(完整word版)同濟(jì)上冊(cè)高數(shù)(一些重要公式及知識(shí)點(diǎn))

1、同濟(jì)上冊(cè)高數(shù)總結(jié)微分公式與積分公式2(arcsin x)1(tgx)sec x1x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(cscx)cscx ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1 x21( arcctgx )1(log a x)1x2x ln atgxdxln cosxCdx2tgx Csec xdxctgxdxln sin xCcos2 xdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcscxctgxdxcscxCa2x

2、2a arctg aCaxdxa xCdx1xaln aCx2a22alnashxdxchxCxdx1axCa2x22alnxchxdxshxCadxarcsin xCdxln( xx2a 2 )Ca2x2ax 2a22sin n xdx2cosnn1 I nI nxdx200nx2a2 dxxx2a2a 2ln( xx2a2 )C22x2a 2 dxxx2a2a 2 ln xx 2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函數(shù)的有理式積分：2u1u 2x， dx2dusin x2， cos xu2，u tg1 u21 u12兩個(gè)重要極限：公式 1 lim sin x

3、1公式 2 lim (1 x)1 / xex 0xx 0有關(guān)三角函數(shù)的常用公式和差角公式：和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2sinsin22三倍角公式 :半角公式：sin(3 )=3sin-4sin3( )sin( /2)=±(1- cos )/2cos(3 )=4cos3( -)3cos Cos( /2)=±(1+cos )/2降冪公式 :萬(wàn)能公式：s

4、in2( )=(1-cos(2 )/2=versin(2 )/2 sin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos2( )=(1+cos(2 )/2=covers(2cos)/2 =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan2( )=(1-cos(2 )/(1+cos(2 )tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)推導(dǎo)公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2 =2cos2 1-cos2 =2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2正弦定理：余弦定理：abcsin Asin B2Rsin Cc2a2b22

5、ab cosC反三角函數(shù)性質(zhì) ： arcsin xarccos xarctgxarcctgx22( 特別要注意這兩個(gè)恒等式，證明的話，只需做出左邊的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0 即可）高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：n(uv) ( n)Cnku (nk ) v(k)k 0u( n)vnu ( n 1) vn( n 1) u( n 2 ) vn(n 1) ( n k 1) u (n k ) v(k)uv (n)2!k!中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：柯西中值定理： f (b)F (b)f (b)f (a)F (a)f ( a)f ( )F ( )f ()(ba)當(dāng) F( x)x時(shí)，柯西中值

6、定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds1y 2 dx, 其中 ytg平均曲率：K.: 從 M 點(diǎn)到 M 點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；s： MM 弧長(zhǎng)。sM 點(diǎn)的曲率：Klimdy.sdss0(1 y2 3)直線： K 0;半徑為 a的圓： K1 .a定積分的近似計(jì)算：bb a ( y0f ( x)y1Lyn 1 )anbba1f ( x)yn )y1Lyn 1 n ( y0a2定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： W F s水壓力： FpA引力： Fk m1 m22 , k為引力系數(shù)rb函數(shù)的平均值： y1f ( x)dxb a ab均方根：1f 2 (t )dtba a微分方程的相關(guān)概念：一階微

7、分方程： yf (x, y)或P( x, y)dx Q(x, y)dy0可分離變量的微分方程 ：一階微分方程可以化 為g ( y)dy的形式，解法：f (x)dxg ( y)dyf (x)dx得： G( y)F (x) C稱(chēng)為隱式通解。齊次方程：一階微分方 程可以寫(xiě)成 dyf ( x, y)，即寫(xiě)成 y 的函數(shù)，解法：dx(x, y)x設(shè)y ，則 dydu，du(u)， dxdu分離變量，積分后將y 代替 ，uuxux(u) uuxdxdxdxx即得齊次方程通解。一階線性微分方程：1、一階線性微分方程： dyP(x) yQ ( x)dx當(dāng) Q( x)0時(shí) ,為齊次方程， yCeP( x)dx當(dāng)

8、 Q( x)0時(shí)，為非齊次方程，yP( x )dxP ( x )dx( Q (x)edxC ) e、貝努力方程： dyQ (x) yn，2P(x) y(n 0,1)dx全微分方程：如果 P(x, y) dx Q ( x, y) dy 0中左端是某函數(shù)的全微分方程，即：du (x, y)P( x, y) dx Q( x, y) dy 0，其中： uP( x, y)， uQ ( x, y)xyu( x, y)C應(yīng)該是該全微分方程的 通解。二階微分方程：2ydy， f ( x)時(shí)為齊次d0dx2P(x)dxQ( x) yf (x)時(shí)為非齊次f ( x)0二階常系數(shù)齊次線性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，其中 p, q為常數(shù)；求解步驟：、寫(xiě)出特征方程：)r2pr q，其中r2，的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)恰好是(*)式中y , y , y的系數(shù)；1(0r2、求出 ( )式的兩個(gè)根 r1 ,r23、根據(jù) r1 ,r2的不同情況，按下表寫(xiě)出(*) 式的通解：r1， r2的形式(*) 式的通解兩個(gè)不相等實(shí)根 (p240)yr1 xr2 xqc1ec2 e兩個(gè)相等實(shí)根 ( p 24q0)y(c1c2 x) er1 x一對(duì)共軛復(fù)根 ( p