相似三角形與圓綜合題

1、1、已知：如圖，AB是。的直徑，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)E作。的切線ED,切點(diǎn)為C,ADLED交ED于點(diǎn)D,交。于點(diǎn)F,CGLAB交AB于點(diǎn)G.求證：BG?AGDF?DA2、已知：如圖，AB為。的直徑，AB±AGBC交。于D,E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)求證：DE為。的切線.(2)求證：ABAOBF:DF.3、(南通)已知：如圖，AB是。的直徑，AB=AC,BC交。于點(diǎn)D,D已AGE為垂足.(1)求證：/ADE=/B;(2)過(guò)點(diǎn)。作OF/AR與ED的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,求證：FD?DA=FC?DE.4、如圖，AB為。的直徑，BF切。于點(diǎn)B,AF交。O于點(diǎn)D,點(diǎn)C

2、在DF上,BC交。于點(diǎn)E,且/BAF=2/CBF,CGLBF于點(diǎn)G,連接AE.(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證：BCaACE若/F=60°,GF=1,求。的半徑長(zhǎng).5、如圖，ARAC分另1J是。的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦D已AB分別交。于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF.(1)求證：PC是。的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD=DE?DF,為什么？在(2)的條件下，若OH=1,AH=2,求弦AC的長(zhǎng).6、如圖，ABAC分別是。的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DELAB分別交。于E,交AB于H,0 H交AC于F.P是

3、ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF.(1)求證：PC是。的切線;(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD=DE?DF,為什么?在(2)的條件下，若OH=1,AH=2,求弦AC的長(zhǎng).7、如是。的直徑，CBC皿別切。于BD兩點(diǎn)，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，且CE=AE+BC(1)求證：AE是。的切線；(2)過(guò)點(diǎn)D作DF，AB于點(diǎn)F,連接BE交DF于點(diǎn)M求證：DM=MF8、已知：如圖，AB是。的直徑，D是。上一點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)，使CD=BD連結(jié)AG過(guò)點(diǎn)D作DELAC,垂足是點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)B作BEXAB,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)OF。求證：(1)EF是。的切線；C,(2)OBMDEC；9、如圖，已知AB是。的直徑

4、，C是。上一點(diǎn)，ODLBC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作。O切線，交OD勺延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.求證：BE與。O相切；(2)連結(jié)AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F,若OB=6,且sin/ABC=2,求BF的長(zhǎng).10、如圖，AB是。的直徑，AC是弦，/BAC的平分線AD交。于點(diǎn)D,DE，AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,OE交AD于點(diǎn)F。求證：DE是。的切線;“、HAC44AF鉆/古(2)若求的值；AB5DF在(2)的條件下，若。O直徑為10,求EFD的面積.11、已知：如圖，在RtABC中，/A=90°,以AB為直徑作。O,BC交。O于點(diǎn)D,E是邊AC的中點(diǎn)，EDAB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.求證：(1)DE為。的切線.

5、(2)AB?DF=AGBF.12、如圖，以ABC的邊AB為直徑的。O與邊BC交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE!AG垂足為E,延長(zhǎng)ABED交于點(diǎn)F,AD平分/BAC求證：EF是。O的切線；(2)若AE=3AB=4,求圖中陰影部分的面積.13、知AB是。的直徑，直線l與。相切于點(diǎn)C且ACAD,弦CD交AB于E,BHl,垂足為F,BF交。于G求證：cE=FG-FB;(2)若tan/CBF=1,AE=3,求O。的直徑。14.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD勺對(duì)角線AC平分/BCDBD交AC于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)A作圓的切線AE交CB的延長(zhǎng)線于E.求證：AE/BD;AD2=DFAE/15、已知：DABCD過(guò)點(diǎn)D作直線交AC于E,

6、交BC于F,交AB的延長(zhǎng)線于G經(jīng)過(guò)B、GF三點(diǎn)作。O,過(guò)E作。O的切線ET,T為切點(diǎn).求證：ET=ED16、如圖，ABC中，AB=AC,O是BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB長(zhǎng)為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A,過(guò)點(diǎn)C作CDLBA垂足為D.求證：(1)/DAC=2/B;(2)CA2=CDCO相似三角形與圓的綜合考題（教師版）1、已知：如圖，AB是。的直徑，E是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)E作。O的切線ED,切點(diǎn)為C,AD±ED交ED于點(diǎn)D,交。O于點(diǎn)F,CGLAB交AB于點(diǎn)G.求證：BG?AGDF?DA證明：連接BC,FGCO 過(guò)E作。的切線ED, /DCF4CAD/D=ZD, .CDMADCCDDFAD

