系統(tǒng)穩(wěn)定性意義以及穩(wěn)定性的幾種定義

1、系統(tǒng)穩(wěn)定性意義以及穩(wěn)定性的幾種定義1、 引言：研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性之前，我們首先要對系統(tǒng)的概念有初步的認識。在數字信號處理的理論中，人們把能加工、變換數字信號的實體稱作系統(tǒng)。由于處理數字信號的系統(tǒng)是在指定的時刻或時序對信號進行加工運算，所以這種系統(tǒng)被看作是離散時間的，也可以用基于時間的語言、表格、公式、波形等四種方法來描述。從抽象的意義來說，系統(tǒng)和信號都可以看作是序列。但是，系統(tǒng)是加工信號的機構，這點與信號是不同的。人們研究系統(tǒng)還要設計系統(tǒng)，利用系統(tǒng)加工信號、服務人類，系統(tǒng)還需要其它方法進一步描述。描述系統(tǒng)的方法還有符號、單位脈沖響應、差分方程和圖形。電路系統(tǒng)的穩(wěn)定性是電路系統(tǒng)的一個重要問題，穩(wěn)定

2、是控制系統(tǒng)提出的基本要求，也保證電路工作的基本條件；不穩(wěn)定系統(tǒng)不具備調節(jié)能力，也不能正常工作，穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身性之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵信號的情況無關。對于線性系統(tǒng)來說可以用幾點分布來判斷，也可以用勞斯穩(wěn)定性判據分析。對于非線性系統(tǒng)的分析則比較復雜，勞斯穩(wěn)定性判據和奈奎斯特穩(wěn)定性判據受到一定的局限性。二、穩(wěn)定性定義：1、是指系統(tǒng)受到擾動作用偏離平衡狀態(tài)后，當擾動消失，系統(tǒng)經過自身調節(jié)能否以一定的準確度恢復到原平衡狀態(tài)的性能。若當擾動消失后，系統(tǒng)能逐漸恢復到原來的平衡狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定。穩(wěn)定性又分為絕對穩(wěn)定性和相對穩(wěn)定性。絕對穩(wěn)定性。如果控制系統(tǒng)沒有受到任何擾動，同時也沒

3、有輸入信號的作用，系統(tǒng)的輸出量保持在某一狀態(tài)上，則控制系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。（1）如果線性系統(tǒng)在初始條件的作用下，其輸出量最終返回它的平衡狀態(tài)，那么這種系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（2）如果線性系統(tǒng)的輸出量呈現(xiàn)持續(xù)不斷的等幅振蕩過程，則稱其為臨界穩(wěn)定。（臨界穩(wěn)定狀態(tài)按李雅普洛夫的定義屬于穩(wěn)定的狀態(tài)，但由于系統(tǒng)參數變化等原因，實際上等幅振蕩不能維持，系統(tǒng)總會由于某些因素導致不穩(wěn)定。因此從工程應用的角度來看，臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)，或稱工程意義上的不穩(wěn)定。）（3）如果系統(tǒng)在初始條件作用下，其輸出量無限制地偏離其平衡狀態(tài)，這稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。實際上，物理系統(tǒng)的輸出量只能增大到一定范圍，此后或者受到機械制動裝置的限制，

4、或者系統(tǒng)遭到破壞，也可以當輸出量超過一定數值后，系統(tǒng)變成非線性的，從而使線性微分方程不再適用。因此，絕對穩(wěn)定性是系統(tǒng)能夠正常工作的前提。相對穩(wěn)定性。除了絕對穩(wěn)定性外，還需要考慮系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，即穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度。因為物理控制系統(tǒng)包括一些儲能元件，所以當輸入量作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，而是在系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)之前，它的瞬態(tài)響應常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程。在穩(wěn)態(tài)時，如果系統(tǒng)的輸出量與輸入量不能完全吻合，則稱系統(tǒng)具有穩(wěn)態(tài)誤差。2、一個系統(tǒng)對任意有界的輸入，其零狀態(tài)響應也是有界的，則該系統(tǒng)稱為有界輸入有界輸出穩(wěn)定系統(tǒng)。即設Mt，My為正實常數，如果系統(tǒng)對于所有的激勵|f（t）<

