多臺(tái)設(shè)備同時(shí)故障的最優(yōu)維修次序

1、數(shù)學(xué)建摸競賽論文題目：多臺(tái)設(shè)備同時(shí)故障的最優(yōu)維修次序 參賽人1： 姓名 xxx 學(xué)院 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院 班級(jí) 電氣071班 參賽人2： 姓名 xxx 學(xué)院 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院 班級(jí) 電氣071班 參賽人3： 姓名 xxx 學(xué)院 交通運(yùn)輸學(xué)院 班級(jí) 物流082班 論文編號(hào)： 多臺(tái)設(shè)備同時(shí)故障的最優(yōu)維修次序摘要本文是關(guān)于降低企業(yè)生產(chǎn)中經(jīng)濟(jì)損失的設(shè)計(jì)問題，即在生產(chǎn)中多臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障時(shí)的維修次序的優(yōu)化，在同樣的維修條件下，將經(jīng)濟(jì)損失降到最低。此題涉及到計(jì)算最小損失的問題，因此本文將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)組的形式，利用代數(shù)運(yùn)算求得最小值建立的數(shù)學(xué)模型。模型的建立是基于將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)式來求解，然

2、而復(fù)雜的代數(shù)式卻不能直接計(jì)算出所需結(jié)果，所以進(jìn)一步利用代數(shù)式化簡，將其轉(zhuǎn)換成分步比較的形式，觀察怎樣更接近實(shí)際問題所需要的結(jié)果。經(jīng)過分步比較得出最優(yōu)值，然后驗(yàn)證最優(yōu)值的合理性，若合理，則經(jīng)過分步比較所得的最優(yōu)值就是實(shí)際問題中所需要的結(jié)果。在建立此模型后，定義，經(jīng)過計(jì)算證明，當(dāng)Cn越小時(shí)，對(duì)應(yīng)的設(shè)備維修次序越靠前，因此計(jì)算出所有設(shè)備的Cn值，然后由小到大排列，對(duì)應(yīng)的設(shè)備排序就是最優(yōu)排序。題目中七臺(tái)設(shè)備的維修時(shí)間以及單位時(shí)間內(nèi)損失金額都已知，所以可以計(jì)算出Cn，然后從小到大排序，從而得出最優(yōu)的維修順序?yàn)椋?，5，6，3，1，4，7；最小經(jīng)濟(jì)損失為199.9萬元。在兩人維修的情況下，將設(shè)備分為兩組，

3、若維修次序最優(yōu)，則每組設(shè)備依然遵守Cn<Cn+1(n=1,2,3)，再將兩組間設(shè)備互換或者移動(dòng)，然后經(jīng)過互換或者移動(dòng)前后的對(duì)比就能使其更接近最優(yōu)排序，但依然不能確定其為最優(yōu)排序，利用將一臺(tái)設(shè)備分割為多臺(tái)設(shè)備的方法將其計(jì)算簡化，然后確定其將時(shí)間分段后的關(guān)系，各時(shí)間段的設(shè)備滿足Cn<Cn+1(n=1,2,3)，由此進(jìn)行排序。經(jīng)過分析推理，可以證明無論維修設(shè)備的數(shù)量有多少，一人維修的情況下最優(yōu)排序依然遵守Cn<Cn+1(n=1,2,3)，因此最優(yōu)維修次序都會(huì)計(jì)算出來。多臺(tái)設(shè)備同時(shí)故障的最優(yōu)維修次序1 問題的提出在企業(yè)生產(chǎn)中避免不了因生產(chǎn)設(shè)備的故障而造成的經(jīng)濟(jì)損失，為了將經(jīng)濟(jì)損失降到

