邵懷宗信號(hào)分析_第4章短時(shí)Foureir變換

1、1第第5章章 時(shí)頻分析的基礎(chǔ)時(shí)頻分析的基礎(chǔ)與短時(shí)與短時(shí)Fourier變換變換2主要內(nèi)容主要內(nèi)容uFourier變換的局限性變換的局限性u(píng)短時(shí)短時(shí)Fourier變換與變換與Gabor變換變換u時(shí)頻分析的基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)頻分析的基礎(chǔ)知識(shí)3信號(hào)空間概念的引入信號(hào)空間概念的引入采樣定理：采樣定理：對(duì)于對(duì)于帶限于帶限于B，時(shí)限于時(shí)限于T的信號(hào)的信號(hào)s(t),2( ) (0), (1), (2), (),sfBs tssss M 滿足維數(shù)定理的情況下滿足維數(shù)定理的情況下2MBT有：有：2( ) (0), (1), (2), () (0), (1), (2), ()sfBs tssss Mssss M 結(jié)論：結(jié)論

2、：帶限于帶限于B，時(shí)限于時(shí)限于T連續(xù)時(shí)間二維信號(hào)連續(xù)時(shí)間二維信號(hào)s(t)與與M維空間中的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)維空間中的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)4信號(hào)集合信號(hào)集合定義定義：具有某些共同性質(zhì)的信號(hào)的集合：具有某些共同性質(zhì)的信號(hào)的集合 , Sx pExample1: 正弦信號(hào)集合正弦信號(hào)集合 ; ( )cos(2);, ,cSx x tAfttA fR Example2: 周期信號(hào)集合周期信號(hào)集合 ; ()( ),TSx x tTx tt Example3: 能量有限集合能量有限集合2 ;( )ESxx tdt 5Example4: 時(shí)限信號(hào)集時(shí)限信號(hào)集 ; ( )0,/2DSx x ttTExample5: 帶限信號(hào)集帶

3、限信號(hào)集2 ;( )( )0,/2jftBSx X fx t edtfBExample6: 復(fù)函數(shù)集合和正交函數(shù)集合復(fù)函數(shù)集合和正交函數(shù)集合10*0 ()( ),( )( )( ) ()tijijtijtttt dtKij如果復(fù)函數(shù)集合如果復(fù)函數(shù)集合( ),1,2,3,., ;itin在區(qū)間在區(qū)間 上滿足上滿足01( , )t t復(fù)函數(shù)集合復(fù)函數(shù)集合( ),1,2,3,., ;itin為正交函數(shù)集合為正交函數(shù)集合如果如果K=1則則( ),1,2,3,., ;itin為正交歸一化函數(shù)集合為正交歸一化函數(shù)集合6設(shè)設(shè) X 為一集合為一集合, 為為X中中 任意二元素對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，若滿足任意二元素對(duì)應(yīng)的實(shí)

4、數(shù)，若滿足),(21ssd,21Xzss稱稱 X 為以為以 為距離的為距離的距離空間距離空間 。),(21ssd1 函數(shù)空間函數(shù)空間 ,baRZCRZ符號(hào)：符號(hào)：函數(shù)空間函數(shù)空間 ：由函數(shù)構(gòu)成的集合。：由函數(shù)構(gòu)成的集合。 函數(shù)空間又稱為信號(hào)空間。函數(shù)空間又稱為信號(hào)空間。1)距離空間距離空間 ( 度量空間度量空間 )0),(21ssd非負(fù)性非負(fù)性),(),(1221ssdssd對(duì)稱性對(duì)稱性),(),(),(2121zsdzsdssd三角不等式三角不等式引入距離的目的：測(cè)量或描述兩個(gè)信號(hào)之間的波形差異引入距離的目的：測(cè)量或描述兩個(gè)信號(hào)之間的波形差異距離距離反映信號(hào)集合內(nèi)信號(hào)的幾何特性反映信號(hào)集合內(nèi)

