單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上學(xué)號： 學(xué)年論文（本科）學(xué) 院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計算科學(xué) 年 級 2011級 姓 名 姚瑞娟 論文題目 單個正態(tài)總體的檢驗假設(shè) 指導(dǎo)教師 韓英波 職稱 副教授 成 績 2014年3月10日專心-專注-專業(yè)目 錄單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗學(xué)生姓名：姚瑞娟 學(xué)號：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 信息與計算科學(xué)專業(yè)指導(dǎo)老師：韓英波 職稱：副教授摘 要：本文介紹了假設(shè)檢驗的基本步驟,如何建立假設(shè)檢驗,判斷假設(shè)是否正確.此外,從已知和未知詳細的講述了單個正態(tài)總體的檢驗,還有單個正態(tài)總體方差的檢驗,及與它們相關(guān)的應(yīng)用舉例.關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；假設(shè)檢驗；均值；方差；拒絕域；接受域；

2、原假設(shè)；Hypothesis test of one normal populationAbstract：It introduces the basic steps of hypothesis test in this paper, and how to build hypothesis and correct judgment test. In addition, it detailed introduces the single hypothesis test from variance is known and unknown. There is a single of normal p

3、opulation variance test and the related application. Keywords： normal distribution；price value；hypothesis test；variance； rejected region； receptive regions；the original hypothesis前言 假設(shè)檢驗是由K.Pearson于20世紀初提出的,之后由費希爾進行了細化,并最終由奈曼和E.Pearson提出了較完整的假設(shè)檢驗理論.統(tǒng)計推斷的一個重要內(nèi)容就是假設(shè)檢驗.然而,正態(tài)分布正態(tài)分布是最重要的一種概率分布,正態(tài)分布概念是由德國

4、的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moiré于1733年受次提出的,但由于德國數(shù)學(xué)家Gauss率先將其應(yīng)用于天文學(xué)家研究,故正態(tài)分布又叫高斯分布,高斯這項工作對后世的影響極大他使正態(tài)分布同時有了”高斯分布”的名稱,后世之所以多將最小二乘法的發(fā)明權(quán)歸之于他.也是出于這一工作,高斯是一個偉大的數(shù)學(xué)家,重要的貢獻不勝枚舉.但現(xiàn)今德國10馬克的印有高斯頭像的鈔票,其上還印有正態(tài)分布的密度曲線.這傳達了一種想法,在高斯的一切科 這要到20世紀正態(tài)小樣本理論充分發(fā)展起來.一個隨機變量,如果是由微小的獨立的隨機因素的疊加結(jié)果,那么這個變量一般都可以認為服從正態(tài)分布,因此很多隨機變量都可以用正態(tài)分布描述或近似描述,

5、譬如,測量誤差,廠品質(zhì)量,人的身高,年齡雨量等都可以正態(tài)分布描述.1 假設(shè)檢驗的基本步驟1.1 建立假設(shè)設(shè)有來自某一個參數(shù)分布族的樣本,其中為參數(shù)空間設(shè),則命題稱為一個假設(shè)或原假設(shè)或零假設(shè),若有另一個,則命題稱為的對立假設(shè)或備擇假設(shè)，于是,我們感興趣的一對假設(shè)就是 vs (1)其中”vs”是versus的縮寫,是”對”的意思.對于假設(shè)(1),如果只含有一個點,則我們稱之為簡單原假設(shè),否則就稱為復(fù)雜或復(fù)合原假設(shè).同樣對于各種備擇假設(shè)也有簡單與復(fù)雜之別,當為簡單假設(shè)時,其形式可寫成,此時的備擇假設(shè)通常有三種可能: , 在假設(shè)檢驗中通常不輕易否定的假設(shè)為原假設(shè).1.2 建立假設(shè)選擇檢驗統(tǒng)計量,給出拒

