離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望

1、【知識(shí)點(diǎn)】1 .n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同的條件下，重復(fù)地做n次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立2 .n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：一般地，事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生k次，其有C：種情形，由試驗(yàn)的獨(dú)立性知A在k次試驗(yàn)中發(fā)生，而在其余nk次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率都是pk(1p)nk,所以由概率加法公式知，如果在一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事彳A恰好發(fā)生k次的概率為Pn(k)C：pk(1p)nk(k0,1,2,.n).3 .二項(xiàng)分布：在上公式中，若將事件A發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X,事件A不發(fā)生的概率為q1p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率是P(Xk)C：pkqnk.其中k0,

2、1,2,.n.于是得到X的分布列X01.k.nP.各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，所以稱這樣的離散型隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作XB(n,p).4 .離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值是x1,x2,.,xn,這些對(duì)應(yīng)的概率是p1,p2,.,pn,則E(X)x1Plx2P2.xnpn叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.5 .二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望：E(x)np【經(jīng)典例題】【例1】在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取200個(gè)樣品，并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下.根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí)，其中壽命大于或等于500天的燈泡是優(yōu)等品，壽

3、命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.壽命(天)頻數(shù)頻率100,200)200.10200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,600)500.25合計(jì)2001(I)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出(H)某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購(gòu)買了a,b的值；n(n N )個(gè)，如果這個(gè)燈泡的等級(jí)情況恰好與按三個(gè)等級(jí)分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值;3(出)某人從這個(gè)批次的燈泡中隨機(jī)地購(gòu)買了3個(gè)進(jìn)行使用，若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購(gòu)買的燈泡中次品的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.1、【答案】(I)解：a0.15,b30.(n)解：由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品

4、有50個(gè)，正品有100個(gè)，次品有50個(gè),所以優(yōu)等品、正品和次品的比例為50:100:501:2:1.所以按分層抽樣法，購(gòu)買燈泡數(shù)nk2kk4k(kN),所以n的最小值為4.(出)解：X的所有取值為0,1,2,3.由題意，購(gòu)買一個(gè)燈泡，且這個(gè)燈泡是次品的概率為5,從本批次燈泡中購(gòu)買3個(gè)，可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以P(X0)C3(1 1)32764'【例2】甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行籃球三分球投籃比賽，甲每次投中的概率為x11227p(X1)C3-(1-)24464P(X2)C2(1)2(11)194464P(X3)C3(1)33.4641一,乙每次投中的,1一概率為1,每人

5、分別進(jìn)行三次投籃.2(I)記甲投中的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E(n)求乙至多投中2次的概率;(m)求乙恰好比甲多投進(jìn)2次的概率.0,1,2,32.【答案】解：(I)的可能取值為：32P(0)C02親P(1)C3124；327339232122311P(2)C3-；P(3)C3-339327的分布列如下表:Lc84c2c1E01231.279927317(n)乙至多投中2次的概率為1c；-.28(出)設(shè)乙比甲多投中2次為事件A,乙恰投中2次且甲恰投中0次為事件B1，乙恰投中3次且甲恰投中1次為事件B2,則ABB2,B1,B2為互斥事件.P(A)P(B1)P(B2)A3411.278986所以

6、乙恰好比甲多投中2次的概率為1.6【例3】某商場(chǎng)一號(hào)電梯從1層出發(fā)后可以在2、3、4層?？?已知該電梯在1層載有4位乘客,假設(shè)每位乘客在2、3、4層下電梯是等可能的.(I)求這4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的概率；(n)用X表示4名乘客在第4層下電梯的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.3【答案】解：(I)設(shè)4位乘客中至少有一名乘客在第2層下電梯的事件為A,由題意可得每位乘客在第2層下電梯的率都是-,3則 P(A) 1 P(A) 14265381(n)X的可能取值為0,1,2,3,4【易錯(cuò)題】【例1】經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，人們長(zhǎng)期食用含高濃度甲基汞的魚類會(huì)引起汞中毒，其中羅非魚體內(nèi)汞含量比其它魚偏高.

