高等數(shù)學基礎(chǔ)知識點歸納.總結(jié)

1、第一講函數(shù)，極限，連續(xù)性1、集合的概念一般地我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性 （給定集合的元素必須是確定的）和互異性 （給定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材較高的人”不能構(gòu)成集合，因為它的元素不是確定的。、全體非負整數(shù)組成的集合叫做非負整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N、所有正整數(shù)組成的集合叫做正整數(shù)集，記作N+。、全體整數(shù)組成的集合叫做整數(shù)集，記作Z。、全體有理數(shù)組成的集合叫做有理數(shù)集，記作Q。、全體實數(shù)組成的集合叫做實數(shù)集，記作R。集合的表示方法、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“”括起來表示集合、描述法：用集合所有元素的共同特征來表示集

2、合集合間的基本關(guān)系、子集：一般地，對于兩個集合A 、B ，如果集合A 中的任意一個元素都是集合B 的元素，我們就說 A、 B 有包含關(guān)系，稱集合A 為集合 B 的子集，記作A ? B 。、相等：如何集合A 是集合 B 的子集，且集合B 是集合 A 的子集，此時集合A 中的元素與集合B 中的元素完全一樣，因此集合A 與集合 B 相等，記作A B。、真子集：如何集合A 是集合 B 的子集，但存在一個元素屬于B 但不屬于A ，我們稱集合A 是集合B 的真子集，記作A。、空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：、任何一

3、個集合是它本身的子集。、對于集合A、 B 、 C，如果 A 是 B 的子集， B 是 C 的子集，則A 是 C 的子集。、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本運算、并集：一般地，由所有屬于集合A 或?qū)儆诩螧 的元素組成的集合稱為A 與 B 的并集。記作A B 。（在求并集時，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）即 A B x|x A ，或 x B 。、交集：一般地，由所有屬于集合A 且屬于集合B 的元素組成的集合稱為A 與 B 的交集。記作A B 。即 A B x|x A ，且 xB 。、全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所

4、有元素，那么就稱這個集合為全集。通常記作 U。、補集：對于一個集合A ，由全集 U 中不屬于集合A 的所有元素組成的集合稱為集合A 相對于全集U的補集。簡稱為集合A 的補集，記作CUA。即 CUA x|x U，且x不屬于A 。、運算公式：交換律：AB=B AA B=B A結(jié)合律：（ AB) C=A (B C)(A B)C=A(B C）分配律：（ AB) C=（AC）（ B C)（ A B)C=（AC）（ BC)對偶律： CU（ AB)=C UA CUBCU（ AB)=C UA CUB集合中元素的個數(shù)、有限集：我們把含有有限個元素的集合叫做有限集，含有無限個元素的集合叫做無限集。、用 card來

5、表示有限集中元素的個數(shù)。例如A a,b,c ，則 card(A)=3 。、一般地，對任意兩個集合A、B ，有card(A)+card(B)=card(A B)+card(A B)2、常量與變量、變量的定義： 我們在觀察某一現(xiàn)象的過程時，常常會遇到各種不同的量，其中有的量在過程中不起變化，我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不同的數(shù)值，我們則把其稱之為變量。、變量的表示：如果變量的變化是連續(xù)的，則常用區(qū)間來表示其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于某兩點之間的線段上點的全體。以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無限區(qū)間a，+) ：表示不小于a 的實數(shù)的全體，也可記為：a

6、x +；(-， b) ：表示小于b 的實數(shù)的全體，也可記為：- x b；(-， +) ：表示全體實數(shù)，也可記為：- x +注：其中 - 和 +，分別讀作 " 負無窮大 " 和 " 正無窮大 ", 它們不是數(shù) , 僅僅是記號。、鄰域： 設(shè) 與 是兩個實數(shù)，且 0. 滿足不等式 x- 的實數(shù) x 的全體稱為點 的 鄰域，點稱為此鄰域的中心， 稱為此鄰域的半徑。3、函數(shù)、函數(shù)的定義：如果當變量x 在其變化范圍內(nèi)任意取定一個數(shù)值時，量y 按照一定的法則f總有確定的數(shù)值與它對應(yīng)，則稱y 是 x 的函數(shù)。 變量 x 的變化范圍叫做這個函數(shù)的定義域 。通常 x 叫做自