7、=CD,_2_ CDADXDF, .CGLAB,AB為直徑， ./BCA/AGC=/BGC90, /GBC廿BCG=90,/BCG它GCA90, ./GBChACG .BGSACGACGBGAC=CC,CdBGXAG 過(guò)E作OO的切線ED,OCLDE,AD±DE,CO/AQ ZOCAhCADAOCO ZOAChOCA ZOAChCAD在AG麗ADC中，pCGA=zD«zCAC-zDAClACAC .AGCADC(AAS,CGCDBGXAGADCDF.AB為。的直徑，AB± AG BC交。于D, E是AC的2、已知:如圖中點(diǎn)，ED與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.(1)求證

8、：DE為。的切線.(2)求證：ABAOBF:DF.證明；3)連結(jié)口九7E為門直徑.，上?！?上口口.1=0。,vC£=EAt.DE=EA,.2i=y4»-OI>=C)A(.-Z2=z3Fr/Z4+z3=9ODrAZ1+2即；/ED口=9小，90是半徑.為宮門的切線；(2),z3+zDBH=90"Hz3+z+=9f)ft.二上4二上口6月,.2：CDA=BDA=9fl0,.二ABQ-qGaa.AB_DD又aD=C7H,，上口,.y3=eFDHtZF=zr.-FADFDB,BD_BFADDF，.AB.BFXCDTr即且：AC=BF：DF.E3、(南通)已知：如圖

9、，AB是。的直徑，AB=AC,BC交。于點(diǎn)D,DE!AGE為垂足.(1)求證：/ADE=/B;(2)過(guò)點(diǎn)。作OF/AR與ED的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,求證：FD?DA=FC?DE.解：(1)方法一:證明：連接CDcCA=CD/OADhODA.AB是。O的直徑，/ADB=90,即ADLBC.又AB=AC AD平分/BAG即/OADhCAD /ODAhDAE之OAD /ADE吆DAE=90, ./ADE4ZODA=90,即/ODE=90,ODLDE. .ODbOO的半徑，EF是。O的切線. /ADE4B.方法二：.AB是。O的直徑， ./ADB=90,又DELAC,/DEA=90, /ADB4DEA.A

10、BC中，AB=ACAD±BQ AD平分/BAG即/DAE4BAD.DABAD /ADE4B.(2)證明：.OF/AD, ./F=ZADE又/DEAhFDO(已證)， .FDODEAFD:DE=FODA即FD?DA=FODE.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)；(2)題乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過(guò)相似三角形的性質(zhì)得以證明.4、如圖，AB為。O的直徑，BF切。O于點(diǎn)B,AF交。O于點(diǎn)D,點(diǎn)C在DF上,BC交。O于點(diǎn)E,且/BAF=2/CBF,CGLBF于點(diǎn)G,連接AE.(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證：BC6ACE(3

11、)若/F=60°,GF=1,求。O的半徑長(zhǎng).解：(1)如圖1,AB是。O的直徑，/AEB=90.AE±BC.(2)如圖1,.BF與。O相切,/ABF=90./CBF=90-/ABE之BAE/BAF=2ZCBF./BAF=2ZBAE .ZBAE土CAE /CBF土CAE CGLBF,AE±BC,./CGBhAEC=90. /CBF土CAE/CGBhAEC.BC6AACE(3)連接BD,如圖2所示. /DAE4DBE/DAE4CBR /DBE4CBF.AB是。O的直徑，/ADB=90.BD±AF./DBChCBF,BDLAF,CGLBF,CD=CG/F=60

12、°,GF=1,/CGF=90,cc1.tan/F=CF=CG=tan60=/CG=/3",CD=. /AFB=60,/ABF=90,/BAF=30. /ADB=90,/BAF=30,AB=2BD /BAE土CAE/AEB=ZAEG /ABE土ACEAB=AC設(shè)。的半徑為r,則AC=AB=2rBD=r./ADB=90,ADA/r.DC=AC-AD=2rVTr=(2-V3)r=MT.r=2V§+3.OO的半徑長(zhǎng)為278+3.解析：(1)由AB為。的直徑即可得到AE與BC垂直.(2)易證/CBFWBAE,再結(jié)合條件/BAF=2ZCBF就可證到/CBFWCAE，易證/CG

13、BhAEG從而證到BCNAGE(3)由/F=60°,GF=1可求出CGaA;連接BD,容易證到/DBChCBF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CGV3；設(shè)圓O的半徑為r,易證AC=AB/BAD=30,從而得至UAC=2r,AD，r,由DC=AC-AD可求出。O的半徑長(zhǎng).5、如圖，ABAC分別是。O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DELAB分別交。于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PGPF.P(1)求證：PC是。的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD=DE?DF,為什么？|夕在(2)的條件下，若OH=1,AH=2,求弦AC的長(zhǎng).口/分析：(1)連接OC證

