第四章無套利價(jià)格關(guān)系

1、關(guān)于本章本章主要推導(dǎo)遠(yuǎn)期和期貨合同的無套利價(jià)格關(guān)系，并以此為基礎(chǔ)討論互換合同的定價(jià)?；炯僭O(shè)： 遠(yuǎn)期/期貨合同和其所依據(jù)的基礎(chǔ)資產(chǎn)的杠桿頭寸的價(jià)格完全相等。（不存在無成本套利機(jī)會(huì)）基本結(jié)構(gòu)4.1 理解持有成本理解持有成本/收益收益 4.2 遠(yuǎn)期合約定價(jià)遠(yuǎn)期合約定價(jià) 4.3 期貨定價(jià)期貨定價(jià)4.4 隱含的遠(yuǎn)期凈持有成本變動(dòng)率隱含的遠(yuǎn)期凈持有成本變動(dòng)率 4.5 互換定價(jià)互換定價(jià) 4.1 理解持有成本/收益例子： 假設(shè)某早餐谷物制造商兩個(gè)月后需要5000蒲式耳的小麥做原料怎樣將小麥的價(jià)格鎖定在當(dāng)前價(jià)格上來規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)？如果沒有金融產(chǎn)品，只能購(gòu)入小麥并持有兩個(gè)月。此時(shí)的持有成本（資本的機(jī)會(huì)成本）？為了支付

2、小麥的購(gòu)買價(jià)格，該制造商要么借款，要么將其生息的流動(dòng)性資產(chǎn)變現(xiàn)，不管采用哪種方法，都會(huì)發(fā)生利息成本（以無風(fēng)險(xiǎn)利率來衡量 ）存儲(chǔ)成本 可能會(huì)發(fā)生的某些收益（便利收益）那么此時(shí)持有商品的凈成本為： 凈持有成本=資金成本+存儲(chǔ)成本便利收益同樣的，對(duì)于諸如股票或債券等金融資產(chǎn)或證券，盡管也有借款成本，但卻沒有存儲(chǔ)成本，也沒有便利收益，他們有季度股息紅利或每半年一次的息票利息。因此，持有證券的凈成本是：凈持有成本=資金成本收益 4.1.1 連續(xù)變動(dòng)率 持有成本通常被設(shè)定為固定不變的連續(xù)變動(dòng)率的資產(chǎn)包括范圍廣泛的股票指數(shù)資產(chǎn)組合、外匯和黃金。假設(shè)我們以無風(fēng)險(xiǎn)利率借款以購(gòu)買股票指數(shù)資產(chǎn)組合，該組合以一個(gè)固定

3、不變的連續(xù)變動(dòng)率i支付股息紅利。如果我們今天購(gòu)買一單位指數(shù)組合，并將收到的所有股息立刻重新再投資該指數(shù)組合，在時(shí)刻T該指數(shù)組合的單位數(shù)增加為eiT。 如果我們想在時(shí)刻T持有S單位的指數(shù)組合，其當(dāng)前價(jià)格為1，那么今天只需要購(gòu)買價(jià)值為Se-iT的指數(shù)組合。該指數(shù)組合投資在時(shí)刻T的終值為貸款價(jià)值則由Se-iT增長(zhǎng)為Se-iTerT =Se(r-i)T則償還貸款后，資產(chǎn)組合的終值為：TS()riTTSS e可見，在連續(xù)變動(dòng)率的假設(shè)框架下：指數(shù)組合：持有成本變動(dòng)率=無風(fēng)險(xiǎn)利率r-股息收益率i外匯：持有成本變動(dòng)率=國(guó)內(nèi)利率r-國(guó)外利率i黃金：持有成本變動(dòng)率=利率r-黃金出借率i在該框架下，時(shí)刻T的總持有成

4、本為：凈持有成本=Se(r-i)T-1例4-1: 鎖定未來股票指數(shù)組合的單位數(shù)量 假設(shè)當(dāng)前S&P500指數(shù)是1100，每年所付股息的連續(xù)變動(dòng)率為3%。另外，假設(shè)可以在指數(shù)水平（即一份指數(shù)組合當(dāng)前成本1100美元）上買賣S&P500指數(shù)的股份，假設(shè)5天后你需要3000份S&P500指數(shù)組合，且所有股息再投資購(gòu)買該指數(shù)組合，你應(yīng)該購(gòu)買多少份額的S&P500指數(shù)？如果你在5天后擁有3000份S&P500指數(shù)組合，而且0到5天的指數(shù)水平分別為1100，1160，1154，1145，1170，和1175。計(jì)算每天你所持有的指數(shù)單位及指數(shù)頭寸的價(jià)格。 如果你要在5天

