無愧為思維的“體操”彰顯新的課程理念——記一道中考題的多種解法

1、無愧為思維的“體操”，彰顯新的課程理念記一道中考題的多種解法安徽省安慶市宜秀區(qū)五橫初中 戴向陽郵246051 手題目】 （蘭州中考） 已知邊長為4的正方形 E A F 截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE M P （如圖1所示），其中AF=2，BF=1。 B 試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM 有最大面積。 D N C 筆者從不同角度對(duì)該題作了有效探索，總結(jié)出如下五種解法，以饗讀者并與讀者共勉之。 從相似角度尋找DN、PN間關(guān)系 圖1 欲求矩形PNDM的面積，須找到PN與DN間的關(guān)系式，而圖形中隱藏著大量的三角形相似，所以可嘗試通過三角形相似，建立DN與PN間等量關(guān)系。

2、解法1：如圖1所示，令DN=x，PN=y，矩形PNDM面積為S， E A F 并延長MP交BF于G點(diǎn)。則有PBGABF，PG=4-x ， M P GBG=y-3 。 BGPG=BFAF，即（y-3）（4-x）=12 ， B y=-0.5x+5 ，S=xy=-0.5x2+5x（2x4），此二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=5 。當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對(duì)2x4來說，當(dāng)x=4時(shí) D N C ，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 圖1 從函數(shù)概念角度思考 。 A 若令DN=x，NP=y，矩形PNDM面積為S。很明顯 M P 當(dāng)x變化時(shí)，y也隨著變

3、化。所以y是x的函數(shù)。 B 那么y是x的什么函數(shù)呢？由于P點(diǎn)在直線AB上，因此y是x的一次函數(shù)。于是S=xy必是x的二次函數(shù)。再利用P點(diǎn)的三個(gè)特位置，問題便順利解決。 D N 解法2：如圖2所示建立直角坐標(biāo)系，設(shè)矩形PNDM面積 圖2 為S。因P點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，令P（x，y），則y是x的一次函數(shù)。于是S=xy，顯然S是x的二次函數(shù)，不妨設(shè)S= ax2+bx+ c 。當(dāng)P點(diǎn)在A點(diǎn)（即x=2）時(shí)，S=2×4=8；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)（即x=4）時(shí)，S=4×3=12；當(dāng)P點(diǎn)在AB的中點(diǎn)（即x=3）時(shí)，S=3×3.5=10.5 。從而有： 4a+2b+c=8 a= -0.5

4、16a+4b+c=12 解得 b=5 所以S=-0.5x2+5x（2x4）， 9a+3b+c=10.5 c=0 此二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=5 。當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對(duì)2x4來說，當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 從選擇合理坐標(biāo)系建立函數(shù)模型來思考 因矩形PNDM的面積與DN、PN有關(guān)，即與直線AB上P點(diǎn)有關(guān)，而直線AB對(duì)應(yīng)于一次函數(shù)，所以只要建立適當(dāng)坐標(biāo)系，矩形的長與寬間的一次函數(shù)關(guān)系便明確了。從而有了如下解法： 解法3，如圖2所示建立直角坐標(biāo)系，則有A（2，4）、B（4，3），于是AB的解析式為y=-0.5x+

5、5 ,故令DN=x時(shí)，DM=-0.5x+5 。若設(shè)矩形PNDM面積為S，于是S=x（-0.5x+5）=-0.5x2+5x（2x4），此二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=5 。當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對(duì)2x4來說，當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 從面積關(guān)系審視 因本題與面積相關(guān)，而圖形中存在大量的面積，所以不妨從圖形間面積關(guān)系，來尋找矩形PNDM的長與寬之間聯(lián)系，打開問題思路。 解法4：如圖3所示，設(shè)DN=x，PN=y，矩形PNDM面積為S，根據(jù)：矩形PNDM面積=矩形FCDE面積-梯形EAPM-梯形BCNP-AFB面積 E

6、A F 有：xy=16-0.5（x+2）（4-y）-0.5（y+3）（4-x）-1 M P經(jīng)整得y=-0.5x+5 。從而S=xy=-0.5x2+5x（2x4）， B 此二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=5 。當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對(duì)2x4來說，當(dāng)x=4時(shí)，S有最大值，S最大=-0.5×42+5×4=12 。 D N C 從整體上考慮 圖3 上述4種解法都是通過兩大步完成的，先確定y與x關(guān)系式（或函數(shù)關(guān)系），再探索S與x之間函數(shù)關(guān)系，從而解決問題。那么，是否有一種直接確定S與x之間函數(shù)關(guān)系的方法呢？回答是肯定的： 解法5，如圖4所示，延長BA交DE延長線于

7、H點(diǎn)， H令DN=x，PN=y，矩形PNDM面積為S，易得EH=BF=1，EA=2， E A F HEA面積=0.5×2×1=1，HMP面積=0.5×HM×PM= M P 0.5（1+4-y）x=0.5（5-y）x 。根據(jù)面積比等于 B 相似比有： EA2MP2=10.5（5-y）x ，即4x2=10.5（5-y）x 10x-2xy=x2 xy=-0.5x2+5x ，故有： D N C S=xy=-0.5x2+5x（2x4） 圖4 此二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x=5 。當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)的值是隨x的增大而增大，對(duì)2x4來說，當(dāng)x=4時(shí)， S有最大值，

8、S最大=-0.5×42+5×4=12 。 不難明白，這是一道訓(xùn)練思維、考察思維能力的好題。既有常規(guī)解法1，又有獨(dú)特的奇思妙想25。每一解法的思維方法都別出心裁，且超越了解法1。解法2體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念深刻理解，解法3體現(xiàn)學(xué)生對(duì)直角坐標(biāo)系工具作用的深切體會(huì)與靈活駕馭的技巧，解法4表現(xiàn)了學(xué)生在看似無關(guān)的事物中把握內(nèi)在聯(lián)系的能力，解法5反映出學(xué)生對(duì)問題整體構(gòu)思，運(yùn)用整體思想觀念考慮、處理問題的能力。喻其為“思維的體操”，當(dāng)之無愧！ 解法1是中考試卷提供的參考答案，一方面它既考查了相似三角形、二次函數(shù)等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用的能力；另一方面它又考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，檢測(cè)了學(xué)生抽象思維和形象思維品質(zhì)。然而這道題目的亮點(diǎn)，又遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了命題專家的初衷?？少F之處在于：它的解法是開放的，思維的視角是多樣的，數(shù)學(xué)思想方法是富饒的。該題有利于考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造性思維