7、變量 ，y 叫做函數(shù)值（或因變量），變量 y 的變化范圍叫做這個函數(shù)的值域 。注：為了表明y 是 x 的函數(shù)，我們用記號y=f(x)、y=F(x) 等等來表示。這里的字母"f" 、"F" 表示 y 與 x 之間的對應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系 , 它們是可以任意采用不同的字母來表示的。如果自變量在定義域內(nèi)任取一個確定的值時，函數(shù)只有一個確定的值和它對應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù) ，否則叫做 多值函數(shù) 。這里我們只討論單值函數(shù)。、函數(shù)相等由函數(shù)的定義可知，一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系

8、完全一致，我們就稱兩個函數(shù)相等 。3、函數(shù)的簡單性態(tài)、函數(shù)的有界性：如果對屬于某一區(qū)間I的所有 x 值總有 f(x) M 成立，其中M 是一個與x 無關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間 I注：一個函數(shù)，如果在其整個定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)。有界，否則便稱無界。函數(shù)的有界性，單調(diào)性應(yīng)與相關(guān)點集、函數(shù)的單調(diào)性 ：如果函數(shù)在定義域區(qū)間I聯(lián)系起來，離開了點集I 。這些概念是沒有任何意義的。(a,b) 內(nèi)隨著 x 增大而增大，即：對于(a,b)內(nèi)任意兩點x 1及 x 2 ，當x 1 x 2 時，有f ( x1)f ( x2 ) ，則稱函數(shù)f (x) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是單調(diào)增加 的。如果函數(shù)f

9、( x)在定義域區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x 增大而減小， 即：對于 (a,b)內(nèi)任意兩點x1及 x 2，當x1 x2 時，有f (x1)f ( x2 ) ，則稱函數(shù)f (x) 在區(qū)間 (a,b)內(nèi)是單調(diào)減小 的。、函數(shù)的奇偶性如果函數(shù)f (x) 對于定義域內(nèi)的任意x 都滿足f (x)f ( x) ，則f ( x) 叫做偶函數(shù)； 如果函數(shù)對于定義域內(nèi)的任意x 都滿足f (x)f ( x)，則f ( x) 叫做奇函數(shù)。注：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y 軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱。奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點對稱。、函數(shù)的周期性設(shè) f ( x) 的定義域為 I 。若存在 T 0 ，對任意的 xI ，都使得f

10、( x T ) f ( x)( x T I ) ，則稱函數(shù) f ( x) 為周期函數(shù)，稱 T 為其周期。注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。周期函數(shù)的定義域必是無限的點集，但也不能說是全體實數(shù)，如y tan x 的定義域為（ - ， +）。且x k /2(k=0,1,2.)A. 奇函數(shù) +奇函數(shù) =奇函數(shù)B. 偶函數(shù) +偶函數(shù) =偶函數(shù)C.奇函數(shù)·偶函數(shù)=奇函數(shù)D.奇函數(shù)·奇函數(shù)=偶函數(shù)E 偶函數(shù)·偶函數(shù)=偶函數(shù)若 f ( x)以 T 為最小正周期，則f (x) 以 T(0) 為最小正周期4、反函數(shù)、反函數(shù)的定義： 若由函數(shù) yf ( x) 得到 x( y)

11、 ，則稱 x( y) 是 yf ( x) 的反函數(shù)， y f (x)為直接函數(shù)，反函數(shù)也可記為yf1( x)f1f(x)ff1(xx注：、反函數(shù)的存在定理：若在 (a ，b) 上嚴格增 ( 減 ) ，其值域為 R，則它的反函數(shù)必然在 R上確定，且嚴格增 ( 減).例題： yx2 ，其定義域為 (- ,+ ) ，值域為 0,+ ). 對于 y取定的非負值 , 可求得 xy . 若我們不加條件，由 y的值就不能唯一確定x的值，也就是在區(qū)間 (- ,+ ) 上，函數(shù)不是嚴格增( 減) ，故其 沒有反函數(shù)。如果我們加上條件，要求x 0，則對 y 0、x= 就是 yx2在要求 x 0 時的反函數(shù)。即是：