5、后持有3000份指數(shù)，則應(yīng)今天買入3000e-0.03(5/365)=2998.77(份) 第一天：2998.77e0.03(1/365）=2999.01第二天：2999.01e0.03(1/365）=2999.26 第五天：3000每天你所持有的指數(shù)單位及指數(shù)頭寸的價(jià)格：4.1.2 離散資金流 假設(shè)從現(xiàn)在到未來時(shí)刻T，某股票將在時(shí)刻支付已知的現(xiàn)金紅利Ii，共n次，i= 1,.,n。如果我們借款S以購(gòu)買股票，并將收到的股息紅利按照無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行再投資，則時(shí)刻T的凈持有成本為：()11)iTnr T trTiiS eI e凈持有成本（例4-2: 計(jì)算支付離散現(xiàn)金流的資產(chǎn)的未來價(jià)格 假設(shè)你購(gòu)買一萬

6、份ABC公司股票，并持有該頭寸90天。ABC當(dāng)前的股價(jià)是50美元，并承諾30天后支付4美元的股息。當(dāng)你90天后了結(jié)頭寸時(shí)，該資產(chǎn)組合的價(jià)格是多少？假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為5%。 初始投資ABC股票一萬份的成本為50萬美元，你是通過無風(fēng)險(xiǎn)借款為該項(xiàng)投資融資，因此初始投資為0美元。 90天內(nèi)，你的組合有三部分： 你擁有一萬份股票；你必須償還50萬美元無風(fēng)險(xiǎn)借款的本金和利息；你在30天后收到每股股息4美元，這些股息立刻投資于無風(fēng)險(xiǎn)貼現(xiàn)債券（利息收入）結(jié)論和一些準(zhǔn)則持有成本/收益一般來說，包括兩個(gè)部分(1)成本:金融資產(chǎn)的利息和非金融資產(chǎn)的存儲(chǔ)成本。利息部分通常表現(xiàn)為比率的形式，如果我們?cè)诮裉旖杩钯I入資產(chǎn)，在

7、時(shí)刻T我們每單位資產(chǎn)負(fù)債erT。(2)收益：金融資產(chǎn)的收入或有形資產(chǎn)的便利收益。收入和非利息現(xiàn)金流既可表示為資產(chǎn)價(jià)格的一個(gè)連續(xù)比例，也可表示為離散現(xiàn)金流，這取決于基礎(chǔ)資產(chǎn)的特征。 4.2 遠(yuǎn)期合約定價(jià) 遠(yuǎn)期合同：在未來時(shí)刻T按照當(dāng)前約定的價(jià)格由賣方向買方交付基礎(chǔ)資產(chǎn)的合同。本節(jié)的目的是在連續(xù)和離散凈持有成本假設(shè)下，推導(dǎo)時(shí)刻T之前對(duì)應(yīng)于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格的遠(yuǎn)期合約價(jià)格。 我們用f代表當(dāng)前遠(yuǎn)期合同的價(jià)格，其在T時(shí)刻的價(jià)格表示為 。到期的遠(yuǎn)期合同價(jià)格必定與基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格相同，即 TfTTfS4.2.1 連續(xù)變動(dòng)率 假設(shè)某美國(guó)公司需要在T天后支付一百萬歐元，所以想把該筆支付的美元金額鎖定在當(dāng)前。 該企業(yè)可借

