a)，求 。(J)錐線(xiàn)之切線(xiàn)：(1)   二次曲線(xiàn)與一直線(xiàn)恰有一交點(diǎn)之直線(xiàn)(解聯(lián)立，消去y后之判別式為0)(2)   切點(diǎn)已之為 ，二次曲線(xiàn)F： (注)：若P在F外部，則L為過(guò)P之二切線(xiàn)之切點(diǎn)聯(lián)機(jī)方程式。(3)   切線(xiàn)斜率m之切線(xiàn) (包括圓) (A)計(jì)數(shù)原理 ：(1)乘法原理 ：  如果做某件事要經(jīng)過(guò)k個(gè)步驟，    而第一個(gè)步驟有 種方法可做，    第2個(gè)步驟有 種方法可做 ，   

59、; 第k個(gè)步驟有 種方法可做：    則完成這件事的方法共有 種(2)加法原理：  設(shè)作成一事 E 有 m 種方法，    作成一事 F 有n種方法，    若此二事不能同時(shí)發(fā)生，    則作E或F二事共有m+n種方法。(3)排容組合：一個(gè)整體內(nèi)含數(shù)個(gè)群體，    計(jì)數(shù)整體之元素個(gè)數(shù)可由(各群體元素個(gè)數(shù)和)(群體兩兩之共有個(gè)數(shù))(群體三三共有個(gè)數(shù))(四四共有個(gè)數(shù))(B)一般直線(xiàn)排列組合：(1)不重復(fù)排列： (2)重復(fù)排列：由 n個(gè)不同的事件中，任選出 m 個(gè)，

60、60;   可以重復(fù)選擇，排成一列，    叫做 n 中取 m 的重復(fù)排列。它的方法數(shù)共有 種(C)限制位置之排列：(1)   k人必定相鄰：先視k為一整體，排定后再排此k人之位置(2)某些人必不相鄰之排法：    將這些人叫開(kāi)，先排其余，然后把這些人排入間隔(3)男女相間排法：先排男人，再把女人排入間隔（或先排女人，再把男人排入間隔）(4)某人必須排某位置：  先把此人排入此位置，其余n-1人排入其余n-1位置，共(n-1)!方法。例：n人中，甲必須排首之方法共(n-1)(5)錯(cuò)列公

61、式：1、（n人排成一列，規(guī)定甲不排首）之方法為n!-(n-1)!（其系數(shù)與(a-b)之展開(kāi)式系數(shù)相同）2、（n人排成一列，規(guī)定甲不排首，乙不排第二）之方法共n！2(n-1)！+(n-2)！（其系數(shù)與 之展開(kāi)式系數(shù)相同）3、（n人排成一列，規(guī)定甲不排首，乙不排第二，丙不排第三位）之方法共n！3(m-1)！+3(n-2)！-(n-3)！(系數(shù)與 之展開(kāi)式系數(shù)相同)依此可繼續(xù)類(lèi)推(D)環(huán)狀排列及翻轉(zhuǎn)排列：(1)   環(huán)狀排列：1.      n個(gè)元素，取m個(gè)環(huán)狀排列為 2.     

62、; n個(gè)元素，全取之環(huán)狀排列數(shù)為（n-1）！(2)   項(xiàng)鏈排列：不同顏色的n顆珠子成一項(xiàng)鏈有(環(huán)狀數(shù))(3)   桌行排列：正n邊桌坐法= (4)   翻轉(zhuǎn)排列：立體圖形能自由旋轉(zhuǎn)并翻轉(zhuǎn)時(shí)用翻轉(zhuǎn)排列數(shù)= (E)不盡相異物排列(1)設(shè)有n件物品，含有k種不同種列，其第一類(lèi)有 件，    第二類(lèi)有 件，第k類(lèi)有 件等，則將此 n 件排成一列，共有 種不同之排法(2)快捷方式問(wèn)題：    有m條橫街，有n條縱街之走法有 (3)某些元素順序不變，但不一定相鄰之排法： &#

63、160;  中，其中     之順序前后固定，但不一定相鄰的排法有 (F)組合問(wèn)題(1)不可重復(fù)之組合：1. 自n個(gè)不同事物，每次取m個(gè)為一組，     每一組稱(chēng)為一種組合，所有組合的種數(shù)稱(chēng)為組合數(shù)，    以C(n,m) 或 表示。2. 之關(guān)系： (2)可重復(fù)之組合：1. 從n種不同的物件中，每種都多于m個(gè)，     每種對(duì)象可重復(fù)選取，則此種組合，     稱(chēng)為 n 中取 m 的重復(fù)組合。 &

64、#160;   常以 (n,m)或S(n,m) 表示。2. H(n,m)之算法：  (G)組合性質(zhì)：(1)   設(shè) ， (2)   帕斯卡爾定理：設(shè) 則 (3)帕斯卡爾定理討論：         例： (注)：對(duì)應(yīng)帕斯卡爾定理，在排列中有如下之性質(zhì)：1.  2.   （H）重復(fù)排列與重復(fù)組合之比較： (1) (2)1. m種不同東西，取n個(gè)排列方法為mn方法2. m種不同東西，取n個(gè)為一組方法為H(n,m)=C(n+m-1,m)(3) m個(gè)相同物

