圓錐曲線培優(yōu)講義全

1、原點(diǎn)三角形面積公式1. 橢圓： 一 4 ' 1 I -1的離心率為一,且過(guò)點(diǎn) 千).假設(shè)點(diǎn)MX0,yo在橢圓C上，那么點(diǎn)一- 一.：稱為點(diǎn)M的一個(gè) 橢點(diǎn)".& b1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；2假設(shè)直線I: y=kx+m與橢圓C相交于A, B兩點(diǎn)，且A, B兩點(diǎn)的 橢點(diǎn)分 別為P, Q,以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，試求 AOB的面積.2. 己知橢圓+勿1 ,過(guò)原點(diǎn)的兩條直線"和S分別與橢圓交于點(diǎn) 力，網(wǎng)和網(wǎng).記月。匚的面積為目.1設(shè) 雉“J,用同,f的坐標(biāo)表示點(diǎn)©到直線用的距離,并證明：'門；./肉2設(shè)2 =巴七創(chuàng),勺,求網(wǎng)的值.3設(shè)一與4的斜率

2、之積為尬，求砒的值，使得無(wú)論與2如何變動(dòng)，面積保持不變.2 23.橢圓C：篤爲(wèi) 10,b 0的左、右兩焦點(diǎn)分別為F, 1,0 ,F2 1,0 ,橢圓上有b點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)的連線構(gòu)成的AF1F2中，滿足AF1F212AF2 F17121求橢圓C的方程;2設(shè)點(diǎn)B,C,D是橢圓上不同于橢圓頂點(diǎn)的三點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，設(shè)直線BC,CD,OB,OC 的斜率分別為 k1,k2,k3,k4，且 k1 k2 k3 匕，求 OB2 OC2 的值.14.在平面直角坐標(biāo)系 xoy ,動(dòng)點(diǎn)M (x, y)與兩定點(diǎn)(2,0),(2,0),連線的斜率之積為一4(1)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程；設(shè)點(diǎn)A(x1,y1), B

3、(x2, y2)是軌跡C上相異的兩點(diǎn).(I)過(guò)點(diǎn)A , B分別作拋物線y24、3x的切線h、I?, h與l2兩條切線相交于點(diǎn)N( -3,t)，證明：NANB 0 ;1(n )假設(shè)直線OA與直線OB的斜率之積為 -，證明：S aob為定值，并求出這個(gè)定值45. 間、日分別是兀軸和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足I朋I = 2 ,點(diǎn)P在線是不為1的常數(shù)，設(shè)點(diǎn)卩的軌跡方程為G1求點(diǎn)的軌跡方程'；2假設(shè)曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，試數(shù)的取值圍；3假設(shè)1=2,點(diǎn)|M,網(wǎng)是曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，求 -的面積的最大值.6. 橢圓5的焦點(diǎn)在 閏軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)；拋物線15的焦點(diǎn)在y軸上，

4、頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn).在BJ，上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表格中：x 3 2 4 謳9Qr 2 ° 8 t1求E/的標(biāo)準(zhǔn)方程；Cl o-th応r2定點(diǎn) 5, P為拋物線？上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線2的切 線交橢圓5于A，B兩點(diǎn)，求仏月眈面積的最大值.7. 拋物線的焦點(diǎn)為'，過(guò)點(diǎn)'的直線交拋物線于 引，；兩點(diǎn).1假設(shè)卅求直線：-的斜率；2設(shè)點(diǎn)M在線段AB 上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)q關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為©，求 四邊形面積的最小值.y2 8. 設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是9 ,下頂 點(diǎn)為月，線段。月的中點(diǎn)為°切為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖.假設(shè)拋物線 5 : b =尤-1與負(fù)軸的交點(diǎn)為&qu

5、ot;，且經(jīng)過(guò)卩，' 點(diǎn).切線交橢圓于：、C2上的兩點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)I作拋物線的A MPQ面積的最大值.二定點(diǎn)定值問(wèn)題9.動(dòng)點(diǎn)P在圓E : (x 1)2 y216上運(yùn)動(dòng)，定點(diǎn)F(1,0)，線段PF的垂直平分線與直線PE的交點(diǎn)為Q .I求Q的軌跡T的方程；5過(guò)點(diǎn)F的直線li，I2分別交軌跡E于A，B兩點(diǎn)和C，D兩點(diǎn)，且h I2 證明:過(guò)AB和CD中點(diǎn)的直線過(guò)定點(diǎn).10.在直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C的頂點(diǎn)是雙曲線 D :嗎X2 1的中心,拋物線C的焦點(diǎn)與雙曲線D的焦點(diǎn)一樣.I求拋物線C的方程;假設(shè)點(diǎn)P(t,1)(t 0)為拋物線C上的定點(diǎn)，A，B為拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).且PA丄PB，問(wèn)直線