4、最低程度，要求及時(shí)地對(duì)故障設(shè)備進(jìn)行維修，使其盡快地投入生產(chǎn)，但如果發(fā)生多臺(tái)設(shè)備同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)，由于維修工人的數(shù)量有限，就只能按照一定的次序進(jìn)行維修，由于不同設(shè)備停工給企業(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失不同，維修所需的時(shí)間也不同，所以設(shè)備的維修次序就很重要。不同的維修次序?qū)ζ髽I(yè)造成的經(jīng)濟(jì)損失是不同的。因此，如果出現(xiàn)多臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障，維修工人的數(shù)量少于受損設(shè)備數(shù)量時(shí)，就要尋求一種最優(yōu)的維修次序，把企業(yè)的經(jīng)濟(jì)損失降到最低?，F(xiàn)有七臺(tái)設(shè)備需要維修，分別求解在一人維修和兩人維修的最優(yōu)排序，并且將設(shè)備增加到n臺(tái)時(shí)，求在一人維修情況下的最優(yōu)排序。2 問題的分析在一名工人維修的情況下，盡可能地先維修單位時(shí)間內(nèi)損失較大的設(shè)備

5、，但由于維修的時(shí)間不等，維修單位時(shí)間內(nèi)損失較大的設(shè)備可能會(huì)需要大量的時(shí)間，因此需要進(jìn)一步的考慮。不妨嘗試將排序相鄰的設(shè)備進(jìn)行順序?qū)Q，若對(duì)換后的損失少于對(duì)換前，則將兩設(shè)備對(duì)換，否則不對(duì)換，這樣就使兩設(shè)備在相鄰情況下有最優(yōu)排序，現(xiàn)將每兩相鄰設(shè)備的對(duì)換前后進(jìn)行對(duì)比，使得它們的排序最優(yōu)，直到所有相鄰設(shè)備之間的排序都達(dá)到最優(yōu)，此時(shí)觀察和分析對(duì)換所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系，討論能否再進(jìn)行某種對(duì)換，如果不能，則所得的排序就是最優(yōu)的維修次序。在分析對(duì)換滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)兩相鄰設(shè)備的存在一定的關(guān)系，因此我們令Cn=( ALn為第Ln個(gè)維修設(shè)備的所需維修時(shí)間，BLn第Ln個(gè)維修設(shè)備停工一小時(shí)所造成的損失)，利用它

6、進(jìn)行分析求解。另外，一人維修的情況下可已將一臺(tái)設(shè)備分割為多臺(tái)設(shè)備來維修，兩者所得的差值可以計(jì)算出，因此在計(jì)算兩人維修的情況下，可以將設(shè)備分割成多個(gè)設(shè)備進(jìn)行計(jì)算，這樣便簡化了計(jì)算難度。3 模型假設(shè)與符號(hào)假設(shè)(1)每臺(tái)設(shè)備在預(yù)定的時(shí)間內(nèi)恰好完成維修；(2)每臺(tái)設(shè)備在維修完畢后都能正常運(yùn)行；(3)當(dāng)一臺(tái)設(shè)備維修完畢后，立即維修下一臺(tái)設(shè)備。Ln：維修次序的編號(hào)ALn：第Ln個(gè)維修設(shè)備的所需維修時(shí)間BLn：第Ln個(gè)維修設(shè)備停工一小時(shí)所造成的損失4 模型的建立每臺(tái)設(shè)備所需維修時(shí)間，以及停工每小時(shí)造成的損失已知，因此利用它們的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算。首先將各數(shù)值轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)表達(dá)式，即各設(shè)備的維修時(shí)間用正數(shù)集合A表示，各

7、設(shè)備停工單位時(shí)間所造成的損失金額用正數(shù)集合B表示，因此有A=a1，a2，a3a7和B=b1，b2，b3b7，A中的元素與B中的元素一一對(duì)應(yīng)，即an與bn相對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示：列號(hào)L1L2L3L4L5L6L7Aa1a2a3a4a5a6a7Bb1b2b3b4b5b6b7表1表1中AL1 =a1，BL1 =b1，第一臺(tái)設(shè)備的損失就為：AL1 BL1= a1 b1，在維修第一臺(tái)設(shè)備這段時(shí)間內(nèi)，各設(shè)備的損失總和為AL1(BL1+BL2+BL7)，因此在整個(gè)維修過程中各設(shè)備總損失為AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7，要解決設(shè)備的排序問題，就要求保持所有