5、信號(hào)的幾何特性7代表代表 n 維向量維向量 全體組成的集合，即全體組成的集合，即 x 。nR),(21nxxxxx 中的中的 代表向量代表向量 x 在座標(biāo)在座標(biāo) 上的投影。上的投影。ixi)()(max),(tytxyxdnRExample-1Example-1 n 維歐氏空間維歐氏空間2112)(),(niiiyxyxdnR空間內(nèi)向量空間內(nèi)向量 x, y 間的距離間的距離Example-2 Example-2 連續(xù)函數(shù)空間連續(xù)函數(shù)空間 Ca,b由連續(xù)函數(shù)組成距離的空間，由連續(xù)函數(shù)組成距離的空間，a,b為函數(shù)的定義域。為函數(shù)的定義域。意義意義：代表二連續(xù)函數(shù)瞬時(shí)最大差值。：代表二連續(xù)函數(shù)瞬時(shí)最

6、大差值。8)(, )()(),(2212RLyxdttytxyxdR意義：意義： 反映了二信號(hào)的波形上差異的大小。反映了二信號(hào)的波形上差異的大小。),(yxdRdttxtxRL)(: )()(22)(2RLExample-3Example-3 平方可積空間平方可積空間由平方可積函數(shù)（能量有限函數(shù)）構(gòu)成由平方可積函數(shù)（能量有限函數(shù)）構(gòu)成 的距離空間，即的距離空間，即意義：由所有能量有限的實(shí)信號(hào)組成的空間意義：由所有能量有限的實(shí)信號(hào)組成的空間(集合集合)。92112),(iiiyxyxd定義：由平方可和離散序列（能量有限序列）定義：由平方可和離散序列（能量有限序列） 構(gòu)成的距離空間，即構(gòu)成的距離空

7、間，即2lExample-5Example-5 平方可和離散序列空間平方可和離散序列空間12212 : ),(iinxxxxxl意義：意義： 反映了二信號(hào)序列的差異。反映了二信號(hào)序列的差異。),(yxd102)線性空間線性空間(向量空間向量空間)空間內(nèi)的元素之間定義了加法、數(shù)乘、結(jié)合律、分配空間內(nèi)的元素之間定義了加法、數(shù)乘、結(jié)合律、分配律的函數(shù)空間。律的函數(shù)空間。線性空間反映線性空間反映(規(guī)定規(guī)定)了函數(shù)空間中的了函數(shù)空間中的代數(shù)特性代數(shù)特性。3) 線性賦范空間線性賦范空間設(shè)設(shè)X為線性空間，為線性空間， 則定義了范數(shù)則定義了范數(shù) 的線的線 性空間稱為線性賦范空間。性空間稱為線性賦范空間。 應(yīng)滿

8、足應(yīng)滿足XxXX, 0,)xXxi;0, xx0當(dāng)且僅當(dāng);,及)xxRXxii;,)yxyxXyxiii線性賦范空間一定是距離空間。線性賦范空間一定是距離空間。11完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間。完備的線性賦范空間稱為巴拿赫空間。 完備空間：若完備空間：若 X 空間中的任一空間中的任一 Cauchy 序列都序列都 收斂于收斂于X中的點(diǎn)，則稱中的點(diǎn)，則稱 X 為完備空間。為完備空間。4) 巴拿赫空間巴拿赫空間柯西序列：柯西序列： 設(shè)設(shè) X 中的點(diǎn)列中的點(diǎn)列 滿足對(duì)于任意滿足對(duì)于任意 總總 有有 存在，使得對(duì)一切存在，使得對(duì)一切 都有都有 則稱則稱 為為X 的柯西序列。的柯西序列。mx00m0,

9、mnm,),(nmxxdmx5) 希爾伯特空間希爾伯特空間( Hilbert)內(nèi)積空間內(nèi)積空間: 定義了內(nèi)積運(yùn)算的復(fù)線性空間。定義了內(nèi)積運(yùn)算的復(fù)線性空間。 內(nèi)積運(yùn)算應(yīng)滿足：內(nèi)積運(yùn)算應(yīng)滿足：12;, )xyyxi;,有,)zyzxzyxCii希爾伯特空間希爾伯特空間 ： 完備的內(nèi)積空間。完備的內(nèi)積空間。xxx,范數(shù)范數(shù)yxyxd),(距離距離意義意義：在：在 Hilbert空間中，任一元素空間中，任一元素(函數(shù)函數(shù))均可用均可用Hilbert空間內(nèi)的柯西序列空間內(nèi)的柯西序列(收斂的無(wú)收斂的無(wú)窮序列窮序列)無(wú)失真地逼近。無(wú)失真地逼近。; 0,時(shí)，有0當(dāng)且僅, 0,)xxxyxiii當(dāng), x x13

