調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的多種證明方法

1、邯鄲學(xué)院本科畢業(yè)論文高 昌摘 要 調(diào)和級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)典型的正項(xiàng)發(fā)散級(jí)數(shù)，證明它發(fā)散性的方法有很多本文主要給出了證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的11種比較常見的方法筆者將搜集到的證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的方法進(jìn)行了進(jìn)一步的整理，使之成為一套具有簡(jiǎn)單邏輯性的體系根據(jù)各種方法的特點(diǎn)，筆者把這些方法分別歸在了比較類、柯西類、積分類和級(jí)數(shù)和為無(wú)窮大類四個(gè)大類下在每個(gè)大類下都有兩個(gè)到四個(gè)不同的證明方法為了方便將各種方法放在一起進(jìn)行比較，筆者在對(duì)各種方法進(jìn)行整理時(shí)，對(duì)原來(lái)有些方法的書寫和步驟都有所改動(dòng)，呈現(xiàn)形式與原證不同關(guān)鍵詞 調(diào)和級(jí)數(shù) 發(fā)散性 判別 收斂Proofs of the divergency of harmon

2、ic series Gao chang Directed by Associate Prof. Lou XijuanAbstract Harmonic series is the mathematical analysis of a typical positive divergent series, proof it divergent method has a lot of. This article mainly gives proof harmonic diverges 11 kinds of common methods. The author will gather to proo

3、f method of harmonic diverges underwent further consolidation, make it become a set of has a simple logical system. According to the characteristics of various methods, the author put these methods shall compared respectively in classes, cauchy class, integral classes and series and four categories

4、such as infinite. In each categories below two to four different methods of proof. In order to facilitate the comparison of various methods, the author put together in various methods to the original collation, some methods of writing and steps are varies, present form and the original license diffe

5、rent. Keywords Harmonics SeriesDivergency Discriminate Convergency 目 錄摘要I外文頁(yè)II1引言12調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明方法12.1 比較類12.2 柯西類32.3 積分類42.4 和為無(wú)窮大類53總結(jié)7參考文獻(xiàn)8致謝9調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的多種證明方法引言調(diào)和級(jí)數(shù)是級(jí)數(shù)中具有代表性的一個(gè)級(jí)數(shù)，很早人們就開始對(duì)它發(fā)散性的證明進(jìn)行研究并且不少知名的學(xué)者和大數(shù)學(xué)家都參與其中最早證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的是法國(guó)學(xué)者尼古拉奧雷姆，在極限概念完全理解之前400年證明的后來(lái)，大數(shù)學(xué)家伯努力也給出了一種經(jīng)典的證明隨著科學(xué)的不斷發(fā)展，到現(xiàn)在證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的

6、方法有近二十種本文主要講搜集到的比較常見的證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的11種方法并進(jìn)行了進(jìn)一步的整理，按照比較、柯西、積分、和為無(wú)窮大四個(gè)條件進(jìn)行簡(jiǎn)單歸類，使之形成一套比較完備的體系，更方便讀者對(duì)各種證明方法的閱讀和比較為了方便比較，有些方法采取了與原證不同的呈現(xiàn)形式本論文對(duì)數(shù)學(xué)分析中級(jí)數(shù)斂散性學(xué)習(xí)和研究，尤其是初學(xué)者，會(huì)有很大幫助2調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明方法2.1 比較類比較判別法是證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂收斂或發(fā)散最常用的方法多數(shù)情況下，利用我們所熟知的收斂或發(fā)散的級(jí)數(shù)與未知的級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，就能得出結(jié)論對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)，利用比較法證明其發(fā)散的思路主要有兩類一是利用加括號(hào)法則，把原級(jí)數(shù)變形，再通過(guò)放縮或其它方法得到一

7、個(gè)熟悉的并且使它大于調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散級(jí)數(shù)通過(guò)比較判別法得出結(jié)論二是找到一個(gè)發(fā)散級(jí)數(shù)，并且它的通項(xiàng)與調(diào)和級(jí)數(shù)的通項(xiàng)比是一個(gè)非零常數(shù)，這就可以由找到的級(jí)數(shù)的發(fā)散性判定調(diào)和級(jí)數(shù)的發(fā)散性下面給出的前兩種方法用的是第一種思路，后兩種是第二種思路 方法1依次將一項(xiàng)，一項(xiàng)，二項(xiàng)，四項(xiàng)，八項(xiàng)，十六項(xiàng)括在一起得，這是一個(gè)新級(jí)數(shù)，斂散性與原級(jí)數(shù)相同它的各項(xiàng)均大于級(jí)數(shù) 的對(duì)應(yīng)項(xiàng)顯然，第二個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的由比較判別法知，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.（此方法是法國(guó)學(xué)者尼古拉奧雷姆在極限概念被完全理解之前的400年證明的）方法2依次將九項(xiàng)，九十項(xiàng)，九百項(xiàng)，括在一起得，這是一個(gè)新級(jí)數(shù)，斂散性與原級(jí)數(shù)相同它的各項(xiàng)均大于級(jí)數(shù) 的對(duì)應(yīng)項(xiàng)顯然，第二

