研究生《應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)》莊楚強(qiáng),何春雄編制課后答案

1、研究生習(xí)題2：2-7. 設(shè) ，為其一樣本，而， 試求常數(shù)c，使得隨機(jī)變量服從分布。2-7解：設(shè)，所以 ，所以 所以 ， 由于 因此 當(dāng) 時(shí)，。2-8. 設(shè) 為的一個(gè)樣本，求 。（參考數(shù)據(jù)：）2-8解：因?yàn)?， 所以 ，即有所以 2-14. 設(shè)總體，求與，其中是樣本容量為16的樣本均值。（參考數(shù)據(jù)：）2-14解： 由于 ， 所以 2-17. 在總體中隨機(jī)抽取一容量為100的樣本，問(wèn)樣本平均值與總體均值的差的絕對(duì)值大于3的概率是多少？（參考數(shù)據(jù)：）2-17解：因?yàn)?， 所以 所以 2-25. 設(shè)總體的密度函數(shù)為取出容量為4的樣本，求：（1） 順序統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)；（2）的分布函數(shù)；（3）。2-25

2、解：（1）由 所以 當(dāng) 時(shí)， 即 統(tǒng)計(jì)量的密度函數(shù)為： （2） 由于 當(dāng)時(shí)，所以 的分布函數(shù) （3）習(xí)題3：3-3. 已知總體的分布密度為： 設(shè)是容量為n的樣本，試分別求總體未知參數(shù)的矩估計(jì)量與MIE . 3-3解：矩法 由于 令 所以 MIE 當(dāng)時(shí)，構(gòu)造似然函數(shù) 所以 令 得 即 的極大似然估計(jì)量為3-5. 為檢驗(yàn)?zāi)撤N自來(lái)水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機(jī)抽取50L化驗(yàn)，每升水中大腸桿菌的個(gè)數(shù)（ 1L水中大腸桿菌個(gè)數(shù)服從Poisson分布），化驗(yàn)結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/ L0123456升 數(shù)1720102100 試問(wèn)平均每升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)為多少時(shí)才能使上述情況的概率為最大？3-5解：由

3、于 1L水中大腸桿菌個(gè)數(shù)服從Poisson分布所以 所以 的估計(jì)量為 即有 所以 平均每升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)為1的概率為最大。3-26. 隨機(jī)地取某種炮彈9發(fā)做試驗(yàn)，得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差。設(shè)炮口速度是正態(tài)分布的，求這種炮彈的炮口速度的標(biāo)準(zhǔn)差的95%置信區(qū)間。（參考數(shù)據(jù)：）3-26解：設(shè) 則 由 得 的的置信區(qū)間為：將數(shù)據(jù) ， 代入，得的95%置信區(qū)間為（55.2，444.0）， 即 的95%置信區(qū)間為（7.4，21.1）.習(xí)題4：4-1. 已知某煉鐵廠的鐵水含碳量在正常下服從，現(xiàn)在測(cè)了5爐鐵水，其含碳量分別為： 4.28，4.40，4.42，4.35，4.37 如果方差沒(méi)有改變，問(wèn)總體均值有無(wú)

4、變化？（顯著性水平）（參考數(shù)據(jù)：）4-1. 解：檢驗(yàn)問(wèn)題 由 且為已知，所以 即 檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)?計(jì)算得： 有 而 ， 即有 成立， 故 拒絕，即 認(rèn)為總體均值有變化。4-2. 設(shè)某廠一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的紐扣，據(jù)經(jīng)驗(yàn)其直徑服從，。為檢驗(yàn)這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)是否正常，抽取容量n =100的樣本，并由此算得樣本均值，問(wèn)該機(jī)器生產(chǎn)的紐扣的平均直徑為，這個(gè)結(jié)論是否成立？（顯著性水平）（參考數(shù)據(jù)：）4-2. 解：檢驗(yàn)問(wèn)題 由 且為已知，所以 即 檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)?由 ， ， n =100 得 而 ， 即有 ， 故 接受，即 認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的。4-11. 已知用某種鋼生產(chǎn)的鋼筋強(qiáng)度服從正態(tài)分布，長(zhǎng)期以來(lái)，其抗

5、拉強(qiáng)度平均為52.00。現(xiàn)改變煉鋼的配方，利用新法煉了7爐鋼，從這7爐鋼生產(chǎn)的鋼筋中每爐抽一根，測(cè)得其強(qiáng)度分別為： 52.45，48.51，56.02，51.53，49.02，53.38，54.04 問(wèn)用新法煉鋼生產(chǎn)的鋼筋，其強(qiáng)度的均值是否有明顯提高？（顯著性水平）（參考數(shù)據(jù)：）4-11. 解：檢驗(yàn)問(wèn)題 由 且為未知，所以 即 檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)?計(jì)算得 ， ， n =7 得 而 ， 即有 ， 故 接受，即 認(rèn)為強(qiáng)度均值無(wú)明顯偏高。4-37. 在一實(shí)驗(yàn)中，每隔一定時(shí)間觀察一次由某種鈾所放射到達(dá)計(jì)數(shù)器上的粒子數(shù)，共觀察了100次，得結(jié)果如下表所示：i01234567891011151617261

