奇妙的再植數(shù)

1、奇妙的再植數(shù)在自然數(shù)里,會(huì)有好多巧妙的數(shù)字規(guī)律，讓人感到奇異有趣.如142857×4=571428，76923×3=230769,式子中呈現(xiàn)了這樣一種規(guī)律:一個(gè)數(shù)的倍數(shù)仍然是這個(gè)數(shù)字的循環(huán)排列,我們從中欣賞到一種秩序?qū)ΨQ的美妙。假如給這類數(shù)下一個(gè)定義,即就是一個(gè)自然數(shù)A乘以一個(gè)自然數(shù)K，其積是A的各位數(shù)字的循環(huán)排列，那么稱A是關(guān)于K的再植數(shù)。再植數(shù)的概念早在80年代的一本?數(shù)學(xué)通訊?月刊中就被提了出來。如今，我們要對再植數(shù)的范圍、性質(zhì)，作進(jìn)一步的討論，目的是希望大家對這類興趣數(shù)學(xué)有一個(gè)系統(tǒng)的理解。怎樣的一個(gè)數(shù)會(huì)成為我們討論的再植數(shù)，這是我們首先關(guān)心的問題，由于再植數(shù)乘以一個(gè)

2、數(shù)會(huì)成為這個(gè)數(shù)字的循環(huán)數(shù)，因此再植數(shù)與循環(huán)小數(shù)有著親密關(guān)系。我們知道：，我們看到，分別乘以2，3，4，5，6以后獲得的數(shù)的組成同完全一樣，只是次序有了變化。假如我們把142857寫在圓周上，我們看到=1，2，3，4，5，6恰好是142857的循環(huán)變化。但不是所有的循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)都是我們找的再植數(shù)，如，123并不是再植數(shù)。為此我們考察一些質(zhì)數(shù)的倒數(shù)：，,。=1，3，4，9，10，12是的循環(huán)變化，=2，5，6，7，8，11是153846的循環(huán)變化。而=1，2，17是0588235294117647的循環(huán)變化。從中可見，循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)長度與再植數(shù)親密相關(guān)。的循環(huán)節(jié)為1，為6，為2，為6，為16

3、。當(dāng)一個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)的循環(huán)節(jié)大于2時(shí)，其循環(huán)節(jié)與再值數(shù)相關(guān).由以上討論，我們可以得到以下再植數(shù)，1142857×k，k=1，2，3，4，5，6；2153846×k，k=1，3，4；3076923×k,k=1,3,4,9,10,12；40588235294117647×k,k=1,2,3,16；5052631578947368421×k,k=1,2,3,4,18；60434782608695652173913×k，k=1，2，322;70689655172413793103448275862×k,k=1,2,3,28；83225

4、8064516129×k,k=1,2,4,5,7,8,10,14,16,18,19,20,25,28;96774193548387×k,k=2,3,4,5,7,8,9,109027×k,k=1,10,26;1002439×k,k=10,16,18,37;04878×k,k=10,16,18;07317×10。這些再植數(shù)，是我們考察7至41內(nèi)的10個(gè)字?jǐn)?shù)的倒數(shù)得到的，假如繼續(xù)討論下去，可發(fā)現(xiàn)再植數(shù)有無窮多個(gè)。再植數(shù)有許多奇妙的性質(zhì)：1、與9的聯(lián)絡(luò)：142857×7=999999，142+857=999，14+28+57=99，

5、1+4+2+8+5+7=27，而2+7=9。這種特點(diǎn)對于142857的倍數(shù)也成立，例如142857×285=40714245，245+714+40=999。2、待合再值數(shù)，把再值數(shù)142857×7以上的數(shù)字時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)一些有趣的現(xiàn)象。例如，8×142857=1142856，首尾相加后得142857，9×142857=1285713，首尾相加后得285714，13×142857=1857141，首尾相加后得857142。14×142857=2019998，首尾相加后得999999。我們把上述現(xiàn)象稱為待合再植數(shù)，待合再植數(shù)可歸納如下：結(jié)論

6、1：對于自然數(shù)m，假設(shè)mimod7i=1,2,3,4,5,6。那么m×142857的積的首幾位數(shù)取下來加到末尾的幾個(gè)位數(shù)上去。結(jié)果為142857×i。證明：因mimod7,那么m=7k+i,142857×m=142857×7k+i,=142857×7k+142857×i=999999k+142857×i=k×+142857×i-k顯然式中結(jié)果的首幾位數(shù)為k，末幾位數(shù)為142857i個(gè)位數(shù)減去k，將首位數(shù)k取下來加到末尾的幾位上去，結(jié)果為142857i。結(jié)論1中，當(dāng)k10時(shí)，例如71×142857

7、=10142847，我們首兩位數(shù)取下來加在末兩位數(shù)時(shí)，有142847+10=142857，可稱為兩位待合再植數(shù)，當(dāng)k100時(shí)，如702×142857=100285614，首三位加末三位后得285714?？煞Q為三位待合再植數(shù)。當(dāng)k時(shí)，稱為n+1位待合再植數(shù)。當(dāng)n+1=6時(shí)，我們舉以下例子：700001×142857=999999142857999999+142857=11428576。1428576+1=142857。顯然，在n+16時(shí)，我們需要通過首尾兩次以上的相合才能復(fù)原成再值數(shù)。3、再值數(shù)的平方數(shù)。我們來考察以下再植數(shù)的平方數(shù)。1428572=20408122449，但

8、20408+122449=142857。5714282=326529959184，但326529+959184=1285713，285713+1=285714，4285712=183673102041，但183673+102041=285714，8571422=734692408164，有734692+408164=1142856，但142856+1=142857。可見再植數(shù)的平方數(shù)，表現(xiàn)出一種很奇妙的特征，前6位與后6位的和，又可以重新變成了再植數(shù)。如今我們索性來考察一下再植數(shù)的立方和四次冪，1428573=2915443148696793；2915+443148+696793=114285

9、6；而142856+1=142857；1428574=416491461，893377，575601，而416+491461+893377+575601=2142855，而142855+2=142857，可以預(yù)見，再植數(shù)的各次冪，按6位6位相加，最后結(jié)果可得再植數(shù)。4、再植數(shù)與數(shù)列，數(shù)列1，3，9，27，81，243，729，2187，是公比為3的等比數(shù)列，下面我們進(jìn)展一種限位疊加法，表示如下：1×105+3×104+9×103+27×102+81×101+243×100+729×10-1+2187×10-2+65

10、61×10-3+19683×10-4+59049×10-5+177147×10-6+，其結(jié)果的整數(shù)部分是142857，我們稱這種運(yùn)算為限位疊加法。我們還可用等差數(shù)列14，28，56，112，224，限兩位疊加，也可獲得再植數(shù)142857。以上性質(zhì)對于其它一些再植數(shù)事來說大體上也都是成立的，成立的條件是再植數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)，且的循環(huán)節(jié)的長度h到達(dá)最大值，這個(gè)最大周期為p-1，符合這個(gè)條件的質(zhì)量有7，17，19，23，29，47，59，61，97，109，113，131等，按照國外數(shù)學(xué)研究者商克斯Danillshanks的估計(jì)，質(zhì)數(shù)中大約只有符合這個(gè)條件。此外，他還證明，循環(huán)周期數(shù)為偶數(shù)的質(zhì)數(shù)恰好比周期數(shù)為奇數(shù)的質(zhì)數(shù)多一倍。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，