辛苦直線過定點(diǎn)問題

1、直線過定點(diǎn)問題：1.點(diǎn)斜式法：將直線程化成的形式，則定點(diǎn)坐標(biāo)為.例1：已知直線（為常數(shù)，為參數(shù)），不論取值，直線總過定點(diǎn) 2. 分離系數(shù)法：若已知程是含有一個(gè)參數(shù)的直線系程，則我們可以把系數(shù)中的分離出來，化為的形式.由解出和的值，即得定點(diǎn)坐標(biāo).例2：無論取實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為 3.特殊值法：例3：無論取實(shí)值，所表示的直線恒過一定點(diǎn)，此定點(diǎn)坐標(biāo)為 對(duì)稱問題一 點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題：例1：已知，求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).二 直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題：例2：求直線：關(guān)于對(duì)稱的直線的程.三 點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題：例3：求與點(diǎn)關(guān)于直線：對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).四 直線關(guān)于直線的對(duì)稱問題：例4：求直線：關(guān)

2、于：對(duì)稱的直線的程.思維拓展：例1：在直線：上求一點(diǎn)P，使得：（1）P到和的距離之差最大；（2）P到和的距離之和最小.例2：在中，點(diǎn)B，C分別在及軸上游動(dòng)，求的長的最小值.例3：函數(shù)的最小值是 直線斜率在解題中的應(yīng)用 1.構(gòu)造直線斜率解決數(shù)列問題.例1 在等差數(shù)列中,.解: 從函數(shù)的觀點(diǎn)來看,在等差數(shù)列中,通項(xiàng)是自變量的一次函數(shù),則兩點(diǎn)即都在一次函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線上,直線斜率為=3.由直線程的點(diǎn)斜式可得:,整理得.所以. 例2 已知等差數(shù)列中的三個(gè)數(shù)都是正數(shù),且公差不為零,求證它們的倒數(shù)組成的數(shù)列不可能成等差數(shù)列.證明:令,所以不可能成等差數(shù)列.因?yàn)橐蔀榈炔顢?shù)列,則A,B,C三點(diǎn)必須在同一條直

3、線上.若與同時(shí)成為等差數(shù)列,則A,B,C三點(diǎn)共線,可得即由等式成立,所以,這與公差不為零矛盾,故不可能成等差數(shù)列. 2. 構(gòu)造直線斜率證明不等式問題. 例3 已知都是正實(shí)數(shù),并且,求證:. Y 證明: 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn),點(diǎn). 由知點(diǎn)A在直線在(圖1)第三象限的圖像上,點(diǎn)B在直線在第一象限的圖像的下,于是可得斜率,即.原不等式得證. 3. 構(gòu)造直線斜率求三角函數(shù)值域. 例4 求函數(shù)的值域. 分析: 注意到函數(shù)式為點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率且點(diǎn)在圓上,問題就解決了. 解: 表示點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率,而在圓上.如圖2,過點(diǎn)AOX作單位圓的切線AB和AC.可設(shè)切線程為C,則有,整理可解得(圖2).

4、于是所求函數(shù)的值域?yàn)?例4當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是（ ）A. 2 B. C. 4 D. 解：原式化簡為，則y看作點(diǎn)A（0，5）與點(diǎn)的連線的斜率。圖3因?yàn)辄c(diǎn)B的軌跡是即過A作直線，代入上式，由相切（0）可求出，由圖象知k的最小值是4，故選C。說明：也可用三角函數(shù)公式變換求最值或用求導(dǎo)的法求最值等。但將問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系使問題解決的十分準(zhǔn)確與清晰。 4. 構(gòu)造直線斜率解決變量或參數(shù)圍問題. 例5若在圓上運(yùn)動(dòng),求的取值圍. 解: 因?yàn)槭侵本€的斜率. 在圓上,當(dāng)點(diǎn)是由原點(diǎn)O向圓作切線的切點(diǎn)時(shí)(如圖3), 取到最大值與最小值.設(shè)直線的斜率為,直線的程為,圓心C的坐標(biāo)為,半徑為.由于圓心C到切線的

5、距離等于半徑,于是可得程:(圖3) 解得. 所以的取值圍為. 例6若關(guān)于的程組的解中,有一組全為負(fù)值,求的取值圍. Y 解: 從形的角度入手,程(1)變形為,它表示過定點(diǎn),斜率為的直線程.程(2)表示以為圓心,半徑為4的圓,如圖4.滿足條件的應(yīng)滿足.這樣交點(diǎn)才能落在劣弧AB上,而.(圖4)因此 .5. 解應(yīng)用問題例7. 如圖6，A、B、C、D四村在矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)處，千米，BC4千米，在四村之間要修如圖所示的路，其中。怎樣修才能使總的路長最短？圖6解：分別延長FE、EF與AB交于H，與DC交于G設(shè)（為銳角），則則道路總長要求s的最小值，只需求的最小值，即求點(diǎn)P（0，2）與點(diǎn)Q（）所成直線的斜率的最小值。因?yàn)镼點(diǎn)的軌跡為如圖7，由點(diǎn)P、Q所確定的直線程為圖7當(dāng)直線與相切時(shí)，即60°6比較大小例8. 若，則（ ）A. B. C. D. 解：因?yàn)?，表示函?shù)的圖象上的點(diǎn)（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)O連線的斜率，如圖1，則圖1由圖象可知：即，選C。說明：也可