5、;=Mt，其零狀態(tài)響應為|y（t）|<=My則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于不穩(wěn)定系統(tǒng)來說，不能斷言其輸出幅值為有界。3、線性系統(tǒng)在初始條件為零時，輸入理想單位脈沖函數(t)，這時系統(tǒng)的輸入稱為單位脈沖響應。若線性系統(tǒng)的單位脈沖響應函數隨時間趨于零，則系統(tǒng)穩(wěn)定。若趨于無窮，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若趨于常數或者等幅振蕩，這時趨于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。一般反饋系統(tǒng)如圖，此時系統(tǒng)的傳遞函數為，系統(tǒng)的特征方程為1+G(s)H(s)=0,如果特征根落在s復平面的左半部分，系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。證明：系統(tǒng)輸入理想單位脈沖函數(t)，它的Laplace變換函數等于1，所以系統(tǒng)輸出的Laplace變換為，式中，si（i=1,2，.,n）

6、為系統(tǒng)特征方程的根，也就是系統(tǒng)的閉環(huán)極點。設n個特征根彼此不等，并將上式分解成部分分式之和的形式，即，式中，ci（i=1,2,n）待定系數，其值可由Laplace變換方法確定。對上式進行Laplace反變換，得到系統(tǒng)的脈沖響應函數為?？梢钥闯觯獫M足條件，只有當系統(tǒng)的特征根全部具有負實部方能實現(xiàn)。因此，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：系統(tǒng)的特征方程根必須全部具有負實部。反之，若特征根中有一個以上具有正式部時，則系統(tǒng)必為不穩(wěn)定。或者說系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：系統(tǒng)傳遞函數的極點全部位于s復平面的左半部。若有部分閉環(huán)極點位于虛軸上，而其余極點全部在s平面左半部時，便會出現(xiàn)臨界穩(wěn)定狀態(tài)。三、穩(wěn)定性分析：【本文僅

7、分析線性時不變(LTI)電路的穩(wěn)定性。判斷一個系統(tǒng)是否穩(wěn)定可以從時域或復頻域兩方面進行討論 。本文不對含受控源電路的穩(wěn)定性進行分析】例1：對因果系統(tǒng)，只要判斷H(s)的極點，即A(s)=0的根（稱為系統(tǒng)特征根）是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不必知道極點的確切值。 某線性時不變電路的網絡函數為 ，當輸入為單位階躍函數e(f)時，電路零狀態(tài)響應的象函數為 用留數法解得?？紤]到0.0002<<1，取上式的拉普拉斯逆變換，。上式中的前兩項是衰減函數，第三項，當t較小時，可忽略不計，但是當t較大時，這個正指數項超過其他兩項并隨著 的增長而不斷增大，則電路不穩(wěn)定。實際的電路系統(tǒng)不會

8、完全是線性的，這樣，很大的信號將使設備工作在非線性部分，不僅使系統(tǒng)不能正常工作，有時還會發(fā)生損壞和危險。簡單電路分析：作出運算電路圖如圖2，其網絡函數為令分母，其根即為該網絡函數的極點。解得當電路參數變化時，上式會有四種形式及相應的電路變化： 當時，Pl,2如上式，是兩個不相等的負實根，響應的自由分量由兩個衰減的指數函數組成，屬于過阻尼振蕩。 當時，此時有兩個相等的負實根，屬于臨界阻尼振蕩。當時，上式可寫為：，是實部為負的兩個共軛復根，響應的自由分量是一個衰減的正弦函數，屬于欠阻尼振蕩。 當Rp=時，為兩個共軛虛數根，響應為等幅振蕩。以上前三種形式其網絡函數的極點均在s平面的左半平面，第四種形