6、1992121100 其中是觀察到有i個(gè)粒子的次數(shù)。從理論上來(lái)考慮知服從Possion分布 問(wèn)：這理論考慮是否符合實(shí)際？（顯著性水平） （參考數(shù)據(jù)：）4-37. 解：檢驗(yàn)問(wèn)題 服從Possion分布 （在顯著性水平下） 由公式，得 并計(jì)算的觀測(cè)值，見下表： 010.01501.500.1667150.06306.300.26832160.132313.230.57803170.185218.520.12484260.194419.442.21395110.163316.331.7397690.114311.430.5166790.06866.860.6676826.390.0238911021

7、1110011006.2994 即 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測(cè)值為： 而 亦即 故 接受，即 認(rèn)為理論考慮符合實(shí)際。4-45. 自動(dòng)車床加工中軸，從成品中抽取11根，并測(cè)得它們的直徑（mm）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 試用W檢驗(yàn)法檢驗(yàn)這批零件的直徑是否服從正態(tài)分布？（顯著性水平） （參考數(shù)據(jù)：）4-45. 解：數(shù)據(jù)的順序統(tǒng)計(jì)量為：10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 的計(jì)算如下表：k110.1810.

8、820.640.56010.3585210.3210.770.450.33150.1492310.3810.670.290.22600.0655410.4110.640.230.14290.0329510.4910.590.100.06950.0070 所以 ， 又 ， 得 故 ， 又 當(dāng)n = 11 時(shí)，即有 ， 從而 接受正態(tài)假設(shè)，亦即 零件直徑服從正態(tài)分布。4-47. 甲、乙兩個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，要比較這種產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)波動(dòng)的情況，從這兩個(gè)車間連續(xù)15天取得反映波動(dòng)大小的數(shù)據(jù)如下表：甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.341.5

9、7乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.841.95 在下，用符號(hào)檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)“這兩個(gè)車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的波動(dòng)性情況的分布重合”。 （參考數(shù)據(jù)：）4-47. 解： 在下， 檢驗(yàn)假設(shè)甲1.131.261.161.410.861.391.211.221.200.621.181.341.57乙1.211.310.991.591.411.481.311.121.601.381.601.841.95符號(hào)由上表知：，查 ，的符號(hào)檢驗(yàn)表， 得 臨界值，而 ， 即：， 故 拒絕即 認(rèn)為這兩車間所生產(chǎn)的產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)波動(dòng)情況不同4-51. 對(duì)核動(dòng)

10、力工廠的某類儀器實(shí)施甲、乙兩種不同的維修方案，現(xiàn)觀測(cè)到兩組失效時(shí)間（單位：小時(shí)）如下表所示：甲72610827302535乙31504284722810129 在顯著性水平下，用游程檢驗(yàn)法（兩種方法）檢驗(yàn)這兩種維修方案是否有一種維修方案顯著地優(yōu)于另一種方案？ （參考數(shù)據(jù)：）4-51. 解：（）基于游程總個(gè)數(shù)R的檢驗(yàn)法 設(shè) 甲儀器失效時(shí)間服從分布，乙儀器失效時(shí)間服從分布。 檢驗(yàn)問(wèn)題 將、混排（的樣本值帶下劃線）得： 3 7 8 10 25 26 27 28 29 30 35 42 72 84 101 150 即 游程總個(gè)數(shù) R = 5 而 當(dāng)，時(shí)， 所以 ， 故 拒絕，認(rèn)為這兩種維修方案有一種維

11、修方案顯著地優(yōu)于另一種方案。習(xí)題5：5-4合成纖維的強(qiáng)度與其拉伸倍數(shù)x有關(guān)，測(cè)得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：2.02.52.73.54.04.55.26.37.18.09.010.01.32.52.52.73.54.25.06.46.37.08.08.1（1） 求對(duì)的回歸直線方程；（2） 檢驗(yàn)回歸直線的顯著性()；（3） 求時(shí)，的預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)區(qū)間（置信度為）。 （參考數(shù)據(jù)：）5-4解：（1）計(jì)算得 ， ， ， ， 所以 有 , 故 對(duì)的回歸直線方程為： 。 (2) 檢驗(yàn)假設(shè) . 用F檢驗(yàn)法： ， 得 而 即 所以 拒絕 ，即 認(rèn)為線性回歸效果顯著。(3) 當(dāng) 時(shí)，的預(yù)測(cè)值為： 的的預(yù)測(cè)區(qū)間為： 而 ， 所以

