逐點比較法直線插補

1、§21  逐點比較法逐點比較法是我國數控機床中廣泛采用的一種插補方法，它能實現直線、圓弧和非圓二次曲線的插補，插補精度較高。逐點比較法，顧名思義，就是每走一步都要將加工點的瞬時坐標同規(guī)定的圖形軌跡相比較，判斷其偏差，然后決定下一步的走向，如果加工點走到圖形外面去了，那么下一步就要向圖形里面走；如果加工點在圖形里面，那么下一步就要向圖形外面走，以縮小偏差。這樣就能得出一個非常接近規(guī)定圖形的軌跡，最大偏差不超過一個脈沖當量。 在逐點比較法中，每進給一步都須要進行偏差判別、坐標進給、新偏差計算和終點比較四個節(jié)拍。下面分別介紹逐點比較法直線插補和圓弧插補的原理。一、 逐點比較法直線

2、插補如上所述，偏差計算是逐點比較法關鍵的一步。下面以第象限直線為例導出其偏差計算公式。圖2-1 直線插補過程點擊進入動畫觀看逐點比較法直線插補如圖21所示，假定直線 的起點為坐標原點，終點A的坐標為 為加工點，若P點正好處在直線 上，那么下式成立： 若任意點 在直線 的上方（嚴格地說，在直線 與y軸所成夾角區(qū)域內），那么有下述關系成立：亦即: 由此可以取偏差判別函數 為：  由 的數值（稱為“偏差”）就可以判別出P點與直線的相對位置。即：當 =0時，點 正好落在直線上；當 >0時，點 落在直線的上方；當 <0時，點 落在直線的下方。從圖21看出，對于起點在原點，終點為A（

3、 ）的第象限直線OA來說，當點P在直線上方（即 >0）時，應該向+x方向發(fā)一個脈沖，使機床刀具向+x方向前進一步，以接近該直線；當點P在直線下方（即 <0）時，應該向+y方向發(fā)一個脈沖，使機床刀具向+y方向前進一步，趨向該直線；當點P正好在直線上（即 =0）時，既可向+x方向發(fā)一脈沖，也可向+y方向發(fā)一脈沖。因此通常將 >0和 =0歸于一類，即 0。這樣從坐標原點開始，走一步，算一次，判別 ，再趨向直線，逐點接近直線 ，步步前進。當兩個方向所走的步數和終點坐標A（ ）值相等時，發(fā)出終點到達信號，停止插補。對于圖21的加工直線OA，我們運用上述法則，根據偏差判別函數值，就可以獲

4、得如圖中折線段那樣的近似直線。但是按照上述法則進行 的運算時，要作乘法和減法運算，這對于計算過程以及具體電路實現起來都不很方便。對于計算機而言，這樣會影響速度；對于專用控制機而言，會增加硬件設備。因此應簡化運算，通常采用的是迭代法，或稱遞推法，即每走一步后新加工點的加工偏差值用前一點的加工偏差遞推出來。下面推導該遞推式：已經知道，加工點的坐標為（ ）時的偏差為：若 0時，則向x軸發(fā)出一進給脈沖，刀具從這點即（ ）點向x方向前進一步，到達新加工點P（ ）， ，因此新加工點P（ ）的偏差值為即: (2-1)如果某一時刻，加工點P（ ）的 <0，則向y軸發(fā)出一個進給脈沖，刀具從這一點向y方向前

5、進一步，新加工點P（ ）的偏差值為  即: (2-2) 根據式（21）及式（22）可以看出，新加工點的偏差完全可以用前一加工點的偏差遞推出來。綜上所述，逐點比較法的直線插補過程為每走一步要進行以下4個節(jié)拍（步驟），即判別、進給、運算、比較。（1） 判別。根據偏差值確定刀具位置是在直線的上方（或線上），還是在直線的下方。（2） 進給。根據判別的結果，決定控制哪個坐標（x或y）移動一步。（3） 運算。計算出刀具移動后的新偏差，提供給下一步作判別依據。根據式（21）及式（22）來計算新加工點的偏差，使運算大大簡化。但是每一新加工點的偏差是由前一點偏差 推算出來的，并且一直遞推下去，這樣就要

6、知道開始加工時那一點的偏差是多少。當開始加工時，我們是以人工方式將刀具移到加工起點，即所謂“對刀”，這一點當然沒有偏差，所以開始加工點的 =0。（4） 比較。在計算偏差的同時，還要進行一次終點比較，以確定是否到達了終點。若已經到達，就不再進行運算，并發(fā)出停機或轉換新程序段的信號。下面以實例來驗證圖21。設欲加工直線OA，其終點坐標為 =5*, =3*，則終點判別值可取為 （終點判別方法詳見下述）。開始時偏差 ，加工過程的運算節(jié)拍如表21所示。        圖2-2  逐點比較法直線插補過程   