8、的an與bn對(duì)應(yīng)關(guān)系不變，將數(shù)組A和數(shù)組B中的元素重新排序，使得S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7的值最小，此時(shí)的排列次序就是所要求解的設(shè)備最優(yōu)排列次序。5 模型的簡化與求解將問題轉(zhuǎn)換為求S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7的最小值，所得排列數(shù)組A和數(shù)組B的元素排序就是所要求解的設(shè)備最優(yōu)排列次序。但是S的最小值不易解出，因此需要進(jìn)一步的簡化，將A中相鄰兩元素進(jìn)行對(duì)換(B中所對(duì)應(yīng)的元素也隨之對(duì)換)，然后分別求出S值再進(jìn)行比較，這樣就能使其更接近最小值。5.1 一人維修時(shí)的簡化及其最優(yōu)排序的求解由

9、以上模型的建立，可以得出在任意的一種排序中：Sn=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn(BLn+BLn+1+BL7)+ALn+1(BLn+1+BL7)+AL7BL7，當(dāng)?shù)贚n列與Ln+1列對(duì)換后：Sn1=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn+1 (BLn+BLn+1+BL7)+ALn (BLn +BLn+2+BL7)+AL7BL7，則 SnSn1= AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn(BLn+BLn+1+BL7)+ALn+1(BLn+1+BL7)+AL7BL7AL1(BL1+BL

10、2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ALn+1 (BLn+BLn+1+BL7)+ALn (BLn +BLn+2+BL7)+ AL7BL7解得：SnSn1=ALn BLn+1ALn+1 BLnALn BLn+1ALn+1 BLn的結(jié)果有以下三種取值：1ALn BLn+1ALn+1 BLn=0即Sn=Sn1，則Sn與Sn+1同樣接近最小值，因此Ln與Ln+1對(duì)換前后的S值相同，所以不需要對(duì)換。此時(shí)由ALn BLn+1ALn+1 BLn=0可得：；2ALn BLn+1ALn+1 BLn<0即Sn< Sn1，則Sn更接近最小值，因此Ln與Ln+1對(duì)換前的S更接近最小值，所以不需

11、要對(duì)換。此時(shí)由ALn BLn+1ALn+1 BLn<0可得：； 3ALn BLn+1ALn+1 BLn>0即Sn> Sn1時(shí)，則Sn1更接近最小值，因此對(duì)換后的S更接近最小值，所以對(duì)換前的排序必定不是最優(yōu)排序，只有排序后才能使其接近最小值。此時(shí)由ALn BLn+1ALn+1 BLn>0得：由以上推理可知，如果第Ln列與Ln+1列的元素有關(guān)系時(shí)，則這種排序所得的S必定不是最小值，因而當(dāng)S取最小值時(shí)第Ln列與Ln+1列的元素必滿足：；所以當(dāng)S取最小值時(shí)，；當(dāng)所有的都不相等時(shí)，則，因此只有一種排序；當(dāng)其中有一項(xiàng)或者多項(xiàng)的值等于其后一項(xiàng)的值時(shí)：由于可得出Sn=Sn1，因此不論他

12、們相鄰之間如何排列，所得的S值都相同，從而它們的排序都是最優(yōu)排序?，F(xiàn)將七臺(tái)設(shè)備進(jìn)行排序，即求出Cn=，如表2所示：編號(hào)1234567A58784913B0.61.81.20.80.81.71.0Cn8.334.445.831055.2913表2由表2可以得出：C2<C5<C6<C3<C1<C4<C7；因此最優(yōu)的維修排序?yàn)椋?，5，6，3，1，4，7；將此排序下的各設(shè)備參數(shù)代入S=AL1(BL1+BL2+BL7)+AL2(BL2+BL3+BL7)+ AL7BL7；計(jì)算出最小經(jīng)濟(jì)損失S=199.9(萬元)。5.2 將各設(shè)備分割為多臺(tái)設(shè)備的求解過程假設(shè)保持設(shè)備的最

