初中數(shù)學(xué)最值系列之瓜豆原理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上最值系列之瓜豆原理在輔助圓問題中，我們了解了求關(guān)于動點最值問題的方式之一求出動點軌跡，即可求出關(guān)于動點的最值本文繼續(xù)討論另一類動點引發(fā)的最值問題，在此類題目中，題目或許先描述的是動點P，但最終問題問的可以是另一點Q，當(dāng)然P、Q之間存在某種聯(lián)系，從P點出發(fā)探討Q點運動軌跡并求出最值，為常規(guī)思路一、軌跡之圓篇引例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓O有什么關(guān)系？考慮到Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是

2、OP一半，任意時刻，均有AMQAOP，QM:PO=AQ:AP=1:2【小結(jié)】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：A、M、O三點共線，由Q為AP中點可得：AM=1/2AOQ點軌跡相當(dāng)于是P點軌跡成比例縮放根據(jù)動點之間的相對位置關(guān)系分析圓心的相對位置關(guān)系；根據(jù)動點之間的數(shù)量關(guān)系分析軌跡圓半徑數(shù)量關(guān)系引例2：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，作AQAP且AQ=AP考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？ 【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得AQ，故Q點軌跡與P點軌跡都是圓接下來確定圓心與半徑考慮APAQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足

3、AMAO；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM引例3：如圖，APQ是直角三角形，PAQ=90°且AP=2AQ，當(dāng)P在圓O運動時，Q點軌跡是？【分析】考慮APAQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AMAO；考慮AP:AQ=2:1，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM，且相似比為2【模型總結(jié)】為了便于區(qū)分動點P、Q，可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點”此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（

4、AP:AQ是定值）【結(jié)論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：PAQ=OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與P的關(guān)系相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)+伸縮古人云：種瓜得瓜，種豆得豆“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”【思考1】：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為一邊作等邊APQ考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？【分析】Q點滿足（1）PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q點軌跡是個圓：考慮PAQ=60°，可得Q點軌跡圓圓心M滿足MAO

5、=60°；考慮AP=AQ，可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=AO，且可得半徑MQ=PO即可確定圓M位置，任意時刻均有APOAQM【小結(jié)】可以理解AQ由AP旋轉(zhuǎn)得來，故圓M亦由圓O旋轉(zhuǎn)得來，旋轉(zhuǎn)角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數(shù)量關(guān)系【思考2】如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，以AP為斜邊作等腰直角APQ考慮：當(dāng)點P在圓O上運動時，如何作出Q點軌跡？【分析】Q點滿足（1）PAQ=45°；（2）AP:AQ=：1，故Q點軌跡是個圓連接AO，構(gòu)造OAM=45°且AO:AM=：1M點即為Q點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有AOPAMQ即可確定點Q的軌跡圓【練習(xí)】如

6、圖，點P（3,4），圓P半徑為2，A（2.8,0），B（5.6,0），點M是圓P上的動點，點C是MB的中點，則AC的最小值是_【分析】M點為主動點，C點為從動點，B點為定點考慮C是BM中點，可知C點軌跡：取BP中點O，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓，即為點C軌跡當(dāng)A、C、O三點共線且點C在線段OA上時，AC取到最小值，根據(jù)B、P坐標(biāo)求O，利用兩點間距離公式求得OA，再減去OC即可【2016武漢中考】如圖，在等腰RtABC中，AC=BC=，點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點，當(dāng)半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長為_【分析】考慮C、M、P共線及M是CP中點，可確定M點軌跡：取AB中點

7、O，連接CO取CO中點D，以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、BC于E、F兩點，則弧EF即為M點軌跡當(dāng)然，若能理解M點與P點軌跡關(guān)系，可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡長一半，即可解決問題【2018南通中考】如圖，正方形ABCD中，O是BC邊的中點，點E是正方形內(nèi)一動點，OE=2，連接DE，將線段DE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°得DF，連接AE、CF求線段OF長的最小值【分析】E是主動點，F(xiàn)是從動點，D是定點，E點滿足EO=2，故E點軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓考慮DEDF且DE=DF，故作DMDO且DM=DO，F(xiàn)點軌跡是以點M為圓心，2為半徑的圓直接連接OM，與圓M交點即為F點，此時

8、OF最小可構(gòu)造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得OM，減去MF即可得到OF的最小值【練習(xí)】ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在ABC外作正方形BCDE，BD、CE交于點O，則線段AO的最大值為_【分析】考慮到AB、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定AB，將AC看成動線段，由此引發(fā)正方形BCED的變化，求得線段AO的最大值根據(jù)AC=2，可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓接下來題目求AO的最大值，所以確定O點軌跡即可，觀察BOC是等腰直角三角形，銳角頂點C的軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓，所以O(shè)點軌跡也是圓，以AB為斜邊構(gòu)造等腰直角三角形，直角頂點M即為點O軌跡圓圓心連接A