7、現(xiàn)從一批數(shù)量很大的羅非魚中隨機(jī)地抽出15條作樣本，經(jīng)檢測(cè)得各條魚的汞含量的莖葉圖(以小數(shù)點(diǎn)前的數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字為葉)如下：羅非魚的汞含量(ppmj)01235567889135567中華人民共和國(guó)環(huán)境保護(hù)法規(guī)定食品的汞含量不得超過1.0ppm.(I)檢查人員從這15條魚中，隨機(jī)抽出3條，求3條中恰有1條汞含量超標(biāo)的概率；的分布列及數(shù)學(xué)期望E .(n)若從這批數(shù)量很大的魚中任選3條魚，記表示抽到的汞含量超標(biāo)的魚的條數(shù).以此15條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這批數(shù)量很大的魚的總體數(shù)據(jù)，求1.【答案】解：(I)記“15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標(biāo)”為事件A,則_12_C5C1045P(A)5

8、；10C3591，4515條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標(biāo)的概率為51P(B)一 ，15 391(n)依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標(biāo)的魚的概率可能取0,1,2,3.32則p(0)c011,p(1)c3111-,327339232112311P(2)C1-1-P(3)C33-339327其分布列如下:0123P842127fT99278421E01231所以279927,并將所得數(shù)據(jù)繪制【例2】某學(xué)校隨機(jī)抽取部分新生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間（單位：分鐘）成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時(shí)間的范圍是0,100,樣本數(shù)據(jù)分組為0,20）,20,40),40,60),60,80),80,10

9、0.（I）求直方圖中x的值；（n）如果上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，請(qǐng)估計(jì)學(xué)校600名新生中有多少名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿；（出）從學(xué)校的新生中任選4名學(xué)生，這4名學(xué)生中上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（以直方圖中新生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的頻率作為每名學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率）2、【答案】解：（I）由直方圖可得:20x0.025200.0065200.0032201.所以x=0.0125.(n)新生上學(xué)所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為：0.0032200.12，因?yàn)?000.1272,所以600名新生中有72名學(xué)生可以申請(qǐng)住宿.（出）X的可能

10、取值為0,1,2,3,4.由直方圖可知，每位學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間少于20分鐘的概率為1,44381P(X 0)42563i1327P(X1)C44464-2 13P(X 2) C2 -44-7,P(X3)C4-12844364411P(X4)4256所以X的分布列為:X01234p8127273125664128642568127EX0125664227128364412561.(或EX4141)所以X的數(shù)學(xué)期望為1.例3國(guó)家對(duì)空氣質(zhì)量的分級(jí)規(guī)定如下表:污染指數(shù)05051100101150151200201300300仝氣質(zhì)里優(yōu)良輕度污染P中度污染重度污染嚴(yán)重污染某市去年6月份30天的空氣污染指數(shù)

11、的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)如下:3414018731212104045782365792078160421013816315422273615149103135201648根據(jù)以上信息，解決下列問題:(I)寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值；(n)某人計(jì)劃今年6月份到此城市觀光4天，若將(I)中的頻率作為概率，他遇到空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的天數(shù)用X表示，求X的分布列和均值EX.頻率分布表分組頻數(shù)頻率0,501471550,100ax100,150516150,200by200,2502115合計(jì)3013.解：(I)a6,b3,x-,y510(n)由題意，該市4月份空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的概率為p=122,318,38

12、115534n1112p(x0)c0,p(x1)c43813P(X 2) C232318,P(X3)C3213232733814P(X4)C：381X的分布列為：X0m234P18188182732811681228XB(4,-),EX4-333【例4】某市規(guī)定，高中學(xué)生三年在校期間參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格.教育部門在全市隨機(jī)抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段75,80,80,85,85,9090,95,95,100(單位：小時(shí))進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示.(I)求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)，并估計(jì)從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其

13、參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率；(n)從全市高中學(xué)生(人數(shù)很多)中任意選取3位學(xué)生，記為3位學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的人數(shù).試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望E服務(wù)時(shí)間/小時(shí)4 .【答案】解：（I）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間段90,95小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為2000.060560（人），參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在時(shí)間段95,100小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為2000.020520（人）.所以抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為80人.所以從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的概率估計(jì)為P60208022002005.（n）由（I）可知，從全市高中