10、6)幾個(gè)空間的關(guān)系及其與信號(hào)分析的聯(lián)系幾個(gè)空間的關(guān)系及其與信號(hào)分析的聯(lián)系線性空間線性空間線性距離空間線性距離空間巴拿赫空間巴拿赫空間范數(shù)誘導(dǎo)距離范數(shù)誘導(dǎo)距離線性賦范空間線性賦范空間滿足完備性滿足完備性Hilbert空間空間距離距離線性線性線性線性定義了距離定義了距離線性、距離線性、距離距離由范數(shù)誘導(dǎo)距離由范數(shù)誘導(dǎo)線性、距離由范數(shù)誘導(dǎo)線性、距離由范數(shù)誘導(dǎo)完備性完備性線性、賦范、完備空間線性、賦范、完備空間定義了內(nèi)積定義了內(nèi)積定義了函數(shù)內(nèi)積定義了函數(shù)內(nèi)積函數(shù)或信號(hào)空間函數(shù)或信號(hào)空間滿足線性運(yùn)算滿足線性運(yùn)算14作業(yè)作業(yè)4-14-1 請(qǐng)分析說(shuō)明在請(qǐng)分析說(shuō)明在Hilbert空間中定義線性、空間中定義線性

11、、距離和內(nèi)積在研究和分析信號(hào)時(shí)有哪些用途？距離和內(nèi)積在研究和分析信號(hào)時(shí)有哪些用途？152 基、正交基、雙正交基基、正交基、雙正交基定義定義1 函數(shù)序列張成的空間函數(shù)序列張成的空間如集合如集合X 中任一元素可由中任一元素可由 線性組合表示線性組合表示 即即)(tk)()( ,)(tatsXtskkkkspanX則稱則稱)(在： 20RLetjk例1中張成一空間中張成一空間 X ，即，即ktjkkeatsXts0)( )(ZkespanXtjk ,016例例2 2 )() 10(01)(其它ttt)(t11),(ZnntspanX則稱則稱為尺度空間為尺度空間Znnt ),(即由即由所張成的空間為尺

12、度空間，且所張成的空間為尺度空間，且mnmtnt)(),(17定義定義2 基底基底(基基)如集合如集合X 中任一元素可由中任一元素可由 線性組合表示線性組合表示 即即)(tk)()( ,)(tatsXtskkk且且 是唯一的。則稱是唯一的。則稱 是是X的一的一個(gè)基或基底個(gè)基或基底kaZktk),(yxyx 0,則若定義定義3 正交正交定義定義4 標(biāo)準(zhǔn)正交系標(biāo)準(zhǔn)正交系 若若 滿足滿足 ，則稱則稱 為標(biāo)準(zhǔn)正交系為標(biāo)準(zhǔn)正交系。( )nt ( )nt( ),( )()mnttmn18定義定義5 完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系 設(shè)設(shè) X 為內(nèi)積空間，為內(nèi)積空間， 為為 X 中的標(biāo)準(zhǔn)正交中的標(biāo)準(zhǔn)正交 系

13、，若系，若 X 中不存在非零元素，使它與所有的中不存在非零元素，使它與所有的 正交，稱正交，稱 為完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系為完全的標(biāo)準(zhǔn)正交系(規(guī)范正交系規(guī)范正交系) 。nnn基基(底底) ( )( )kkks tat( )ktX( )s tXka 唯一標(biāo)準(zhǔn)正交系標(biāo)準(zhǔn)正交系( )( )mntt( ),( )mnmntt ( )( )kkks tat( ),s tX X是內(nèi)積空間( )Xkt張成整個(gè) 空間完全標(biāo)準(zhǔn)正交系完全標(biāo)準(zhǔn)正交系19在在Hilbert 空間中，只要找到一個(gè)規(guī)范正空間中，只要找到一個(gè)規(guī)范正 交系交系 則則Znn,)()(,)(tatsHtskkk)(),(ttsakk把傅氏級(jí)數(shù)推廣到把傅

