運用MATLAB語言解決級數(shù)及其相關問題李娟娟

1、MATLAB語言課程論文運用MATLAB語言解決級數(shù)及其相關問題姓名：李娟娟 專業(yè)：電子信息工程 班級：2010級電子班指導老師：湯全武學院：物理電氣信息學院完成日期：2011/12/12運用MATLAB語言解決級數(shù)及其相關問題摘要無窮級數(shù)是高等數(shù)學中的一個重要組成部分，它是表示函數(shù),研究函數(shù)的性質以及進行數(shù)值計算的一種工具。運用MATLAB語言來求解無窮級數(shù)求和、冪級數(shù)展開、泰勒級數(shù)展開以及研究傅里葉級數(shù)提供了方便，并且在復變函數(shù)中解決級數(shù)問題也可由MATLAB來完成。同時運用高等數(shù)學中級數(shù)來解決日常實際問題的情況也可通過MATLAB程序來完成。MATLAB的運用大大減少工作量、節(jié)約時間，同

2、時加深對高等數(shù)學、復變函數(shù)及MATLAB語言的理解和學習。關鍵詞MATLAB語言 無窮級數(shù) 級數(shù)求和 泰勒級數(shù) 傅里葉級數(shù)一、問題的提出級數(shù)作為高等數(shù)學和復變函數(shù)中的必學內容，要求我們必須掌握其定理內容及計算方法。但級數(shù)強大的計算量和多字母的表達示讓很多人無從下手，加上出錯率高，更給級數(shù)運算再添麻煩。為解決這一問題我們現(xiàn)在運用MATLAB語言來求解高等數(shù)學中的級數(shù)問題，涉及常系數(shù)項級數(shù)求和、泰勒級數(shù)展開成冪級數(shù)以及函數(shù)的傅里葉級數(shù)的展開等。二、常數(shù)項級數(shù)的求和與審斂高數(shù)中，一般的，如果給定一個數(shù)列則由這數(shù)列構成的表達式： (1)叫做（常數(shù)項）級數(shù)，記為，即=其中第n項叫做級數(shù)的一般項。做（常數(shù)

3、項）級數(shù)（1）的前n項和 (2)稱為級數(shù)的(1)部分和，當n依次取1,2,3，時，他們構成一個新數(shù)列 如果這個數(shù)列的極限存在，則稱該級數(shù)收斂，并稱級數(shù)的部分和(2)為級數(shù)的和。在MATLAB語言中，用于級數(shù)求和的命令是symsum(),該命令的應用格式為：Symsum(a,v,m,n)其中：a表示級數(shù)的通項表達式，是一個符號表達式。V是通向中的求和變量，v省略時使用系統(tǒng)的默認變量。m和n分別是求和變量的開始項和末項，如果m、n缺省，則v從0變到V-1。問題1：求下列級數(shù)的和（1）（2）分析：運用傳統(tǒng)方式，我們需要計算通項的極限，繁瑣費時，出錯率高?，F(xiàn)在我們用MATLAB語言來解決：解：利用MA

4、TLAB語言中的symsum函數(shù)設計程序如下：clearsyms n %定義符號變量nf1=(2*n-1)/2n; %級數(shù)（1）的通項表達式f2=1/(n*(2*n+1); %級數(shù)（2）的通項表達式 I1=symsum(f1,n,1,inf) %求I1I2=symsum(f2,n,1,inf) %求I2運行結果為：I1 = 3 I2 = 2-2*log(2)數(shù)學表達式為：I1=3; I2=。 本例是收斂的情況，如果發(fā)散，則求得的和為inf。因此，本方法就可以同時用來解決求和問題和收斂性問題。問題2：求下列級數(shù)的和（1）（4）此題涉及函數(shù)解決難度大，運用MATLAB解題方便省時。解：MATLAB

5、程序如下：Clear syms n x %定義符號變量n、xf3=sin(x)/n2; %級數(shù)（1）的通項表達式f4=(-1)(n-1)*xn/n; %級數(shù)（2）的通項表達式I3=symsum(f3,n,1,inf) %求I3I4=symsum(f4,n,1,inf) %求I4運行結果為：I3 = 1/6*sin(x)*pi2 I4 = log(1+x)數(shù)學表達式為：I3=；I4=。 從這個例子可以看出，symsum()這個函數(shù)不但可以處理常數(shù)項級數(shù)，也可以處理函數(shù)項級數(shù)。三、函數(shù)的泰勒展開式級數(shù)是高等數(shù)學中函數(shù)的一種重要表示形式，有許多復雜的函數(shù)都可以用級數(shù)簡單地來表示，而將一個復雜的函數(shù)展