6、絕域形式對于(1)的假設(shè)檢驗就是描述這樣一個法則:當有了具體的樣本后,按該法則就可以判斷是接受還是拒絕,即檢驗等價于把樣本空間劃分為兩個互不相交的部分和,當樣本屬于時,拒絕:否則接受.于是,我們稱為該檢驗的拒絕域,而為接受域.由樣本對原假設(shè)進行檢驗總是通過一個統(tǒng)計量完成的,該統(tǒng)計量為檢驗統(tǒng)計量.比如,樣本均值是一個很好地檢驗統(tǒng)計量,因為要檢驗的假設(shè)是正態(tài)總體均值,在方差已知場合,樣本均值是總體均值的充分統(tǒng)計量.樣本均值愈大,意味著總體均值也大, .樣本均值愈小,意味著總體均值也小,所以拒絕域形如.是合理的，其中臨界值待定. 當拒絕域確定了,檢驗的判斷準則跟著也就確定了:如果,則拒絕:如果,則接

7、受。2 單個正態(tài)總體均值的檢驗設(shè)施來自的樣本,考慮如下三種關(guān)于的檢驗問題 vs , vs , vs .其中是已知常熟,由于正態(tài)總體含兩個參數(shù),總體方差已知與否對檢驗有影響,通常分為已知和未知兩種情況討論.已知時的的檢驗,對于單側(cè)檢驗問題,由于的點估計是,且,故選用檢驗統(tǒng)計量.是恰當?shù)?直覺告訴我哦們,當樣本均值不超過設(shè)定均值時,應(yīng)傾向于接受原假設(shè):當樣本均值超過時,應(yīng)傾向于拒絕原假設(shè).可是,在隨機性存在的場合,如果比大一點就拒絕原假設(shè)似乎不當,應(yīng)當比大到一定程度時拒絕原假設(shè)才是恰當?shù)?這就存在一個臨界值,拒絕域為.常減記為,若要求檢驗的顯著性水平為,則滿足.由于時,故,最后的拒絕域為.該檢驗用

8、的統(tǒng)計量是統(tǒng)計量,故一般稱為檢驗,該檢驗的勢函數(shù)是的函數(shù),它可用正態(tài)分步寫出,具體如下,對. .由此可見,勢函數(shù)是的增函數(shù),由增函數(shù)性質(zhì)可知,當就可保證在時有所以上述求出的檢驗是顯著性水平為的檢驗.2.1 已知時的檢驗例1從甲地發(fā)送一個信號到乙地,設(shè)乙地接受到的信號值是一個服從正態(tài)分布的隨機變量,其中為甲地發(fā)送的實值信號,現(xiàn)甲地重復(fù)發(fā)送同一信號5次,乙地接收到的信號值為 8.05 8.15 8.2 8.1 8.25設(shè)接受方有理由猜測甲地發(fā)送的信號值為8,問能否接受這種猜測.解 這是一個假設(shè)檢驗的問題,總體,待檢驗的原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為 vs .這是一個雙側(cè)檢驗問題,檢驗的拒絕域為.取顯著性水

9、平,則查表知,現(xiàn)該例中觀測值可計算得出.值未落入拒絕域內(nèi),故不能拒絕原假設(shè),即接受原假設(shè),可認為猜測成立. 我們也可以采用值完成此檢驗,此處,.由于值大于事先給定的水平0.05,故不能拒絕原假設(shè),結(jié)論是相同的.進一步我們從值還可以看到,只要事先給定的顯著性水平不高于0.0935,則都不能拒絕原假設(shè):而若事先給定的顯著性水平高于0.093,如事先給定的顯著性水平為0.10,則檢驗就會做出拒絕原假設(shè)的結(jié)論. 說明,在實際中也經(jīng)常會遇到如下兩個檢驗問題: vs , vs .它仍可用檢驗統(tǒng)計量施行檢驗,檢驗問題的拒絕域與檢驗問題的拒絕域相同.即.這是因為檢驗問題與的備擇假設(shè)相同,而的原假設(shè)是的原假設(shè)的