12、函數(shù)在此要求下嚴格增 ( 減 ).、反函數(shù)的性質(zhì) ：在同一坐標平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x 對稱的。例題： 函數(shù) y2x 與函數(shù) ylog 2 x 互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標系中是關(guān)于直線y x 對稱的。如右圖所示：5、復合函數(shù)復合函數(shù)的定義 ：若 y 是 u 的函數(shù)： yf (u)，而 u 又是 x 的函數(shù)： u( x) ，且(x) 的函數(shù)值的全部或部分在f (u) 的定義域內(nèi)，那么，y 通過 u 的聯(lián)系也是 x 的函數(shù)，我們稱后一個函數(shù)是由函數(shù) yf (u) 及 u( x) 復合而成的函數(shù)，簡稱復合函數(shù)，記作y f (u) ，其中 u 叫做中間變量。注：并不是任意兩個函數(shù)就

13、能復合；復合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。例題： 函數(shù)與函數(shù)是不能復合成一個函數(shù)的因為對于的定義域(- ,+ ) 中的任何 x 值所對應(yīng)的 u 值（都大于或等于 2），使 yarcsin u 都沒有定義。6、初等函數(shù)、基本初等函數(shù)：我們最常用的有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下：、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次的函數(shù)復合所產(chǎn)生并且能用一個解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù) .注：初等函數(shù)必須能用一個式子表示，不能用一個式子表示的函數(shù)不能稱為初等函數(shù)，故分段函數(shù)一般不能叫初等函數(shù)7、數(shù)列的極限、數(shù)列的極限

14、 ：設(shè) xn 為一數(shù)列，如果存在常熟a，對于任意給定的正數(shù) ( 不論其多么小 ) ，總存在正整數(shù) N ，使得當 n N 時，不等式 xn a都成立，那么就稱常數(shù)a 是數(shù)列 xn 的極限，或者稱數(shù)列收斂于a，記為 lim xna 或 xn a(n)n注：此定義中的正數(shù) 只有任意給定， 不等式才能表達出與 a 無限接近的意思。 且定義中的正整數(shù) N 與任意給定的正數(shù) 是有關(guān)的，它是隨著 的給定而選定的。在利用數(shù)列極限定義證明某個數(shù)列是否存在極限時，重要的是對于任意給定的正數(shù)，只要能夠指出定義中所說的這種正整數(shù)N 確實存在，但沒有必要去求最小的N。如果知道xna 小于某個量（這個量是n 的一個函數(shù)）

15、，那么當這個量小于時， xn a當然也成立若令這個量小于來定出 N 比較方便的話，就可以采用這種方法。、數(shù)列的有界性： 對于數(shù)列，若存在著正數(shù) M，使得一切都滿足不等式 M，則稱數(shù)列是有界的 ，若正數(shù) M 不存在，則可說數(shù)列是 無界的 。、收斂數(shù)列的幾個重要性質(zhì)：A. 極限的唯一性：如果數(shù)列 xn 收斂，那么它的極限唯一。（根據(jù)極限的定義用反證法證明）B.有界性：如果數(shù)列 xn 收斂，那么它一定有界。注：數(shù)列收斂是數(shù)列有界的充分非必要條件。即數(shù)列收斂，一定有界，但數(shù)列有界不一定收斂。例：數(shù)列 1，-1 ，1，-1 ， ， (-1) ， 是有界的，但它是發(fā)散的。C.保號性： 如果 lim xna

16、 且 a 0（或 a 0 ）那么存在正整數(shù)N 0 ，當 n N 時，都有 xn0 （或nxn 0 ）推論： 如果數(shù)列 xn 從某項起有 xn0（或 xn0 ），且 lim xna ，那么 a0 （或na 0 ）注：即使從某項起有xn 0 （或 xn 0 ），且lim xna ，那么 a 不一定一定為 a 0 ，也有可能na0 。D.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系：如果數(shù)列xn 收斂于 a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限是a。如果數(shù)列 xn 有倆個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列 xn 是發(fā)散的。. 數(shù)列存在的充分必要條件： lim xn alim x2 nlim x2 n 1annn其任一子數(shù)列的極