7、;                    表2-1   逐點比較法直線插補運算舉例序號 工 作 節(jié) 拍第1拍:判別第2拍:進給第3拍:運算第4拍:比較1F00=0+xF10= F00-ye=0-3= -3E7= E8-1=72F10(= -3)<0+yF11 = F10+xe= -3+5=2E6= E7-1=63F11(= 2)>0+xF21= F11-ye=2-3= -1E5= E6

8、-1=54F21(= -1) <0+yF22= F21+xe= -1+5=4E4= E5-1=45F22(= 4)>0+xF32= F22-ye=4-3= 1E3= E4-1=36F32(= 1)>0+xF42 = F32-ye=1-3= -2E2= E3-1=27F42(= -2)<0+yF43= F42+xe= -2+5=3E1=E2-1=18F43(= 3)>0+xF53= F43-ye=3-3=0E0=E1-1=0到達終點二、 逐點比較法圓弧插補加工一個圓弧，很容易聯(lián)想到把加工點到圓心的距離和該圓的名義半徑相比較來反映加工偏差。這里，我們以第象限逆圓弧為例

9、導出其偏差計算公式。設要加工圖23所示第象限逆時針走向的圓弧，半徑為R，以原點為圓心，起點坐標為A( )，對于圓弧上任一加工點的坐標設為P( )，P點與圓心的距離 的平方為 ，現在討論這一加工點的加工偏差。圖2-3 圓弧插補過程點擊進入動畫觀看逐點比較法圓弧插補                                &#

10、160;                         若點P( )正好落在圓弧上，則下式成立：若加工點P( )在圓弧外側，則 >R，即：若加工點P( )在圓弧內側，則 <R，即：將上面各式分別改寫為下列形式：(加工點在圓弧上)(加工點在圓弧外側) (加工點在圓弧內側)取加工偏差判別式為： 運用上述法則，利用偏差判別式，即獲得圖22折線所示的近

11、似圓弧。若P( )在圓弧外或圓弧上，即滿足 0的條件時，應向x軸發(fā)出一個負向運動的進給脈沖(x)，即向圓內走一步。若P( )在圓弧內側，即滿足 <0的條件，則向y軸發(fā)出一個正向運動的進給脈沖(+y)，即向圓弧外走一步。為了簡化偏差判別式的運算，仍用遞推法來推算下一步新的加工偏差。設加工點P( )在圓弧外側或圓弧上，則加工偏差為x坐標需向負方向進給一步(x)，移到新的加工點P( )位置，此時新加工點的x坐標值為 ，y坐標值仍為 ，新加工點P( )的加工偏差為：經展開并整理，得： (2-3)設加工點P( )在圓弧的內側，則：<0那么，y坐標需向正方向進給一步(+y)，移到新加工點P(

12、)，此時新加工點的x坐標值仍為 ，y坐標值則改為 ，新加工點P( )的加工偏差為:，展開上式，并整理得: 綜上所述可知：當 0時，應走x，新偏差為 ，動點(加工點)坐標為 ， ；當 <0時，應走+y，新偏差為 ，動點坐標為 , 。下面舉例說明插補過程。設欲加工第象限逆時針走向的圓弧(見圖24)，起點A的坐標是 ，終點E的坐標是 ，終點判別值：       圖2-4 圓弧實際軌跡               &#

13、160;                                                      &#

14、160;                                             圖2-5 逐點比較法圓弧插補過程     

15、                                                    加工過程的運算節(jié)拍見表23

16、，插補后獲得的實際軌跡如圖23折線所示?？梢?，圓弧插補偏差計算的遞推公式也是比較簡單的。但計算偏差的同時，還要對動點的坐標進行加1、減1運算，為下一點的偏差計算做好準備。和直線插補一樣，除偏差計算外，還要進行終點判別計算。每走一步，都要從兩坐標方向總步數中減去1，直至總步數被減為零(發(fā)終點到達信號)時為止，才終止計算。                          

17、60;                                      表2-3  逐點比較法圓弧插補運算舉例序號工作節(jié)拍第1拍：判別第2拍：進給第3拍：運算第4拍：比較1   F=0-x  

18、0;       F=0-2*4+1=7E=6-1=5(0)2  F(=-7)<0+y          F=-7+2*3+1=0          x=3,y=3+1=4E=5-1=4(0)3  F=0-x         F=0-2*3+1=-5&#