14、氏級(jí)數(shù)推廣到 Hilbert 空間中即：空間中即：Hilbert 空間中的空間中的Fourier變換變換Hilbert 空間中的空間中的Fourier變換變換20Example-1在復(fù)空間在復(fù)空間 中的一組規(guī)范正交基是函數(shù)系中的一組規(guī)范正交基是函數(shù)系)2 , 0(2Ljkte21在復(fù)空間在復(fù)空間 中任意函數(shù)在該系下的展開(kāi)系數(shù)中任意函數(shù)在該系下的展開(kāi)系數(shù)稱為稱為Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù))2 , 0(2LFourier級(jí)數(shù)是用來(lái)分析周期級(jí)數(shù)是用來(lái)分析周期T=2的函數(shù)，當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，當(dāng)T時(shí)，可以得到時(shí)，可以得到Fourier變換。變換。21Example-2在實(shí)空間在實(shí)空間 中的一組規(guī)范正交基是函數(shù)系中的

15、一組規(guī)范正交基是函數(shù)系)(2RLsin(/),(/)ssssf tn fnZf tn f在實(shí)空間在實(shí)空間 中任意函數(shù)在該系下的展開(kāi)系數(shù)中任意函數(shù)在該系下的展開(kāi)系數(shù)為以為以fs為采樣率的函數(shù)采樣，即采樣定理。為采樣率的函數(shù)采樣，即采樣定理。)(2RL空間的直和空間的直和(正交補(bǔ)正交補(bǔ))Hilbert空間空間,.,21NspanH,.,211LspanH,.,212NLLspanH則稱則稱H1和和H2是是H的子空間。如果的子空間。如果0) 1 (21HH )()2(21全集HHH則稱則稱H是是H1和和H2的直和，記為：的直和，記為：21HHH22定義定義 6 雙正交基雙正交基 在函數(shù)空間在函數(shù)空間

16、 X 中，若存在兩個(gè)基底，中，若存在兩個(gè)基底， 與對(duì)偶基與對(duì)偶基 ，它們本身不正，它們本身不正 交，但彼此正交。即交，但彼此正交。即Zktk)()(tk)(,klkl與則稱)(tk是雙正交的Zktk)(1221,1122,0,0 1212例如：例如：23則如果,)(Xts)()(),()(tttstskkk)()(),(tttskkk函數(shù)在雙正交基中展開(kāi)函數(shù)在雙正交基中展開(kāi)正交基、雙正交基特點(diǎn)：正交基、雙正交基特點(diǎn)：i 正交系中各分量之間線性獨(dú)立，展開(kāi)式正交系中各分量之間線性獨(dú)立，展開(kāi)式系數(shù)唯一系數(shù)唯一 存在存在 Parseval 公式，即函數(shù)能量等于展公式，即函數(shù)能量等于展開(kāi)式系數(shù)平方之和開(kāi)

17、式系數(shù)平方之和243. 框架和緊框架框架和緊框架222| |,| |nnABsss,Znn0A0B BAHs設(shè)設(shè)是是Hilbert空間中的一組向量，如果存在實(shí)常數(shù)空間中的一組向量，如果存在實(shí)常數(shù)和和，且，且，則對(duì)任意信號(hào)，則對(duì)任意信號(hào)，若使得，若使得 ,ZnnBA,構(gòu)成空間構(gòu)成空間H中的一個(gè)框架。其中，中的一個(gè)框架。其中，稱為框架界。稱為框架界。1)框架的定義框架的定義25則如果,)(Xts)()(),()(tttstskkk)()(),(tttskkk2)用框架的進(jìn)行信號(hào)分解用框架的進(jìn)行信號(hào)分解物義：物義：框架也是函數(shù)序列，其特點(diǎn)是框架框架也是函數(shù)序列，其特點(diǎn)是框架 中各分量之中各分量之間不

