研究生《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)》莊楚強,何春雄編制課后答案

1、研究生習(xí)題2：2-7. 設(shè) ，為其一樣本，而， 試求常數(shù)c，使得隨機變量服從分布。2-7解：設(shè)，所以 ，所以 所以 ， 由于 因此 當(dāng) 時，。2-8. 設(shè) 為的一個樣本，求 。（參考數(shù)據(jù)：）2-8解：因為 ， 所以 ，即有所以 2-14. 設(shè)總體，求與，其中是樣本容量為16的樣本均值。（參考數(shù)據(jù)：）2-14解： 由于 ， 所以 2-17. 在總體中隨機抽取一容量為100的樣本，問樣本平均值與總體均值的差的絕對值大于3的概率是多少？（參考數(shù)據(jù)：）2-17解：因為 ， 所以 所以 2-25. 設(shè)總體的密度函數(shù)為取出容量為4的樣本，求：（1） 順序統(tǒng)計量的密度函數(shù)；（2）的分布函數(shù)；（3）。2-25

2、解：（1）由 所以 當(dāng) 時， 即 統(tǒng)計量的密度函數(shù)為： （2） 由于 當(dāng)時，所以 的分布函數(shù) （3）習(xí)題3：3-3. 已知總體的分布密度為： 設(shè)是容量為n的樣本，試分別求總體未知參數(shù)的矩估計量與MIE . 3-3解：矩法 由于 令 所以 MIE 當(dāng)時，構(gòu)造似然函數(shù) 所以 令 得 即 的極大似然估計量為3-5. 為檢驗?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機抽取50L化驗，每升水中大腸桿菌的個數(shù)（ 1L水中大腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布），化驗結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/ L0123456升 數(shù)1720102100 試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時才能使上述情況的概率為最大？3-5解：由

3、于 1L水中大腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布所以 所以 的估計量為 即有 所以 平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為1的概率為最大。3-26. 隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，得炮口速度的樣本標準差。設(shè)炮口速度是正態(tài)分布的，求這種炮彈的炮口速度的標準差的95%置信區(qū)間。（參考數(shù)據(jù)：）3-26解：設(shè) 則 由 得 的的置信區(qū)間為：將數(shù)據(jù) ， 代入，得的95%置信區(qū)間為（55.2，444.0）， 即 的95%置信區(qū)間為（7.4，21.1）.習(xí)題4：4-1. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常下服從，現(xiàn)在測了5爐鐵水，其含碳量分別為： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 如果方差沒有改變，問總體均值有無

4、變化？（顯著性水平）（參考數(shù)據(jù)：）4-1. 解：檢驗問題 由 且為已知，所以 即 檢驗問題的拒絕域為 計算得： 有 而 ， 即有 成立， 故 拒絕，即 認為總體均值有變化。4-2. 設(shè)某廠一臺機器生產(chǎn)的紐扣，據(jù)經(jīng)驗其直徑服從，。為檢驗這臺機器生產(chǎn)是否正常，抽取容量n =100的樣本，并由此算得樣本均值，問該機器生產(chǎn)的紐扣的平均直徑為，這個結(jié)論是否成立？（顯著性水平）（參考數(shù)據(jù)：）4-2. 解：檢驗問題 由 且為已知，所以 即 檢驗問題的拒絕域為 由 ， ， n =100 得 而 ， 即有 ， 故 接受，即 認為這個結(jié)論是成立的。4-11. 已知用某種鋼生產(chǎn)的鋼筋強度服從正態(tài)分布，長期以來，其抗

5、拉強度平均為52.00?，F(xiàn)改變煉鋼的配方，利用新法煉了7爐鋼，從這7爐鋼生產(chǎn)的鋼筋中每爐抽一根，測得其強度分別為： 52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04 問用新法煉鋼生產(chǎn)的鋼筋，其強度的均值是否有明顯提高？（顯著性水平）（參考數(shù)據(jù)：）4-11. 解：檢驗問題 由 且為未知，所以 即 檢驗問題的拒絕域為 計算得 ， ， n =7 得 而 ， 即有 ， 故 接受，即 認為強度均值無明顯偏高。4-37. 在一實驗中，每隔一定時間觀察一次由某種鈾所放射到達計數(shù)器上的粒子數(shù)，共觀察了100次，得結(jié)果如下表所示：i01234567891011151617261