17、限都為a8、函數(shù)的極限前面我們學習了數(shù)列的極限，已經(jīng)知道數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取n 內(nèi)的正整數(shù)，若自變量不再限于正整數(shù)的順序，而是連續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學習函數(shù)的極限.函數(shù)的極值有兩種情況：a) ：自變量無限增大；b) ：自變量無限接近某一定點x0 下面我們結(jié)合著數(shù)列的極限來學習一下函數(shù)極限的概念!、函數(shù)的極限( 分兩種情況 )a):自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)f (x) 當x 大于某一正數(shù)時有定義， 若存在常數(shù)A ，對于任意給定的正數(shù)( 不論其多么小) ，總存在著正數(shù)X ，使得當x 滿足不等式x X 時，對應(yīng)的函數(shù)值f ( x) 都滿足不等式f ( x)A

18、，那么常數(shù)A 就叫做函數(shù)f ( x) 當 x時的極限，記作limf (x)A 或f (x)Ax（當x）注：x( x) 時f ( x) 的極限定義只需要將以上定義中的x X 改為 xX（或xX）即可。下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對比一下：b):自變量趨向有限值時函數(shù)的極限定義： 設(shè)函數(shù) f ( x) 在點 x0 的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)A ，對于任意給定的正數(shù) ( 不論其多么小 ) ，總存在著正數(shù)，使得當 x 滿足不等式 0 xx0時，對應(yīng)的函數(shù)值f ( x) 都滿足不等式f ( x)A ，那么常數(shù) A 就叫做函數(shù) f ( x) 當 xx0時的極限，記作 limf ( x)A

19、 或 f ( x)Ax x0（當 xx0 ）注：在定義中只要求在去心鄰域內(nèi)不等式成立，不要求在 x0 點此不等式成立， 意味著 xx0 時 f ( x) 以 A 為極限與 f ( x) 在 x0 點是否有定義即使有定義函數(shù)值等于什么無關(guān)。自己參考數(shù)列極限引生函數(shù)的左右極限概念。注：xx0時函數(shù)極限存在的充要條件：lim f (x)Alim f (x)lim f ( x)Ax x0x x0x x0有些時候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A，其證明方法是怎樣的呢？a): 先任取 0；b):寫出不等式 f ( x) A；c):解不等式能否得出去心鄰域0 xx0 ，若能；d):則對于任給的 0

20、 ，總能找出 ，當 0 x x0時， f (x) A成立，因此 lim f ( x) Ax x0、函數(shù)的極限的性質(zhì)參考數(shù)列極限的重要性質(zhì)：唯一性，局部有界性 ，局部保號性、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系如果極限 limf (x)存在， xn 為函數(shù) f (x) 的定義域內(nèi)任一收斂于x0 的數(shù)列，且滿足： xnx0 ，那么相x x0應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列 f ( x) 必收斂，且 lim f ( xn )lim f (x) 。n x0x x09、無窮小與無窮大無窮大量： 設(shè)有函數(shù)yf ( x)，在 x=x 0 的去心鄰域內(nèi)有定義，對于任意給定的正數(shù)N( 一個任意大的數(shù) ) ，總可找到正數(shù) ，當 0 xx0 時

21、， f ( x)N成立，則稱函數(shù)當xx0 時為無窮大量 。記為： lim f (x)（表示為無窮大量，實際它是沒有極限的）x x0同樣我們可以給出當x時， 無窮大的定義：設(shè)有函數(shù)yf (x) ，當 x充分大時有定義，對于任意N) ，總可以找到正數(shù)MxM時，f ( x)N成立，則稱函數(shù)當 x 時是給定的正數(shù) ( 一個任意大的數(shù)，當無窮大量 ，記為： limf ( x)x無窮小量： 以 0 為極限的變量叫無窮小量。（定義參照無窮大）注意：無窮大量與無窮小量都是一個變化不定的量，不是常量，只有0 可作為無窮小量的唯一常量。無窮大量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.無窮小

