專題18 數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題【一題一專題 技巧全突破】2022高三二輪熱點(diǎn)題型專項(xiàng)突破（解析版）.docx

1、數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題iWj考定位數(shù)列的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題，是近年來(lái)的高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，考察了學(xué)生的分類與整合能力，考察了學(xué)生的探究發(fā)現(xiàn)的能力，也是今后考察的熱點(diǎn)。專題解析(1) 求通項(xiàng)和求和時(shí)，分奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分別表達(dá)；(2) 求S時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把a(bǔ)2k+a2k看作一項(xiàng),求出S2A，再求S2k-l=S2kQ2k專項(xiàng)突破類型一、數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問(wèn)題(0?+如1=/(/7)或。"+1=加)；例1-1.已知數(shù)列外滿足671=1,。+1+。=4機(jī)求數(shù)列。的前100項(xiàng)和5100；(2)求數(shù)列修”的通項(xiàng)公式.解(1)''。1=1,0汁|+07=4

2、，Si(X)=(。+。2)+(。3+。4)I-(。99+CL100)=4X1+4X34X99=4X(1+3+599)=4X502=10000.(2)由題意，。+1+。=4,。+2+。+1=4("+1),由一得，0汁207=4,由。1=1,。1+您=4,所以。2=3.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，。=。1+仁?一1)X4=2一1,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，0?=您+質(zhì)一1)X4=2一1.綜上所述，07=2一1.練.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列%的前項(xiàng)和為S，旗=20,且知-1,句成等比數(shù)列.(1) 求數(shù)列%的公差H；(2) 數(shù)列如滿足勿+#=%,且+1=%,求數(shù)列也的通項(xiàng)公式.【答案】(1)刁=1；b=蘭+1+(一1廣.

3、24【分析】(1)根據(jù)。2，%T，成等比數(shù)列可得(-1)2=。2。11，利用“1，表示出$5=2。和(%-1)2=%句，解方程組可求得缶,d,結(jié)合>0可得結(jié)果;貝ij(%+2-。2+1)+(。2+1-。2)<0'由題意得，+2一。2+1|=Q+2)2>(2+1)2=缶+i,山(%+2_%+|)+(%+1一%)<°明曰3由I，口J得。2+2-a2n+V。，neN,U%+2一。2+1>|%襯一。2又a>a29即a2-a<0,所以當(dāng)為奇數(shù)且n>3時(shí)，an-an_x=n2；當(dāng)為偶數(shù)時(shí),-。_1=-.所以%9=(%9_%8)+(%8_%7

4、)+(%7_%)+(%_巧)+口1=99298之+972962+32+1=99+98+97+96+3+2+1=4950.故選：D.類型四、已知條件明確的奇偶項(xiàng)問(wèn)題.1504-1.已知數(shù)列化滿足6/1=1,£+一1,為奇數(shù)，2記勿=。2，求證：數(shù)列加為等比數(shù)歹U，并求出數(shù)列。的通a,In,冷為偶數(shù)，項(xiàng)公式.證明b“+1=。2(+1)=22«+1+2+11=4-1+2=方(。222)+2n=22/7=."為等比數(shù)列，且公比q.又b=2*=2,可得”=亍6nn12技n所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，atJ=h=，廠1，廠1(-i)+i=。(-1)一2(1)=/?項(xiàng)2(1)=一1)_2

5、(_1),可驗(yàn)證6/1=1也符合上式,綜上所述，an綜上所述，an()2(/?1)，為奇數(shù),n，為偶數(shù).練.己知數(shù)列。滿足。=<2*+；,為正偶數(shù).2乙(1)問(wèn)數(shù)列。是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列？說(shuō)明理由;(2)求證：數(shù)列"2是等差數(shù)列，并求數(shù)列也的通項(xiàng)公式.(1)角昆由。I=§嚀+；=%+；*=1,02。2=2。二+3=2。1+1=3,22。3=*手+!=*2。3=*手+!=*2+；=5,。4=2。*+3=22+2=8.22.。2=2,。4一。3=3,.。2尹。4一。3,.數(shù)列。異不是等差數(shù)列.竺蟲(chóng).絲aaz3.數(shù)列W也不是等比數(shù)列.證明.對(duì)任意正整數(shù)，您+1=2您+2