6、1992121100 其中是觀察到有i個粒子的次數(shù)。從理論上來考慮知服從Possion分布 問：這理論考慮是否符合實際？（顯著性水平） （參考數(shù)據(jù)：）4-37. 解：檢驗問題 服從Possion分布 （在顯著性水平下） 由公式，得 并計算的觀測值，見下表： 010.01501.500.1667150.06306.300.26832160.132313.230.57803170.185218.520.12484260.194419.442.21395110.163316.331.7397690.114311.430.5166790.06866.860.6676826.390.0238911021

7、1110011006.2994 即 檢驗統(tǒng)計量的觀測值為： 而 亦即 故 接受，即 認為理論考慮符合實際。4-45. 自動車床加工中軸，從成品中抽取11根，并測得它們的直徑（mm）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 試用W檢驗法檢驗這批零件的直徑是否服從正態(tài)分布？（顯著性水平） （參考數(shù)據(jù)：）4-45. 解：數(shù)據(jù)的順序統(tǒng)計量為：10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 的計算如下表：k110.1810.

8、820.640.56010.3585210.3210.770.450.33150.1492310.3810.670.290.22600.0655410.4110.640.230.14290.0329510.4910.590.100.06950.0070 所以 ， 又 ， 得 故 ， 又 當(dāng)n = 11 時，即有 ， 從而 接受正態(tài)假設(shè)，亦即 零件直徑服從正態(tài)分布。4-47. 甲、乙兩個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，要比較這種產(chǎn)品的某項指標波動的情況，從這兩個車間連續(xù)15天取得反映波動大小的數(shù)據(jù)如下表：甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.341.5

9、7乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.841.95 在下，用符號檢驗法檢驗假設(shè)“這兩個車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項指標的波動性情況的分布重合”。 （參考數(shù)據(jù)：）4-47. 解： 在下， 檢驗假設(shè)甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.341.57乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.841.95符號由上表知：，查 ，的符號檢驗表， 得 臨界值，而 ， 即：， 故 拒絕即 認為這兩車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項指標波動情況不同4-51. 對核動

10、力工廠的某類儀器實施甲、乙兩種不同的維修方案，現(xiàn)觀測到兩組失效時間（單位：小時）如下表所示：甲72610827302535乙31504284722810129 在顯著性水平下，用游程檢驗法（兩種方法）檢驗這兩種維修方案是否有一種維修方案顯著地優(yōu)于另一種方案？ （參考數(shù)據(jù)：）4-51. 解：（）基于游程總個數(shù)R的檢驗法 設(shè) 甲儀器失效時間服從分布，乙儀器失效時間服從分布。 檢驗問題 將、混排（的樣本值帶下劃線）得： 3 7 8 10 25 26 27 28 29 30 35 42 72 84 101 150 即 游程總個數(shù) R = 5 而 當(dāng)，時， 所以 ， 故 拒絕，認為這兩種維修方案有一種維

11、修方案顯著地優(yōu)于另一種方案。習(xí)題5：5-4合成纖維的強度與其拉伸倍數(shù)x有關(guān)，測得試驗數(shù)據(jù)如下：2.02.52.73.54.04.55.26.37.18.09.010.01.32.52.52.73.54.25.06.46.37.08.08.1（1） 求對的回歸直線方程；（2） 檢驗回歸直線的顯著性()；（3） 求時，的預(yù)測值及預(yù)測區(qū)間（置信度為）。 （參考數(shù)據(jù)：）5-4解：（1）計算得 ， ， ， ， 所以 有 , 故 對的回歸直線方程為： 。 (2) 檢驗假設(shè) . 用F檢驗法： ， 得 而 即 所以 拒絕 ，即 認為線性回歸效果顯著。(3) 當(dāng) 時，的預(yù)測值為： 的的預(yù)測區(qū)間為： 而 ， 所以

