主成分分析方法和案例分析

1、第一節(jié) 主成分分析方法 主成分分析的基本原理 主成分分析的計(jì)算步驟 主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例 地理系統(tǒng)是多要素的復(fù)雜系統(tǒng)。在地理學(xué)研究中，多變量問(wèn)題是經(jīng)常會(huì)遇到的。變量太多，無(wú)疑會(huì)增加分析問(wèn)題的難度與復(fù)雜性，而且在許多實(shí)際問(wèn)題中，多個(gè)變量之間是具有一定的相關(guān)關(guān)系的。 因此，人們會(huì)很自然地想到，能否在相關(guān)分析的基礎(chǔ)上，用較少的新變量代替原來(lái)較多的舊變量，而且使這些較少的新變量盡可能多地保留原來(lái)變量所反映的信息？ 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出： 事實(shí)上，這種想法是可以實(shí)現(xiàn)的，主成分分析方法就是綜合處理這種問(wèn)題的一種強(qiáng)有力的工具。 主成分分析是把原來(lái)多個(gè)變量劃為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。 從數(shù)學(xué)角度

2、來(lái)看，這是一種降維處理技術(shù)。 一、主成分分析的基本原理 n假定有n個(gè)地理樣本，每個(gè)樣本共有p個(gè)變量，構(gòu)成一個(gè)np階的地理數(shù)據(jù)矩陣npnnppxxxxxxxxxX212222111211（3.5.1） n 當(dāng)p較大時(shí)，在p維空間中考察問(wèn)題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進(jìn)行降維處理，即用較少的幾個(gè)綜合指標(biāo)代替原來(lái)較多的變量指標(biāo)，而且使這些較少的綜合指標(biāo)既能盡量多地反映原來(lái)較多變量指標(biāo)所反映的信息，同時(shí)它們之間又是彼此獨(dú)立的。定義：記x1，x2，xP為原變量指標(biāo)，z1，z2，zm（mp）為新變量指標(biāo)pmpmmmppppxlxlxlzxlxlxlzxlxlxlz221122221212121211

3、11(3.5.2) n系數(shù)lij的確定原則： zi與zj（ij；i，j=1，2，m）相互無(wú)關(guān)； z1是x1，x2，xP的一切線性組合中方差最大者，z2是與z1不相關(guān)的x1，x2，xP的所有線性組合中方差最大者； zm是與z1，z2，zm1都不相關(guān)的x1，x2，xP， 的所有線性組合中方差最大者。 則新變量指標(biāo)z1，z2，zm分別稱(chēng)為原變量指標(biāo)x1，x2，xP的第一，第二，第m主成分。 從以上的分析可以看出，主成分分析的實(shí)質(zhì)就是確定原來(lái)變量xj（j=1，2 ， p）在諸主成分zi（i=1，2，m）上的荷載 lij（ i=1，2，m； j=1，2 ，p）。 從數(shù)學(xué)上容易知道，從數(shù)學(xué)上可以證明，它們

4、分別是的相關(guān)矩陣的m個(gè)較大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。 二、計(jì)算步驟 （一）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣一）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 rij（i，j=1，2，p）為原變量xi與xj的相關(guān)系數(shù)， rij=rji，其計(jì)算公式為：pppppprrrrrrrrrR212222111211（3.5.3） nknkjkjikinkjkjikiijxxxxxxxxr11221)()()(（3.5.4） （二）計(jì)算特征值與特征向量：（二）計(jì)算特征值與特征向量： 解特征方程，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小順序排列 ； 0RI0,21p 分別求出對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量 ，要求 =1，即，其中表示向量 的第j個(gè)分量

5、。i), 2 , 1(pieiie112pjijeijeie 計(jì)算主成分貢獻(xiàn)率及累計(jì)貢獻(xiàn)率 貢獻(xiàn)率:),2, 1(1pipkki累計(jì)貢獻(xiàn)率: ),2, 1(11pipkkikk一般取累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)8595%的特征值所對(duì)應(yīng)的第一、第二、第m（mp）個(gè)主成分。 m,21 計(jì)算主成分載荷 各主成分的得分： ), 2 , 1,(),(pjiexzplijijiij（3.5.5） nmnnmmzzzzzzzzzZ212222111211（3.5.6） 三、 主成分分析方法應(yīng)用實(shí)例 下面，我們根據(jù)表3.4.5給出的數(shù)據(jù)，對(duì)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)做主成分分析， 樣本序號(hào)x1：人口密度(人/km2)x 2：人均耕地

6、面積(ha)x 3：森林覆蓋率(%)x 4：農(nóng)民人均純收入(元/人)x 5：人均糧食產(chǎn)量(kg/人)x 6：經(jīng)濟(jì)作物占農(nóng)作物播面比例()x 7：耕地占土地面積比率()x 8：果園與林地面積之比()x 9：灌溉田占耕地面積之比()1363.9120.35216.101192.11295.3426.72418.4922.23126.2622141.5031.68424.3011752.35452.2632.31414.4641.45527.0663100.6951.06765.6011181.54270.1218.2660.1627.47412.4894143.7391.33633.2051436