9、M并延長與圓M交點即為所求的點O，此時AO最大，根據(jù)AB先求AM，再根據(jù)BC與BO的比值可得圓M的半徑與圓A半徑的比值，得到MO，相加即得AO此題方法也不止這一種，比如可以如下構(gòu)造旋轉(zhuǎn)，當(dāng)A、C、A共線時，可得AO最大值或者直接利用托勒密定理可得最大值二、軌跡之線段篇引例：如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當(dāng)點P在BC上運動時，Q點軌跡是？【分析】當(dāng)P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線可以這樣理解：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線【引例】如圖，APQ是等腰直角

10、三角形，PAQ=90°且AP=AQ，當(dāng)點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？【分析】當(dāng)AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形當(dāng)確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段【模型總結(jié)】必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（PAQ是定值）；主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）結(jié)論：P、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于PAQ（當(dāng)PAQ90°時，PAQ等于MN與BC夾角）P、Q兩點軌跡長度之比等于AP:AQ（由ABCAMN，可得AP:AQ=BC:MN）【2017姑蘇

11、區(qū)二?！咳鐖D，在等邊ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，點P從點E出發(fā)沿EA方向運動，連結(jié)PD，以PD為邊，在PD的右側(cè)按如圖所示的方式作等邊DPF，當(dāng)點P從點E運動到點A時，點F運動的路徑長是_【分析】根據(jù)DPF是等邊三角形，所以可知F點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到A點路徑長為8，故此題答案為8【2013湖州中考】如圖，已知點A是第一象限內(nèi)橫坐標(biāo)為的一個定點，ACx軸于點M，交直線y=-x于點N，若點P是線段ON上的一個動點，APB=30°，BAPA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動求當(dāng)點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是_【分析】根據(jù)PAB=9

12、0°，APB=30°可得：AP:AB=，故B點軌跡也是線段，且P點軌跡路徑長與B點軌跡路徑長之比也為，P點軌跡長ON為，故B點軌跡長為【練習(xí)】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（-3,0），點B是y軸正半軸上一動點，點C、D在x正半軸上，以AB為邊在AB的下方作等邊ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值【分析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據(jù)ABP是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知P點軌跡也是直線取兩特殊時刻：（1）當(dāng)點B與點O重合時，作出P點位置P1；（2）當(dāng)點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出P點位置P2連接P1P2，即為P點軌跡根據(jù)ABP=60

13、°可知：與y軸夾角為60°，作OP，所得OP長度即為最小值，OP2=OA=3，所以O(shè)P=【2019宿遷中考】如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，連接CG，則CG的最小值為【分析】同樣是作等邊三角形，區(qū)別于上一題求動點路徑長，本題是求CG最小值，可以將F點看成是由點B向點A運動，由此作出G點軌跡：考慮到F點軌跡是線段，故G點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在位置，最終G點在位置（不一定在CD邊），即為G點運動軌跡CG最小值即當(dāng)CG的時候取到，作CH于點H，CH即為所

14、求的最小值根據(jù)模型可知：與AB夾角為60°，故過點E作EFCH于點F，則HF=1，CF=，所以CH=，因此CG的最小值為三、軌跡之其他圖形篇所謂“瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性，根據(jù)主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當(dāng)主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是【2016樂山中考】如圖，在反比例函數(shù)的圖像上有一個動點A，連接AO并延長交圖像的另一支于點B，在第一象限內(nèi)有一點C，滿足AC=BC，當(dāng)點A運動時，點C始終在函數(shù)的圖像上運動，若tanCAB=2，則k的值為（ ）A2B4C6D8【分析】AOC=90°

15、且AO:OC=1:2，顯然點C的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直x軸，垂足分別為M、N，連接OC，易證AMOONC，CN=2OM，ON=2AM，ON·CN=4AM·OM，故k=4×2=8【思考】若將條件“tanCAB=2”改為“ABC是等邊三角形”，k會是多少？【練習(xí)】如圖，A（-1,1），B（-1,4），C（-5,4），點P是ABC邊上一動點，連接OP，以O(shè)P為斜邊在OP的右上方作等腰直角OPQ，當(dāng)點P在ABC邊上運動一周時，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為_【分析】根據(jù)OPQ是等腰直角三角形可得：Q點運動軌跡與P點軌跡形狀相同，根據(jù)OP:OQ=，可得P點軌跡圖形與Q點軌跡圖形相似比為，故面積比為2:1，ABC面積為1/2×3×4=6，故Q點軌跡形成的封閉圖