14、明/OCP=90即可.(2)乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過(guò)證明三角形相似得出.(3)可以先根據(jù)勾股定理求出DH,再通過(guò)證明OG第AOHD得出AC=2AG=2DH求出弦AC的長(zhǎng).解答：(1)證明：連接OCPC=PFOA=OC/PCA4PFG/OCAhOAC.ZPFC=/AFH,DELAB,/AHF=90,/PCOhPCA-+ZACOWAFH-+ZFAH=90,PC是。O的切線.2(2)解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使AD=DE?DF,理由如下:連接AE. 點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，/DAF=/DEA /ADE4ADE .DADDEA .ADED=FDAD,AE2=DE?DF.(3)解

15、：連接O眩AC于G. OH=1,AH=2 .OA=3即可得OD=37?1I.DH8-O/#=#.點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， .AdDO /OGAWOHD=90,在OG喇AOHD43,rZOGA-OHD<ADOA=LAODOA=OD .OGAAOHD(AAS,AG=DHAC=f.點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑)再證垂直即可.同時(shí)考查了相似三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì).6、如圖，ABAC分別是。O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DELAB分別交。于E,交AB于H,E交AC于F.P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PG=PF.(1)求證：PC

16、是。的切線;(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD=DE?DF,為什么?在(2)的條件下，若OHM,Ah=2,求弦AC的長(zhǎng).(1)證明：連接OCPC=PFOA=OCp/PCA4PFG/OCAhOAC.ZPFC=/AFH,DELAB,/AHF=90,/PCOhPCA-+ZACOWAFH-+ZFAH=90,PC是。O的切線.(2)解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使AD=DE?DF,理由如下:連接AE. 點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，/DAF=/DEA /ADE4ADE .DADDEA .ADED=FDAD,A癡E?DF.(3)解：連接O眩AC于G. OH=1,AH=2 .OA=3即可得OD=3dh

17、=/5dW=V&=2V/2. 點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置， .AdDO /OGAWOHD=90,在OG喇AOHDJ43,(2OCA-ZOHD2DOA-AODOAOD,.OG庠O(shè)HD(AAS, .AG=DHAC=4k/2.解析：(1)連接OC證明/OCP=90即可.(2)乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過(guò)證明三角形相似得出.(3)可以先根據(jù)勾股定理求出DH,再通過(guò)證明OG第AOHD得出AC=2AG=2DH求出弦AC的長(zhǎng)。7、如圖，AB是。的直徑，CBCD分另I切。O于B、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，且CE=AE+BC(1)求證：AE是。O的切線；(2)過(guò)點(diǎn)D作DF，AB于點(diǎn)F,連接B

18、E交DF于點(diǎn)M求證：DM=MF證明：(1)連接ODOE CBCM別切。O于B、D兩點(diǎn)，/ODE=90,CD=CE CE=AE+BCCE=CD+DEAE=DEOD=OAOE=OE.ODEAOAE(SSS,/OAEhODE=90, OALAE, .AE是。O的切線；DF±AB,AE1AB,BCLAB,AE/DF/BC,.BMMBEAMFBFAE=5ACDBFCE-CE二EA=CE?MFCBAE-CEEDWECRCEDMCE_DE,MFDMAE_DE,DM=MF解析：(1)首先連接ODOE由CBCD分別切。O于日D兩點(diǎn)，即可得/ODE=90,CD=CE又由CE=AE+BCCE=CD+DE即

19、可證得AE=DE則可得OD監(jiān)OAE即可證得AE是。的切線；(2)首先易證得AE/DF/BC,然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可求得DM=MF8、已知：如圖，AB是。的直徑，D是。上一點(diǎn)，連結(jié)BD并延長(zhǎng)，使CD=BD連結(jié)AG過(guò)點(diǎn)D作DELAC,垂足是點(diǎn)E.過(guò)點(diǎn)B作BEXAB,交ED延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連結(jié)OF。求證：(1)EF是。O的切線；(2) OBMDEC證明：(1)連結(jié)ODAB是。O的直徑，OA=OB又CD=BDOD/AC,DELAC,/DEC=90,/ODE=90,點(diǎn)D是。O上一點(diǎn),EF是。O的切線。(2)-BF±AB,AB是。的直徑，BF是。O的切線，

20、EF是。O的切線，/BFO=ZDFOFB=FDOF!BD,./FDB=ZCDE/OFDWC,/C=ZOFB又/CEDWFBO=90,.OBSDEC9、如圖，已知AB是。的直徑，C是。上一點(diǎn)，ODLBC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)C作。O切線，交OD勺延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.(1)求證：BE與。O相切;(2)連結(jié)AD并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)F,若OB=6,且sin/ABC=2,求BF的長(zhǎng).3解：(1)連結(jié)CO.ODLBG/1=/2,再由C0=OBOE公共,.OCEAOBE(SAS)./OCE=/OBE又CE是切線，/OCE=90°,OBE=90°BE與。O相切(2)備用圖中，作DHLOWH,H為垂足