7、.12354.2617.48611.8051.89217.5345131.4121.62316.6071405.09586.5940.68314.4010.30322.932表表3.4.5 3.4.5 某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù)某農(nóng)業(yè)生態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各區(qū)域單元的有關(guān)數(shù)據(jù) 668.3372.03276.2041540.29216.398.1284.0650.0114.861795.4160.80171.106926.35291.528.1354.0630.0124.862862.9011.65273.3071501.24225.2518.3522.6450.0343.201986.624

8、0.84168.904897.36196.3716.8615.1760.0556.1671091.3940.81266.502911.24226.5118.2795.6430.0764.4771176.9120.85850.302103.52217.0919.7934.8810.0016.1651251.2741.04164.609968.33181.384.0054.0660.0155.4021368.8310.83662.804957.14194.049.114.4840.0025.791477.3010.62360.102824.37188.0919.4095.7215.0558.413

9、1576.9481.02268.0011255.42211.5511.1023.1330.013.4251699.2650.65460.7021251.03220.914.3834.6150.0115.59317118.5050.66163.3041246.47242.1610.7066.0530.1548.70118141.4730.73754.206814.21193.4611.4196.4420.01212.94519137.7610.59855.9011124.05228.449.5217.8810.06912.65420117.6121.24554.503805.67175.2318

10、.1065.7890.0488.46121122.7810.73149.1021313.11236.2926.7247.1620.09210.078步驟如下：（1）將表3.4.5中的數(shù)據(jù)作標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化處理，然后將它們代入公式（3.5.4）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣（見(jiàn)表3.5.1）。x1x2x3x4x5x6x7x8x9x11-0.327 -0.714 -0.3360.3090.4080.790.1560.744x2-0.331-0.0350.6440.420.2550.009-0.0780.094x3-0.71-0.03510.07-0.74-0.755-0.93-0.109-0.924x4-0.340

11、.6440.0710.3830.069-0.05-0.0310.073x50.3090.42-0.740.38310.7340.6720.0980.747x60.4080.255-0.7550.0690.73410.6580.2220.707x70.790.009-0.93-0.0460.6720.6581-0.030.89x80.156-0.078 -0.109 -0.0310.0980.222-0.0310.29x90.7440.094-0.9240.0730.7470.7070.890.291表表3.5.13.5.1相關(guān)系數(shù)矩陣相關(guān)系數(shù)矩陣 （2）由相關(guān)系數(shù)矩陣計(jì)算特征值，以及各個(gè)主成分

12、的貢獻(xiàn)率與累計(jì)貢獻(xiàn)率（見(jiàn)表3.5.2）。由表3.5.2可知，第一，第二，第三主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率已高達(dá)86.596%（大于85%），故只需要求出第一、第二、第三主成分z1，z2，z3即可。 主成分特征值貢獻(xiàn)率(%)累積貢獻(xiàn)率(%)z14.66151.79151.791z22.08923.21675.007z31.04311.58986.596z40.5075.63892.234z50.3153.50295.736z60.1932.1497.876z70.1141.27199.147z80.04530.50499.65z90.03150.35100表表3.5.23.5.2特征值及主成分貢獻(xiàn)率特征值

13、及主成分貢獻(xiàn)率 （3）對(duì)于特征值=4.6610，=2.0890，=1.0430分別求出其特征向量e1，e2，e3，再用公式（3.5.5）計(jì)算各變量x1，x2，x9在主成分z1，z2，z3上的載荷（表3.5.3）。 z1z2z3占方差的百分?jǐn)?shù)（%）x10.739-0.532-0.006182.918x20.1230.887-0.002880.191x3-0.9640.00960.009592.948x40.00420.8680.003775.346x50.8130.444-0.001185.811x60.8190.1790.12571.843x70.933-0.133-0.25195.118x8

14、0.197-0.10.9798.971x90.964-0.00250.009292.939上述計(jì)算過(guò)程，可以借助于SPSS或MATLAB軟件系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)。表表3.5.3 3.5.3 主成分載荷主成分載荷 第一主成分z1與x1，x5，x6，x7，x9呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x3呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，而這幾個(gè)變量則綜合反映了生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)狀況，因此可以認(rèn)為第一主成分z1是生態(tài)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)的代表。 第二主成分z2與x2，x4，x5呈顯出較強(qiáng)的正相關(guān)，與x1呈顯出較強(qiáng)的負(fù)相關(guān)，其中，除了x1為人口總數(shù)外，x2，x4，x5都反映了人均占有資源量的情況，因此可以認(rèn)為第二主成分z2代表了人均資源量。 分析：分析：顯然，用三個(gè)主成