13、優(yōu)的維修排序不變，將每一臺(tái)設(shè)備都分割為若干個(gè)設(shè)備，這些設(shè)備所需維修時(shí)間都為一小時(shí)，即將第n個(gè)設(shè)備分為ALn個(gè)設(shè)備，每個(gè)分割后的設(shè)備停工單位時(shí)間所造成的損失為，例如將2號(hào)設(shè)備分割成8個(gè)設(shè)備，每一臺(tái)設(shè)備停工單位時(shí)間所造成的損失為1.8/8，如此將所有設(shè)備共分為(AL1+AL2+AL3+ALn)個(gè)設(shè)備，下面分析分割后與分割前的區(qū)別。分割之后，在每一小時(shí)結(jié)束后都有設(shè)備投入運(yùn)行，當(dāng)這ALn個(gè)設(shè)備都維修完畢后，它們都投入運(yùn)行，此時(shí)與分割前的運(yùn)行相同。而分割前只有在ALn小時(shí)后設(shè)備才能投入運(yùn)行，因此分割后減少了一部分損失，下面求解減少的損失：將第n個(gè)設(shè)備分為ALn個(gè)設(shè)備，則各設(shè)備備停工單位時(shí)間所造成的損失為

14、，分割后每臺(tái)設(shè)備工作時(shí)間如圖1所示。圖1 設(shè)備的分割示意圖由圖1可以看出分割后的第一臺(tái)設(shè)備挽回的損失為(ALn1 )×，第二臺(tái)設(shè)備挽回的損失為(ALn2)×，第ALn1個(gè)設(shè)備挽回的損失為1×，因此它們挽回的損失之和為：S1=(ALn1 )×+(ALn2)×+2×+1×解得S1=(ALn1 )BLn；則將所有設(shè)備進(jìn)行分割后，損失金額的減少量為：S=(AL11 )BL1 +(AL21 )BL2 +(ALn1 )BLn因?yàn)镾是定值，因此無論設(shè)備的排序如何，S的值都不變，且分割后的設(shè)備之間也滿足，因此此排序依然最優(yōu)。當(dāng)把設(shè)備再分割為

15、無窮臺(tái)或者任意臺(tái)數(shù)時(shí)，依然比分割前的損失減少一定值，也可以將設(shè)備分割維修看作是多臺(tái)設(shè)備同時(shí)維修，各設(shè)備維修結(jié)束時(shí)間點(diǎn)不同罷了，現(xiàn)在可以理解兩人同時(shí)維修設(shè)備時(shí)的情形，當(dāng)一人維修完一臺(tái)設(shè)備時(shí)，另一人還在維修，若將兩人維修合并成一人維修的情形，然后計(jì)算就比較簡單。5.3 設(shè)備的分割與多人維修的聯(lián)系由一人維修的最優(yōu)排序可以得出Cn=越小的設(shè)備排序越靠前，現(xiàn)在令Pn=，則Pn越大時(shí)維修的次序越靠前，而，其含義是維修設(shè)備的效率(也可以看作是減少損失的效率)。若有等式S=P1t1+P2t2+P3t3+Pntn，0<t1< t2< t3<< tn， tn為定值，P1,P2,P3,

16、Pn的關(guān)系不確定，即Pn>Pn+1或Pn+1>Pn不確定，要使得S最小，則P1,P2,P3,Pn應(yīng)滿足P1>P2>P3>>Pn，下面給以證明：令P1>P2，t1< t2，x= P1t1+P2t2，y= P1t2+P2t1；則 x= (P1+ P2) t1+P2(t2-t1)，y= (P1+ P2) t1+P1(t2-t1)；所以 x-y= (P2- P1) (t2-t1)<0，因此x更接近最小值。由以上推理可以說明，工人維修時(shí)先選擇維修效率較高的設(shè)備，即Pn較大的設(shè)備，兩人同時(shí)維修時(shí)將兩臺(tái)設(shè)備的P相加，因此就可以進(jìn)行排序。5.4 兩人同時(shí)維

