求二次函數(shù)解析式的三種基本方法和十種策略

1、二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要基礎(chǔ)。熟練地求出二次函數(shù)的解析式是解決二次函數(shù)問題的重要保證。 二次函數(shù)的解析式有三種基本形式：1、一般式：y=ax+bx+c (a0)。2、頂點(diǎn)式：y=a(xh)+k (a0)，其中點(diǎn)(h,k)為頂點(diǎn)，對稱軸為x=h3、交點(diǎn)式：y=a(xx)(xx) (a0)其中x,x是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式一般用待定系數(shù)法，但要根據(jù)不同條件，設(shè)出恰當(dāng)?shù)慕馕鍪剑?、若給出拋物線上任意三點(diǎn)，通?？稍O(shè)一般式。2、若給出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，通?？稍O(shè)頂點(diǎn)式。3、若給出拋物線與x軸的交點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或與x軸的交點(diǎn)距離，通?？稍O(shè)交點(diǎn)式

2、。探究問題，典例指津：例1、已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和求這個(gè)二次函數(shù)的解析式分析：由于題目給出的是拋物線上任意三點(diǎn)，可設(shè)一般式y(tǒng)=ax+bx+c (a0)。解：設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=ax+bx+c (a0)依題意得： 解這個(gè)方程組得：這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=2x+3x4。例2、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，求這條拋物線的解析式。分析：此題給出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，最好拋開題目給出的，重新設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(xh)+k (a0)，其中點(diǎn)(h,k)為頂點(diǎn)。解：依題意，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x4)1 (a0)又拋物線與軸交于點(diǎn)。a(04)1=3 a=這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=(x4

3、)1，即y=x2x+3。例3、如圖，已知兩點(diǎn)A（8，0），（2，0），以AB為直徑的半圓與y軸正半軸交于點(diǎn)C。求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式。分析：A、B兩點(diǎn)實(shí)際上是拋物線與x軸的交點(diǎn)，所以可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xx)(xx) (a0)， 其中x,x是拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解：依題意，設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x+8)(x2)又連結(jié)AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推論易得：OC=AC·BC=8×2 OC=4即C(0,4)。a(0+8)(02)=4 a=這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=(x+8)(x2)，即y=xx+4。變式練習(xí)，創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)1、在圖的方格紙上有A、

4、B、C三點(diǎn)（每個(gè)小方格的邊長為1個(gè)單位長度）（l）在給出的直角坐標(biāo)系中分別寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）根據(jù)你得出的A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，求圖象經(jīng)過這三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式2、已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，求這條拋物線的解析式。3、已知拋物線過A（2，0）、B（1，0）、C（0，2）三點(diǎn)。求這條拋物線的解析式。參考答案：1、（1）A(2,3);B(4,1);C(8,9)。 （2）y=x4x+9。2、y=(x2)+1，即y=x4x+5。3、y=(x+2)(x1)，即y=xx+2。十種二次函數(shù)解析式求解一三點(diǎn)式。1， 已知拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過A（，0），B（，0），C（0，-3）

5、三點(diǎn)，求拋物線的解析式。2， 已知拋物線y=a(x-1)+4 ， 經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），求拋物線的解析式。二頂點(diǎn)式。1， 已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點(diǎn)為A（2，1），求拋物線的解析式。2， 已知拋物線 y=4(x+a)2-2a 的頂點(diǎn)為（3，1），求拋物線的解析式。三交點(diǎn)式。1， 已知拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。2， 已知拋物線線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)（4，0），（1，0）求拋物線y=a(x-2a)(x-b)的解析式。四定點(diǎn)式。1， 在直角坐標(biāo)系中，不論a 取何值，拋物線經(jīng)過x 軸上一定點(diǎn)Q，直線經(jīng)過點(diǎn)Q,求拋物線的解

6、析式。2， 拋物線y= x2 +(2m-1)x-2m與x軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過直線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。3， 拋物線y=ax2+ax-2過直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A，求拋物線的解析式。五平移式。1， 把拋物線y= -2x2 向左平移2個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度，得到拋物線y=a( x-h)2 +k,求此拋物線解析式。2， 拋物線向上平移,使拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,2),求拋物線的解析式。六距離式。1， 拋物線y=ax2+4ax+1(a0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，求拋物線的解析式。2， 已知拋物線y=m x2+3mx-4m(m0)與 x軸交于A、B兩點(diǎn)，與 軸交于C點(diǎn)，且

7、AB=BC,求此拋物線的解析式。七對稱軸式。1、 拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的2倍，求拋物線的解析式。2、 已知拋物線y=-x2+ax+4, 交x軸于A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊）兩點(diǎn)，交 y軸于點(diǎn)C,且OB-OA=OC，求此拋物線的解析式。八對稱式。1， 平行四邊形ABCD對角線AC在x軸上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 軸于E，將三角形ABC沿x 軸折疊，點(diǎn)B到B1的位置，求經(jīng)過A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式。2， 求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸（或x軸）對稱的拋物線的解析式。九切點(diǎn)式。1， 已知直線y=ax-a2(a0) 與拋物線y=mx2 有唯一公共點(diǎn)，求拋物線的解析式。2， 直線y=x+a 與拋物線y=ax2 +k 的唯一公共點(diǎn)A（2，1）,求拋物線的解析式。3， 十判別式式。1、 已知關(guān)于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)