6、,2+i2_2'2數(shù)列爵是首項(xiàng)為&公差為;的等差數(shù)列,從而對(duì)"6N*,ail3,n1f成7=3+2，貝V。2=("+2)2.數(shù)列。2的通項(xiàng)公式是6?2=(+2)2廣1("小*).-,n=2k-l練.數(shù)列%且。練.數(shù)列%且。n(居N*),若S為數(shù)列肩的前項(xiàng)和，則sin,n=2k42021【答案】30342023【分析】由題意,由題意,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),n2+2n2nn+2)riTr;當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為=sin丁.然后根據(jù)分組求和法、裂項(xiàng)相消求和法及三角函數(shù)的周期性即可求解.【詳解】,n=2kl解：數(shù)列*且。解：數(shù)列*且。(居冷),sin,n=2k4當(dāng)為奇數(shù)時(shí),

7、當(dāng)為奇數(shù)時(shí),疽+2一弟當(dāng)為偶數(shù)時(shí),an=sin,%+%+%+%=。，則偶數(shù)項(xiàng)和為(%+%+%+%)+(。10+a2+"l4+“16)+，+(%010+0012+。2014+“2016)+2018+“2020=“2018+“2020=%+%=1，月I以2021=(“1+%“2021)+(缶+。4+角)2。)(11111)<33520212023J+1=1011+1=3034202320233034故答案為:盤練.已知S數(shù)列%的前項(xiàng)和，=人，且。+%|=(-1)心若濕一翱;=1010-S2X)192U1yn+20)9|(其中"。)，則丁+翕的最小值是()A.2>/2

8、B.4c.2J2019D.2018【答案】B【分析】由Cln+Q+=(1)",可得+角=F,%+“3=22,%+。4=，%+%=42,。2018+。2019=2。1皮，以上各式相加得可求得%+2(%+%+四+。2盅)+。2019,結(jié)合絳斜一欽=1°1°一日，根據(jù)均值不等式，即20192a)19可求得答案.【詳解】Cln+an+=(T)2*%+%=F,%+。3=2之,+%=3之，+=4七,。°()|8+。2019=2018?,以上各式相加得,=(-12+22)+(-32+42)+.+(-20172+20182+2(q+%+%+%+,+“2018)+劣。19

9、=F+23?+4?一2017"+2018,2,209%“2019=(2l)x(2+l)+(43)x(4+3)+(20182017)x(2018+2017),=1+2+3+4+2017+2018=2019x10092$2（）9“2019_1八八。1a而一而一1°°9+面又金奇皿，1009+-=1010-#,2019即一+=2019又.%=九，20191.+=21,(2019（人）+H41九"2019)=1+辿+L.2+2220192019«_J_4Z-2019#'r.,t20192,.工工當(dāng)且僅當(dāng)疝顯時(shí)等號(hào)成立,故選：B.練.己知數(shù)列0滿

10、足=2,但=3且。+2-=1+（T）'盤c對(duì)，則該數(shù)列的前9項(xiàng)之和A.32A.32B.43C.34D.35【答案】C【分析】討論為奇數(shù)、偶數(shù)的情況數(shù)列%的性質(zhì)，并寫出對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式，進(jìn)而應(yīng)用分組求和的方法求數(shù)列的前9項(xiàng)之和.【詳解】二當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。2+1-。2一=0，則數(shù)列億2-1是常數(shù)列，。2一1=%=2；2n+2當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，。2+2-=2,貝【J數(shù)列%是以。2=3為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列,4x3t/j+缶+,+%=("1+%+,+"9)+("°+%+%)=2x5+(3x4x2)=34.2故選：C練.設(shè)S為數(shù)列。的前項(xiàng)和，=(-l)wan-,