14、生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的，2概率為.5(3)35412527； 12536125 '8125由已知得，隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2,3.所以P(0)C0(2)052132P(1)C3(-)(-)55P(2)C32(2)2(3)155P(3)C；(2)3(3)055隨機(jī)變量的分布列為_2因?yàn)?B(3,5)【課后測(cè)試】1.乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝,比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同（I）求甲以4比1獲勝的概率；（n）求乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率;（出）求比賽局?jǐn)?shù)的分布列.1.【答案】（I）

15、解：由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是記“甲以4比1獲勝”為事件A,則P嗎3（1）4彳8（n）解：記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.因?yàn)?，乙?比2獲勝的上率為Rc3(i)3(i)53-,22232乙以4比3獲勝的上率為P2c6(i)3(i)63-,22232.5所以P(B)RP25i6（出）解：設(shè)比賽的局?jǐn)?shù)為X,則X的可能取值為4,5,6,7.P(X4)2c4(1)4；28P(X5)2c4(；)3(i)433；22243J3,1、52i5P(X6)2c5(二)(二)-,222i6p（x7）2c6（2）3（r2得比賽局?jǐn)?shù)的分布列為：2.張先生家住H小區(qū)，他在C科技園區(qū)工

16、作，從家開車到公司上班有L, L2兩條路線（如圖）Li路線上有 A,A三個(gè)路口，各路i口遇到紅燈的概率均為1L2路線上有Bi，與兩個(gè)路口，各路口遇Ai同LiCB2到紅燈的概率依次為（I）若走Li路線,求最多 遇到i次紅燈的概率; （H）若走L2路線,求遇到紅燈次數(shù) X的數(shù)學(xué)期望;（出）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請(qǐng)你幫助張先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由.X456_7Pi8i45i65i62、【答案】解:(I)設(shè)走Li路線最多遇到1次紅燈為A事件，則P(A)=C3(2)3C31(2)221所以走L1路線，最多遇到1次紅燈的概率為一2(n)依題意，X的可能取值為0,

17、1,2331P(X=0)=(1)(1-),451033339P(X=1)=-(1-)(1-)-454520339P(X=2)=1EX 0104520X012111199P102020隨機(jī)變量X的分布列為:2020209.9c27121(出)設(shè)選擇L2路線遇到紅燈次數(shù)為Y,隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，Y:B(3,-),2因?yàn)镋XEY,所以選擇L2路線上班最好.3.為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨(dú)比賽”.比賽成績(jī)共有90分,70分,60分,40分,30分五種,按本次比賽成績(jī)共分五個(gè)等級(jí).從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，并把他們的比賽成績(jī)按這五個(gè)等級(jí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)表：

18、成績(jī)等級(jí)ABCDE成績(jī)（分）9070604030人數(shù)（名）461073（I）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試估計(jì)從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A或B”的概率；（n）根據(jù)（I）的結(jié)論，若從該地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生（參賽人數(shù)很多）中任選3人，記X表示抽到成績(jī)等級(jí)為“A或B”的學(xué)生人數(shù),求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX;（出）從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，求“這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分”的概率.3、【答案】解：（I）根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，從這30名學(xué)生中任選一人，分?jǐn)?shù)等級(jí)為“A或B”的頻率為3030303“1從本地區(qū)小學(xué)生中任意抽取一人，其“數(shù)獨(dú)比賽”分?jǐn)?shù)等級(jí)為“A或B”的概

19、率約為-3（n）由已知得，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.斫以 PIYp 0 / _0/238 . p/ V p 1 /_1/_2P(X0) C3( )( )； P(X1) C3( )( )332733-2 1 22 1P(X 2) C3(3) (3)272 ； P(X 3) C393(l)0124一 ；279127（出）設(shè)事件M:從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于 20分.設(shè)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，記其比賽成績(jī)分別為 m, n.顯然基本事件的總數(shù)為C30.30不妨設(shè)mn,當(dāng)m90時(shí)，n60或40或30,其基本事件數(shù)為c4（Cwc7c3）;當(dāng)m70時(shí)，n40或