21、,在RtAODE,OB=6,且sinOD=4,同理RtAODHRtAODIBDH=4.5OH=又RtAABFRtAAHtDFB：DH=AB：AH,FB=3122456+8313考占.V八、切線定義，全等三角形判定，相似三角形性質(zhì)及判定。點(diǎn)評(píng):熟知以上定義性質(zhì)，根據(jù)已知可求之，本題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中檔題。10、如圖，AB是。的直徑，AC是弦，/BAC的平分線AD交。O于點(diǎn)D,DE，AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,OE交AD于點(diǎn)F。求證：DE是。O的切線;AC4AF(2)若萬(wàn)"求DF的值;CD8-4-6J 里AE而8 = =AFDFAEAE(3)DF 513528

22、在(2)的條件下，若。O直徑為10,求EFD的面積.試題分析：(1)連接OD根據(jù)角平分線定義和等腰三角形的性質(zhì)可得/CADWODA推出OD/AC,根據(jù)平行線性質(zhì)和切線的判定推出即可；(2)先由(1)得ODAE,再結(jié)合平行線分線段成比例定理即可得到答案；(3)根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合圓的基本性質(zhì)求解即可(1)連接OD因?yàn)镺A="OD"所以/OAD=/ODA又已知/OAD=/DAE可得/ODA=/DAE,所以O(shè)D|AC,又已知DELAC可得DE!OD所以DE是。的切線；(2)由(1)得OD/AE,考點(diǎn)：圓的綜合題點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸

23、題形式出現(xiàn)，難度較大11、已知：如圖，在RtABC中，/A=90°,以AB為直徑作。QBC交。于點(diǎn)D,E是邊AC的中點(diǎn),EQAB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.求證:(1)DE為。的切線.(2)AB?DF=AGBF.證明：(1)如圖，連接ODAD.OD=OA2=Z3,.AB是。O的直徑，/BDA=90,/CDA=90.又E是邊AC的中點(diǎn)，1八DE=AE=_AC,2/1=/4,4+/3=/1+/2=90°,即。.又AB是。O的直徑，DE為。O的切線；(2)如圖，AB±AC,AD±BC,./3=/C(同角的余角相等).又/ADBhCDA=90,.AB3ACAtD,ABB

24、DACAD易證FADFDB,BD里ADDF',ABBFACDFAB?DF=ACBF.解析：(1)連接ODAD,求出CDA士BDA=90，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，求出/1=/4,/2=/3,推出/4+/3=/1+72=90°,根據(jù)切線的判定即可；(2)證AB3ACAtD推出旭-BD,再證FA2FDB,推出里正，得幽空，即可得ACADADDFACDF出AB?DF=AGBF.12、如圖，以ABC的邊AB為直徑的。O與邊BC交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE!AG垂足為E,延長(zhǎng)ABED交F,AD平分/BAC求證：EF是。O的切線;(2)若AE=3AB=4,求圖中陰影部分的面積.解：(1)連接ODOA=O

25、D/OADhODA.AD平分/BAGZOADhCAD/ODAhCADOD/AC,DEIAC,/ODFhDEA=90,。加半徑,EF是。O的切線.(2).AB為。的直徑，DELAC,/BDA4DEA=90,/BAD4CAD.BANDAEABAD4即ADAEADADAD=2.cos/bad段也顯AB42'/BAD=30,/BOD=2BAD=60,1BD=AB=22S>ABO=S>AAB聲X-X2V"X2=V3",.q_6022蟲2S陰影一S扇形BO-OABOD-V33603解析:(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角平分線性質(zhì)得出/OADWODAhDAE推出OD/AC

26、,推出ODLEF,根據(jù)切線的判定推出即可；(2)證BA3DAE求出AD長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出/BAD=30,求出/BOD=60和求出BD=2=OB=QD求出扇形BODF口BOD勺面積，相減即可.13、知AB是。的直徑，直線l與。相切于點(diǎn)C且AC=AD,弦CDXAB于E,BF±l,垂足為F,BF交。于Go(1)求證：cE=FG-FB;(2)若tan/CBF=1,AE=3,求OO的直徑。2解：(1)證明：連結(jié)AC,.AB為直徑，/ACB=90,.AOAD,且ab是直徑，AB±CD即CE是ABC的高,/A=ZECB/ACE4EBC.CE是。O的切線， /FCB土A,CP=FGFB, /FCB土ECB /BFC土CEB=90,CB=CB .BC陣BCECE=CF/FBC玄CBE.C=FGfb；/CBF4CBE/CBE4ACE/ACE4CBF,tan/CBF=tan/ACE=工，2CEAE=3,31CE=6)CE