6、AB是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？假設(shè)是，求出該定點(diǎn)，假設(shè)不是，說(shuō)明理由.11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系淪 中，橢圓x yCr + = i( > £? > 0)a b的離心率為，直線''與''軸交于點(diǎn)交于；兩點(diǎn).當(dāng)直線垂直于軸且點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，弦AB的長(zhǎng)為J卜y% A1求橢圓的方程;2假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為',點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為，連接點(diǎn)沖與原點(diǎn)。的直線交橢圓C于另一點(diǎn)尸，求仏咖的面積；1 13是否存在點(diǎn)使得E八 訶 為定值？假設(shè)存在，請(qǐng)指出點(diǎn)E的坐 標(biāo)，并求出該定值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.12橢圓C；牙+/二1的左焦點(diǎn)為F,不垂直于x軸且不過(guò)F點(diǎn)的

7、直線I與橢圓C 相交于A，B兩點(diǎn).1如果直線FA FB的斜率之和為0,那么動(dòng)直線I是否一定經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)？假 設(shè)過(guò)一定點(diǎn)，那么求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.2如果FA丄FB,原點(diǎn)到直線I的距離為d,求d的取值圍.13.如圖，直線I : y kx 1(k 0)關(guān)于直線y x 1對(duì)稱的直線為 h，直線l,l1與橢圓2e：£42y 1分別交于點(diǎn)A、M和A、N，記直線l1的斜率為k,.I求k k的值;n當(dāng)k變化時(shí)，試問(wèn)直線 MN是否恒過(guò)定點(diǎn)?設(shè)不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由E爲(wèi)+莓=1岡 14.如圖，橢圓卞 昨心()的離心率是亍，過(guò)點(diǎn)的動(dòng) 直線'與橢圓相交于 / 兩點(diǎn)當(dāng)直線 平行于

8、軸時(shí)，直線 被橢 圓肛截得的線段長(zhǎng)為£2在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在與點(diǎn)日不同的定點(diǎn)Q,使得IWI PA麗=而 恒成立？假設(shè)存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)15.明理由.動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)且與直線相切，其中p>01求動(dòng)圓圓心c的軌跡的方程;2設(shè)A、R是軌跡0上異于原點(diǎn)1°的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線1°刈和0B 的傾斜角分別為和，當(dāng)， 變化且爲(wèi)斗工為定值 m 時(shí)，證明直線 恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).16.拋物線1 :的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 做圓C；工-5 的兩條切線，切點(diǎn)為M，N, |MN| = 3頁(yè).1求拋物線：的方程；2丨設(shè)乂，B是拋物線忙上分別位于 *軸兩側(cè)的

9、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 9'J 其中J為坐標(biāo)原點(diǎn). 求證：直線匡i必過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)； 過(guò)點(diǎn)Q作月B的垂線與拋物線交于G,網(wǎng)兩點(diǎn)，求四邊形岡面積的最小值.需Ml+>4>0)的右'世半紬與短半軸之比群于2.O求櫃圓C的標(biāo)準(zhǔn)育程；(打設(shè)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的H絞冒捅團(tuán)C相交于不同的強(qiáng)jftM.N 假設(shè)點(diǎn)B準(zhǔn)以統(tǒng)段 M1V為豆錘的團(tuán)上證明直線1過(guò)定點(diǎn)丼取出該毎點(diǎn)的坐標(biāo).17.X2218.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)點(diǎn)M(x0 , y。)是橢圓C: y y 1上一點(diǎn)，從原點(diǎn) 0 向圓 M: (x x。)2( y y0)223作兩條切線分別與橢圓C交于點(diǎn)P、Q，直線OP、0Q的斜率