8、入美元貸款，并按照即期匯率S將其兌換為歐元，然后持有該頭寸T天。 要在T天后擁有1歐元，需要今天買入e-iT單位，其中i是歐洲的無風(fēng)險(xiǎn)利率，所以為了支付當(dāng)前購(gòu)買歐元的價(jià)格 ，該公司需要借款Se-iT 。T天后償還貸款，每歐元的本金和利息總額為Se-iT erT ，其中r是美國(guó)的無風(fēng)險(xiǎn)利率。 另一種方法，該公司也可將該期限為T天的遠(yuǎn)期合約轉(zhuǎn)讓給其銀行，根據(jù)遠(yuǎn)期合約的條款，該企業(yè)可在T時(shí)刻以每歐元f的成本購(gòu)買一百萬歐元。企業(yè)應(yīng)將該遠(yuǎn)期合約的價(jià)格與今天購(gòu)買歐元并持有至T時(shí)刻的未來值相比較，以決定采取那種策略。 fSe(r-i)T? fF），），或者買入遠(yuǎn)期合約、建立空頭嵌入式期貨頭寸或者買入遠(yuǎn)期合約

9、、建立空頭嵌入式期貨頭寸(如果如果f F )，來進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)套利。給定遠(yuǎn)期合約和期貨價(jià)，來進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)套利。給定遠(yuǎn)期合約和期貨價(jià)格相等，期貨合約的定價(jià)公式與遠(yuǎn)期合約的相同，格相等，期貨合約的定價(jià)公式與遠(yuǎn)期合約的相同，即即 （4-8） 如果非利息持有成本是離散型：如果非利息持有成本是離散型： （4-9） TSF)(TirSefFFVISefFrTTSf例4-6: 利用股票期貨賣空股票 美國(guó)零售投資者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)賣出普通股的成本相當(dāng)高，因此，最美國(guó)零售投資者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)賣出普通股的成本相當(dāng)高，因此，最近推出了股票期貨。假設(shè)你打算在未來近推出了股票期貨。假設(shè)你打算在未來T天賣空某一股票，其天賣空某一股票，其當(dāng)前

10、的股票價(jià)格是當(dāng)前的股票價(jià)格是S，已宣告在，已宣告在t天后支付現(xiàn)金股息天后支付現(xiàn)金股息D，請(qǐng)證明，請(qǐng)證明賣出一份嵌入式股票期貨頭寸等于賣空股票賣出一份嵌入式股票期貨頭寸等于賣空股票 。 首先，你需要確定首先，你需要確定T天后該股票空頭頭寸的價(jià)格，賣空一天后該股票空頭頭寸的價(jià)格，賣空一份股票能獲得資金份股票能獲得資金S，將收到的資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)利率資產(chǎn)。，將收到的資金投資于無風(fēng)險(xiǎn)利率資產(chǎn)。此外，股票在時(shí)刻此外，股票在時(shí)刻t支付現(xiàn)金股利支付現(xiàn)金股利D。因?yàn)槟阗u空了股票，因此。因?yàn)槟阗u空了股票，因此需要支付現(xiàn)金股息。在時(shí)刻需要支付現(xiàn)金股息。在時(shí)刻T，你資產(chǎn)組合中的每個(gè)證券頭寸，你資產(chǎn)組合中的每個(gè)證券頭

11、寸價(jià)格如下表所示。時(shí)刻價(jià)格如下表所示。時(shí)刻T資產(chǎn)組合的凈價(jià)值為資產(chǎn)組合的凈價(jià)值為 。()rTr TtTSeDeS 嵌入式期貨頭寸對(duì)于利用期貨合同進(jìn)行套期保值有嵌入式期貨頭寸對(duì)于利用期貨合同進(jìn)行套期保值有重要的啟示：要做到完全有效的保值，期貨合約的重要的啟示：要做到完全有效的保值，期貨合約的數(shù)量必須等于時(shí)刻數(shù)量必須等于時(shí)刻T基礎(chǔ)資產(chǎn)的單位數(shù)量。在連續(xù)持基礎(chǔ)資產(chǎn)的單位數(shù)量。在連續(xù)持有成本的假設(shè)下，我們知道，一單位資產(chǎn)在時(shí)刻有成本的假設(shè)下，我們知道，一單位資產(chǎn)在時(shí)刻T增增長(zhǎng)為單位長(zhǎng)為單位 ，初始期貨合約為，初始期貨合約為 單位的嵌入式期貨單位的嵌入式期貨頭寸在時(shí)刻頭寸在時(shí)刻T有一單位合有一單位合 約