18、一定正交，可以是線性獨(dú)立的，也可以是線性相間不一定正交，可以是線性獨(dú)立的，也可以是線性相關(guān)，按該函數(shù)序列對(duì)信號(hào)可以展開(kāi)，關(guān)，按該函數(shù)序列對(duì)信號(hào)可以展開(kāi)，Parseval 公式不公式不一定成立，展開(kāi)前后信號(hào)的能量?jī)H僅存在近似關(guān)系。一定成立，展開(kāi)前后信號(hào)的能量?jī)H僅存在近似關(guān)系?？蚣艿挠猛究蚣艿挠猛荆嚎蚣苁怯糜谘芯啃盘?hào)的框架是用于研究信號(hào)的分解和重構(gòu)分解和重構(gòu)的重的重要理論，只要保證了框架界為有限值，則用這一組框要理論，只要保證了框架界為有限值，則用這一組框架對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解是架對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解是完備的完備的，并且由分解系數(shù)對(duì)信號(hào)，并且由分解系數(shù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)也是進(jìn)行重構(gòu)也是穩(wěn)定的穩(wěn)定的。但分解系數(shù)可能

19、。但分解系數(shù)可能存在冗余存在冗余。26A=B 之框架為緊框架。之框架為緊框架。3) 緊框架緊框架222|,|sssnnBA在在中中當(dāng)當(dāng) A=B=1 時(shí)，框架成為正交基。時(shí)，框架成為正交基。27框架界框架界A，B的物理意義的物理意義：,ZnnBA0構(gòu)成空間構(gòu)成空間H中的一個(gè)框架。則有，中的一個(gè)框架。則有，1),Znn構(gòu)成一個(gè)緊框架時(shí)有構(gòu)成一個(gè)緊框架時(shí)有A=B，如果，如果 ,Znn各分量之間是線性相關(guān)的，則各分量之間是線性相關(guān)的，則A1,因此因此A 可以作為可以作為冗余的測(cè)度，冗余的測(cè)度，A越大，冗余越大。越大，冗余越大。 2),Znn各分量之間是線性獨(dú)立的，則有各分量之間是線性獨(dú)立的，則有 BA

20、13)在非緊框架的情況下，有在非緊框架的情況下，有B/A1,其值越大，重構(gòu)誤差其值越大，重構(gòu)誤差也越大，與其對(duì)偶框架的相差也越大。也越大，與其對(duì)偶框架的相差也越大。4)284)信號(hào)在框架下重建信號(hào)在框架下重建i）緊框架）緊框架 A=B=1 正交基正交基jjjtsts),()(jjjtsA),(1A=B 緊框架緊框架jjjtsts),()(jjA1where29 框架框架jZjjtsBAtsBA),(2)( jjtsts),()(BAjjBA2說(shuō)明說(shuō)明: (1)函數(shù)在框架中展開(kāi)不存在函數(shù)在框架中展開(kāi)不存在Parseval 定理，信定理，信號(hào)能量與展開(kāi)式能量只有近似相等關(guān)系。號(hào)能量與展開(kāi)式能量只有

21、近似相等關(guān)系。(2)在找不到正交基和雙正交基的情況下，函數(shù)可在找不到正交基和雙正交基的情況下，函數(shù)可在框架中展開(kāi)，只要誤差能量小，也能滿足應(yīng)用在框架中展開(kāi)，只要誤差能量小，也能滿足應(yīng)用的要求。的要求。305) Riesz基基222|,|sssBAnn,Znn一組向量一組向量，如果滿足：，如果滿足：0, 0BA(2)存在常數(shù)存在常數(shù)，使得，使得,Znn是是Hilbert空間的空間的Riesz基?；?。則稱則稱,Znn是線性獨(dú)立的；是線性獨(dú)立的；(1)注意注意,ZnnRiesz基也是一個(gè)框架，但其要求比一般的框架嚴(yán)，即基也是一個(gè)框架，但其要求比一般的框架嚴(yán)，即是線性獨(dú)立的。是線性獨(dú)立的。,ZnnRi