22、的運算性質(zhì)A. 有限個無窮小的和也是無窮小B. 有限個無窮小的乘積也是無窮小C.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小D.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小極限與無窮小的關(guān)系：f ( x)Af ( x)A，其中是在與f ( x)A 時自變量的同一變化趨勢下的無窮小量。無窮小的比較： 通過前面的學習我們已經(jīng)知道， 兩個無窮小量的和、 差及乘積仍舊是無窮小 . 那么兩個無窮小量的商會是怎樣的呢？好！接下來我們就來解決這個問題，這就是我們要學的兩個無窮小量的比較。定義： 設(shè) ， 都是時的無窮小量，且在 x 0 的去心鄰域內(nèi)不為零，a) ：如果lim0 ，則稱是的高階無窮小 或 是 的低階無窮小，記作o() ；xx0

23、b) ：如果limc0 ，則稱和是同階無窮小 ；xx0c) ：如果lim1 ，則稱和是等價無窮小 ，記作：(與等價 ) ；xx0d) ：如果 limkc0, k 0 ，則稱是關(guān)于的 k 階無窮小x x0注： a. 無窮小比較中的和必須是在自變量相同變化趨勢下的無窮小量.b. 無窮小的比較只是定性的，即只有階的高低之別，沒有數(shù)量上的關(guān)系C.不是任何無窮小量都能比較其階的高低如：當 x時，sin x1limlim sin x 不存在，不能比較其階的x2 ，x2 都是無窮小量，但xx高低等價無窮小的性質(zhì) ' ，' 且 lim''A. 設(shè)'存在，則 . liml

24、im '注：這個性質(zhì)表明：求兩個無窮小之比的極限時，分子及分母都可用等價無窮小來代替，因此我們可以利用這個性質(zhì)來簡化求極限問題，但是做無窮小變換時必須分子或分母整體替換，不能分子或分母分項替換。B.與是等價無窮小的充分必要條件為：o()C.常用的等價無窮小有：當 x0 時(1 x) 1 x log a (1 x) 1 x1 cos x 1 x2ex1 xln a2sin x tan x arcsin x x ln(1x) arctan xx1 x ln0 且1無窮大與無窮小的關(guān)系1在自變量的同一變化過程中，如果f ( x) 是無窮大，則為無窮下；如果f ( x) 是無窮小且f ( x)

25、0 ,f ( x)1則為無窮大。f ( x)10、函數(shù)極限的運算法則、函數(shù)極限的運算規(guī)則若已知 xx0 ( 或 x) 時， f (x)A, g (x)B則 lim ( f ( x)g( x)ABxx0lim (f (x) g (x)ABxx0limf (x)A,( B0 ）xx0g( x)B推論：如果 limf ( x) 存在，而 c 為常數(shù) , 則 lim cf (x)c lim f (x)如果 limf ( x) 存在，而 n 為正整數(shù)，則 lim f ( x) nlim f ( x) n注：數(shù)列極限也有同樣的運算性質(zhì)。復合函數(shù)的極限的運算法則設(shè)函數(shù) yf g(x) 是由函數(shù) ug (x)

26、 與函數(shù) yf (u) 復合而成， f g (x) 在點 x0 的某去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若 lim g( x)u0 , lim f (u)A ，且存在00 ，當 x U (x0 ,0 ) 時，有 g( x)u0 ，則xx0uu0limf g ( x)limf (u) Ax x0uu0極限存在準則準則一： 如果數(shù)列 xn ， yn ， zn 滿足下列條件A. 從某項起，即存在nN ，當 n n0時，有 ynxnznB. lim yna, limznann那么數(shù)列 xn 的極限存在，且 lim xnan注：此準則也就是夾逼準則 .準則二： 單調(diào)有界的函數(shù)必有極限 .注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界兩個

27、準則都可以推廣到函數(shù)的極限，但要注意使用的條件。、兩個重要的極限lim sin x11) x1lim (1 x) x e 或 lim (1ex 0xx 0xx注：我們要記住這兩個重要的極限，在今后的解題中會經(jīng)常用到它們。例題： 求 lim (12) xx x解答： 令 tx2t ，因為 xt，則 x2211則 lim (1) xlim (1) 2tlim (1)t 2e 2xxtttt1注：解此類型的題時，一定要注意代換后的變量的趨勢，像x時，若用 t 代換，則 t 0 。x. 關(guān)于極限的幾個重要結(jié)論A. lim qnq 1n0 q 1B. lim nnC. lim nna1(a 0)n1n