12、。因此，要對(duì)表約。因此，要對(duì)表4-3的的多頭資產(chǎn)頭寸保值，空頭期貨合約在第多頭資產(chǎn)頭寸保值，空頭期貨合約在第0天（當(dāng)前）天（當(dāng)前）的單位為的單位為 ，在保值有效期內(nèi)每天以，在保值有效期內(nèi)每天以 的因子的因子增長(zhǎng)。假設(shè)期貨合約在時(shí)刻增長(zhǎng)。假設(shè)期貨合約在時(shí)刻T到期，空頭嵌入式期貨到期，空頭嵌入式期貨頭寸的終值為頭寸的終值為 ，被保值資產(chǎn)組合的凈終值，被保值資產(chǎn)組合的凈終值為為 ，代入凈持有成本關(guān)系式（，代入凈持有成本關(guān)系式（4-8），被保值組），被保值組合的凈終值也可寫為合的凈終值也可寫為 ，這表明，利用空頭嵌入式，這表明，利用空頭嵌入式期貨頭寸保值，效果等價(jià)于將所持資產(chǎn)頭寸變現(xiàn)并期貨頭寸保值，效

13、果等價(jià)于將所持資產(chǎn)頭寸變現(xiàn)并買入無風(fēng)險(xiǎn)債買入無風(fēng)險(xiǎn)債4.3.3 利用期貨套期保值iTerTe()r i TerTSe()iTTSF eiTFere 券。期貨合約頭寸的數(shù)量每天以因子券。期貨合約頭寸的數(shù)量每天以因子 增長(zhǎng)，正好抵消了每日增長(zhǎng)，正好抵消了每日結(jié)算的期貨收益結(jié)算的期貨收益/虧損所賺取的利息。實(shí)踐中，該動(dòng)態(tài)的每日調(diào)虧損所賺取的利息。實(shí)踐中，該動(dòng)態(tài)的每日調(diào)整被稱為追蹤型套期保值。整被稱為追蹤型套期保值。 結(jié)論結(jié)論 期貨合約與遠(yuǎn)期合約類似，只不過期貨合約的價(jià)格變動(dòng)是期貨合約與遠(yuǎn)期合約類似，只不過期貨合約的價(jià)格變動(dòng)是采取每日結(jié)算的制度。因?yàn)檫@些每天的收益采取每日結(jié)算的制度。因?yàn)檫@些每天的收益

14、/虧損可以生息直到虧損可以生息直到合約到期，所以一般說來，多頭期貨合約與多頭遠(yuǎn)期合約的終合約到期，所以一般說來，多頭期貨合約與多頭遠(yuǎn)期合約的終值不同。但是，可以利用嵌入式期貨頭寸來抵消每日結(jié)算的收值不同。但是，可以利用嵌入式期貨頭寸來抵消每日結(jié)算的收益益/虧損所產(chǎn)生的利息。對(duì)于保值期末虧損所產(chǎn)生的利息。對(duì)于保值期末1單位的基礎(chǔ)資產(chǎn)，時(shí)刻單位的基礎(chǔ)資產(chǎn)，時(shí)刻t期貨合約的數(shù)量應(yīng)設(shè)為期貨合約的數(shù)量應(yīng)設(shè)為 ，這樣，多頭嵌入式期貨頭寸的終，這樣，多頭嵌入式期貨頭寸的終值就等于多頭遠(yuǎn)期合約的終值。因此，從無成本套利的角度來值就等于多頭遠(yuǎn)期合約的終值。因此，從無成本套利的角度來看，以下是完全替代品看，以下是

15、完全替代品 多頭嵌入式期貨頭寸多頭嵌入式期貨頭寸=多頭遠(yuǎn)期合約頭寸多頭遠(yuǎn)期合約頭寸 空頭嵌入式期貨頭寸空頭嵌入式期貨頭寸=空頭遠(yuǎn)期合約空頭遠(yuǎn)期合約()r Ttere例4-7: 計(jì)算英國(guó)隱含的3月期遠(yuǎn)期利率 假設(shè)當(dāng)前美元/英鎊匯率為1.6830，3月期和6月期遠(yuǎn)期匯率分別為1.6755和1.6683。如果美國(guó)3月期和6月期的無風(fēng)險(xiǎn)利率分別為5.163%和5.103%，計(jì)算英國(guó)三個(gè)月后三月期貸款隱含的遠(yuǎn)期無風(fēng)險(xiǎn)利率。計(jì)算英國(guó)3個(gè)月期和6個(gè)月期的無風(fēng)險(xiǎn)利率 和 25. 0)05163. 0(3,6830. 16755. 1fre,3fr,6fr5 . 0)05103. 0(6,6830. 16683

