一級(jí)倒立擺的Simulink仿真

1、單級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在忽略了空氣阻力及各種摩擦之后，可抽象成小車和勻質(zhì)擺桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。圖1直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)圖2控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)假設(shè)小車質(zhì)量M =0.5kg，勻質(zhì)擺桿質(zhì)量m=0.2kg，擺桿長(zhǎng)度21 =0.6m，x(t)為小車的水平2位移，B為擺桿的角位移，g 9.8m/s?？刂频哪繕?biāo)是通過外力 u使得擺直立向上(即(t)0)。該系統(tǒng)的非線性模型為：(J ml ) (mlcos )x mglsin12，其中J ml。2c(ml cos ) (M m)x (ml sin ) u3解：一、非線性模型線性化及建立狀態(tài)空間模型因?yàn)樵诠ぷ鼽c(diǎn)附近(0,0 )對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，所以3

2、2sin,cos1 可以做如下線性化處理：3!2!當(dāng)B很小時(shí)，由cos B、sin B的幕級(jí)數(shù)展開式可知，忽略高次項(xiàng)后,可得 cos B 簾 sin 0,0 B A20 ；因此模型線性化后如下：(J+mL2 ) 0' 'mlx''mgl0(a)ml 0' '(M+m) x''=u (b) 其中 J gml2取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為x1x, x2x, X3,輸出y x包括小車位移和擺桿的角位移x1xx2x'xx1即X=Y=x3x3x4由線性化后運(yùn)動(dòng)方程組得X1' =x' =x2x2 '二x'3mg4

3、(M m) 3mX3+4(M m) 3m UX3 ' = B' =x4x4' = 0,3(M m)g4(M m)l3ml x3+4(M3m)l3ml U010x1'003mgX'-x2'4(Mm)3mX x3'=000x4'003(Mm)guu4(Mm)l3mlux1'0100x1x2'00267270x2X'x30001x3x4'x4003118180x1x11 0 00x2Yx30 0 10x3x4故空間狀態(tài)方程如下:00x140x2+4(Mm)3m1x300x434(Mm)l3ml01.818

4、2+u045455、通過Matlab仿真判斷系統(tǒng)的可控與可觀性，并說明其物理意義(1)判斷可控性代碼：A-010 (0;00-2.6270;000 -1;0031.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;P=ctrb(A,B);n=ran k(P);運(yùn)行了得n= 4所以 P 為滿秩，系統(tǒng)能控2)判斷可觀性代碼：A=010 0;00-2.6270;000;0031.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0; 0 0 1 0;P=obsv(A,C); n=rank(P);運(yùn)行了得 n= 4所以 P 為滿秩，系統(tǒng)能觀。三、能否通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極

5、點(diǎn)？若能，通過 Matlab 仿真確定反饋控制規(guī)律 K (如圖 2)，使得閉環(huán)極點(diǎn)配置在1 1, 2 2, 3.4 1 j 上。并給出系統(tǒng)在施加一個(gè)單位脈沖輸入時(shí)狀態(tài)響應(yīng)曲線；答： 因?yàn)橄到y(tǒng)完全能控，所以能通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。要將閉環(huán)極點(diǎn)配置在 1 1, 2 2, 3.4 1 j 上，所以期望特征方程為|刀一(A-BK)|=(入 + 1) * (廿2) *( ( Z+1) A2+1)=於4+5 於3+10 於2+10 入+4Matlab 求解 K 如下：A=010 0;00-2.6270;000;0031.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;J=-1 -2 -1+

6、i -1-i;K=place(A,B,J);運(yùn)行得：K= -0.089378-0.22345 -9.0957 -1.1894;未加入極點(diǎn)配置。仿真圖： 未進(jìn)行極點(diǎn)配置仿真電路圖( 1) X 的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：配置后：加入極點(diǎn)配置仿真圖( 2)X的響應(yīng)圖：的響應(yīng)圖：四、用MatLab中的lqr函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的K。要求用LQR控制算法控制倒立擺擺動(dòng)至豎直狀態(tài)，并可以控制倒立擺左 移和右移；欲對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，及小化性能指標(biāo)為：1OO -T-TJ=牙 $ XTQX+ UTRUdt編寫matalab程序如下：A=0 1 00;0 0 -2.627 0;0 0 0 1;0 0

7、31.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0x=1;y=1;Q=x 0 0 0;0 0 0 0;0 0 y 0;0 0 0 0;R=1;G=lqr(A,B,Q,R);A1=(A-B*G);B1=B;3= C;D仁D;t=0:0.01:5;U=zeros(size(t);x0=0.1 0 0.1 0;Y,X=lsim(A1,B1,C1,D1,U,t,x0);plot(t,Y);legend('小車','倒立擺');運(yùn)行可得：G=-1 -1.5495 -18.68 -3.4559由圖分析可得調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng)，

8、所以增加Q的比重，將上程序中的x,y改為x=150,y=150.運(yùn)行可得：G=-12.247 -9.3413 -41.934 -7.7732比較可得，控制效果明顯改善。但反饋增益變大，意味著控制作用變強(qiáng)，消耗 能量變大。將 G 放入系統(tǒng)中，進(jìn)行 simulink 仿真可得：仿真電路圖： 仿真結(jié)果： X 的響應(yīng)圖： 的響應(yīng)圖：五、寫出本次仿真實(shí)驗(yàn)的心得體會(huì)。本實(shí)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)建模到仿真系統(tǒng)的搭建，再到加進(jìn)控制環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制， 最后得出結(jié)果的過程中， 參考了大量的資料， 通過對(duì)比整合， 設(shè)計(jì)出了適合自己 的一套實(shí)驗(yàn)方法： 倒立擺數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)部分： 首先用線性化數(shù)學(xué)模型， 接著用動(dòng) 態(tài)系統(tǒng)空間狀態(tài)方程法導(dǎo)出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，然后用 MATLAB 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可 控可觀判斷及進(jìn)行幾點(diǎn)配置，加入配置后在 Simulink 軟件上進(jìn)行系統(tǒng)仿真。最 后通過 matlab 求解線性二次型最優(yōu)控制的 G 矩陣，然后加入形同進(jìn)行 Simulink 仿真。 通過本實(shí)驗(yàn)，掌握了倒立擺仿真的整個(gè)過程，熟悉了 MATLAB 的仿真 軟件