22、esz基的對(duì)偶框架基的對(duì)偶框架，也是線性獨(dú)立的，也是線性獨(dú)立的,因此因此也構(gòu)成一個(gè)也構(gòu)成一個(gè)Riesz基基Riesz基和其對(duì)偶基構(gòu)成雙正交關(guān)系?；推鋵?duì)偶基構(gòu)成雙正交關(guān)系。 31用一般基函數(shù)集用一般基函數(shù)集 展展開(kāi)信號(hào)開(kāi)信號(hào)s(t) Nii，, 2 , 1, ),()()(1batttsNiiiiNijijtttts1)(),()(),()(),(ttsiiu信號(hào)變換的一般描述信號(hào)變換的一般描述,1,2,iiN，為對(duì)偶基為對(duì)偶基32用矩陣表示用矩陣表示)(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),()(),(212121222211

23、1211ttsttsttsttttttttttttttttttNNNNNNNN 1是否存在別的與是否存在別的與 相關(guān)的相關(guān)的基函數(shù)同樣可以對(duì)函數(shù)基函數(shù)同樣可以對(duì)函數(shù)s(t)展開(kāi)展開(kāi))(ti？33Njtj, 2 , 1),(Nkkkiitt1,)()(ikNjjijkkitttt1,*)(),()(),(I *212222111211NNNNNNNjjjkktt1,)()(34Nkkkiitts1,*)(),(為對(duì)偶基集Njtj, 2 , 1),()(),(ttsii信號(hào)分解信號(hào)分解Nniitttsts1)()(),()(信號(hào)合成信號(hào)合成Nkkkitts1,)(),(Nkkkitts1,)(),

24、()(),(ttsi35信號(hào)可以用一組基分解；用信號(hào)可以用一組基分解；用另一組基來(lái)合成另一組基來(lái)合成 36將有限維空間表示法推廣到連續(xù)的情況，將有限維空間表示法推廣到連續(xù)的情況，即即UZiNiiitts1)()(),()(ttiUdtxts),()()(積分變換基核積分變換基核信號(hào)的積分表示信號(hào)的積分表示37)541 ( )(),()()(UdtttsxT)531 ( )(),()()(TtdtxtsU問(wèn)題：如果問(wèn)題：如果 變換對(duì)成立的條件是什么？變換對(duì)成立的條件是什么？ 積分變換對(duì)偶基核積分變換對(duì)偶基核38 TUU TdstIddtsts)(),(),(),()()()(),(),(),(t

25、dttIUU(1-54)代入代入(1-53) 同理同理(1-53)代入代入(1-55) )(),(),(),(TTdtttI39),()()(1batttsNnii, 2 , 1,)(),(ittsiiikkitt)(),(),(),()()(TtdtxtsU)(),()()(UdtttsxT)(),(),(tdtU)(),(),(Tdttt信號(hào)的離散表示和連續(xù)表示的對(duì)比信號(hào)的離散表示和連續(xù)表示的對(duì)比注意注意: 選擇不同的基核和對(duì)偶基核，可對(duì)選擇不同的基核和對(duì)偶基核，可對(duì)應(yīng)信號(hào)不同的變換應(yīng)信號(hào)不同的變換40Example: Example: 在在 空間中，基核空間中，基核),(2Ltjtjet

26、tet2*2),(),(),( 產(chǎn)生產(chǎn)生Fourier變換對(duì)變換對(duì) 41信號(hào)線性變換信號(hào)線性變換正交變換正交變換雙正交變換雙正交變換非正交變換非正交變換Niiitts1)()(dtttsii)()(*正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)基函正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)基函數(shù)，和信號(hào)變換的基函數(shù)相同，數(shù)，和信號(hào)變換的基函數(shù)相同，并且是一組正交基。即對(duì)偶基并且是一組正交基。即對(duì)偶基和基函數(shù)是相同的。和基函數(shù)是相同的。)()(ttjijijittji 01)(),(u信號(hào)變換的分類信號(hào)變換的分類42信號(hào)線性變換信號(hào)線性變換正交變換正交變換雙正交變換雙正交變換非正交變換非正交變換Niiitts1)()(dtttsii)(