65、給n人之方法數(shù)共H(n,m)種。(重復(fù)排列)m個(gè)不同物給n人之方法數(shù)共nm種。(重復(fù)組合)(4) (5) 方程式         1.      非負(fù)之整數(shù)解有H(n,m)        2.      正整數(shù)解有H(n,m-n) (其中m n)        (注)：  

66、60;   則非負(fù)整數(shù)解為H(n+1,m)種(6) 求下列之元素組(x1、x2、.、xn)之解的個(gè)數(shù)1. 共有H(m,n)組解2. 共有C(m,n)組解3. 共有 組解（I）分組、分配、分箱之比較： (1)    先依某些數(shù)量分成 n 堆，然后配給 n 人(2)    k 堆個(gè)數(shù)相同，則每k！種應(yīng)合并為一種，故除以n！例：把18種不同物依8，5，5分成三堆共 種方法            

67、0; ，再給三人，共 ×3!種方法。(3)    分箱問(wèn)題：1.      東西相同，箱子相同 算整數(shù)分割數(shù)2.      東西相同，箱子不同 重復(fù)組合3.      東西不同，箱子相同 分組問(wèn)題4.      東西不同，箱子不同 分配問(wèn)題(實(shí)例請(qǐng)參閱徐氏數(shù)學(xué)規(guī)劃(四)（J）有相同元素取部分之排列法： (1)    先討論各組之

68、異同及組別數(shù)(2)    取各組之排法相加例：自Mississippi之字母中取三字共有多少排法？【解】：4個(gè)s，4個(gè)i，2個(gè)p，1個(gè)M1o三同有 種，每種排法 ，共 =22o二同一異有 種，每種排法 ，共 =273o 三異有 種，每中排法3!，共 ，共2+27+24=53種排法。（）二項(xiàng)式定理及多項(xiàng)式定理及組合級(jí)數(shù)： (1)   二項(xiàng)式定理：1.   2.   (2)   二項(xiàng)式定理之應(yīng)用(組合級(jí)數(shù)公式)1.      2.  

69、60;   3.      4.      (3)   多項(xiàng)式定理：設(shè)n、m為任意自然數(shù) 為任意數(shù)，則 =   其中 (A)集合：(1)   集合：由一些明確而可確定之東西所組成之群體，                  常用大字英文字母表示。元素：組合集合(

70、群體)之每個(gè)東西叫集合之元素，            常用小自英文字母表示。(2)   空集合：不含任何元素之集合，以 或 表示。(3) 元素；    之元素    中每一元素均為T(mén)之元素     中至少有一元素不在T中(3)   集合運(yùn)算：1.聯(lián)集合： 2.交集合： 。3.差集合： 。4.積集合： 。(5).宇集合及補(bǔ)集：1. 宇集合：  

71、60;  吾人討論一事，則涉及元素所成之集合     叫做宇集(或基集)通常以 表示2. 補(bǔ)集： (6).集合運(yùn)算性質(zhì)：(設(shè)A,B,C表任意三集合) 1.      結(jié)合律： 2.      交換律： ； 3.      分配律： 4.      狄摩根定律： ； (7)有限集合元素個(gè)數(shù)計(jì)算公式：1. 2. (B)樣本空間與事件：(1) 

72、  樣本空間：一項(xiàng)試驗(yàn)中所有可能發(fā)生的結(jié)果所形成的集合。(2)   樣本點(diǎn)：樣本空間中的每一元素(即每一可能發(fā)生的結(jié)果)，稱(chēng)為一個(gè)樣本點(diǎn)或簡(jiǎn)稱(chēng)樣本。(3)   事件：樣本空間中每一部份集合(包括空集合)均為對(duì)此樣本空間之一事件，簡(jiǎn)稱(chēng)一事件。(4)   余事件：在一試驗(yàn)中，若A為一事件，S為樣本空間，在S中但不在A(yíng)之樣本點(diǎn)亦成一事件A，則A叫A之余事件。(亦可用 表示)(5)   互斥事：如果 ，稱(chēng)A,B為互斥事件，也就是說(shuō)事件A,B不可能同時(shí)發(fā)生。(C)機(jī)率(1)   古典機(jī)率：設(shè)一樣

73、本空間由n個(gè)元素所組成，又設(shè)每一元素皆具有相等的機(jī)會(huì)，則定義事件A的機(jī)率為A中元素個(gè)數(shù)對(duì)n之比。記為 ，其中 表A之元素個(gè)數(shù)。(2)   統(tǒng)計(jì)機(jī)率；(又叫試驗(yàn)機(jī)率)一實(shí)驗(yàn)試行n次其中出現(xiàn)A事件為n(A)次，則事件A出現(xiàn)機(jī)率為 (3)   幾何機(jī)率：A表事件，則 (D)機(jī)率性質(zhì)：(1) (2)  (3) (4) (5)若A,B為互斥，則 (6)成功優(yōu)勝率 (7)A,B為二事件，若 （）條件機(jī)率：(1)條件機(jī)率：一實(shí)驗(yàn)中，事件發(fā)生，而又發(fā)生所占之比稱(chēng)為中發(fā)生之條件機(jī)率，以 表示。即 。(2)性質(zhì)：          （）樣本空間之分割與貝士定理：貝士定理：若 時(shí)， 且 （樣本空間），