(天津卷)普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(數(shù)學文)(word版,有答案)

1、2010 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學 (文史類)本試卷分第I 卷 ( 選擇題 ) 和第卷 ( 非選擇題 ) 兩部分，共150 分，考試用時120 分鐘。第I 卷1 至3頁。第卷4 至 11 頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第 I 卷注意事項：1答 I 卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。2每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，答在試卷上的無效。3 本卷共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分。參考公式：如果事件A、 B互斥，那么棱柱的

2、體積公式V=Sh.P( AB)P( A)P( B)其中S 表示棱柱的底面積.h表示棱柱的高一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。(1)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)3i=1i(A)1+2i(B)2+4i(C)-1-2i (D)2-ixy3,(2) 設(shè)變量x， y滿足約束條件xy1,則目標函數(shù)z=4x+2y的最大值為y1,（ A）12（B）10（C）8（D）2(3) 閱讀右邊的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出(A)-1(B)0(C)1(D)3s 的值為（ 4）函數(shù) f （ x） =ex x 2的零點所在的一個區(qū)間是(A) （ -2,-1 ） (B)（ -1,0 ）(C)（ 0,1

3、）(D)（ 1,2 ）(5) 下列命題中，真命題是(A) m R,使函數(shù) f（x）=x 2 mx（x R）是偶函數(shù)(B) m R,使函數(shù) f（x）=x 2 mx（x R）是奇函數(shù)(C) m R,使函數(shù) f（ x） =x2 mx（ x R）都是偶函數(shù)(D) mR,使函數(shù) f（ x） =x2mx（ xR）都是奇函數(shù)(6) 設(shè)，（25，則alog53），c loglog5 4 b4(A)a<c<b(B) )b<c<a(C) )a<b<c(D) )b<a<c(7) 設(shè)集合Ax|x-a|<1,xR , Bx |1x 5, x R .若A B，則實數(shù)

4、a 的取值范圍是(A)a| 0a6(B)a | a2,或a4(C)a | a0, 或a 6(D)a | 2a 45（ 8 ） 右圖是函數(shù) yAsin（ x + ）（ x R）在區(qū)間 - ， 上的圖象， 為了 得到 這個函數(shù)的圖 6 6象，只要將ysin x（ xR ）的圖象上所有的點(A) 向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來3的 1 倍，縱坐標不變2(B)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫 坐標伸長到原來3的 2 倍，縱坐標不變(C)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來6的 1 倍，縱坐標不變2(D)向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2 倍，縱

5、坐標不變6（ 9）如圖，在ABC中， ADAB ， BC3 BD ， AD1 ，則 AC AD =（A） 2 3（B）（10）設(shè)函3（C）3（ D）323數(shù)g ( x)x22( x R)，f ( x)g ( x)x 4, x g( x ), g ( x)x,xg( x). 則 f ( x) 的值域是9,0(1,) （B） 0,)9) （D）9,0(2, )（ A）（C）,4442010 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（文史類）第卷注意事項：1. 答卷前將密封線內(nèi)的項目填寫清楚。2. 用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。3. 本卷共 12 小題，共 100 分。題號二三總分（ 17）（

6、18）（ 19） （ 20）（ 21）（ 22）得分二、填空題：本大題共6 小題，每小題4 分，共 24 分。把答案填在題中的橫線上。（ 11）如圖，四邊形ABCD 是圓 O 的內(nèi)接四邊形，延長 AB 和 DC相交于點 P。若 PB=1， PD=3 ，則 BC 的值為。AD（ 12）一 個幾 何體 的三視 圖如圖 所示 ，則 這個幾 何體的 體積為。（ 13）已知雙曲線 x2y2 1(a0, b0) 的一條漸近線方 程a2b2是 y3x ，它的一個焦點與拋物線y216x 的焦點相同 。則雙曲線的方程為。（ 14）已知圓 C 的圓心是直線 x-y+1=0 與 x 軸的交點， 且圓 C與 直 線x

7、+y+3=0相切。則圓C 的方程為。（ 15）設(shè) a n 是等比數(shù)列，公比 q2 ， Sn 為 a n 的前 n項和。記 Tn17SnS2 n , n N * . 設(shè) Tn為數(shù)列 Tn 的最大項 ，an10則 n0 =。（ 16）設(shè)函數(shù) f(x)=x-11,）， f(mx)+mf(x)<0恒成立，則實數(shù)m 的取值范圍是 _,對任意 xx三、解答題：本大題共6 小題，共76 分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（ 17）（本小題滿分12 分）在 ABC 中， ACcosB 。ABcosC（）證明 B=C ：（）若 cos A =- 1 ，求 sin 4B的值。33（ 18）（本小題