19、160;        x=3-1=2,y=4E=4-1=3(0)4 F(=-5)<0+y        F=-5+2*4+1=4        x=2,y=4+1=5E=3-1=2(0)5 F(=4)>0-x        F=4-2*2+1=1   &#

20、160;    x=2-1=1,y=5E=2-1=10)6 F(=1)>0-x        F=1-2*1+1=0        x=1-1=0,y=5E=1-1=0(終止)     逐點比較法插補第象限直線和第象限逆圓弧的計算流程圖分別見圖24和圖25。            

21、                                    圖2-4  直線插補計算流程圖           

22、60;                             圖2-5   圓弧插補計算流程圖三、 坐標轉換和終點判別問題1象限與坐標變換前面所討論的用逐點比較法進行直線及圓弧插補的原理和計算公式，只適用于第象限直線和第象限逆時針圓弧那種特定的情況。對于不同象限的直線和不同象限、不同走向的圓弧來說

23、，其插補計算公式和脈沖進給方向都是不同的。為了將各象限直線的插補公式統(tǒng)一于第象限的公式，將不同象限、不同走向的8種圓弧的插補公式統(tǒng)一于第象限逆圓的計算公式，就需要將坐標和進給方向根據象限等的不同而進行變換，這樣，不管哪個象限的圓弧和直線都按第象限逆圓和直線進行插補計算。而進給脈沖的方向則按實際象限和線型來決定，采用邏輯電路或程序將進給脈沖分別發(fā)到+X,-X,+Y,-Y四個通道上去，以控制機床工作臺沿X和Y向的運動。我們用SR1，SR2，SR3，SR4分別表示第，象限的順時針圓弧，用NR1，NR2，NR3，NR4分別表示第，象限的逆時針圓弧，如圖26（a）所示；用L1，L2，L3，L4分別表示第

24、，象限的直線，如圖26（b）所示。由圖26可以看出：按第象限逆時針走向圓弧NR1線型插補運算時，如將x軸的進給反向，即走出第象限順時針走向圓弧SR2；將y軸的進給反向,即走出SR4；將x和y軸兩者進給都反向，即走出NR3。此時NR1，NR3，SR2，SR4四種線型都取相同的偏差運算公式，無須改變。圖2-6 直線和圓弧不同象限的走向還可以看出，按NR1線型插補時，把運算公式的坐標x和y對調，以x作y，以y作x，那么就得到SR1的走向。按上述原理，應用SR1同一運算公式，適當改變進給方向也可獲得其余線型SR3，NR2，NR4的走向。這就是說，若針對不同象限建立類似于第象限的坐標，就可得到與第象限直

25、線和第象限逆圓的類似情況，從而可以用統(tǒng)一公式作插補計算，然后根據象限的不同發(fā)出不同方向的脈沖。圖26（a）、（b）分別為8種圓弧和4種直線的坐標建立情況，據此可以得到表23的進給脈沖分配類型。表2-3 x,y脈沖分配的12種類型圖形脈沖象 限G03xy-X+Y-Y+X+X-Y+X+YG02xy-Y+X+X+Y+Y-X-X-YG01xy+X+Y+Y-X-X-Y-Y+X從表23可以看出，對于直線（G01）來說，按照第象限直線偏差計算公式得到的x和y脈沖，根據不同的象限，分配到機床不同坐標（X，Y）的正負方向上。即若是第象限直線，則x應發(fā)往+Y坐標；若是第象限直線，則x應發(fā)往 X坐標，等等。由此表可

26、以得到發(fā)往±X,±Y坐標方向的脈沖分配邏輯式為                          +X=G02·y·+G01·x·+G02·x·+G03·x·           

27、                        +G03·y·+G01·y·                     &

28、#160;           X=G03·x·+G03·y·+G01·y·+G02·y·                      +G01·x·+G02·x·     

29、;                      +Y=G03·y·+G01·y·+G02·y·+G01·x·                   

30、60;          +G02·x·+G03·x·                               Y=G02·x·+G03·

31、;x·+G03·y·+G01·y·                             +G02·y·+G01·x·2逐點比較法的終點判別逐點比較法的終點判別方法大致有下列幾種：（1） 設置一個終點減法計數器JE，插補運算開始前記入該程