11、neN*,則5j+52+5100=1A31A3(2I(X)-11B3"9821D3(、502【答案】A【分析】由遞推式求出數(shù)列的首項(xiàng)，當(dāng)Z2時(shí)分為偶數(shù)和奇數(shù)求出。,代入Sn-VTayN后分組，然后利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】由S=(一1)0-夕,當(dāng)=1時(shí)，S=-q_S，得q=_:當(dāng)n>2時(shí)，=S一S=(一1)%一一(一1)七_(dá)，即=(T)0?+另當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，%當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，%(¥),所以。=-我(為正奇數(shù)),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。一1=-2。+=(-2)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，。一1=-2。+=(-2)+土=決T，所以(為正偶數(shù)),所以-6=，所以-a+a2=2x2=2所以一

12、%+q=2x+=,.,_S=僉，弓00=僉，所以+。|00=2x我=吏.因?yàn)镾+S2+S3+S®=(0+缶)+(-%+%)+(-%+%)+(“99+000)Ifl-2lS+S2+S3+S®=(0+缶)+(-%+%)+(-%+%)+(“99+000)Ifl-2l(111)+P.+2222,00J1+匝-底+歹1111)+21(X,)2"450J1)OlOOLJ72cl(X)L7故選：A練.已知正項(xiàng)數(shù)列%的前項(xiàng)和為S，。=1,且S+S=可；(、2),設(shè)小)E+1),則數(shù)列勿前項(xiàng)和的取值范圍為.S、3、"21【答案】一s，Td一1，一耳【分析】根據(jù)s“，,之間

13、關(guān)系可得數(shù)列%為等差數(shù)列并得到為,然后得到如，根據(jù)裂項(xiàng)相消可得數(shù)列如前項(xiàng)和，最后進(jìn)行判斷即可.【詳解】由S”+S”_i=a：,則Sn+l+S”=a,化簡(jiǎn)可得:(%+1_%一1)(%+1+%)=°，又。>°，所以an+an=1(>2)當(dāng)=2時(shí)，S2+S=q；=>%+角+%=>=2所以-=1符號(hào)由故數(shù)列%是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列所以%=n,則Sn=+2所以如=2（；）"，+1）=2（_1）11）_+nn+）令設(shè)數(shù)列也前項(xiàng)和K所以"2-1+捉十*.+(頊；+(頊土-盤為偶數(shù)所以K=<72+1-1-一，為奇數(shù)+1I12當(dāng)為偶數(shù)

14、時(shí)，Tn=一-1,則Tn<-1=-且K>1+13313當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，L=-1,則=+122綜上所述：TnG一|，一1Lfjr3（21故答案為：一3，一1D練.設(shè)是數(shù)列億的前項(xiàng)和，若黑=(-1)0+§,則S|+S2+.+Su=【答案】13654096【分析】運(yùn)用數(shù)列的遞推式，討論為奇數(shù)或偶數(shù)，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和.【詳解】解：&=（一1）+,當(dāng)=1時(shí)，=S=-巧+&,解得,可得Sn=（一1）”（Sn一S,_i）+£,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),S”=S”-S婦+土,即有S/二當(dāng)為奇數(shù)（松3）時(shí)，S,=-（f芬可得S,i=2S-§=2.12

15、+i2即有S+S=即有S+S=+0HF0H0+.+1664n1)孔一13651_140964n1)孔一13651_140964公山1365故口木為詼（2）由（1）可得如/一如+n+l,13,13、整理得如+1_5_日=_”一5（_1）_日/可矢口數(shù)歹0f-1）-，為等比數(shù)列,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可推導(dǎo)得到結(jié)果.（1）（1）設(shè)等差數(shù)列%的公差為Q%,。6-1，。11成等比數(shù)列，二（。6-1）2="11，即（。1+5刁一1）2=（%+刁）（+10）,_825x40=2'17又S5=5%+-d=20,解得：；|或：；-2d=ld=-L17_82%7828427時(shí)，13a+12/=0,