10、分別記為 k1 , k2(1) 求證：k1k2為定值;(2) 求四邊形OPMQ面積的最大值.19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，R xox2yo是橢圓C:242y_121上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)o2 2向圓R: x xoy yo8作兩條切線，分別交橢圓于 P， Q .1假設(shè)R點(diǎn)在第一象限，且直線OP，0Q互相垂直，求圓 R的方程;2假設(shè)直線OP ， OQ的斜率存在，并記為k! ，k2，求匕，k2的值;23試問(wèn)OP2|OQ是否為定值？假設(shè)是，求出該值；假設(shè)不是，說(shuō)明理由三中點(diǎn)弦問(wèn)題2x 橢圓C : -y a2 y b2b 0的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2 2，P為橢圓C上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A2為橢圓C的

11、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M為線段PA2的中點(diǎn)，且直線PA2與直線OM的斜率之積為-21求橢圓C的方程；2過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)F,且不與坐標(biāo)軸垂直的直線 l交橢圓C于兩點(diǎn) 代B，線段AB的1垂直平分線與X軸交于點(diǎn)N , N點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值圍是丄,0 ，求線段AB的長(zhǎng)的取值421.在平面直角坐標(biāo)系xoy中，過(guò)橢圓C :2 X2 ab21(a b 0)右焦點(diǎn)的直線x y 2 0交橢圓C于M,N兩點(diǎn)，P為M,N的中點(diǎn)，且直線OP的斜率I求橢圓C的方程;n設(shè)另一直線l與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，原點(diǎn)O到直線I的距離為AOB面積的最大值.2 222. 如圖，橢圓E :篤 與 1(a b 0)左右頂點(diǎn)為 A、B ,左右焦點(diǎn)為

12、a bR,F2,AB| 4, F1F2 2.3， 直線y kx m(k 0)交橢圓E于點(diǎn)C、D兩點(diǎn)，與線段F1F2橢圓短軸分別交于M N兩點(diǎn)M N不重合，且CM DN .1求橢圓E的方程；2設(shè)直線AD, BC的斜率分別為k1,k2，求&的取值圍.23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C2 2字古1(a b 0)的離心率1e 1，左頂點(diǎn)為A( 4,0)，過(guò)點(diǎn)A作斜率為k(k 0)的直線l交橢圓C于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)e.xI求橢圓C的方程；：n p為AD的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)Q ,的k(k 0)都有OP EQ,假設(shè)存在，求出標(biāo)；假設(shè)不存在說(shuō)明理由；川假設(shè)過(guò)O點(diǎn)作直線I的平行線交橢圓+ -7

13、 = 1 (ti > h > 0)A.p = _24. 橢圓八過(guò)點(diǎn)眉。一1)，且離心率 2 .1求橢圓的方程；2假設(shè)橢圓m上存在點(diǎn)歸初關(guān)于直線y = -對(duì)稱，求國(guó)的所 有取值構(gòu)成的集合 ，并證明對(duì)于 處冷， 的中點(diǎn)恒在一條定直 線上.25. 如圖，在直角坐標(biāo)系*血中，點(diǎn)“阪)到拋物線C:y =2px(p>()的 準(zhǔn)線的距離為點(diǎn)匕二是上的定點(diǎn)，是上的兩動(dòng)點(diǎn)，且 線段啟冏被直線平分.Ji01求電，目的值；2求面積的最大值.26.拋物線 三二運(yùn)，過(guò)其焦點(diǎn)作兩條相互垂直且不平行于軸的直線，分別交拋物線©于點(diǎn)1，也和點(diǎn)卩目，4，線段1卩2,卩3巴1的中點(diǎn)分 別記為卜，.1求面

14、積的最小值；2求線段"12的中點(diǎn)P滿足的方程.2 227.平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C :冷 爲(wèi)a b0丨的離心率是-1，拋物22線E : x 2y的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn).1求橢圓C的方程；2設(shè)P是E上動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線丨與C交于不同的兩點(diǎn) A，B， 線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過(guò)P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M .i丨求證：點(diǎn)M在定直線上；ii直線l與y軸交于點(diǎn)G，記大值與取得最大值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).四定比分點(diǎn)PFG的面積為0， PDM的面積為S，求-Sl的最S228點(diǎn)E( 2,0)，點(diǎn)P是橢圓F : (x 2)2y236上任意一點(diǎn)，線段EP的垂直平分線FP交于點(diǎn)