20、30,其基本事件數(shù)為C；（C；C3）；當(dāng)m60時(shí)，n30,其基本事件數(shù)為C110c3；所以P（M）87c4(c；C；c3)c6(c7c3)c；°c334C3034所以從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個(gè)人的成2之差大于20分的概率為一87n(n N )個(gè)，如果這個(gè)燈泡的等級(jí)情況恰好與按三.個(gè)等級(jí)分層抽樣所得的結(jié)果相同，求n的最小值;4.在某批次的某種燈泡中，隨機(jī)地抽取200個(gè)樣品，并對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查，將結(jié)果列成頻率分布表如下.根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí)，其中壽命大于或等于500天的燈泡是優(yōu)等品，壽命小于300天的燈泡是次品，其余的燈泡是正品.壽命(天)頻數(shù)頻率

21、100,200)200.10200,300)30a300,400)700.35400,500)b0.15500,600)500.251合計(jì)2001(I)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù)，寫出(H)某人從燈泡樣品中隨機(jī)地購(gòu)買了a,b的值；(出)某人從這個(gè)批次的燈泡中隨機(jī)地購(gòu)買了3個(gè)進(jìn)行使用，若以上述頻率作為概率，用X表示此人所購(gòu)買的燈泡中次品的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.4 .【答案】(I)解：a0.15,b30.(n)解：由表可知：燈泡樣品中優(yōu)等品有50個(gè)，正品有100個(gè)，次品有50個(gè)，所以優(yōu)等品、正品和次品的比例為50:100:501:2:1.所以按分層抽樣法，購(gòu)買燈泡數(shù)nk2kk4k(kN),所以

22、n的最小值為4.(出)解：X的所有取值為0,1,2,3.由題意，購(gòu)買一個(gè)燈泡，且這個(gè)燈泡是次品的概率為5,從本批次燈泡中購(gòu)買3個(gè)，可看成3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以P(X0)C3 (1 1)3P(X 1)c3P(X 2)C21- i4(4)(1 1)24P(X 3) C3 (4)3(1 1)141.6427豆2764 '964所以隨機(jī)變量X的分布列為:0123276427649641642727913所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)0271272_3_6464646445 .為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨(dú)比賽”.比賽成績(jī)共有90分,70分,60分,40分,30

23、分五種，按本次比賽成績(jī)共分五個(gè)等級(jí).從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，并把他們的比賽成績(jī)按這五個(gè)等級(jí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)表：成績(jī)等級(jí)ABCDE成績(jī)(分)9070604030人數(shù)(名)461073(I)根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，試估計(jì)從本地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生中任意抽取一人，其成績(jī)等級(jí)為“A或B”的概率；(n)根據(jù)(I)的結(jié)論，若從該地區(qū)參加“數(shù)獨(dú)比賽”的小學(xué)生(參賽人數(shù)很多)中任選3人，記X表示抽到成績(jī)等級(jí)為“A或B”的學(xué)生人數(shù)，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望EX;(出)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，求“這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分”的概率.6 .【答案】解:(I)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知，從這

24、30名學(xué)生中任選一人，分?jǐn)?shù)等級(jí)為“A或Br303031從本地區(qū)小學(xué)生中任意抽取一人，其“數(shù)獨(dú)比賽”分?jǐn)?shù)等級(jí)為“A或B”的概率約為13(n)由已知得，隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.124一 ；2791.27010238i1i22所以P(X0)C3(3)(3)27;P(X1)C3(3)(-)_21221623132。P(X2)C3(3)(3)279;P(X3)C3(3)(3)(出)設(shè)事件M：從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個(gè)人的成績(jī)之差大于20分.設(shè)從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，記其比賽成績(jī)分別為m,n.顯然基本事件的總數(shù)為C30.30不妨設(shè)mn,當(dāng)m90時(shí)，n60或40或30,其基

25、本事件數(shù)為c4(C110C；c3);當(dāng)m70時(shí)，n40或30,其基本事件數(shù)為C：(C；C；);當(dāng)m60時(shí)，n30,其基本事件數(shù)為C110c3；所以P(M)87c：(C；c；c3)c6(c7c3)C10c334C32034所以從這30名學(xué)生中，隨機(jī)選取2人，這兩個(gè)人的成2之差大于20分的概率為一87【課后作業(yè)】1 .某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈1的概率都是1,遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min。3(I)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；(n)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望。2 .為保護(hù)水資源，宣傳節(jié)約用