10、子集,由于此時檢驗的勢函數(shù)是的單調(diào)增函數(shù),因此,檢驗問題的顯著性水平的檢驗與檢驗問題的顯著性水平的檢驗是相同的,從而拒絕域也相同.它們的檢驗的也相同,類似的,檢驗問題與檢驗問題的拒絕域以及值也是相同的,這個現(xiàn)象在以后的其它檢驗中也會出現(xiàn),結(jié)論是相似的.例2 根據(jù)長期經(jīng)驗和資料的分析,某磚廠生產(chǎn)的磚的”抗斷強度”服從正態(tài)分布,方差.從該廠產(chǎn)品中隨機抽取6塊,測得抗斷強度如下(單位:kg·cm-2).32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03檢驗這批磚的平均抗斷強度32.50kg·cm-2是否成立(取,并假設(shè)磚的抗斷強度的方差不會有什么變化)?解 提

11、出假設(shè).再選取統(tǒng)計量,若為真,則.對給定的顯著性水平,求使,這里計算統(tǒng)計量的觀察值.判斷,由于,所以在顯著性水平下否定,即不能認為這批產(chǎn)品的平均抗斷強度是32.50 kg·cm-2.2.2 未知時的檢驗 對于問題,由于未知, 給出的含未知參數(shù)而無法計算,需要對它修改,一個自然地想法就是將其中未知的替換成樣本標準差,這就形成檢驗統(tǒng)計量.由定理5.4.1可知,在時,從而檢驗問題的拒絕域為.檢驗的值是類似的,對給定的樣本觀測值,可以計算出相應(yīng)的檢驗統(tǒng)計量的值,記為,這里的,是由樣本觀測值得到的,記是服從自由度為的分布的隨機變量,則.例3 某廠生產(chǎn)的某種鋁材的長度服從正態(tài)分布,其均值設(shè)定為2

12、40cm,現(xiàn)從該廠抽取5件樣品,測得其長度為(單位:cm)239.7 239.6 239 240 239.2,判斷該廠此類鋁材的長度是否滿足規(guī)定要求.解 這是一個關(guān)于正態(tài)均值的觀測假設(shè)檢驗問題,原假設(shè),備擇假設(shè)是是,由于未知,故采用檢驗,其拒絕域為,若取,則查表.現(xiàn)由樣本計算得到,故.,故拒絕原假設(shè),認為該廠生產(chǎn)的鋁材長度不滿足設(shè)定要求.下面用值再做一次檢驗,此外,記是服從自由度為4的分布的隨機變量, ,利用計算機軟件可計算出具體值為0.0491,由于小于事先給定的顯著性水平0.05,故拒絕原假設(shè)結(jié)論是相同的.例4用某儀器間接測量溫度,重復(fù)5次,所得的數(shù)據(jù)是1250°,1265

13、76;,1245°,1260°,1275°,而用別的精確辦法測得溫度為1277°(可看作溫度的真值),試問此儀器間接測量有無系統(tǒng)偏差?這里假設(shè)測量值服從分布.解 問題是要檢驗 .由于未知（即儀器的精度不知道）我們選取統(tǒng)計量.當真時,的觀察值為.對于給定的檢驗水平,由, vs ,.查分布表得雙側(cè)分位點 .因為,故應(yīng)拒絕認為該儀器間接測量有系統(tǒng)偏差3 單個正態(tài)總體方差的檢驗 設(shè),是來自的樣本,對方差亦可考慮如下的檢驗問題: vs . vs . vs .其中是已知常數(shù),此處通常假定未知,她們采用的檢驗統(tǒng)計量是相同的,均為,在時, ,于是若取顯著性水平為,則對應(yīng)三個檢驗問題的顯著性水平為的檢驗的拒絕域依次為,.例 5 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池,其壽命長期以來服從方差的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它的生產(chǎn)情況來看,壽命的波動性有所改變,現(xiàn)隨機抽取26只電池,測得其壽命的樣本方差.問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往有顯著的變化(取)解 本題要求在下檢驗假設(shè).,.拒絕域為,或.由觀察值得,所以拒絕認為這批電池壽命的波動性較以往有顯著的變化.參考文獻1格涅堅科.概率論教程.丁壽田M .譯.北京:高等出版