八年級(jí)數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中平行四邊形存在性問(wèn)題的探究

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中平行四邊形存在性問(wèn)題的探究一、知識(shí)點(diǎn)綜述 動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是近幾年各地中考的重中之重，也是教學(xué)的難點(diǎn)，其中平行四邊形的存在性問(wèn)題是其中的一種題型。此類題目通常與代數(shù)式、平面直角坐標(biāo)系、勾股定理、平行四邊形及特殊平行四邊形的判定等結(jié)合起來(lái)，綜合性特別強(qiáng)。二、典型圖形分析 圖形條件結(jié)論ABCD為平行四邊形A(xA，yA)、B(xB，yB)、C(xC，yC)、D(xD，yD)xA+ xC= xB+ xDyA+ yC= yB+ yDA、B、C是已知點(diǎn)，以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形這樣的四邊形有三個(gè)：四邊形FACB、四邊形ABCD、四邊形ABEC三、易錯(cuò)點(diǎn)分析1

2、. 注意區(qū)分“以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形”和“四邊形ABCD”的不同之處；2. 注意分析動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，看它是否反復(fù)運(yùn)動(dòng)而存在多種情況；3. 看清題目，注意“當(dāng)AB=CD和ABCD時(shí)，分別求出動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間”和“當(dāng)AB=CD且ABCD時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間”之間的區(qū)別.下面我們就以一些具體實(shí)例加以分析論述.四、典型例題 例題1. 如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（1，0），B（2，0），C（0，1）為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，則平行四邊形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是圖1-1例題2. 如圖2-1，在四邊形ABCD中，ABDC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿ADC向

3、終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)當(dāng)四邊形PQBC為平行四邊形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（ ）圖2-1A4s B3s C2s D1s例題3. 如圖3-1所示，在ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MNBC設(shè)MN交ACB的平分線于點(diǎn)E，交ACB的外角平分線于點(diǎn)F（1）求證：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由圖3-1例題4. 如圖4-1，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿折線DCBAD方向以2單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿折線DABCD方向以1

4、單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)，.（1）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，多長(zhǎng)時(shí)間相遇？（2）若點(diǎn)E在線段BC上，且BE=3. 若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，幾秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形. 圖4-1例題5如圖5-1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（3，0），（0，6），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)以CP，CO為鄰邊構(gòu)造PCOD在線段OP延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)E，且滿足PEAO（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，求此時(shí)四邊形ADEC的周長(zhǎng)是多少？圖5-1

5、例題6. 如圖6-1，在矩形ABCD中，AB30 cm，BC10 cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿折線ABCD以6 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿折線CDB以6 cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)當(dāng)t為何值時(shí)，以Q、P、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？圖6-1例題7. 如圖7-1，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE的延長(zhǎng)線上，并且AF=CE（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當(dāng)B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論圖7-1例題8. 如圖8-1所示，

6、在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A即停止；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止點(diǎn)P、Q的速度都是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連結(jié)PQ，AQ，CP，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形ABQP是矩形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形？（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長(zhǎng)和面積圖8-1例題9. 如圖9-1，在RtABC中，ACB=90，過(guò)點(diǎn)C的直線MNAB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE（1）求證：CE=AD；（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；

7、（3）若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由圖9-1答案與解析題1. 如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系中，以A（1，0），B（2，0），C（0，1）為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，則平行四邊形頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是圖1-1【答案】(3,1)或(-3,1)或(1,-1).【解析】分兩種情況討論：AB為邊，則AB=CD=3，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為(3,1)或(-3,1)AB為對(duì)角線，根據(jù)xA+ xB= xC+ xD，yA+ yB= yC+ yD得：xD=1，yD=-1，即D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1).故答案為：(3,1)或(-3,1)或(1,-1).題2. 如圖2-1，在四邊形ABCD中，

8、ABDC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿ADC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)當(dāng)四邊形PQBC為平行四邊形時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（ ）圖2-1A4s B3s C2s D1s【答案】B. 【解析】因?yàn)锳BCD，即PCBQ，所以只需PC=BQ時(shí)，四邊形PQBC為平行四邊形設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則PC=AD+CD3t，BQ=t5+73t=t解得：t=3故答案為：B. 題3. 如圖3-1所示，在ABC中，點(diǎn)O是邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)O作直線MNBC設(shè)MN交ACB的平分線于點(diǎn)E，交ACB的外角平分線于點(diǎn)F（1）求證：OE=OF；（2）若

9、CE=12，CF=5，求OC的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說(shuō)明理由圖3-1【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）如圖3-2所示.圖3-2證明：CE平分ACB，CF平分ACB的外角，2=5，4=6，MNBC，1=5，3=6，1=2，3=4，EO=CO，F(xiàn)O=CO，OE=OF；（2）解：2=5，4=6，2+5+4+6=1802+4=5+6=90，CE=12，CF=5，在RtCEF中，由勾股定理得：EF=13，又O是EF的中點(diǎn)OC=EF=6.5；（3）解：當(dāng)點(diǎn)O在邊AC上運(yùn)動(dòng)到線段AC中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形證明：當(dāng)O為AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，EO=FO，四邊形