6、開成冪級數(shù)并取其前面的若干項來近似表達這個函數(shù)是一種很好的近似方法，在學習級數(shù)的時候，我們知道將一個函數(shù)展開成級數(shù)有時是比較麻煩的，現(xiàn)在介紹用MATLAB語言來展開函數(shù)的方法。若設函數(shù)在點的某領域內能展開成冪級數(shù)，即有 （1）那么，根據(jù)和函數(shù)的性質，可知在內應具有任意階導數(shù)，且由此可得 于是 (n=0,1,2,) （2） 這就表明，如果函數(shù)有冪級數(shù)展開式(1),那么該冪級數(shù)的系數(shù)有公式（2）確定，即該冪級數(shù)必為 （3）而展開式必為 （4） 冪級數(shù)（3）叫做函數(shù)在點處的泰勒級數(shù)，展開式（4）叫做函數(shù)在點處的泰勒展開式。 在MAILAB語言中，用于冪級數(shù)展開的函數(shù)為taylor()。其調用格式為：

7、Taylor(f,v,n,a)該函數(shù)將函數(shù)f按變量v展開為泰勒級數(shù)，展開到第n項（即變量v的n-1次冪）為止，n的默認值為6.v的默認值與diff函數(shù)相同。參數(shù)a指定將函數(shù)f在自變量v=a處展開，a的默認值是0，即邁克勞林展開。問題3：將函數(shù)展開為冪級數(shù)，分別展開至5次和20次分析：高等數(shù)學中解法：所給函數(shù)的各階導數(shù)為順序循環(huán)的取0,1,0，-1(n=0,1,2,3,),于是得級數(shù)，它的收斂半徑又因為：對于任何有限的數(shù)、（在0與之間），余項的絕對值當時的極限為零。因此的展開式（， ）由上可知，解題過程繁瑣且計算量大、易出錯，相應的我們下面運用MATLAB語言來完成。解：MATLAB程序為：cl

8、earsyms x %定義字符變量f=sin(x); %函數(shù)表達式taylor(f) %求函數(shù)的5階泰勒級數(shù)展開式taylor(f,20) %求函數(shù)的20階泰勒級數(shù)展開式運行結果為：ans = x-1/6*x3+1/120*x5ans =數(shù)學表達式為：5階展開式： 20階展開式： 問題4：將函數(shù)展開為x 的冪級數(shù)，m 為任意常數(shù)。展開至4次冪。分析：高等數(shù)學中解法：的各階導數(shù)為所以 ，, ,于是得級數(shù)這級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)之比的絕對值，因此，對于任何實數(shù)m這級數(shù)在開區(qū)間（-1,1）內收斂到函數(shù)F(x): 下面證明。 逐項求導，得，兩邊各乘以，并把含有(n=1,2,)的兩項合并起來。根據(jù)恒等式（n

9、=1,2,）可得 現(xiàn)在令 ，于是，且 =0所以（常數(shù)）。但是，從而，即。因此在區(qū)間（-1,1）內展開式 由此看出解題過程過于復雜、耗時久且出錯率高，掌握起來難。現(xiàn)在我們用MATLAB語言來解決：解：MATLAB程序為： clearsyms x m %定義字符變量f=(1+x)m; %F(x)的函數(shù)表達式taylor(f,5) %函數(shù)的4次泰勒展開式運行結果為：ans =1+m*x+1/2*m*(m-1)*x2+1/6*m*(m-1)*(m-2)*x3+1/24*m*(m-1)*(m-2)*(m-3)*x4數(shù)學表達式為： 四、函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開傅里葉級數(shù)的運用很廣泛，在解決電路分析、信號與系統(tǒng)

10、及大學物理中都有重要應用，其求解公式簡單、含義明確，但對一些常見的周期函數(shù)中，應用公式求傅里葉級數(shù)時，常常面臨較大的計算量，而且出錯幾率很高?，F(xiàn)在我們利用MATLAB語言來編程求解函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式。先來認識傅里葉級數(shù)：設是周期為的周期函數(shù)，且能展開成三角級數(shù)： （5）先求。對（5）式從到積分，假設（5）式右端級數(shù)可逐積分，因此有。根據(jù)三角函數(shù)系的正交性，等式右端除第一項外，其余各項均為零，所以于是得其次求。用乘（5）式兩端，再從到積分，我們得到 =。根據(jù)三角函數(shù)正交系，等式右端k=n的一項外，其余各項均為零，所以，于是得 (n=1,2,)類似的，用乘（5）式的兩端，再從到積分，可得 (n

11、=1,2,)由于當n=0時，的表達式正好給出，因此，已得結果可以合并寫成 (n=1,2,) (n=1,2,)如果兩式的積分都存在，這時他們定出的系數(shù),叫做的傅里葉系數(shù)，將這些系數(shù)代入（5）式右端，所得的三角級數(shù)叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù)。在MATLAB語言中，沒有專門求傅里葉級數(shù)的函數(shù)調用。但我們可以借助函數(shù)int()利用傅里葉級數(shù)展開式公式來編寫相應的計算函數(shù)。程序如下：先定義函數(shù)myfly.m:function a0,ak,bk=myfly(f) %定義輸出參數(shù)和輸入參數(shù)及函數(shù)名syms k x %定義符號變量k xa0=int(f,x,-pi,pi)/pi; %求a0的積分函數(shù)語句ak=int

