主成分分析方法和案例分析

1、第一節(jié) 主成分分析方法 主成分分析的基本原理 主成分分析的計算步驟 主成分分析方法應用實例 地理系統(tǒng)是多要素的復雜系統(tǒng)。在地理學研究中，多變量問題是經(jīng)常會遇到的。變量太多，無疑會增加分析問題的難度與復雜性，而且在許多實際問題中，多個變量之間是具有一定的相關關系的。 因此，人們會很自然地想到，能否在相關分析的基礎上，用較少的新變量代替原來較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來變量所反映的信息？ 問題的提出問題的提出： 事實上，這種想法是可以實現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問題的一種強有力的工具。 主成分分析是把原來多個變量劃為少數(shù)幾個綜合指標的一種統(tǒng)計分析方法。 從數(shù)學角度

2、來看，這是一種降維處理技術。 一、主成分分析的基本原理 n假定有n個地理樣本，每個樣本共有p個變量，構成一個np階的地理數(shù)據(jù)矩陣npnnppxxxxxxxxxX212222111211（3.5.1） n 當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進行降維處理，即用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。定義：記x1，x2，xP為原變量指標，z1，z2，zm（mp）為新變量指標pmpmmmppppxlxlxlzxlxlxlzxlxlxlz221122221212121211

3、11(3.5.2) n系數(shù)lij的確定原則： zi與zj（ij；i，j=1，2，m）相互無關； z1是x1，x2，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關的x1，x2，xP的所有線性組合中方差最大者； zm是與z1，z2，zm1都不相關的x1，x2，xP， 的所有線性組合中方差最大者。 則新變量指標z1，z2，zm分別稱為原變量指標x1，x2，xP的第一，第二，第m主成分。 從以上的分析可以看出，主成分分析的實質(zhì)就是確定原來變量xj（j=1，2 ， p）在諸主成分zi（i=1，2，m）上的荷載 lij（ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。 從數(shù)學上容易知道，從數(shù)學上可以證明，它們

4、分別是的相關矩陣的m個較大的特征值所對應的特征向量。 二、計算步驟 （一）計算相關系數(shù)矩陣一）計算相關系數(shù)矩陣 rij（i，j=1，2，p）為原變量xi與xj的相關系數(shù)， rij=rji，其計算公式為：pppppprrrrrrrrrR212222111211（3.5.3） nknkjkjikinkjkjikiijxxxxxxxxr11221)()()(（3.5.4） （二）計算特征值與特征向量：（二）計算特征值與特征向量： 解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小順序排列 ； 0RI0,21p 分別求出對應于特征值的特征向量 ，要求 =1，即，其中表示向量 的第j個分量

5、。i), 2 , 1(pieiie112pjijeijeie 計算主成分貢獻率及累計貢獻率 貢獻率:),2, 1(1pipkki累計貢獻率: ),2, 1(11pipkkikk一般取累計貢獻率達8595%的特征值所對應的第一、第二、第m（mp）個主成分。 m,21 計算主成分載荷 各主成分的得分： ), 2 , 1,(),(pjiexzplijijiij（3.5.5） nmnnmmzzzzzzzzzZ212222111211（3.5.6） 三、 主成分分析方法應用實例 下面，我們根據(jù)表3.4.5給出的數(shù)據(jù)，對某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)做主成分分析， 樣本序號x1：人口密度(人/km2)x 2：人均耕地

6、面積(ha)x 3：森林覆蓋率(%)x 4：農(nóng)民人均純收入(元/人)x 5：人均糧食產(chǎn)量(kg/人)x 6：經(jīng)濟作物占農(nóng)作物播面比例()x 7：耕地占土地面積比率()x 8：果園與林地面積之比()x 9：灌溉田占耕地面積之比()1363.9120.35216.101192.11295.3426.72418.4922.23126.2622141.5031.68424.3011752.35452.2632.31414.4641.45527.0663100.6951.06765.6011181.54270.1218.2660.1627.47412.4894143.7391.33633.2051436