32、序x及y坐標的加工總長（即x和y的位移總步數），在插補過程中，x或y向每走一步，就從總步數中減去1，直至JE中存數被減為零，表示到達終點。這種方法，前例已作介紹。（2） 設置兩個計數器JEX及JEY，分別控制兩個坐標軸的加工長度。若沿x軸移動一步，從JEX中減1；同樣，若沿y軸移動一步，從JEY中減1。當JEX及JEY中存數均被減為零時，表示到達終點。（3） 設置一個終點減法計數器JE，插補運算開始前記入該程序x坐標軸（或y軸）上的投影加工總長度Ex（或Ey）應選取Ex和Ey中較大的坐標值作為終點判別坐標。在插補過程中，若JE中寄存的是Ex，則每當沿x軸走一步，即從JE存數中減去1（若JE中寄

33、存Ey，則每當沿y軸走一步，即從JE中減去1），直至JE存數被減為零，表示到達終點。逐點比較法除能插補直線和圓弧之外，還能插補橢圓、拋物線和雙曲線等二次曲線。此法進給速度平穩(wěn)，精度較高，無論是在普通NC系統(tǒng)還是在CNC系統(tǒng)中都有著非常廣泛的應用。下面就來分析逐點比較法插補時的進給速度問題。四、逐點比較法的合成進給速度 從前面的討論知道，插補器向各個坐標分配進給脈沖，這些脈沖造成坐標的移動。因此，對于某一坐標而言，進給脈沖的頻率就決定了進給速度。以 坐標為例，設 為以“脈沖/s”表示的脈沖頻率， 為以“mm/min”表示的進給速度，它們有如下的比例關系：式中為脈沖當量，以“mm/脈沖”表示。各個

34、坐標進給速度的合成線速度稱為合成進給速度或插補速度。對三坐標系統(tǒng)來說，合成進給速度 為式中 分別為 ， ， 三個方向的進給速度。合成進給速度直接決定了加工時的粗糙度和精度。我們希望在插補過程中，合成進給速度恒等于指令進給速度或只在允許的范圍內變化。但是實際上，合成進給速度 與插補計算方法、脈沖源頻率及程序段的形式和尺寸都有關系。也就是說，不同的脈沖分配方式，指令進給速度 和合成進給速度 之間的換算關系各不相同。現在，我們來計算逐點比較法的合成進給速度。    我們知道，逐點比較法的特點是脈沖源每產生一個脈沖，不是發(fā)向 軸（ ），就是發(fā)向 軸（ ）。令 為脈沖源頻率

35、，單位為“個脈沖/s”，則有 從而 和 方向的進給速度 和 （單位為mm/min）分別為 合成進給速度 為 當 （或 ）時，也就是進給脈沖按平行于坐標軸的方向分配時有最大速度，這個速度由脈沖源頻率決定，所以稱其為脈沖源速度 （實質是指循環(huán)節(jié)拍的頻率，單位為mm/min）。合成進給速度 與 之比為 其插補速度 的變化范圍為 ，最大速度與最小速度之比為這樣的速度變化范圍，對一般機床來說已可滿足要求，所以逐點比較法的進給速度是較平穩(wěn)的。§23  數字積分法一、 DDA的基本原理由高等數學可知，求函數 對 的積分運算，從幾何概念上講，就是求此函數曲線 所包圍的面積 （圖27），即

36、                       若把自變量的積分區(qū)間 , 等分成許多有限的小區(qū)間 （其中 ），這樣，求面積可以轉化成求有限個小區(qū)間面積之和，即數字運算時，t一般取最小單位“1”，即一個脈沖當量，則     由此可見，函數的積分運算變成了變量的求和運算。當所選取的積分間隔t足夠小時，則用求和運算代替求積運算所引起的誤差可以不超過允許的值。 二、

37、DDA直線插補設我們要對 平面上的直線進行脈沖分配，直線起點為坐標原點 ，終點為 ，如圖2-8所示。圖2-8 合成速度與分速度的關系假定 和 分別表示動點在 和 方向的移動速度，則在 和 方向上的移動距離微小增量 和 應為               （25）對直線函數來說， 和 是常數，則下式成立： （26）式中K為比例系數。在t時間內，x和y位移增量的參數方程為 （27）動點從原點走向終點的過程，可以看作是各坐標每經過一個單位時間間隔t分別以增量 和 同時累加的

38、結果。經過m次累加后，x和y分別都到達終點 ，即下式成立： （28）則 或 （29） 上式表明，比例系數K和累加次數 的關系是互為倒數。因為m必須是整數，所以 一定是小數。在選取K時主要考慮每次增量 或 不大于1，以保證坐標軸上每次分配進給脈沖不超過一個單位步距，即= <1= <1式中 和 的最大容許值受控制機的位數及用幾個字節(jié)存儲坐標值所限制。如用TP801（Z80）單板機作控制機，用兩個字節(jié)存儲坐標值，因該單板機為8位機，故 和 的最大容許寄存容量為216-1=65 535。為滿足 <1及 <1的條件，即= （216-1）<1= （216-1）<1則 如