12、(f*cos(k*x),x,-pi,pi)/pi; %求ak的積分函數(shù)語句bk=int(f*sin(k*x),x,-pi,pi)/pi; %求bk的積分函數(shù)語句注意，該文件一定要以myfly.m為文件名。這樣得到的是公式，如果要計算出具體的數(shù)值，則可以用下面的方法實現(xiàn)：現(xiàn)將ak，bk的計算公式分別編制成獨立的函數(shù)，并以相應的文件名命名這里先編制兩個m文件，其內容分別為：%fourieran.mfunction an=fourieran(f,n) %定義函數(shù)文件fourieransyms x %定義符號變量xan=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi; %求an%fourier

13、bn.mfunction bn=fourierbn(f,n) %定義函數(shù)文件fourierbnsyms x %定義符號變量xbn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi; %求bn接著，再編寫程序如下：clearsyms x n %定義符號變量x nf=x2 %函數(shù)表達式a0=fourieran(f,0) %調用函數(shù)文件fourieran求a0;a=zeros(1,10) %建立一個1*10的零矩陣b=zeros(1,10) %建立一個1*10的零矩陣for n=1:10 %n為1到10間隔為1的一組數(shù)a(n)=fourieran(f,n); %調用函數(shù)文件fourieran求

14、a(n)endfor n=1:10 %n為1到10間隔為1的一組數(shù) b(n)=fourierbn(f,n); %調用函數(shù)文件fourierbn求b(n)end即可完成前21個傅立葉系數(shù)的計算。問題6：求函數(shù) 在 上的傅立葉級數(shù)。解：先求出傅立葉系數(shù)，程序如下：clearsyms x n %定義字符變量x、nf=x2 %被積函數(shù)表達式a0=int(f,x,-pi,pi)/pi %求a0an=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi %求anbn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi %求bn運行結果為：f =x2a0 =2/3*pi2an =2*(n2*pi2*s

15、in(pi*n)-2*sin(pi*n)+2*pi*n*cos(pi*n)/n3/pibn =0數(shù)學表達式為： 這里，我們得到了傅立葉系數(shù)的公式，只要代入具體的n就可以得到結果了。四、結論由以上的利用MATLAB語言解決高等數(shù)學中級數(shù)求和、泰勒級數(shù)展開成冪級數(shù)及函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式的分析，我們不難看出得出以下結論：1、MATLAB語言可以解決高等數(shù)學中有關于技術的相關計算；2、運用MATLAB語言解決高等數(shù)學中級數(shù)的相關問題簡單方便、可操作性強、節(jié)約時間、減少出錯率；3、MATLAB語言應用廣泛，幫助解決各類學科中的難點、要點，方便省時。五、課程體會通過MATLAB語言一學期的學習，我們也漸

16、漸擺脫剛開始的盲目和不解，開始有了自己對MATLAB語言的認識和了解，也體會到運用MATLAB語言解題真的可以帶來方便。MATLAB為我們打開了一扇窗，讓我們對計算機編程語言有了初步認識，作為一名學習電子信息工程專業(yè)的學生，學習和掌握編程是很重要的?，F(xiàn)在的我們對專業(yè)知識還不太了解，許多專業(yè)課還沒有開，但從學長和老師們口中我們知道計算機編程語言是基礎，大一時學過的C語言是學好其他編程語言的基礎，而我們在學習MATLAB語言時也感到有很多知識和C語言很相似，結合原來學的C語言對理解MATLAB語言有很大幫助。這些計算機編程語言對我們以后學習必不可少，至少下學期開的信號與系統(tǒng)就會用到有關MATLAB語言的知識，在以后的單片機等編程中也有涉及。因此學會MATLAB的基本使用格式、函數(shù)調用方法、各種工具箱的使用、繪圖基本操作等對以后的學習至關重要。MATLAB語言的應用相當廣泛，不僅可以用到高等數(shù)學、復變函數(shù)、大學物理、電路分析、模擬電路分析等一系列基礎課程的學習，而且對于以后專業(yè)課的學習也有很大幫助。利用MATLAB語言解決在其它學科的應用時簡單方便、節(jié)約時間、操作性強，切實解決利用數(shù)學計算方法解題繁瑣費時、出錯率高的難題，而且在例題引用和公式定理證明時能快速給出正確的答案，減少由于手動計算出錯而帶來的不必要麻煩。另外它MATLAB語言簡單易學，相對于其它計算機語言MATLA