16、與>0矛盾，二d=17即等差數(shù)列0的公差d=l；（2）由（1）得：。="+1,.展+勿+="+1,即如+1=如+1，+124,又4+1=%=2,解得：=1,.數(shù)列如-!（-啟是以-.數(shù)列如-!（-啟是以-31廠彳為首項(xiàng)T為公比的等比數(shù)列，如一；（"一1）一：=（一1）'X：,整理可得：b=蘭+44"24練.己知數(shù)列。的前項(xiàng)和為S，且=1,%+%=2+1（乂），則數(shù)列：的前2020項(xiàng)的和為（2020A.20214040B.20214039C.202040412022【答案】B【分析】首先根據(jù)己知條件求得。首先根據(jù)己知條件求得。然后求得S，利用

17、裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】數(shù)列M的前項(xiàng)和為s,且=1,。+。=2+1,則缶=3-。1=2.所以an+2+%+=2+3,兩式相減得：。+2=2,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),-1x2=l+l-2=，2J當(dāng)為偶數(shù)時(shí),dn=2+1x2=2+2=,27所以cin=n,所以數(shù)列%是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.所以S=1故瓦F+i)2=2(1L),n+1所以"/3吐=2(1-！+!-*.+土)=2(1一土),則磁=2(=新n，記S為的前項(xiàng)和，人=。2+。2-n，記S為的前項(xiàng)和，人=。2+。2-故選：B例1-2.在數(shù)列。中，己知s=l,%心+1=1，住N*.(1)判斷數(shù)列勿是否為等比數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式;

18、求數(shù)列曲的通項(xiàng)公式；求Sffr以'1，。+2解(1)因?yàn)閍ffCln+1=所以=2?即。+2=云因?yàn)閎n+。2-1，所以釧=地4=箜癢竺1-十。2一1所以釧=地4=箜癢竺1-十。2一12'因?yàn)椤?所以數(shù)列勿是公比為亨的等比數(shù)列.19Z|*Z2=2，13所以。2=亍。|=。1+。2=13所以。2=亍。|=。1+。2=2'所以=如，仁N*.(2)由口J知0汁2=尹”所以。1，。3，。5，一是以(2=1為首項(xiàng)，萬(wàn)為公比的等比數(shù)列；口2,S為首項(xiàng)，;為公比的等比數(shù)列，n1n所以。2一1=(；)，Clin=(;)，為奇數(shù),所以=<(3)因?yàn)椋?=(。1+白3+,+。2-1)

19、+(。2+。4您)ZZ1 14，21S'nCl2n3_32，,33-,為偶數(shù)，2巳243，為奇數(shù).2史2練.已知正項(xiàng)數(shù)列0的首項(xiàng)。1=,其前項(xiàng)和為S，且=2S.數(shù)列也滿足:an+l(bi+。2+.+?)=。(1) 求數(shù)列J的通項(xiàng)公式；(2) 記&=,證明：V2-<q+勺+烏v2.V%2+2【答案】(1) an=n(ngN*)(2) 證明見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)題意得到"+i=2S和。=2如1(松2),兩式相減得=2(論2),解得答案.計(jì)算=看習(xí)'&=")(+2)'放縮C“<2(士一壽)和勺>2(點(diǎn)一點(diǎn))，利用裂項(xiàng)相消

20、法計(jì)算得到證明.(1)由%+i=2S得%_%=2S”(Z2),兩式相減得。+1=2(>2),由苗=1,得角=2,數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)分別是公差為2的等差數(shù)列,當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，。=",當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，%=h綜上所述4=(£N*).(2),a.nn_I由小奶+.*,=«=危"皿+.+如=；,松2,4虧兩式相減得U右論2'驗(yàn)證卜S成立，故勿（+）則c=如口+2&(+1)(+2)，2(J+1-插)=2()J("+1)>JnJ+1=50+50X5450X(501)2X4=5200.丹K么c=_<J(.+l)(J+2+Jn+2)J

21、n(n+l)(7i+J-+1)“11111、“1、C故勺+七+.+&<2(1-善.相-箱+.+由-E)=2(1_存)<2,門理J(+l)(+2)(/+yfn)+1)(+2)(Ju+1+n+2)J(.+1)(.+2)111111、11、故q+a+c>2成-忠+箱-孑布一定）=2（善_定）="一點(diǎn)得證類型二、含有（一1）的類型；例2-1.數(shù)列。中，<71=1,6/2=2,數(shù)列勿滿足為=。+1+（l）w，EN*.（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)和Sioo；（2）若數(shù)列勿是公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列。的通項(xiàng)公式.解（l）''s為等差數(shù)