12、 故 所求預(yù)測區(qū)間為：（4.2992 , 6.3192）.5-5. 某建材實驗室在作陶?；炷翉姸葘嶒炛校疾烀苛⒎矫谆炷恋乃嘤昧縳 (kg)對 28天后的混凝土抗壓強度的影響，測得數(shù)據(jù)如下：15016017018019020021022023024025026056.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7 （1）求對的線性回歸方程，并問：每立方米混凝土中增加1kg水泥時，可提高的抗壓強度是多少？（2）檢驗線性回歸效果的顯著性()；（3）求回歸系數(shù)b的區(qū)間估計（置信度為）；（4）求時，的預(yù)測值及預(yù)測區(qū)間（置信度為）。 （參考數(shù)據(jù)：）5-5

13、. 解：解：（1）計算得 ， ， ， ， 所以 有 , 故 對的回歸直線方程為： 。 而 ， ， 所以 每立方米混凝土中增加1kg水泥時，可提高的抗壓強度是： （2）檢驗假設(shè) . 用T檢驗法：由 得 而 即有 所以 拒絕，即 認為線性回歸效果顯著。 （3）由于 的置信區(qū)間為： 所以 當(dāng)時，有： （4）當(dāng) 時，的預(yù)測值為由于 的預(yù)測區(qū)間為： 所以 當(dāng)時，有：即得 所求預(yù)測區(qū)間為： 。5-14. 在彩色顯影中，根據(jù)以往的經(jīng)驗，形成染料光學(xué)密度與析出銀的光學(xué)密度之間有下面類型的關(guān)系： 通過11次試驗得到下面數(shù)據(jù)：0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47

14、0.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29求未知參數(shù)a、b的估計值，并求回歸方程的殘差平方和。5-14. 解：兩邊對取對數(shù)，有：，作變換， 得 將數(shù)據(jù)整理如下表：0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.470.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.292016.6714.29107.143543.2262.6322.3252.128-2.302-1.966-1.429-0.994-0.528-0.23600.1130.1740.2230.255計算得：；所以；得

15、換故得回歸方程為：且 回歸方程的殘差平方和為： .習(xí)題6：6-2. 現(xiàn)有某種型號的電池3批，它們分別是甲、乙、丙3個廠生產(chǎn)的，為評論其質(zhì)量，各隨機抽取5只電池為樣品，經(jīng)試驗得其壽命（h）如下表所示：工廠壽 命甲乙丙402639483440383043422850453250 試在顯著性水平下，檢驗電池的平均壽命有無顯著差異。（略：若差異是顯著的，檢驗?zāi)男┕S之間有顯著差異，并求、和的95%置信區(qū)間。） （參考數(shù)據(jù)：）6-2. 解：檢驗問題 工廠壽 命或 甲40(16004823043814444217644520252134536942.663.2乙2667634115630900287843

16、21024150225003040丙391521401600431849502500502500)2224928444.4113.2r =3n =15=585 所以 而 即：故拒絕，即 認為電池的平均壽命有顯著差異 方差分析表如下：方差來源平方和S自由度f均方和F值顯著性因素615.62307.817.07*誤差216.41218.03總和83214 或 ， ， 所以 而 即：故拒絕，即 認為電池的平均壽命有顯著差異6-3. 用3種不同的小球測定引力常數(shù)的試驗結(jié)果如下表所示（單位：）： 鉑金玻璃6.6616.6836.6786.6616.6816.6716.6676.6766.6756.667

17、6.6786.6726.6646.6796.6746.672 試問：不同小球?qū)σΤ?shù)的測定有無顯著影響？（顯著性水平）（略：并求并求、和的95%置信區(qū)間。） （參考數(shù)據(jù)：）6-3. 解：檢驗問題 元素引力常數(shù)或 鉑6.6616.6616.6676.6676.66433.321110.226.6640.000036金6.6836.6816.6766.6786.6796.67240.0681605.456.6780.000075玻璃6.6786.6716.6756.6726.67433.371113.566.6740.000030r =3n =16=106.758 所以 而 即：故拒絕，即 認為不同小球?qū)σΤ?shù)的測定有顯著影響 或 ， ， 所以 而 即：故拒絕，即 認為不同小球?qū)σΤ?shù)的測定有顯著影響 方差分析表如下：方差來源平方和S自由度f均方和F值顯著性因素0.00056820.00028426.2*誤差0.000141130.00001085總和0.000709156-15. 選礦用的油膏的配方對礦石回收率有很大影響，為了提高回收率，分別選取油膏的3種成分的2種水平，所選因