39、果取 ，則 ，即滿足 <1的條件。這時累加次數為 次一般情況下，若假定寄存器是n位，則 和 的最大允許寄存容量應為2n-1（各位全1時），若取 則 顯然，由上式決定的Kxe和Kye是小于1的，這樣，不僅決定了系數 ，而且保證了x和y小于1的條件。因此，刀具從原點到達終點的累加次數m就有當 時，對二進制數來說， 與 的差別只在于小數點的位置不同，將 的小數點左移n位即為 。因此在n位的內存中存放 （ 為整數）和存放 的數字是相同的，只是認為后者的小數點出現在最高位數n的前面。當用軟件來實現數字積分法直線插補時，只要在內存中設定幾個單元，分別用于存放 及其累加值 和 及其累加值 。將 和 賦

40、一初始值，在每次插補循環(huán)過程中，進行以下求和運算：+ + 將運算結果的溢出脈沖x和y用來控制機床進給，就可走出所需的直線軌跡。綜上所述，可以得到下述結論：數字積分法插補器的關鍵部件是累加器和被積函數寄存器，每一個坐標方向就需要一個累加器和一個被積函數寄存器。一般情況下，插補開始前，累加器清零，被積函數寄存器分別寄存 和 ；插補開始后，每來一個累加脈沖 ，被積函數寄存器里的內容在相應的累加器中相加一次，相加后的溢出作為驅動相應坐標軸的進給脈沖 （或 ），而余數仍寄存在累加器中；當脈沖源發(fā)出的累加脈沖數m恰好等于被積函數寄存器的容量2n時，溢出的脈沖數等于以脈沖當量為最小單位的終點坐標，刀具運行到

41、終點。數字積分法插補第象限直線的程序流程圖如圖2-11所示。圖2-11 DDA直線插補流程圖    下面舉例說明DDA直線插補過程。設要插補圖212所示的直線軌跡OA，起點坐標為 （0，0），終點坐標為 （7，10）。若被積函數寄存器Jvx和Jvy，余數寄存器 JRx和JRy，以及終點減法計數器JE均為四位二進制寄存器，則迭代次數為m=24=16次時插補完成。在插補前，JE，JRx，JRy均為零，Jvx和Jvy分別存放 =7（即二進制的0111）， =10（即二進制的1010）。在直線插補過程中Jvx和Jvy中的數值始終為 和 保持不變。本例的具體軌跡如圖2-12

42、中的折線所示，由此可見，經過16次迭代之后， 和 坐標分別有7個和10個脈沖輸出。直線插補軌跡與理論曲線的最大誤差不超過1個脈沖當量。圖2-13   DDA直線插補過程三、 DDA圓弧插補以第象限逆圓為例，設刀具沿圓弧移動，半徑為R，刀具的切向速度為 , 為動點（如圖213），圖2-13 DDA圓弧插補則有下述關系：式中 為比例常數。因為半徑 為常數，切向速度 為勻速，所以 可認為是常數。在單位時間增量 內， 和 位移增量的參量方程可表示為             

43、  （210）           （211）                             點擊進入動畫觀看DDA圓弧插補 根據此兩式，仿照直線插補方案用兩個積分器來實現圓弧插補，如圖214（a）所示。圖中系數K的省略

44、原因和直線時類同。但必須指出：第一，坐標值 和 存入寄存器Jvx和Jvy的對應關系與直線不同，恰好位置互調，即 存入Jvx，而x存入Jvy中。第二，Jvx和Jvy寄存器中寄存的數值與直線插補時還有一個本質的區(qū)別：直線插補時Jvx（或Jvy）寄存的是終點坐標xe（或ye），是個常數；而在圓弧插補時寄存的是動點坐標，是個變量。因此在刀具移動過程中必須根據刀具位置的變化來更改速度寄存器Jvx和Jvy中的內容。在起點時，Jvx和Jvy分別寄存起點坐標值y0和x0；在插補過程中，JRy每溢出一個 脈沖，Jvx寄存器應該加“1”；反之，當JRx溢出一個 脈沖時，Jvy應該減“1”。減“1”的原因是刀具在作