22、列,且Ql=l,。2=2,公差d19ClflZl.1=1,為奇數(shù)，4汁1+。=2+1,為偶數(shù)，1,為奇數(shù)，mb=<、2+1,為偶數(shù),紡的前100項(xiàng)和Sl00=("l+3人99)+(人2+。4bl00)=50+(5+9+13+201)(2)由題意得，加=。2。1=1,公差d=2,'h,t=2n1./?2-1。2-1439CD<bln=。2+1+=4一19由一得，。2+1+。2-1=2,。2+12Cl2n1，乂。=1,。=。3=。5='=1，。2一1=1，。2=42,綜上所述,1,為奇數(shù),2一2,為偶數(shù).例2-2設(shè)&為數(shù)列"的前n項(xiàng)和，S=(

23、1)%求。3；(2)求S1+S2Sioo.解(1)令=4,則$4=。4土，.，.S3=土.令=3,則S3=O3土，.-O±_±。3_。3_23_24,(2)當(dāng)n=時(shí)，a=Cln=SnS1=(一1)S-土-(11=(一1)地+(1)."1+土，即。=(1)也+(1)Q-1+£.(*)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，由*式可得0l1+£=O,則0l1=£；，1亍，此時(shí)n為奇數(shù).當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由*式可得an-=2。+芬=2-an-=2。+芬=2-+±=-L122_i'=*此時(shí)為偶數(shù).綜上所述，an=歹ry，為奇數(shù),、土，為偶數(shù).Si+S2+S1

24、00=(。1+。2)+(。3+。4)+(。99+。100+)=2申土+我一G+土+）100練擻列。異的通項(xiàng)公式為為=（一1）F（4一3）,則它的前100項(xiàng)之和S100等于（）A.200B.-200C.400D.-400答案B解析Sioo=l-5+9397=4X(-50)=-200.練.已知數(shù)歹0。滿足勿=1,。2=*3+(1)M+22q+2(1)一1=0,仁N*.2'（1）令bn=ain-y判斷。是否為等差數(shù)列，并求數(shù)列。的通項(xiàng)公式;（2）記數(shù)列的前In項(xiàng)和為T&,求Tm.解(1)因?yàn)?+(1)M+22g+2(1)一1=0,所以3+(1)22。2-1+2(1)211=0,又bn

25、1，月f以1b。2+112，所以勿是以"1=01=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.所以人=1+("1)X2=2771,MEN*.(2)對(duì)于3+(1)。+2-2缶+2(1)1=0,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，可得（3+1）。+22。+2（11）=0,即質(zhì)=§所以皿。4,。6,是以。2=；為首項(xiàng)，;為公比的等比數(shù)列;當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，可得（3一1）山+2一2，+2（一1一1）=0,所以Ql，Q3，。5，是以Cl=為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以=(。1+。3H。2一1)+02+14b。2)11n2=nX1-n(一1)X2+1_2=/+1偵類型三、含有億2，。2-1的類型；例3-1.己知數(shù)列為

26、各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為S,”滿足$2-|=凍求數(shù)列。的通項(xiàng)公式；記"=K（F，求數(shù)列如的前項(xiàng)和乙.（2一1）.'。夭。，/.a,t=2n1（EN*）.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)1n112+1/4+2S虧g鹽為奇數(shù).練.已知數(shù)列%滿足%=1,角=_1+（-1）"，。2+1=。2+3”（CN*）,則數(shù)列%的前2017項(xiàng)的和為（）A.J00'2005B.320,6-2017C.31008-2017D.31009-2018【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出。2抑與億2的通項(xiàng)，進(jìn)而求得土+。2即可求出數(shù)列%的前2017項(xiàng)的和.【詳解】在數(shù)列。中，。1=1,。2=。2一1+（-1）。2+1=。2+3，,則有。2+2=。2+1+（-1）”"=角+3"+（-1）"+1，即。2+2一。2=3+（