16、. 1fre)12/3()12/3(06950.0)12/6(06858.03feee%766. 625. 0)25. 0(06950. 0)5 . 0(06858. 03f4.5 互換定價(jià)互換合約就是互換未來現(xiàn)金流的約定，利率互換就是用固定付款交換浮動(dòng)付款，浮動(dòng)付款與某一參照利率、指數(shù)或價(jià)格相掛鉤 ，如LIBOR.互換的基礎(chǔ)資產(chǎn)可以是金融資產(chǎn)，也可以是有形資產(chǎn)?；Q不需要預(yù)先付款?；A(chǔ)資產(chǎn)的遠(yuǎn)期價(jià)格曲線 :fi無風(fēng)險(xiǎn)債券的零息回報(bào)曲線 ：反映的是利率和到期期限的關(guān)系 ri遠(yuǎn)期價(jià)格曲線遠(yuǎn)期價(jià)格曲線遠(yuǎn)期價(jià)格曲線描述了基礎(chǔ)資產(chǎn)遠(yuǎn)期合約價(jià)格和距合約到期日或結(jié)算日的時(shí)間之間存在的關(guān)系。 順價(jià)市場(chǎng) &a

17、mp;倒價(jià)市場(chǎng) 只要遠(yuǎn)期價(jià)格代表可交易價(jià)格，遠(yuǎn)期價(jià)格曲線的特點(diǎn)就不影響互換的定價(jià) 例子 某珠寶商（即多頭保值者）未來兩年每個(gè)季度需要1000金衡盎司的黃金，所以想把要素投入的成本鎖定在當(dāng)前水平上。 兩種策略買入一份分拆式遠(yuǎn)期（期貨）合約，每份子合約買入一份分拆式遠(yuǎn)期（期貨）合約，每份子合約對(duì)應(yīng)于每個(gè)所需的交貨日對(duì)應(yīng)于每個(gè)所需的交貨日 ： 鎖定每個(gè)季度的黃金成本，但是每個(gè)季度的黃金成本不同 買入互換合約，約定每個(gè)季度交付買入互換合約，約定每個(gè)季度交付1000盎司黃金，盎司黃金，所有交貨都采用一個(gè)統(tǒng)一的固定價(jià)格所有交貨都采用一個(gè)統(tǒng)一的固定價(jià)格： 在實(shí)際操作中，按照每個(gè)季度黃金市場(chǎng)的即期價(jià)格和約定價(jià)

18、格的差額乘以1000元，收取利潤(rùn)（支付虧損）。 不存在無成本套利機(jī)會(huì)的情況下，遠(yuǎn)期價(jià)格曲線中交款的現(xiàn)值必須等于互換合約下約定價(jià)格的現(xiàn)值 niTrniTriiiiiefef1_1niniTrTriniTrniTriiiiiiiiieefeeff1111_例4-8: 基于遠(yuǎn)期價(jià)格曲線計(jì)算互換合約的固定價(jià)格假設(shè)你生產(chǎn)金表，每個(gè)季度需要1000盎司黃金，因?yàn)閾?dān)心黃金價(jià)格上漲，所以決定買入一份商品互換，以對(duì)未來兩年的要素投入成本進(jìn)行套期保值，該互換合約的現(xiàn)金支付額恰好等于黃金價(jià)格和互換合約約定價(jià)格的差額?；Q合約交易商對(duì)你的報(bào)價(jià)是每盎司401.50美元，評(píng)價(jià)該價(jià)格的合理性。 遠(yuǎn)期價(jià)格曲線 無風(fēng)險(xiǎn)債券的零息回報(bào)曲線iiTf 4000.04ln(1)iirT互換合約的固定價(jià)格 每盎司01.4015779. 781.038, 3_f例4-9: 基于遠(yuǎn)期價(jià)格曲線計(jì)算互換的解套價(jià)格 解套價(jià)格 ，即交易對(duì)手愿意終止現(xiàn)有互換協(xié)議的價(jià)格 。解套價(jià)格