26、水，某校4名志愿者準(zhǔn)備去附近的甲、乙、丙三家公園進(jìn)行宣傳活動(dòng)，每名志愿者都可以從三家公園中隨機(jī)選擇一家，且每人的選擇相互獨(dú)立.(I)求4人恰好選擇了同一家公園的概率；(n)設(shè)選擇甲公園的志愿者的人數(shù)為X,試求X的分布列及期望.3 .為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合11格的概率為1,第二輪檢測(cè)不合格的概率為,兩輪檢測(cè)是否合格相互沒有影響.610(I)求該產(chǎn)品不能銷售的概率；(n)如果產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品可獲利40元；如果產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元(即獲利80元

27、).已知一箱中有產(chǎn)品4件，記一箱產(chǎn)品獲利X元，求X的分布列，并求出均值EX3、【答案】解：(I)記“該產(chǎn)品不能銷售”為事件A,則111P(A)1(1)(1)6104、八，1所以，該產(chǎn)品不能銷售的概率為4(n)由已知，可知X的取值為320,200,80,40,160.1,1.1.33P(X320)(1)4,P(X200)C4匕)3-,42564464212322T313327P(X80)C2(/(3)2訪P(X40)C37(Z)3P(X160)(3)4-81.4256所以X的分布列為X3202008040160P1256364巴12827648125611272781cEX32020080401

28、604025664128642564.某市為了提升市民素質(zhì)和城市文明程度，促進(jìn)經(jīng)濟(jì)發(fā)展有大的提速，對(duì)市民進(jìn)行了“生活滿意”度的調(diào)查.現(xiàn)隨機(jī)抽取40位市民，對(duì)他們的生活滿意指數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下分布表：滿意級(jí)別非常滿意不滿意滿意指數(shù)（分）9060300人數(shù)（個(gè)）151762（I）求這40位市民滿意指數(shù)的平均值；（II）以這40人為樣本的滿意指數(shù)來估計(jì)全市市民的總體滿意指數(shù)，若從全市市民（人數(shù)很多）中任選3人，記表示抽到滿意級(jí)別為“非常滿意或滿意”的市民人數(shù).求的分布列；（III）從這40位市民中，先隨機(jī)選一個(gè)人，記他的滿意指數(shù)為m,然后再隨機(jī)選另一個(gè)人，記他的滿意指數(shù)為n,求nm60的概率.

29、4 .解：（I）記X表示這40位市民滿意指數(shù)的平均值，則一1X（9015601730602）63.75（分）40（n）的可能取值為0、1、2、3.的分布列為12P（出）設(shè)所有滿足條件的事件為A滿足的事件數(shù)為：A21A1734滿足的事件數(shù)為：A21A1530滿足的事件數(shù)為：A61A1590P(A)34 30 9077780所以滿足條件的事件的概率為77780每次抽獎(jiǎng)都從裝有 4個(gè)紅5 .某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購(gòu)買一定金額商品后即可抽獎(jiǎng),球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不

30、獲獎(jiǎng).(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.5【答案】(1)工；(2)詳見解析.10【解析】試題分析：(1)記事件A1從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球,A從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球B顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng),b2顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng),C顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng),則可知A1與A2相互獨(dú)立，AA2與A1A2互斥，B_B2互斥，且B1AA2,B2AA2AA2,CB1B2,再1利用概率的加法公式即可求解；(2)分析題意可知X：B(3-),分別求得，5” 0)啖5)0(5)3魯 P(X 1)1(4)248(5)125'P(

31、X2)Cl)2(4)1裊，P(X3)C3(1)3(4)02，即可知X的概率分布及5512555125其期望.試題解析：(1)記事件A從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球,A2從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球B顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng),B2顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng),C顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)，由題意，兒與人2相互獨(dú)立，A1A2與A1a2互斥，B/B2互斥，且B1A1A2,B2A1 A2A1A2, CB1B2,4251211P(A)-PA)，.P(B。P(AA2)P(A)P(A2)105102525P(B2)P(A1A2A1A2)P(AAOP(A1A2)P(A)(1P(A2)(1P(A)P(A2)21、2、11,一(1一)(1

