第二章矩陣及其運(yùn)算

1、第二章第二章 矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容1 1、矩陣的可逆性、矩陣的可逆性2 2、求逆矩陣、求逆矩陣3 3、矩陣的運(yùn)算、矩陣的運(yùn)算.,)1( ), 2 , 1;, 2 , 1(212222111211矩陣矩陣簡稱簡稱列矩陣列矩陣行行叫做叫做列的數(shù)表列的數(shù)表行行排成排成個數(shù)個數(shù)由由nmnmaaaaaaaaaAnmnjmianmmnmmnnij 矩陣的定義矩陣的定義.,復(fù)復(fù)矩矩陣陣元元素素是是復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣叫叫做做實實矩矩陣陣元元素素是是實實數(shù)數(shù)的的矩矩陣陣叫叫做做列列元元素素行行第第的的第第陣陣叫叫做做矩矩的的元元素素個個數(shù)數(shù)叫叫做做矩矩陣陣其其中中jiAaAnmij

2、 .),()( )1(AAnmaAaAnmijijnm 也記作也記作矩陣矩陣或或式可簡記為式可簡記為.)(;2121行行矩矩陣陣叫叫做做只只有有一一行行的的矩矩陣陣叫叫做做列列矩矩陣陣只只有有一一列列的的矩矩陣陣aaaAaaaAnm 方陣列矩陣行矩陣方陣列矩陣行矩陣.,)1(階方陣階方陣稱為稱為時時當(dāng)當(dāng)式式對對nAnm 兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，就稱兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，就稱它們是同型矩陣它們是同型矩陣.,)., 2 , 1;, 2 , 1(,)()(BABAnjmibabBaAijijijij 記記作作相相等等與與矩矩陣陣那那么么就就稱稱矩矩陣陣即即們們的的對對應(yīng)應(yīng)元元素

3、素相相等等并并且且它它是是同同型型矩矩陣陣與與如如果果同型矩陣和相等矩陣同型矩陣和相等矩陣零矩陣單位矩陣零矩陣單位矩陣.,O記作記作零矩陣零矩陣元素都是零的矩陣稱為元素都是零的矩陣稱為., 1 Enn簡記作簡記作階單位陣階單位陣叫做叫做階方陣階方陣其余元素都是零的其余元素都是零的主對角線上的元素都是主對角線上的元素都是.,)( ,)(,)(的的和和與與稱稱為為矩矩陣陣加加法法定定義義為為為為兩兩個個同同型型矩矩陣陣設(shè)設(shè)BABAbaBAbBaAijijnmijnmijnm 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律矩陣相加矩陣相加).( ,)(,),(),(BABAOAAAAaAaAijij 并并規(guī)規(guī)定定從從而而

4、有有負(fù)負(fù)矩矩陣陣的的稱稱為為矩矩陣陣記記設(shè)設(shè)ABBA )()(CBACBA ).(,aAAAAAij 規(guī)定為規(guī)定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數(shù)數(shù)運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律);()(AA ;)(AAA .)(BABA 數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣.), 2 , 1;, 2 , 1(,)(,)(,)(12211ABCnjmibabababaccCnmBAbBaAskkjiksjisjijiijijnmijnsijsm 記記作作其其中中矩矩陣陣是是一一個個的的乘乘積積與與規(guī)規(guī)定定設(shè)設(shè)矩陣相乘矩陣相乘運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律);()(BCACAB );(),()()(為數(shù)為數(shù)其中其中 BABAAB ;)(,)(CABAA

5、CBACABCBA .EAAAEnnmnmnmm n階方陣的冪階方陣的冪.,111121是正整數(shù)是正整數(shù)其中其中定義定義階方陣階方陣是是設(shè)設(shè)kAAAAAAAAnAkk .,)(, 為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中l(wèi)kAAAAAklkllklk .)(BAABkkk 一般地一般地方陣的運(yùn)算方陣的運(yùn)算方陣的行列式方陣的行列式.det,AAAAn或或記記作作的的行行列列式式陣陣叫叫做做方方的的元元素素所所構(gòu)構(gòu)成成的的行行列列式式階階方方陣陣由由運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律.;,BAABAAnBAn 則則階方陣階方陣為為為數(shù)為數(shù)設(shè)設(shè)轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣.,AAAT記記作作的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)置置矩矩陣陣叫叫做做陣陣到到一一個個新新矩矩的

6、的行行換換成成同同序序數(shù)數(shù)的的列列得得把把矩矩陣陣.)(;)(;)(;)(ABABAABABAAATTTTTTTTTT 一些特殊的矩陣一些特殊的矩陣對稱矩陣對稱矩陣.,為對稱矩陣為對稱矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnAT 反對稱矩陣反對稱矩陣.,矩陣矩陣為反對稱為反對稱則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnAT 冪等矩陣冪等矩陣.,2為冪等矩陣為冪等矩陣則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AAAnA 正交矩陣正交矩陣.,正交矩陣正交矩陣為為則稱則稱如果如果階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AEAAAAnATT 對角矩陣對角矩陣.,為對角矩陣為對角矩陣則稱則稱素全為零素全為零其余元其余元

7、如果除了主對角線以外如果除了主對角線以外階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)AnA上三角矩陣上三角矩陣主對角線以下的元素全為零的方陣稱為上三主對角線以下的元素全為零的方陣稱為上三角矩陣角矩陣下三角矩陣下三角矩陣主對角線以上的元素全為零的方陣稱為下三主對角線以上的元素全為零的方陣稱為下三角矩陣角矩陣伴隨矩陣伴隨矩陣. 212221212111的伴隨矩陣的伴隨矩陣叫做方陣叫做方陣方陣方陣所構(gòu)成的所構(gòu)成的的各元素的代數(shù)余子式的各元素的代數(shù)余子式行列式行列式AAAAAAAAAAAAAnnnnnnij .:EAAAAA 伴隨矩陣具有重要性質(zhì)伴隨矩陣具有重要性質(zhì)定義定義., 1AAAA 矩矩陣陣記記作作的的逆逆的的逆逆矩矩陣陣是是唯唯一一的的則則有有逆逆矩矩陣陣若若逆矩陣逆矩陣.),( , 的逆矩陣的逆矩陣稱為稱為且矩陣且矩陣秩的秩的、滿、滿或非奇異的、非退化的或非奇異的、非退化的是可逆的是可逆的則稱矩陣則稱矩陣使使如果存在矩陣如果存在矩陣階方陣階方陣為為設(shè)設(shè)ABAEBAABBnA 相關(guān)定理及性質(zhì)相關(guān)定理及性質(zhì). 0 AA可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是方陣方陣.,1AAAA 則則可逆可逆若矩陣若矩陣.)()();0(1)( ;)(111111AAAAAATT .)( ,111ABABABBA 且