7、.12354.2617.48611.8051.89217.5345131.4121.62316.6071405.09586.5940.68314.4010.30322.932表表3.4.5 3.4.5 某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關數(shù)據(jù)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關數(shù)據(jù) 668.3372.03276.2041540.29216.398.1284.0650.0114.861795.4160.80171.106926.35291.528.1354.0630.0124.862862.9011.65273.3071501.24225.2518.3522.6450.0343.201986.624

8、0.84168.904897.36196.3716.8615.1760.0556.1671091.3940.81266.502911.24226.5118.2795.6430.0764.4771176.9120.85850.302103.52217.0919.7934.8810.0016.1651251.2741.04164.609968.33181.384.0054.0660.0155.4021368.8310.83662.804957.14194.049.114.4840.0025.791477.3010.62360.102824.37188.0919.4095.7215.0558.413

9、1576.9481.02268.0011255.42211.5511.1023.1330.013.4251699.2650.65460.7021251.03220.914.3834.6150.0115.59317118.5050.66163.3041246.47242.1610.7066.0530.1548.70118141.4730.73754.206814.21193.4611.4196.4420.01212.94519137.7610.59855.9011124.05228.449.5217.8810.06912.65420117.6121.24554.503805.67175.2318

10、.1065.7890.0488.46121122.7810.73149.1021313.11236.2926.7247.1620.09210.078步驟如下：（1）將表3.4.5中的數(shù)據(jù)作標準差標準化處理，然后將它們代入公式（3.5.4）計算相關系數(shù)矩陣（見表3.5.1）。x1x2x3x4x5x6x7x8x9x11-0.327 -0.714 -0.3360.3090.4080.790.1560.744x2-0.331-0.0350.6440.420.2550.009-0.0780.094x3-0.71-0.03510.07-0.74-0.755-0.93-0.109-0.924x4-0.340

11、.6440.0710.3830.069-0.05-0.0310.073x50.3090.42-0.740.38310.7340.6720.0980.747x60.4080.255-0.7550.0690.73410.6580.2220.707x70.790.009-0.93-0.0460.6720.6581-0.030.89x80.156-0.078 -0.109 -0.0310.0980.222-0.0310.29x90.7440.094-0.9240.0730.7470.7070.890.291表表3.5.13.5.1相關系數(shù)矩陣相關系數(shù)矩陣 （2）由相關系數(shù)矩陣計算特征值，以及各個主成分

12、的貢獻率與累計貢獻率（見表3.5.2）。由表3.5.2可知，第一，第二，第三主成分的累計貢獻率已高達86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。 主成分特征值貢獻率(%)累積貢獻率(%)z14.66151.79151.791z22.08923.21675.007z31.04311.58986.596z40.5075.63892.234z50.3153.50295.736z60.1932.1497.876z70.1141.27199.147z80.04530.50499.65z90.03150.35100表表3.5.23.5.2特征值及主成分貢獻率特征值

13、及主成分貢獻率 （3）對于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式（3.5.5）計算各變量x1，x2，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷（表3.5.3）。 z1z2z3占方差的百分數(shù)（%）x10.739-0.532-0.006182.918x20.1230.887-0.002880.191x3-0.9640.00960.009592.948x40.00420.8680.003775.346x50.8130.444-0.001185.811x60.8190.1790.12571.843x70.933-0.133-0.25195.118x8

14、0.197-0.10.9798.971x90.964-0.00250.009292.939上述計算過程，可以借助于SPSS或MATLAB軟件系統(tǒng)實現(xiàn)。表表3.5.3 3.5.3 主成分載荷主成分載荷 第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強的正相關，與x3呈顯出較強的負相關，而這幾個變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟結構狀況，因此可以認為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟結構的代表。 第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強的正相關，與x1呈顯出較強的負相關，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認為第二主成分z2代表了人均資源量。 分析：分析：顯然，用三個主成