32、-)一，故所求概率為52522-117P(C)P(B1B2)P(B)P(B2);三77；顧52106.某學(xué)科測(cè)試中要求考生從A,B,C三道題中任選一題作答，考試結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示共有600名學(xué)生參加測(cè)試.選才iA,B,C三題答卷數(shù)如下表：題ABC答卷數(shù)180300120(I)某教師為了解參加測(cè)試的學(xué)生答卷情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從600份答卷中抽出若干份答卷，其中從選擇題的答卷中抽出了3份，則應(yīng)分別從選擇題的答卷中抽出多少份？(n)若在(I)問中被抽出的答卷中，三題答卷得優(yōu)的份數(shù)都是.從被抽出的三題答卷中再各抽出1份，求這3份答卷恰有1份得優(yōu)的概率；(出)測(cè)試后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，題的答卷得優(yōu)的

33、有100份，若以頻率作為概率，在(I)問中被抽出的選擇題作答的答卷中，記其中得優(yōu)的份數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.6(1)由題意可得:題aBC答卷數(shù)180300120抽取的答卷數(shù)352應(yīng)分別從B,C題的答卷中抽取5份，2份4分(n)記事件M:被抽取的A,B,C三種答卷中分別再各任取1份，這3份答卷恰有1份得優(yōu)，可知只能C題答卷為優(yōu).依題意P(M)1311.8分355(出)由題意可知，B題答卷得優(yōu)的概率是1.顯然被抽取的B題的答卷中得優(yōu)的份數(shù)3X的可能取值為0,1,2,3,4,5,且X:B（5,1）.0 1 0 2 532i 1 i 2 4803P（X0）。5（一）（一）一；P（X1）C5（一）

34、一；332433324321223803132240P（X2）。5（-）（一）一；P（X3）C5（-）（一）一；3324333243P（X10_ 5 1 5 2 024rp（X 5）燈芍葉1243隨機(jī)變量X的分布列為X0123415P32808040110124324324324324324332彳80c80c40,10l15所以EX012345.243243243243243243313分7 .甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為且他們是否破譯出密碼互不影響.若三人中只有甲破譯出密碼的概率為.(I)求甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率；(n)求的值；(

35、出)設(shè)甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望8 .【答案】記“甲、乙、丙三人各自破譯出密碼”分別為事件，依題意有且相互獨(dú)立.(I)甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率為.(n)設(shè)“三人中只有甲破譯出密碼”為事件，則有所以，.(出)的所有可能取值為.所以，所以，.8.生產(chǎn)A,B兩種元件，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分為：指標(biāo)大于或等于為正品，小于為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：測(cè)試指標(biāo)元件A元件B(I)試分別估計(jì)元件A,元件B為正品的概率；(n)生產(chǎn)一件元件A,若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件元件B,若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10

36、元.在(I)的前提下，(i)記為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤(rùn)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；(ii)求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于140元的概率.9 .【答案】(I)解：元件A為正品的概率約為.元件B為正品的概率約為.(n)解：(i)隨機(jī)變量的所有取值為.；依題意，得，解得.所以，或.設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤(rùn)不少于140元”為事件，則.10 汽車租賃公司為了調(diào)查A,B兩種車型的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：A型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)51030351532B型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)1420

37、201615105(I)從出租天數(shù)為3天的汽車(僅限A,B兩種車型)中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率；(n)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰女子為4天的概率；(出)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤(rùn)相同，該公司需要從A,B兩種車型中購(gòu)買一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購(gòu)買哪一種車型，并說明你的理由9.【答案】解：（I）這輛汽車是A型車的概率約為這輛汽車是A型車的概率為（II）設(shè)“事件表示一輛A型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為天”，“事件表示一輛B型車在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為天”，其中4天的概率為則該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合