17、修的最優(yōu)排序現(xiàn)有工人1和工人2同時(shí)維修這些設(shè)備時(shí)間設(shè)備分為1，2兩組，要求他們的排序最優(yōu)，則每一組中的設(shè)備都是最優(yōu)排序，即第一組設(shè)備滿足P11 P12 P1n，第二組設(shè)備滿足P21P22P2n，如圖表3所示為兩工人維修設(shè)備的次序組號(hào)L1L2L3Ln1P11P12P13P1n2P21P22P23P2n表3現(xiàn)將兩組設(shè)備都分割成多個(gè)設(shè)備，即每小時(shí)都有一個(gè)設(shè)備完成維修，因此將兩工人的維修合并，則合并后的設(shè)備依然滿足；如圖2所示合并后P1=P11+P21，P2= P21+P12，即各段的P值等于此時(shí)間段內(nèi)兩設(shè)備的P之和。圖2 各時(shí)間段的P值分布按照P1>P2>P3>>Pn的原則進(jìn)

18、行排序，可以利用一人維修時(shí)的排序2，5，6，3，1，4，7；因?yàn)镻2>P5>P6>P3>P1>P4>P7；先將2號(hào)設(shè)備和5號(hào)設(shè)備排列到最前，然后當(dāng)有一人完成維修時(shí)，就選擇6號(hào)設(shè)備，直到將所有設(shè)備排列完畢。排序后計(jì)算出兩工人各需要的維修時(shí)間，各設(shè)備之間的關(guān)系如圖3所示：圖3 第一次排序示意圖由于工人1需要維修23小時(shí)，而工人2需要維修31小時(shí)，在工人1維修完畢后工人2還需維修8小時(shí)，現(xiàn)討論設(shè)備4和設(shè)備7的關(guān)系，分析整個(gè)排序是否達(dá)到最優(yōu)：4號(hào)設(shè)備與7號(hào)設(shè)備的順序僅有兩種排序，它們維修時(shí)間差為一定值，若時(shí)間差為t，則它們對(duì)整個(gè)排序造成的損失差為：(b7-b4)t，

19、由于b7>b4，因此將7號(hào)設(shè)備與4號(hào)設(shè)備調(diào)換后損失更小。然后還需要將每兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)后的單位時(shí)間停工造成的損失金額相加后比較，按照4號(hào)設(shè)備與7號(hào)設(shè)備的交換原則對(duì)換，經(jīng)過對(duì)換，調(diào)整后的次序如圖4所示。圖4 兩人維修的最優(yōu)排序調(diào)整后兩工人的維修時(shí)間分別為28，26小時(shí)；維修時(shí)間得到了縮短，此時(shí)的排序?yàn)樽顑?yōu)排序，所有設(shè)備的排序?yàn)椋?(5)，6，3，1，7，4；工人1的維修順序?yàn)椋?，3，7；工人2的維修順序是：5，6，1，7。5.5 一人維修多臺(tái)設(shè)備的推理及計(jì)算現(xiàn)要求在一人維修n臺(tái)設(shè)備的前提下進(jìn)行排序，由以上得證，只要設(shè)備的所需維修時(shí)間和停工單位時(shí)間所造成的損失已知就可以很容易地排出它們的維修次序

20、，即將各設(shè)備的所需維修時(shí)間除以停工單位時(shí)間所造成的損失，所得結(jié)果從小到大進(jìn)行排序，所對(duì)應(yīng)的設(shè)備編號(hào)順序就是最優(yōu)的維修次序。為了計(jì)算方便，利用計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行運(yùn)算，程序列表如下：#include<iostream>using namespace std;int main()double a21000,b21000,p,q;int i,j,m,n;cout<<" 一名工人的維修次序"<<endl;cout<<endl;cout<<"說明:請(qǐng)按機(jī)器編號(hào)依次輸入維修所需時(shí)間(小時(shí))和停工造成的損失(萬元/小時(shí))，&

21、quot;<<endl;cout<<endl;cout<<"然后輸入一個(gè)負(fù)數(shù)結(jié)束。"<<endl;cout<<endl;cout<<endl;for(i=0;i<1000;i+)cout<<"輸入第"<<i+1<<"臺(tái)設(shè)備維修所需時(shí)間(小時(shí)) :"cin>>a0i;if(a0i<=0)break;cout<<"輸入第"<<i+1<<"臺(tái)設(shè)備停工造成的損失(萬元/小時(shí)