8、個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的由比較判別法知，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散方法3利用不等式：，它的各項(xiàng)均大于下面級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)項(xiàng).假設(shè)上面的級(jí)數(shù)是收斂的，則它的和大于它的部分和。它的部分和為.所以，第二個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的通過(guò)比較判別法可知，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散方法4應(yīng)用級(jí)數(shù)（其中與級(jí)數(shù)有相同的收斂性取 ，而級(jí)數(shù) 發(fā)散故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散2.2 柯西類柯西準(zhǔn)則及其相關(guān)推論也是證明級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的常用方法證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，我們可以用級(jí)數(shù)發(fā)散的柯西準(zhǔn)則，也可用級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則得出矛盾結(jié)論（反證法）本節(jié)中方法一用的是級(jí)數(shù)發(fā)散的柯西準(zhǔn)則，方法二用的是級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則方法1級(jí)數(shù)發(fā)散的充要條件：存在正數(shù)，對(duì)任何正整數(shù)，以及存在正整數(shù)和，有. 對(duì)于調(diào)和級(jí)數(shù)，

9、令，則有.因此，取，對(duì)任何正整數(shù)和符合上述條件，所以調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的（此方法被多本大學(xué)數(shù)學(xué)教材采用，做為應(yīng)用柯西準(zhǔn)則證明級(jí)數(shù)發(fā)散的典型例題）方法2 級(jí)數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)則：任意正數(shù)，存在正整數(shù)，以及任意正整數(shù)和，有 .假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂，則存在使 .令，有（不以0為極限）,從而得出矛盾，故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散2.3 積分類方法1定理設(shè)為上非負(fù)遞減函數(shù)，那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)與非正常積分同時(shí)收斂或發(fā)散取，則在上為非負(fù)遞減函數(shù)則由定理知級(jí)數(shù)與同時(shí)收斂或發(fā)散因?yàn)?，故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散方法2采用數(shù)形結(jié)合的方法利用積分的幾何意義，根據(jù)面積大小，得出調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和由上圖的陰影部分面積可知第一塊矩形的面積,第二塊矩

10、形的面積,第三塊矩形的面積,第塊矩形的面積.所以，陰影部分的總面積為，它顯然大于曲線下在到之間的那一塊面積，即 .可見，調(diào)和級(jí)數(shù)部分和沒(méi)有極限，故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散2.4 和為無(wú)窮大類 和為無(wú)窮大是證明級(jí)數(shù)發(fā)散的最直接的方法和可以是整個(gè)級(jí)數(shù)的和，也可以是級(jí)數(shù)的部分和利用和為無(wú)窮大證明調(diào)和級(jí)數(shù)和為無(wú)窮大一般利用反證法，得出調(diào)和級(jí)數(shù)和或調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和是一個(gè)有限數(shù)為假本節(jié)給出的前兩種方法證明的是整個(gè)調(diào)和級(jí)數(shù)的和為無(wú)窮大，最后一種方法證明的是調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和為無(wú)窮大方法1以為基礎(chǔ)，先證明這個(gè)等式， ， . 設(shè)，則, .所以有，沒(méi)有一個(gè)有限數(shù)會(huì)大于等于自己，所以是無(wú)窮大即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散（此方法是大數(shù)學(xué)家約翰伯

11、努利作出的經(jīng)典證明）方法2以不等式為基礎(chǔ)先證明這個(gè)不等式由得，所以有,.如果是一個(gè)有限數(shù)，不會(huì)大于自己即為正無(wú)窮大，故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散方法3利用反證法，假設(shè)，則，因此有 （1）但另一方面，由于對(duì)一切有，可知 （2） 顯然，結(jié)論（1）與結(jié)論（2）矛盾,所以，假設(shè)錯(cuò)誤.因此，調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.3 總結(jié)該論文給出了證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的11種常見的證明方法，并按照一定的方法進(jìn)行了歸類，讓讀者在閱讀時(shí)有一定的整體性證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的方法，除了本文給出的11種，還有許多比如說(shuō)利用高斯判別法、歐拉常數(shù)等有關(guān)知識(shí)也可以將其證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明對(duì)其它正項(xiàng)級(jí)數(shù)的證明起到了“尺子”的作用對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的研究不僅豐富了

12、調(diào)和級(jí)數(shù)的證明方法，同時(shí)也為一般正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明提供了更廣闊的空間在對(duì)級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明時(shí)，用到的有可能不僅僅是文中所給的幾種方法，而是需要將幾種方法綜合運(yùn)用所以證明級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)，沒(méi)有固定的方法，要靈活參考文獻(xiàn)：1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）（第三版）M. 北京：高等教育出版社，2004:1-242 任親謀數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析 (下冊(cè))M.陜西：陜西師范大學(xué)出版社，2004 3 裴禮文數(shù)學(xué)分析典型問(wèn)題與方法 M.北京：高等教育出版社，1993 4 夏曉峰. 調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的幾種證明J.本溪冶金高等?？茖W(xué)校院報(bào)，2000（12）:44-455 馬艷寶. 關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的五種證明方法J. 商業(yè)文化（下半月），2010（2）.1276 張竟成. 關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的幾種證明方法以及它的應(yīng)用J. 岳陽(yáng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006（5）.217 姜洪文. 對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)的分析J. 沈陽(yáng)師范學(xué)院院報(bào)，2002（