38、計(jì)出租天數(shù)恰好為該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率為（出）設(shè)為A型車出租的天數(shù)，則的分布列為0.050.100.300.350.150.030.02一輛A類型的出租車一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.62天，B類車型一個(gè)星期出租天數(shù)的平均值為3.48天.從出租天數(shù)的數(shù)據(jù)來看，A型車出租天數(shù)的方差小于B型車出租天數(shù)的方差，綜合分析，選擇A類型的出租車更加合理.第三節(jié)超幾何分布【知識(shí)點(diǎn)】一般地，設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件（nN）,這n件中所有這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為mnmP（Xm）CMCNM（0ml,l為n

39、和M中較小的一個(gè)）.CN我們稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率的分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布.【經(jīng)典例題】【例1】某綠化隊(duì)甲組有10名工人，其中有4名女工人；乙組有5名工人，其中有3名女工人，現(xiàn)采用分層抽樣方法（層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名工人進(jìn)行技能考核.(I)求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；(II)求從甲組抽取的工人中至少1名女工人的概率；(III)記表示抽取的3名工人中男工人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望1.【答案】(I)從甲組抽取2人，從乙組抽取1人.(II).從甲組抽取的工人中至少1名女工人的概率(III)的可能取值為01,2,30123P【

40、例2】某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才.對(duì)20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測(cè)試，其測(cè)試結(jié)果如下表：、邏輯思維運(yùn)協(xié)調(diào)能力良好優(yōu)秀221良好4b1優(yōu)秀13a例如，表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有4人.由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)2生的概率為2.5(I)求a,b的值；(II)從參加測(cè)試的20位學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率；(III)從參加測(cè)試的20位學(xué)生中任意抽取2位，設(shè)運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)

41、期望E.2.【答案】解：(I)設(shè)事件A：從20位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生.由題意可知，運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有(6a)人.則 P(A)6 a 2205解得a2.所以b4.(II)設(shè)事件B：從20人中任意抽取2人，至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生.由題意可知，至少有一項(xiàng)能力測(cè)試優(yōu)秀的學(xué)生共有8人.則 P(B) 1 P(B) 1C122CO6295（III）的可能取值為0,1,2.20位學(xué)生中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為8人.所以P(P(P(注48c2o95,C82142) CO政【例3】某學(xué)校為了解高三年級(jí)學(xué)生寒假期

42、間的學(xué)習(xí)情況，抽取甲、乙兩班，調(diào)查這兩個(gè)班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪成頻率分布直方圖（如圖）.已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同，甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的有8人.1 1）求直方圖中的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)；（2）從甲、乙兩個(gè)班每天平均學(xué)習(xí)時(shí)間大于10個(gè)小時(shí)的學(xué)生中任取4人參加測(cè)試，設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.3 .【答案】解：由直方圖知，解得，因?yàn)榧装鄬W(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的有8人，所以甲班的學(xué)生人數(shù)為，所以甲、乙兩班人數(shù)均為40人.所以甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為（人）.乙班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人數(shù)為（人）.由知甲班學(xué)習(xí)時(shí)間在區(qū)間的人

43、數(shù)為3人，在兩班中學(xué)習(xí)時(shí)間大于10小時(shí)的同學(xué)共7人，的所有可能取值為01,2,3.所以隨機(jī)變量的分布列為:。123【例4】某班有甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下:組別性別甲乙男32女52現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩組中共抽取3名同學(xué)進(jìn)行學(xué)業(yè)檢測(cè).(I)求從甲組抽取的同學(xué)中恰有1名女同學(xué)的概率；(n)記X為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(3 5):(2 2) 2:1,4 .【答案】(I)解：依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為所以，從甲組抽取的學(xué)生人數(shù)為設(shè)“從甲組抽取的同學(xué)中恰有232；從乙組抽取的學(xué)生人數(shù)為-31.331名女同學(xué)”為事件

44、A,則P(A)CCC528故從甲組抽取的同學(xué)中恰有 151名女同學(xué)的概率為一28(D)解：隨機(jī)變量X的所有取值為0,1,2,3.P(X0)P(X2)C2C2C2C14C2c2Cc45528C13 C C12P(X 1)C2 c49528c3C15C2C2C225C2 C4C2c456P(X 3)c2C23C2c456所以，隨機(jī)變量X的分布列為：EX2825562856【答案】【易錯(cuò)題】【例1】甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手，乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手，學(xué)校計(jì)劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動(dòng).(I)求選出的4名選手均為男選手的概率.(n)記X為選出的4名選手中女選