28、mD. lima0 xna1x n 1ana0n m（其中 a00, b0 0 ）b0 xmb1 xm 1bmb0n0n m11、函數(shù)的一重要性質(zhì)連續(xù)性在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是連續(xù)地變化著的. 這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性在定義函數(shù)的連續(xù)性之前我們先來學習一個概念增量設(shè)變量 x 從它的一個初值x1 變到終值 x2 ，終值與初值的差x2x1 就叫做 變量 x 的增量 ，記為：x 即：xx2x1 增量x 可正可負 .我們再來看一個例子：函數(shù) yf (x) 在點 x0 的鄰域內(nèi)有定義，當自變量x 在領(lǐng)域內(nèi)從x0 變到 x0x時，函數(shù) y 相應(yīng)地從 f (

29、x0 ) 變到 f (x0x) ，其對應(yīng)的增量為： yf ( x0 x)f ( x0 )這個關(guān)系式的幾何解釋如下圖：現(xiàn)在我們可對連續(xù)性的概念這樣描述：如果當x 趨向于零時，函數(shù) y 對應(yīng)的增量y 也趨向于零，即：limy 0 ，那么就稱函數(shù)y f ( x) 在點 x0 處連續(xù)。x0函數(shù)連續(xù)性的定義：設(shè)函數(shù) yf (x) 在點 x0的某個鄰域內(nèi)有定義，如果有 limf ( x)f ( x0 ) 稱函數(shù) yf ( x) 在點x x0x0 處連續(xù)，且稱 x0 為函數(shù)的的 連續(xù)點 .下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學習一下函數(shù)左、右連續(xù) 的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b內(nèi)有定義，如果左極限 limf

30、 (x) 存在且等于 f (b) ，即： limf ( x)f (b) ，那么我們就稱函數(shù)xb 0xb 0f ( x) 在點 b 左連續(xù) . 設(shè)函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 a,b)內(nèi)有定義，如果右極限limf (x) 存在且等于f ( a) ，即：x a0limf ( x) f (a) ，那末我們就稱函數(shù)在點a 右連續(xù) .x a0一個函數(shù)在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每點連續(xù) , 則為在 (a,b) 連續(xù)，若又在 a點右連續(xù)， b點左連續(xù)，則在閉區(qū)間a ，b 連續(xù)，如果在整個定義域內(nèi)連續(xù)，則稱為連續(xù)函數(shù) 。注：一個函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點左、右都連續(xù)，則稱函數(shù)在此點連續(xù)，否則在此點不連續(xù).注：連續(xù)函數(shù)

31、圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。通過上面的學習我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時我們可以想到若函數(shù)在某一點要是不連續(xù)會出現(xiàn)什么情形呢？接著我們就來學習這個問題：函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點定義： 我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點稱之為間斷點 .它包括三種情形：a) ： f ( x) 在 x0 無定義；b) ： 在 x x0 時無極限；c) ： 在 xx0 時有極限但不等于f (x0 ) ；下面我們通過例題來學習一下間斷點的類型：例 1： 正切函數(shù) ytan x 在 x2處沒有定義，所以點x是函數(shù) ytan x 的間斷點，因2lim tan x，我們就稱 x為函數(shù) ytan x 的無窮間斷點 ；x22例 2：

32、函數(shù) ysin10 處沒有定義；故當 x0 時，函數(shù)值在 -1與 +1 之間變動無限多次，我在點 xx們就稱點 x0 叫做函數(shù)的 振蕩間斷點 ；x 1, x 0例 3：函數(shù) f ( x) 0, x 0當 x0 時，左極限 limf (x)1，右極限 lim f ( x) 1，從x 1, x 0x0x 0這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點x0 是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)在點 x0 時，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點稱為跳躍間斷點 ；我們把上述三種間斷點用幾何圖形表示出來如下 :例 4：函數(shù) yx21沒有定義，所以函數(shù)在點 x1 為不連續(xù)。但這里在點 x 1x

