妙想奇思巧切乳酪

1、妙想奇思巧切乳酪a喬先生就餐餐館的食物未必很好，但卻是以乳酪的美味而著稱。b在一塊圓柱狀的乳酪上可以切出很多把戲，比方一刀切下去，一分為二。c兩刀下去，便得到同樣的四塊，三刀當(dāng)然可以切成同樣的六塊。d有一次，效勞員羅杰小姐請喬先生把乳酪八等分。“這好辦，喬說，“這樣再來一刀嘛!e當(dāng)羅杰小姐去取刀的時(shí)候，她突然意識到，三刀也能把乳酪八等分。您猜猜羅杰小姐想到了什么?三刀如何切羅杰小姐的想法是，乳酪是個(gè)圓柱狀固體，可以沿程度方向從乳酪的半腰處把它一刀兩半，如圖21所示。按圖中虛線的切法，三刀可以把乳酪八等分。這種切法的前提是，每刀之間互不影響，換言之，先被切下的每一塊都不可挪動(dòng)。還有一種切法是，一

2、刀一刀地切，每切一刀時(shí)，可以挪動(dòng)被切下的部分，可以重新安排每部分之間的互相位置。對此題來說，這種切法也可以三刀把乳酩八等分。詳細(xì)切法是：先一分為二，再把兩部分摞起來切，二分為四，再把四部分摞起來切，四分為八。圖2-1羅杰小姐的想法很簡單，甚至可以說極其平常。但是循著她的思路去考慮，我們很快會豁然領(lǐng)悟：可以利用計(jì)算有限差分的方法來討論切割問題并用數(shù)學(xué)理論去證明它。有限差分的計(jì)算對于求數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)有力工具。涉及數(shù)列的問題在實(shí)際生活中觸手可及，利用計(jì)算機(jī)來解決又非常迅速，所以這類問題越來越引起人們的極大興趣。羅杰小姐切乳酪的最初想法是單純經(jīng)過乳酪上外表的中心垂直地切。乳酪的上外表像一張煎餅一

3、樣是個(gè)平面。那么我們就不妨試一下，簡單地切一張煎餅會得出一個(gè)什么樣的數(shù)列。假如每一刀都經(jīng)過煎餅的中心，那么很顯然，切n次最多得到2n塊。是否對于任何封閉曲線構(gòu)成的平面圖形切n次最多都只能得到2n塊?不如圖22所示，這是一個(gè)很容易畫出來的非圓圖形。對于這個(gè)圖形，一刀你就能切下很多塊。那么有沒有可能畫出這樣一個(gè)圖形，使得切一刀可得到彼此全等的數(shù)量一定的幾塊?假如有可能，它的周邊要具有什么特性? 假如每一刀的切法不一樣，那么切煎餅的問題便會復(fù)雜了，你不停地切下去很快就會發(fā)現(xiàn)，到n=3的時(shí)候，得出的結(jié)果已超過2n塊。這里我們暫不考慮切下的每一塊是否全等或者面積是否相等。圖23表示出當(dāng)n=1、2、3、4

4、時(shí)，最多能得到多少塊2、4、7、11。圖2-2這一列數(shù)字可以由下面的公式得出：圖2-3這里，n代表所切的次數(shù)。從n=0開場，前十次切出的塊數(shù)是1、2、4、7、l1、16、22、29、37、46請注意第一列差分是1、2、3、4、5、6、7、8、9第二列差分是1、1、l、1、1、1、l、1從這里我們可以明顯地看出，數(shù)列的通項(xiàng)對于切的次數(shù)n是二次函數(shù)。我們之所以說“明顯地看出，是因?yàn)橥ㄟ^有限差分的計(jì)算得出的公式并不能保證它對于無窮數(shù)列同樣成立，亦即科學(xué)的證明不可或缺。當(dāng)然對于這個(gè)切煎餅的公式，用數(shù)列歸納法即可輕而易舉證明之。舉一反三，你可以舉出許許多多類似的問題，有些問題得出的數(shù)列、通項(xiàng)公式及其數(shù)學(xué)

5、證明都很有意思。這里我們不妨聊舉數(shù)例。對于以下五種情形，每種情況下最多能得出多少份?1在馬洞形horsehoe的煎餅上切n刀。2對一個(gè)球體、或?qū)σ粋€(gè)圓柱體切n次允許程度方向切。3用圓形的餅干切刀circular cookie cutter對煎餅切n次。4對圓環(huán)形煎餅中心有一個(gè)圓孔切n次。要練說，得練聽。聽是說的前提，聽得準(zhǔn)確，才有條件正確模擬，才能不斷地掌握高一級程度的語言。我在教學(xué)中，注意聽說結(jié)合，訓(xùn)練幼兒聽的才能，課堂上，我特別重視老師的語言，我對幼兒說話，注意聲音清楚，上下起伏，抑揚(yáng)有致，富有吸引力，這樣能引起幼兒的注意。當(dāng)我發(fā)現(xiàn)有的幼兒不專心聽別人發(fā)言時(shí)，就隨時(shí)表揚(yáng)那些靜聽的幼兒，或是

6、讓他重復(fù)別人說過的內(nèi)容，抓住教育時(shí)機(jī)，要求他們專心聽，用心記。平時(shí)我還通過各種興趣活動(dòng)，培養(yǎng)幼兒邊聽邊記，邊聽邊想，邊聽邊說的才能，如聽詞對詞，聽詞句說意思，聽句子辯正誤，聽故事講述故事，聽謎語猜謎底，聽智力故事，動(dòng)腦筋，出主意，聽兒歌上句，接兒歌下句等，這樣幼兒學(xué)得生動(dòng)活潑，輕松愉快，既訓(xùn)練了聽的才能，強(qiáng)化了記憶，又開展了思維，為說打下了根底。5對油炸圈餅圓環(huán)體切n次允許程度方向切。“師之概念，大體是從先秦時(shí)期的“師長、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時(shí)國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也?！皫熤x，如今泛指從事教育工作或是傳授知識技術(shù)也或是某方面有特長值得學(xué)習(xí)者。“老師的原意并非由“老而形容“師?！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學(xué)識淵博者?！袄稀皫熯B用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當(dāng)然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的復(fù)合構(gòu)詞，所表達(dá)的含義多指對知識淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道，但其不一定是知識的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識，更重于傳播知識。請按照前面提到的兩種不同切法來解決這些問題，看看答案如何變化。老師范讀的是閱讀教學(xué)中不可缺少的部分，我常采