9、式其網絡函數的極點在虛軸上，電路均是穩(wěn)定的?？梢娝姆N形式所對應的網絡函數的極點僅與電路的結構及參數有關，而與激勵無關。由網絡函數H(s)的極點分布可以很方便地得出LTI電路是否穩(wěn)定的結論 。(1)當H(s)的所有極點全部位于s平面的左半平面，不包含虛軸，則電路是穩(wěn)定的。(2)當日(s)在s平面的虛軸上有一階極點，其余所有極點全部位于s平面的左半平面，則電路是臨界穩(wěn)定的。(3)當H(s)含有s右半平面的極點或虛軸上有二階或二階以上的極點時，電路是不穩(wěn)定的。四、連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準則羅斯-霍爾維茲準則：所有的根均在左半平面的多項式稱為霍爾維茲多項式。必要條件簡單方法一實系數多項式A(s)=an

10、sn+a0=0的所有根位于左半開平面的必要條件是：（1） 所有系數都必須非0，即不缺項；（2）系數的符號相同。 例1  A(s)=s3+4s2-3s+2 符號相異，不穩(wěn)定 例2   A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不穩(wěn)定 例3  A(s)=3s3+s2+2s+8 需進一步判斷，非充分條件。（2） 羅斯列表 將多項式A(s)的系數排列為如下陣列羅斯陣列 第1行 an an-2 an-4 第2行 an-1 an-3 an-5 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 它由第1，2行，按下列規(guī)則計算得到： . 第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+

11、1行。羅斯準則指出：若第一列元素具有相同的符號，則A(s)=0所有的根均在左半開平面。若第一列元素出現(xiàn)符號改變，則符號改變的總次數就是右半平面根的個數。舉例：例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯陣列： 2 12 2 1 8 0 2 8.5 0 2第1列元素符號改變2次，因此，有2個根位于右半平面。 注意：在排羅斯陣列時，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個元素為0或某一行元素全為0，這時可斷言：該多項式不是霍爾維茲多項式。例2：低通濾波器的穩(wěn)定性。如圖4所示為低通濾波器，放大器是理想的，為使系統(tǒng)穩(wěn)定， 應滿足什么條件?分析：畫出運算電路圖，如圖5對節(jié)點 列出KCL方程 （2）又

12、根據放大器部分電路,-j知， （3）由(3)得出代入(2)式，整理得：則網絡函數為由勞思一赫維茨判據，系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是(3一K)>0，即K<3。五、穩(wěn)定性的意義：穩(wěn)定性是系統(tǒng)的的一種固有特性，它只取決于系統(tǒng)內部的結構和參數，而和初始條件和外部作用的大小無關。穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)重要的性能指標之一，是系統(tǒng)正常工作的首要條件。以一些工程實例來舉例說明系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義：（1）開關電源系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象分析開關電源中，其核心是DcDc變換器，DcDc變換電路能夠促使直流電壓實現(xiàn)大范圍的升、降，并且實現(xiàn)的效率較高、比較容易控制，因此其在工業(yè)控制和電力傳輸等領域中應用廣泛?？墒?，DC-DC變換電路也可

13、能存在一定的偏差，如諧波振蕩誤差等，產這些偏差將直接影響到電源系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而采取諧波補償電路將有效改善開關電源系統(tǒng)的穩(wěn)定性。下面主要分析諧波振蕩等引起開關電源系統(tǒng)喪失穩(wěn)定性的原理和原因。諧波振蕩是由峰值電流取樣和固定頻率同時工作所形成的結果，其發(fā)生的原理如下圖l所示。當開關電源的輸入電壓和負載發(fā)生變化時，從而會引起開關電源電流發(fā)生變化，即發(fā)生擾動，在擾動產生后，系統(tǒng)能否趨于穩(wěn)定的運作，關鍵在于系統(tǒng)電流是否對擾動如何作出收斂響應。而系統(tǒng)電流收斂的發(fā)生一般有兩種途徑， 一是在空占比(D)小于05時產生收斂，一是空占比(D)大于05時產生收斂。這兩種收斂環(huán)境下，系統(tǒng)對擾動所表現(xiàn)出的穩(wěn)定狀態(tài)是不同的。設Io為擾動沒有發(fā)生時的電感電流初始值，設A i o為電流上升時產生的擾動量，設it為電流下降時產生的擾動量，設d為電感電流占空比發(fā)生的擾動量，設m 為電流在上升時所發(fā)生的斜率，設眥為電流在下降時所產生的斜率，它們之間的關系式如下：從而可以得出以下式子：隨著周期的增加，其所