45、手的人數(shù)，求X的分布列和期望.111.10220(n)X的可能取值為0,1,2,3.P(X0)C32C52C4231,10 6 20P(X1C2c3C32C31)C2c422 3 3 37,10 62021D/XCC3c3333P(X3)22,C；C：106209P(X2)1P(X0)P(X1)P(X3).20X的分布列：x012|3P179320202020c1,7c9c317E(X)0123-2020202010【例2】在某大學(xué)自主招生考試中，所有選報(bào)II類志向的考生全部參加了 “數(shù)學(xué)與邏輯”和“閱讀與表達(dá)”兩個(gè)科目的考試，成績(jī)分為A,B,C,D,E五個(gè)等級(jí).某考場(chǎng)考生兩科的考試成績(jī)的數(shù)據(jù)

46、統(tǒng)計(jì)如下圖所示，其中“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的成績(jī)?yōu)锽的考生有10人.(I)求該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)?yōu)锳的人數(shù)；(II)若等級(jí)A,B,C,D,E分另應(yīng)5分，4分，3分，32分，1分.(i)求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分；(ii)若該考場(chǎng)共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分.從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績(jī)之和的分布列和數(shù)學(xué)期望2.【答案】解：(I)因?yàn)椤皵?shù)學(xué)與邏輯”科目中成績(jī)等級(jí)為B的考生有10人,所以該考場(chǎng)有100.2540人所以該考場(chǎng)考生中“閱讀與表達(dá)”科目中成績(jī)等級(jí)為A的人數(shù)為40(10.3750.3750.150.025)400.0753(I

47、I)求該考場(chǎng)考生“數(shù)學(xué)與邏輯”科目的平均分為1(400.2)2(400.1)3(400.375)4(400.25)5(400.075)2.9(出)設(shè)兩人成績(jī)之和為，則的值可以為16,17,18,19,20P(16)C62Cw1545'P(17)c6c2122C12045P(18)C2C1012C2C1201345'P( 19)c2c2C120445P(20)C2Cw145所以的分布列為X1617181920P15121341454545)4545所以EE16151712181319芻20竺45454545455所以的數(shù)學(xué)期望為5【例3】在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，有甲、乙等6人獲得抽獎(jiǎng)的

48、機(jī)會(huì)。抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：主辦方先從6人中隨機(jī)抽取兩人均獲獎(jiǎng)1000元，再?gòu)挠嘞碌?人中隨機(jī)抽取1人獲獎(jiǎng)600元，最后還從這4人中隨機(jī)抽取1人獲獎(jiǎng)400元。(I)求甲和乙都不獲獎(jiǎng)的概率；(n)設(shè)X是甲獲獎(jiǎng)的金額，求X的分布列和均值EX。3【答案】解：(I)設(shè)“甲和乙都不獲獎(jiǎng)”為事件A,223PX4C5311C5131PX0=,PX400=,PX600=8C：448C：448P X 1000C； C； 4 4 83113E(X) 0 - 400 - 600 1000 500 (元)8888、,答：甲獲獎(jiǎng)的金額的均值為 500（元）.【課后測(cè)試】1.甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有 1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外 完全相同，現(xiàn)在從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，求（I ）摸出3個(gè)白球的概率；（n）摸出至少兩個(gè)白球的概率；（m）若將摸出至少兩個(gè)白球記為 1分，則一個(gè)人有放回地摸 2次，求得分X的分布列及數(shù)學(xué) 期望。1【答案】解：（I ）設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件則（n ）設(shè)“至少兩個(gè)白球”為事件 B,則，又111c3c2c21且A2, A3互斥，所以C（出）X的所有可能取值為占32.X012P所以X的分布列是X的數(shù)學(xué)期望2.某校高三年級(jí)同學(xué)進(jìn)行體育測(cè)試，測(cè)試成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、合格三個(gè)等級(jí).測(cè)