8、滿分12 分）有編號為A 1 , A 2 , A 10 的 10 個零件，測量其直徑（單位：cm），得到下面數(shù)據(jù)：其中直徑在區(qū)間1.48 ，1.52 內(nèi)的零件為一等品。（）從上述10 個零件中，隨機抽取一個，求這個零件為一等品的概率；（）從一等品零件中，隨機抽取2 個 .（）用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；（）求這2 個零件直徑相等的概率。（ 19）（本小題滿分12 分）如圖， 在五面體 ABCDEF 中，四邊形 ADEF 是正方形， FA平面 ABCD ，BC AD ，CD=1 ，AD= 22 ， BAD CDA 45° .（）求異面直線CE 與 AF 所成角的余弦值；（）證明

9、CD 平面 ABF ；（）求二面角B-EF-A 的正切值。（ 20）（本小題滿分12 分）已知函數(shù) f（ x） = ax3 3 x21(xR) ，其中 a>0.2（）若a=1，求曲線y=f （ x）在點（ 2， f（ 2）處的切線方程；（）若在區(qū)間1 , 1上， f（x） >0 恒成立，求 a 的取值范圍 .22（ 21）（本小題滿分14 分）已知橢圓 x2y2 1（ a>b>0）的離心率e=3 ，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.a2b22（）求橢圓的方程；（）設(shè)直線l 與橢圓相交于不同的兩點A 、 B，已知點 A 的坐標為（ -a， 0） .（ i ）若 |

10、AB|= 42 ，求直線 l 的傾斜角；5在線段 AB 的垂直平分線上，且QA QB=4.求y0的值 .（ ii ）若點 Q（0，y 0）（ 22）（本小題滿分14 分）在數(shù)列 an中， a1 =0 ，且對任意 kN * ， a2k1 ,a 2k ,a 2k+1 成等 差數(shù)列， 其公差為 2k.（）證明 a ,a,a成等比數(shù)列；456（）求數(shù)列an的通項公式；（）記 Tn2232n232nTn 2（ n 2）.a2a3，證明an22010 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（文史類）參考答案一 . 選擇題：本題考查基本知識和基本運算，每小題5 分，滿分50 分.（1）A(2)B(3)

11、B(4)C(5)A（6）D(7)C(8)A(9)D(10)D二 . 填空題：本題考查基本知識和基本運算，每小題4 分，滿分24 分.（11） 1(12)3 (13)x 2y 21341222(15)4 (16)（ -，-1）（ 14）（ x+1） y 2三. 解答題（ 17）本小題主要考查正弦定理、兩角和與差的正弦、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角的正弦與余弦等基礎(chǔ)知識，考查基本運算能力.滿分 12分.（）證明：在ABC中，由正弦定理及已知得sin B = cosB . 于是 sinBcosC-cosBsinC=0，即 sin（ B-C） =0. 因為所以 B=C.sin CcosCBC，從而

12、B-C=0.（）解：由 A+B+C=和（）得 A=-2B, 故 cos2B=-cos （-2B ） =-cosA= 1 .3又 0<2B< , 于是 sin2B=1cos2 2B=22 .3從而 sin4B=2sin2Bcos2B= 42 ， cos4B= cos2 2Bsin 2 2B7.99所以 sin(4 B)sin 4 Bcoscos4 Bsin427318333（ 18）本小題主要考查用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)據(jù)處理能力及運用概率知識解決簡單的實際問題的能力。滿分12 分（）解：由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6 個 . 設(shè)“從

13、10 個零件中，隨機抽取一個為一等品”為事件 A，則 P（A）= 6 = 3 .105（）（ i ）解：一等品零件的編號為A1, A2 , A3, A4 , A5 , A6 . 從這 6 個一等品零件中隨機抽取2 個，所有可能的結(jié)果有： A1 , A2 , A1 , A3 ,A1, A4,A1, A5, A1,A6, A2,A3 ,A2, A4 , A2, A5 , A2,A6 , A3, A4 , A3, A5 ,A3, A6, A4,A5, A4,A6 , A5,A6 共有 15 種.(ii) 解：“從一等品零件中，隨機抽取的2 個零件直徑相等” （記為事件 B）的所有可能結(jié)果有：A1,