33、 1limx21lim ( x1)2 ，如果補充定義： 令 x1 時 y2 ，則所給函數(shù)在 x1 成為連續(xù)。所以 x 1x 1x1x 1稱為該函數(shù)的可去間斷點。間斷點的分類我們通常把間斷點分成兩類：如果x0 是函數(shù) f ( x) 的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把x0 稱為函數(shù)的 第一類間斷點 ；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點 . 第一類間斷點中，左、右極限相等者稱為 可去間斷點 ，不相等者稱為 跳躍間斷點 ，無窮間斷點 和振蕩間斷點 顯然是第二類間斷點。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)a) ：連續(xù)函數(shù)的和，差，積，商（分母的函數(shù)值不等于0）是連續(xù)的b) ：復

34、合函數(shù)的連續(xù)性：若函數(shù)u(x) 在 x0 點連續(xù)，函數(shù) yf (u) 在 u0( x0 ) 點連續(xù)，則復合函數(shù)yf (x) 在 x0 點連續(xù)；c) ：反函數(shù)的連續(xù)性：若函數(shù)yf ( x) 在區(qū)間 I 上單調(diào)且連續(xù)，那么其反函數(shù) yf 1 (x) 在相應(yīng)的區(qū)間上表現(xiàn)相同的單調(diào)性且連續(xù)；初等函數(shù)的連續(xù)性通過前面我們所學的概念和性質(zhì)，我們可得出以下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的（基本初等函數(shù)包括冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)）；一切初等函數(shù)（基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合后所構(gòu)成的函數(shù)類）在其定義區(qū)間內(nèi)也都是連續(xù)的.注：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)，如f

35、 ( x)cos x1 的定義域為 x2k(k0, 1, 2,) ，它在定義域內(nèi)的任一點都不連續(xù)。初等函數(shù)只有其定義域構(gòu)成區(qū)間，則其在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)A. 定理 1（最值定理）：若函數(shù)f (x) 在 a, b 上連續(xù)，則它在a,b 上必有最大值和最小值。B. 定理2（零點定理）：若函數(shù)f ( x)在a, b上連續(xù)，且f (a) 與f (b) 異號，那么在開區(qū)間a,b內(nèi)至少有一點，使 f ( )0C.定理3（介值定理）：若函數(shù)f ( x)在a,b上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同的函數(shù)值f ( a)A，f (b)B ，那么，對于A 與 B 之間的任意一個數(shù)C ，在開區(qū)間a, b

36、內(nèi)至少有一點，使得f ()C閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)則是在其連續(xù)區(qū)間的左端點右連續(xù)，右端點左連續(xù). 對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾條重要的性質(zhì)，下面我們來學習一下：推論： 在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M 與最小值 m 之間的任何值。第二講導數(shù)與微分1、導數(shù)的概念導數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y f ( x)在點x0xx0xx0x的某一鄰域內(nèi)有定義， 當自變量在處有增量（點仍在該鄰域內(nèi) ) 時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量y f ( x0x)f ( x0 ) ，若y 與x 之比當x0時極限存在，則稱函數(shù)yf ( x) 在點 x0處可導，并稱這個極限值為函數(shù)yf ( x) 在點 x0 處的導數(shù) 。記為：f ' (x

37、0 ) ，即：f ' (x0 )limylimf (x0x)f ( x0 )還可記為： y'|x x， dy |xx 或 df ( x)|xx0x 0xx 0x0dx0dx注：因變量增量與自變量增量之比y是因變量 y 在以 x0 和 x0x 為端點的區(qū)間上的平均變化率。而導x數(shù) f ' (x0 ) 則是因變量 y 在點 x0 處的變化率，它反映了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。函數(shù) f ( x) 在點 x0處存在導數(shù)簡稱函數(shù)在點x 0 處可導，否則不可導。 若函數(shù) f ( x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)每一點都可導，就稱函數(shù)f ( x) 在區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導。這時函數(shù) yf (x) 對于區(qū)間 (a,b) 內(nèi)的每一個確定的x 值，都對應(yīng)著一個確定的導數(shù)，這就構(gòu)成一個新的函數(shù)，我們就稱這個函數(shù)為原來函數(shù)yf (x) 的導函數(shù)。記作y'， f ' ( x) ， dy 或 df ( x)dxdx左、右導數(shù)： 前面我們有了左、右極限的概念，導數(shù)是差商極限，因此我們可以給出左、右導數(shù)的概念。的若極限limyyf (x) 在 xx0 處的左導數(shù) 。若極限