10、AECF是平行四邊形，ECF=90，平行四邊形AECF是矩形題4. 如圖4-1，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿折線DCBAD方向以2單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿折線DABCD方向以1單位每秒的速度運(yùn)動(dòng)，.（1）若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，多長(zhǎng)時(shí)間相遇？（2）若點(diǎn)E在線段BC上，且BE=3. 若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，幾秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形. 圖4-1【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，x秒相遇，由題意得：2x+x=2(4+8)解得：x=8.即8秒點(diǎn)M、N相遇.（2）分兩種情況討論：AE為邊時(shí)，如圖4-2所示.圖4-2因

11、為ANEM，只需AN=EM時(shí)，AEMN為平行四邊形設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AN=8t，CM=2t4，EM=5CM=92t，所以8t=92t，解得：t=1不符合題意，舍去.AE為對(duì)角線時(shí)，如圖4-3所示.圖4-3因?yàn)锳NEM，只需AN=EM時(shí)，AEMN為平行四邊形設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AN=8t，CM=2t4，EM= CM5=2t9，所以8t=2t9，解得：t=.所以秒時(shí)，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形.題5如圖5-1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（3，0），（0，6），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BO方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)以CP，

12、CO為鄰邊構(gòu)造PCOD在線段OP延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)E，且滿足PEAO（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：四邊形ADEC為平行四邊形；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，求此時(shí)四邊形ADEC的周長(zhǎng)是多少？圖5-1【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）證明：連接CD交AE于F，如圖5-2所示.圖5-2四邊形PCOD是平行四邊形，CFDF，OFPF，PEAO，AFEF，又CFDF，四邊形ADEC為平行四邊形；（2）解：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒時(shí)，OP，OC3，則OE，在RtAOC中，由勾股定理得，AC，在RtCOE中，由勾股定理得，CE，四邊形ADEC為平行四邊形，周長(zhǎng)為（+）2題6. 如圖6-1，在矩形ABCD中，A

13、B30 cm，BC10 cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿折線ABCD以6 cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始沿折線CDB以6 cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)D時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)當(dāng)t為何值時(shí)，以Q、P、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？圖6-1【答案】見(jiàn)解析.【解析】依據(jù)點(diǎn)P、Q所在不同位置分類討論：如圖6-2所示，點(diǎn)P在線段AB上，點(diǎn)Q在線段CD上時(shí)，圖6-2根據(jù)題意得：CQ=6t，AP=6t，則BP=306t，四邊形ABCD是矩形B=C=90，CDAB，只有CQ=BP時(shí)四邊形QPBC是矩形，即6t=306t解得：t=即當(dāng)t=時(shí)，四邊形QPBC是

14、矩形如圖6-3所示，點(diǎn)P在線段CD上，點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，圖6-3根據(jù)題意得：BQ=706t，CP=6t40，當(dāng)BQ=CP時(shí)四邊形QPBC是矩形，即706t =6t40解得：t=即當(dāng)t=時(shí)，四邊形QPBC是矩形題7. 如圖7-1，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE的延長(zhǎng)線上，并且AF=CE（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；（2）當(dāng)B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請(qǐng)回答并證明你的結(jié)論圖7-1【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）證明：DE為BC的垂直平分線，EDB=90，BD=DC，又ACB=90，DEAC，E為AB的中點(diǎn)，在RtABC中，CE=

15、AE=BE，AEF=AFE，且BED=AEF，DEC=DFA，AFCE，又AF=CE，四邊形ACEF為平行四邊形；（2）解：當(dāng)B=30時(shí)，四邊形ACEF是菱形，理由如下：因?yàn)锽=30，所以BAC=60又EC=AE，所以AEC是等邊三角形，所以EC=AC，又ACEF為平行四邊形所以ACEF為菱形.故當(dāng)B=30時(shí)，四邊形ACEF是菱形.題8. 如圖8-1所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A即停止；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止點(diǎn)P、Q的速度都是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，連結(jié)PQ，AQ，CP，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊

16、形ABQP是矩形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AQCP是菱形？（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長(zhǎng)和面積圖8-1【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）解：因?yàn)锳BCD為矩形，所以APBQ，當(dāng)AP=BQ時(shí)，ABQP為矩形，由題意知：AP=122t，BQ=2t，所以122t=2t，解得：t=3.即t=3時(shí)，四邊形ABQP是矩形.（2）解：由題意知：BQ=PD，由矩形性質(zhì)得：AD=BC所以CQ=AP，又CQAP，所以四邊形AQCP是平行四邊形，當(dāng)AQ=QC時(shí)，AQCP是菱形，即AQ2=QC2，在RtABQ中，由勾股定理得：AQ2=AB2+BQ2，所以82+(2t)2=(122t)2，解得：t=，即t=時(shí)，四邊形AQCP是菱形.（3）由（2）知：AP=122t= 所以菱形AQCP的周長(zhǎng)為：，菱形AQCP的面積為：.題9. 如圖9-1，在RtABC中，ACB=90，過(guò)點(diǎn)C的直線MNAB，D為AB邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE（1）求證：CE=AD；（2）當(dāng)D在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說(shuō)明你的理由；（3）若D為AB中點(diǎn)，則當(dāng)A的大小滿足什么條件時(shí)，四邊形BECD是正方形？請(qǐng)說(shuō)明你的理由圖9-1【答案】見(jiàn)解析.【解析】（1）證明：DEBC，DFB=90，ACB=9