45、逆圓運動時 坐標須作負方向進給，動坐標不斷減少。圖214中用 及表示修改動點坐標時這種加“1”或減“1”的關系。圖214（b）為第象限逆時針走向的圓弧插補的數字積分器符號表示圖。 圖214  DDA圓弧插補運算框圖及符號圖對于順圓、逆圓及其他象限的插補運算過程和積分器結構基本上與第象限逆圓是一致的。其不同在于，控制各坐標軸的 和 的進給方向不同，以及修改Jvx和Jvy內容時是 還是，要由 和 坐標的增減而定，見表25。表2-5 DDA圓弧插補時的坐標修改情況SR1SR2SR3SR4NR1NR2NR3NR4Jvx（y）一 + 一 + + 一 + 一 Jvy（x）+ 一 + 一 一 一

46、+ + x+-+y-+-+-+DDA圓弧插補的終點判別可以利用兩個終點減法計數器，把 和 坐標所需輸出的脈沖數| |和| |分別存入這兩個計數器中， 或 積分器每輸出一個脈沖，相應的減法計數器減1，當某一坐標計數器為零時，說明該坐標已到達終點，這時，該坐標停止迭代。當兩個計數器均為零時，圓弧插補結束。下面舉一個DDA圓弧插補的具體例子。設有一個圓弧，起點為 （5,0），終點為 （0，5），即 和 見圖215。 圖2-15 DDA圓弧插補軌跡  圖2-16 DDA圓弧插補過程四、 改進DDA插補質量的措施使用DDA法插補時，其插補進給速度 不僅與系統(tǒng)的迭代頻率 （即脈沖源頻率

47、）成正比，而且還與余數寄存器的容量 成反比，與直線段的長度 （或圓弧半徑 ）成正比。它們之間有下述關系成立： （2-12） 式中 插補進給速度；           系統(tǒng)脈沖當量；         L 直線段的長度；         N寄存器的容量；         迭代頻率。顯

48、然，即使編制同樣大小的速度指令，但針對不同長度的直線段，其進給速度是變化的（假設 和 為固定），必須設法加以改善。常用的改善方法是左移規(guī)格化和進給速率編程（FRN）。由上面DDA圓弧插補例子可以看出，當插補第象限逆圓時， 坐標率先到達。這時若不強制 方向停止迭代，將會出現超差，不能到達正確的終點。為了改善這一情況，常用余數寄存器預置數的辦法來解決。以下就來討論使DDA法從原理走向實用必須解決的速度和精度控制問題。1進給速度的均勻化措施左移規(guī)格化從上述可知，數字積分器溢出脈沖的頻率與被積函數寄存器中的存數成正比。如用DDA作直線插補時，每個程序段的時間間隔是固定不變的，因為不論加工行程長短，都必

49、須同樣完成 次的累加運算。就是說行程長，走刀快；行程短，走刀慢。所以各程序段的進給速度是不一致的。這樣影響了加工的表面質量，特別是行程短的程序段生產率低。為了克服這一缺點，使溢出脈沖均勻，溢出速度提高，通常采用左移規(guī)格化處理。所謂“左移規(guī)格化”處理，是當被積函數的值比較小時，如被積函數寄存器有 個前零時，若直接迭代，那么至少需要2i次迭代，才能輸出一個溢出脈沖，致使輸出脈沖的速率下降。因此在實際的數字積分器中，需把被積函數寄存器中的前零移去即對被積函數實現“左移規(guī)格化”處理。經過左移規(guī)格化的數就成為規(guī)格化數寄存器中的數其最高位為“1”時，該數即稱為規(guī)格化數；反之最高位為“0”的數稱為非規(guī)格化數

50、。顯然，規(guī)格化數累加兩次必有一次溢出，而非規(guī)格化數必須作兩次以上或多次累加才有一次溢出。2提高插補精度的措施余數寄存器預置數前已述及，DDA直線插補的插補誤差小于一個脈沖當量，但是DDA圓弧插補的插補誤差有可能大于一個脈沖當量，其原因是這樣的：由于數字積分器溢出脈沖的頻率與被積函數寄存器的存數成正比，當在坐標軸附近進行插補時，一個積分器的被積函數值接近于零，而另一個積分器的被積函數值卻接近最大值（圓弧半徑），這樣，后者可能連續(xù)溢出，而前者幾乎沒有溢出，兩個積分器的溢出脈沖速率相差很大，致使插補軌跡偏離理論曲線（見圖25）。為了減小插補誤差，提高插補精度，可以把積分器的位數增多，從而增加迭代次數