15、M，點(diǎn)M的軌跡記為曲線 C.I求曲線C的方程;n過(guò)F的直線交曲線C于不同的A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，NAmAF，NB nBF，求m n的值.如圖*崔平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)山)的K線KV!與j軸交于點(diǎn) M.直線MN勺直FM垂直+且與_r軸交于點(diǎn)X*TS點(diǎn)"戔 干宜線FM的對(duì)稱點(diǎn).(I)點(diǎn)T的軌跡為曲線C.求曲線C的方程t(口)輔國(guó)忙的中心在羋林原點(diǎn)川為茸右焦點(diǎn)，且離心率為過(guò)點(diǎn)F的直線/與曲線交于兩點(diǎn)，與橢圓兗于卩心兩點(diǎn)請(qǐng)問(wèn)：是育存柱直 線f使線段PB的四等分點(diǎn)？假設(shè)存在*求出直線f的方雀*假設(shè)不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由.29.在直角坐標(biāo)系 xOy上取兩個(gè)定點(diǎn) A( 6,0),宀(.6,0),再

16、取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) Ni(0 , m),N2(0 , n)，且 mn 2 .I求直線 ANi與A2N2交點(diǎn)M的軌跡C的方程；過(guò)R(3,0)的直線與軌跡 C交于P,Q,過(guò)P作PN x軸且與軌跡 C交于另一點(diǎn)N，F(xiàn)為軌跡C的右焦點(diǎn)，假設(shè) RPRQ(1)，求證：NFFQ .一x2 y230.如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C: 22 1 a>b>0的左、右焦點(diǎn)分別a b為F1 , F2 , P為橢圓上一點(diǎn)在 x軸上方，連結(jié)PF1并延長(zhǎng)交橢圓于另一點(diǎn) Q，設(shè)PF1FQ .31假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-)，且厶卩©/?的周長(zhǎng)為8，求橢圓C的方程；22假設(shè)PF2垂直于x軸，且橢圓C的離心

17、率e 1 , 2，數(shù) 的取值圍.2 2*一i五結(jié)論31. 橢圓20.橢圓C：% 占1 a b 0經(jīng)過(guò)點(diǎn)2 , . 2且離心率等于 -，點(diǎn)A , Ba b2分別為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn) P在橢圓C上.1求橢圓C的方程；2M , N是橢圓C上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn)，滿足OM / AP , ON II BP ,求證：三角形MON的面積是定值.32.過(guò)橢圓右頂點(diǎn)的兩條斜率乘積為1的直線分別交橢圓于,兩點(diǎn).1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2直線関N是否過(guò)定點(diǎn)D?假設(shè)過(guò)定點(diǎn)D,求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè) 不過(guò)點(diǎn)目，請(qǐng)說(shuō)明理由.33.橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為Fi -. 5,0 ，F(xiàn)2 .5,0 ，M是橢圓上一點(diǎn)，假設(shè) MF； MF2 0，8 .

18、1求橢圓的方程；2點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，A、A分別是橢3J5圓的左、右頂點(diǎn)，直線PA，PA,與直線X 專分別交于E,F兩點(diǎn)，試證：以EF為 直徑的圓交X軸于定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo) .234.拋物線x 2py p 0的焦點(diǎn)為F，直線X 4與X軸的交點(diǎn)為P，與拋物線的交5 點(diǎn)為 Q,且 qf|-|pq .1求拋物線的方程；2 22丨如下列圖，過(guò)F的直線丨與拋物線相交于 A,D兩點(diǎn)，與圓X y 11相交于B,C兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)相鄰，過(guò) A,D兩點(diǎn)分別作我校的切線，兩條切線相交于點(diǎn)M,求 ABM與35.CDM的面積之積的最小值.垂直于長(zhǎng)軸的直線交橢圓于點(diǎn)線段的中點(diǎn) 尸2V.01求橢圓的離心率;2設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是> :，且1 ；' 1，求橢圓的方程；3在2的條件下，設(shè) !是橢圓右準(zhǔn)線上異于回的任意一點(diǎn)，直線匕，二 與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為 =、目，求證：直線 匡 與h軸交于定點(diǎn).36點(diǎn)A( 1,0)，B(1,0)，直線AM與直線BM相交于點(diǎn) M，直線AM與直線BM的斜率分別記為kAM與kBM，且kAMkBMI求點(diǎn)M的軌跡C的方程;n過(guò)定點(diǎn)F(0,1)作