14、A4 , A1, A6 , A4, A6，A2,A3 , A2, A5 , A3, A5 ，共有 6 種.62所以 P(B)=.15 5(19) 本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力 . 滿分 12 分 .(I) 解：因為四邊形 ADEF是正方形，所以FA/ED. 故CED 為異面直線 CE與 AF 所成的角 .因為 FA 平面 ABCD，所以 FACD.故 ED CD.在 Rt CDE中， CD=1， ED=，CE=CD2ED2ED =22 .2 2=3, 故 cosCED =3CE所以異面直線 CE和 AF 所成角的余弦

15、值為232 .( ) 證明：過點 B 作 BG/CD, 交 AD于點 G，則BGACDA45 .由 BAD45 , 可得 BG AB,從而 CD AB,又 CD FA,FA AB=A,所以 CD平面 ABF.( ) 解：由（）及已知，可得AG= 2，即 G為 AD的中點 . 取 EF 的中點 N，連接 GN，則 GNEF, 因為 BC/AD, 所以 BC/EF. 過點 N 作 NM EF，交 BC于 M，則GNM 為二面角 B-EF-A 的平面角。連接 GM，可得 AD 平面 GNM,故 AD GM.從而 BCGM.由已知，可得 GM= 2 . 由 NG/FA,FAGM,得2NGGM.在 Rt

16、 NGM中， tanGM1GNM,NG4所以二面角B-EF-A 的正切值為1 .4(20) 本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分 12分.（）解：當a=1 時， f （ x） = x33 x 2 1， f （ 2） =3； f (x)= 3x23x , f (2)=6.所以曲線 y=f2（ x）在點（ 2， f （ 2）處的切線方程為y-3=6 （ x-2 ），即 y=6x-9.（）解： f (x)= 3ax23x3x(ax 1) . 令 f (x)=0，解得 x=0 或 x=1 .a以下分兩種情況討論：（1）

17、 若0a 2，則 11，當 x 變化時， f (x) ， f （ x）的變化情況如下表：a21，1X00，202f (x)+0-f(x)極大值f (1 )0,5a0,118當 x2即， 時， f（ x） >0 等價于f ( 1)220,5a0.28解不等式組得 -5<a<5. 因此 0a 2 .（ 2）若 a>2，則 011（x）的變化情況如下表：a. 當 x 變化時， f (x),f2X1，011110，20aaa2f (x)+0-0+f(x)極大值極小值11f(-1)>0,5a >0,當 x2即82， 時， f （ x） >0 等價于112f(1-

18、2 >0.)>0,2aa解不等式組得2a5 或 a22. 因此 2<a<5.2綜合（ 1）和（ 2），可知 a 的取值范圍為 0<a<5.（ 21）本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、 兩點間的距離公式、 直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運算能力.滿分 14分.（）解：由 e= c3，得 3a24c2. 再由 c2a2b2 ，解得 a=2b.a2由題意可知 12a2b4 ，即 ab=2.2a2b,得 a=2， b=1.解方程組2,ab2所以橢圓的方程為xy21.4( )(i)解

19、：由（）可知點A 的坐標是（ -2,0 ） . 設(shè)點 B 的坐標為 (x1, y1 ) ，直線 l 的斜率為k.則直線 l 的方程為 y=k （x+2） .yk(x 2),于是 A、 B兩點的坐標滿足方程組x2y2消去 y 并整理，得1.4(1 4k 2 ) x216k 2 x(16k 24)0 .由2x116k24，得 x128k 2. 從而 y114k.14k 214k 24k22 2 8k 224k24 1 k 2所以 |AB|.14k 214k214k 2由|AB|4 2 ，得 4 1 k24 2 .514k 25整理得 32k 49k 2230 ，即 (k 21)(32k 223)0

20、，解得 k= 1.所以直線 l 的傾斜角為或 3 .44（ ii ）解：設(shè)線段AB的中點為 M，由（ i ）得到 M的坐標為8k 22 ,2k2.14k1 4k以下分兩種情況：（ 1）當 k=0 時，點 B 的坐標是（2,0 ），線段 AB的垂直平分線為y 軸，于是QA2,y0,QB2,y0.由QAQB4，得 y022 。（ 2）當 k0 時，線段 AB 的垂直平分線方程為y2k1x18k 2。14k 2k4k2令 x0 ，解得 y06k。14k 2由 QA2, y0， QB x , yy ，110QA QB 2 x1y0 y1y02 28k 26k4k6k14k 214k 214k214k24 16k 415k 214 ，14k 22整理得 7k 22。故 k14。所以 y0214。75綜上， y22 或 y214005（ 22）本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n 項和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法，滿分14 分。（ I）證明：由題設(shè)可知，a2a122 ， a3 a224 ， a4 a348 ， a5a4 4 12 ，a6 a5618 。從而