12、 故 所求預(yù)測(cè)區(qū)間為：（4.2992 , 6.3192）.5-5. 某建材實(shí)驗(yàn)室在作陶?；炷翉?qiáng)度實(shí)驗(yàn)中，考察每立方米混凝土的水泥用量x (kg)對(duì) 28天后的混凝土抗壓強(qiáng)度的影響，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：15016017018019020021022023024025026056.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7 （1）求對(duì)的線性回歸方程，并問(wèn)：每立方米混凝土中增加1kg水泥時(shí)，可提高的抗壓強(qiáng)度是多少？（2）檢驗(yàn)線性回歸效果的顯著性()；（3）求回歸系數(shù)b的區(qū)間估計(jì)（置信度為）；（4）求時(shí)，的預(yù)測(cè)值及預(yù)測(cè)區(qū)間（置信度為）。 （參考數(shù)據(jù)：）5-5

13、. 解：解：（1）計(jì)算得 ， ， ， ， 所以 有 , 故 對(duì)的回歸直線方程為： 。 而 ， ， 所以 每立方米混凝土中增加1kg水泥時(shí)，可提高的抗壓強(qiáng)度是： （2）檢驗(yàn)假設(shè) . 用T檢驗(yàn)法：由 得 而 即有 所以 拒絕，即 認(rèn)為線性回歸效果顯著。 （3）由于 的置信區(qū)間為： 所以 當(dāng)時(shí)，有： （4）當(dāng) 時(shí)，的預(yù)測(cè)值為由于 的預(yù)測(cè)區(qū)間為： 所以 當(dāng)時(shí)，有：即得 所求預(yù)測(cè)區(qū)間為： 。5-14. 在彩色顯影中，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，形成染料光學(xué)密度與析出銀的光學(xué)密度之間有下面類型的關(guān)系： 通過(guò)11次試驗(yàn)得到下面數(shù)據(jù)：0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.47

14、0.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.29求未知參數(shù)a、b的估計(jì)值，并求回歸方程的殘差平方和。5-14. 解：兩邊對(duì)取對(duì)數(shù)，有：，作變換， 得 將數(shù)據(jù)整理如下表：0.050.060.070.100.140.200.250.310.380.430.470.100.140.230.370.590.791.001.121.191.251.292016.6714.29107.143543.2262.6322.3252.128-2.302-1.966-1.429-0.994-0.528-0.23600.1130.1740.2230.255計(jì)算得：；所以；得

15、換故得回歸方程為：且 回歸方程的殘差平方和為： .習(xí)題6：6-2. 現(xiàn)有某種型號(hào)的電池3批，它們分別是甲、乙、丙3個(gè)廠生產(chǎn)的，為評(píng)論其質(zhì)量，各隨機(jī)抽取5只電池為樣品，經(jīng)試驗(yàn)得其壽命（h）如下表所示：工廠壽 命甲乙丙402639483440383043422850453250 試在顯著性水平下，檢驗(yàn)電池的平均壽命有無(wú)顯著差異。（略：若差異是顯著的，檢驗(yàn)?zāi)男┕S之間有顯著差異，并求、和的95%置信區(qū)間。） （參考數(shù)據(jù)：）6-2. 解：檢驗(yàn)問(wèn)題 工廠壽 命或 甲40(16004823043814444217644520252134536942.663.2乙2667634115630900287843

16、21024150225003040丙391521401600431849502500502500)2224928444.4113.2r =3n =15=585 所以 而 即：故拒絕，即 認(rèn)為電池的平均壽命有顯著差異 方差分析表如下：方差來(lái)源平方和S自由度f(wàn)均方和F值顯著性因素615.62307.817.07*誤差216.41218.03總和83214 或 ， ， 所以 而 即：故拒絕，即 認(rèn)為電池的平均壽命有顯著差異6-3. 用3種不同的小球測(cè)定引力常數(shù)的試驗(yàn)結(jié)果如下表所示（單位：）： 鉑金玻璃6.6616.6836.6786.6616.6816.6716.6676.6766.6756.667

17、6.6786.6726.6646.6796.6746.672 試問(wèn)：不同小球?qū)σΤ?shù)的測(cè)定有無(wú)顯著影響？（顯著性水平）（略：并求并求、和的95%置信區(qū)間。） （參考數(shù)據(jù)：）6-3. 解：檢驗(yàn)問(wèn)題 元素引力常數(shù)或 鉑6.6616.6616.6676.6676.66433.321110.226.6640.000036金6.6836.6816.6766.6786.6796.67240.0681605.456.6780.000075玻璃6.6786.6716.6756.6726.67433.371113.566.6740.000030r =3n =16=106.758 所以 而 即：故拒絕，即 認(rèn)為不同小球?qū)σΤ?shù)的測(cè)定有顯著影響 或 ， ， 所以 而 即：故拒絕，即 認(rèn)為不同小球?qū)σΤ?shù)的測(cè)定有顯著影響 方差分析表如下：方差來(lái)源平方和S自由度f(wàn)均方和F值顯著性因素0.00056820.00028426.2*誤差0.000141130.00001085總和0.000709156-15. 選礦用的油膏的配方對(duì)礦石回收率有很大影響，為了提高回收率，分別選取油膏的3種成分的2種水平，所選因