51、。這相當于把圖27矩形積分的小區(qū)間t取得更小。這樣做可以減小插補誤差，但是進給速度卻降低了，所以我們不能無限制地增加寄存器的位數。在實際的積分器中，常常應用一種簡便而行之有效的方法余數寄存器預置數。即在DDA插補之前，余數寄存器JRx和JRy預置某一數值（不是零），這一數值可以是最大容量，即2n-1，也可以是小于最大容量的某一個數，如2n/2，常用的則是預置最大容量值（稱為置滿數或全加載）和預置0.5（稱為半加載）兩種?！鞍爰虞d”是在DDA迭代前，余數寄存器JRx和JRy的初值不是置零，而是置1000000（即0.5），也就是說，把余數寄存器JRx和JRy的最高有效位置“1”，其余各位均置“0

52、”，這樣，只要再疊加0.5，余數寄存器就可以產生第一個溢出脈沖，使積分器提前溢出。這在被積函數較小，遲遲不能產生溢出的情況時，有很大的實際意義，因為它改善了溢出脈沖的時間分布，減小了插補誤差。“半加載”可以使直線插補的誤差減小到半個脈沖當量以內，一個顯而易見的例子是：若直線OA的起點為坐標原點，終點坐標是A（15，1），沒有“半加載”時，x積分器除第一次迭代沒有溢出外，其余15次迭代均有溢出；而y積分器只有在第16次迭代時才有溢出脈沖（見圖217（a）。若進行了“半加載”，則x積分器除第9次迭代沒有溢出外，其余15次均有溢出；而y積分器的溢出提前到第8次迭代有溢出，這就改善了溢出脈沖的時間分布

53、，提高了插補精度（見圖217（a）。 圖2-17 “半加載”后的軌跡“半加載”使圓弧插補的精度得到明顯改善。若對圖217（b）的例子進行“半加載”，其插補軌跡如圖中的折線所示，插補過程見表27。仔細比較后可以發(fā)現，“半加載”使x積分器的溢出脈沖提前了，從而提高了插補精度。所謂“全加載”，是在DDA迭代前將余數寄存器JRx 和JRy的初值置成該寄存器的最大容量值（當為n位時，即置入2n-1），這會使得被積函數值很小的坐標積分器提早產生溢出，插補精度得到明顯改善。圖2-18 “全加載”后的實際軌跡點擊進入動畫觀看半加載,全加載DDA圓弧插補圖218是使用“全加載”的方法得到的插補軌跡，由于被積函數

54、寄存器和余數寄存器均為三位，置入最大數為7（111）。五、 其他函數的DDA插補運算為方便起見，現將各種積分單元符號重畫于圖219，其中增量 ， ， 直接寫成了它們的微分形式 , , ，這里所列的各種單元都可由先前的積分器基本線路演化得到。 圖219 積分器符號圖對于標準橢圓方程經微分并整理后可得 （2-13）其框圖如圖2-20（a）所示。對于雙曲線的標準方程 經微分并整理后可得 （2-14）其框圖如圖220（b）所示。圖220 其他函數積分器符號圖（a）橢圓    （b）雙曲線    （c）拋物線拋物線拋物線的方程為經微分并整理可得

55、 （215）其框圖如圖220（c）所示。§24  數據采樣插補法前面幾節(jié)介紹的逐點比較法、數字脈沖乘法器法和數字積分法插補方法，都有一個共同的特點，就是插補計算的結果是以一個一個脈沖的方式輸出給伺服系統(tǒng)，或者說產生的是單個的行程增量，因而統(tǒng)稱為脈沖增量插補法或基準脈沖插補法，這種方法既可用于CNC系統(tǒng)，又常見于NC系統(tǒng)，尤其適于以步進電機為伺服元件的數控系統(tǒng)。在CNC系統(tǒng)中較廣泛采用的另一種插補計算方法即所謂數據采樣插補法，或稱為時間分割法。它尤其適合于閉環(huán)和半閉環(huán)以直流或交流電機為執(zhí)行機構的位置采樣控制系統(tǒng)。這種方法是把加工一段直線或圓弧的整段時間細分為許多相等的時間間隔

56、，稱為單位時間間隔（或插補周期）。每經過一個單位時間間隔就進行一次插補計算，算出在這一時間間隔內各坐標軸的進給量，邊計算，邊加工，直至加工終點。與基準脈沖插補法不同，采用數據采樣法插補時，在加工某一直線段或圓弧段的加工指令中必須給出加工進給速度v，先通過速度計算，將進給速度分割成單位時間間隔的插補進給量（或稱為輪廓步長），又稱為一次插補進給量。例如，在FANUC 7M系統(tǒng)中，取插補周期為8 ms，若v的單位取mm/min，的單位取/8 ms，則一次插補進給量 可用下列數值方程計算： 按上式計算出一次插補進給量 后，根據刀具運動軌跡與各坐標軸的幾何關系， 就可求出各軸在一個插補周期內的插補進給量

57、，按時間間隔（如8 ms）以增量形式給各軸送出一個一個插補增量，通過驅動部分使機床完成預定軌跡的加工。由上述分析可知，這類算法的核心問題是如何計算各坐標軸的增長數 或 （而不是單個脈沖），有了前一插補周期末的動點位置值和本次插補周期內的坐標增長段，就很容易計算出本插補周期末的動點命令位置坐標值。對于直線插補來講，插補所形成的輪廓步長子線段（即增長段）與給定的直線重合，不會造成軌跡誤差。而在圓弧插補中，因要用切線或弦線來逼近圓弧，因而不可避免地會帶來輪廓誤差。其中切線近似具有較大的輪廓誤差而不大采用，常用的是弦線逼近法。有時，數據采樣插補是分兩步完成的，即粗插補和精插補。第一步為粗插補，它是在給

58、定起點和終點的曲線之間插入若干個點，即用若干條微小直線段來逼近給定曲線，粗插補在每個插補計算周期中計算一次。第二步為精插補，它是在粗插補計算出的每一條微小直線段上再做“數據點的密化”工作，這一步相當于對直線的脈沖增量插補。目前常用的數據采樣方法有兩種，分別出自于FANUC 7M和A-B公司的7360系統(tǒng)。在7M系統(tǒng)中，插補周期為8 ms，位置反饋采樣周期為4 ms，即插補周期為位置采樣周期的2倍，它以內接弦進給代替圓弧插補中的弧線進給。在A-B公司的7300系列中，插補周期與位置反饋采樣周期相同，插補算法為擴展DDA算法。下面分別介紹這兩種系統(tǒng)的時間分割插補算法。一、7M系統(tǒng)中采用的時間分割法

59、1直線插補設要求刀具在平面中作如圖2-28所示的直線運動。在這一程序段中，x和y軸的位移增量分別為和。插補時，取增量大的作長軸，小的為短軸，要求x和y軸的速度保持一定的比例，且同時終點。 設刀具移動方向與長軸夾角為， 為一次插補的進給步長。根據程序段所提供的終點坐標（，），可以確定出圖2-28 時間分割法直線插補 和 從而求得本次插補周期內長軸的插補進給量為 （2-17）導出其短軸的進給量為 （2-18）2圓弧插補 如圖229所示，順圓弧為待加工曲線，下面推導其插補公式。在順圓弧上的點是繼點之后的插補瞬時點，兩點的坐標分別為，。所謂插補，在這里是指由點求出下一點 ，實質上是求在一次插補周期的時

60、間內，x軸和y軸的進給量和。圖中的弦正是圓弧插補時每個周期的進給步長，是點的圓弧切線，是弦的中點。顯然，是的中點，而。由此，圓心角具有下列關系： （2-19）圖2-29時間分割法圓弧插補點擊進入動畫觀看時間分割法圓弧插補式中為進給步長所對應的角增量，稱為角步距。由于 所以         =顯然       因此 在MOD中 將 = ； =；代入上式，則有 （2-20）因為 而 ; 又可以推出和，和的關系式： （2-21）上式充分反映了圓弧上任意相鄰兩點的

61、坐標間的關系。只要找到計算和 的恰當方法，就可以按下式求出新的插補點坐標： （2-22） 所以，關鍵是求解出和。事實上，只要求出tg 值，根據函數關系便可求得，值，進而求得，值。由于式（2-20）中的sin和cos均為未知數，要直接算出tg 很困難。7M系統(tǒng)采用的是一種近似算法，即以cos45°和sin45°來代替cos 和sin ，先求出 （2-23） 再由關系式 （2-24） 進而求得 （2-25）由式（2-23）、（2-24）、（2-25）求出本周期的位移增量后，將其與已知的坐標值xi，yi代入式（2-21），即可求得值。在這種算法中，以弦進給代替弧進給是造成徑向誤差的主要原因。二、 7360系統(tǒng)中采用的時間分割法美國AB公司的7360 CNC系統(tǒng)采用了擴展的DDA采樣插補算法，系統(tǒng)的插補周期與位置反饋采樣周期相同，均為10.24 ms，通過10.24 ms的實時時鐘中斷來實現。  圖2-30 擴展DDA直線插補1.擴展DDA直線插補假設根據編程的進給速度，要在時間段T內走完圖2-30所示的直線段OE，終點為E