27、)(*雙正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)基函雙正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)基函數(shù)，和信號(hào)變換的基函數(shù)不同，數(shù)，和信號(hào)變換的基函數(shù)不同，但它們都是彼此正交的正交基，但它們都是彼此正交的正交基，但自身并不正交。但自身并不正交。jijittji 01)(),(jijittji 01)(),(jijittji 01)(),(43信號(hào)線性變換信號(hào)線性變換正交變換正交變換雙正交變換雙正交變換非正交變換非正交變換非正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)非正交信號(hào)變換的級(jí)數(shù)展開(kāi)基函數(shù)，和信號(hào)變換的基函基函數(shù)，和信號(hào)變換的基函數(shù)不同，它們都是非正交基數(shù)不同，它們都是非正交基。Niiitts1)()(dtttsii)()(*44非正交變換非正交

28、變換信號(hào)表示信號(hào)表示線性表示線性表示非線性表示非線性表示正交變換正交變換雙正交變換雙正交變換0)(!1tnnndttsdnc02210)()()()(nnntsctsctscctsTaylors expansion矩展開(kāi)矩展開(kāi)45主要內(nèi)容主要內(nèi)容uFourier變換的局限性變換的局限性u(píng)短時(shí)短時(shí)Fourier變換與變換與Gabor變換變換u時(shí)頻分析的基本知識(shí)時(shí)頻分析的基本知識(shí)46Short Time Fourier Transform短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 STFTWTSTFTFT1.歷史背景歷史背景2.平穩(wěn)與非平穩(wěn)信號(hào)平穩(wěn)與非平穩(wěn)信號(hào)2) 廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 信號(hào)的一階信

29、號(hào)的一階(均值均值)、二價(jià)統(tǒng)計(jì)量、二價(jià)統(tǒng)計(jì)量(相關(guān)函數(shù)、相關(guān)函數(shù)、 功率譜功率譜)與時(shí)刻與時(shí)刻 t 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)嚴(yán)格平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) 信號(hào)的各階統(tǒng)計(jì)量與時(shí)刻信號(hào)的各階統(tǒng)計(jì)量與時(shí)刻 t 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。3) . 非平穩(wěn)信號(hào)非平穩(wěn)信號(hào) 頻率隨時(shí)間變化的信號(hào)統(tǒng)稱為非平穩(wěn)信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的信號(hào)統(tǒng)稱為非平穩(wěn)信號(hào) 。 例：語(yǔ)音、音樂(lè)、地震信號(hào)等。例：語(yǔ)音、音樂(lè)、地震信號(hào)等。471) . FT 是信號(hào)的單域變換。是信號(hào)的單域變換。 時(shí)域時(shí)域 頻域頻域3 . Fourier變換變換 特點(diǎn)特點(diǎn)dtetsStj)()(deStstj)()21 ()(2) . FT 是信號(hào)的全域變換。是信號(hào)的全域變換。F

30、T反映了信號(hào)的全域反映了信號(hào)的全域 ( 時(shí)、頻時(shí)、頻 ) 特征。特征。FT不能反映信號(hào)的局域不能反映信號(hào)的局域 ( 時(shí)、頻時(shí)、頻 ) 特征。特征。484 . Fourier變換的局限性變換的局限性缺乏時(shí)間和頻率的定位功能缺乏時(shí)間和頻率的定位功能 例如例如：壓控振蕩器是一個(gè)：壓控振蕩器是一個(gè)電壓頻率變換裝置。輸電壓頻率變換裝置。輸入電壓為周期性鋸齒波。入電壓為周期性鋸齒波。 02004006008001000120014001600180020000102030405060708090信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜 050100150200250300350400010203040506070頻譜的放大頻

31、譜的放大 TimeFrequency00.20.40.60.811.21.41.61.801002003004005006007008009001000輸出信號(hào)的短時(shí)輸出信號(hào)的短時(shí)Fourier變換變換 頻率頻率時(shí)間時(shí)間對(duì)于時(shí)變信號(hào)結(jié)論：結(jié)論：通過(guò)適當(dāng)選擇窗函數(shù)，可以獲得相應(yīng)通過(guò)適當(dāng)選擇窗函數(shù)，可以獲得相應(yīng)的時(shí)頻分析圖，可以獲得相應(yīng)的信號(hào)的局部的時(shí)頻分析圖，可以獲得相應(yīng)的信號(hào)的局部特性。特性。51對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的局限性對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)的局限性 壓控振蕩器輸出信壓控振蕩器輸出信號(hào)的時(shí)頻分布的三號(hào)的時(shí)頻分布的三維表示維表示 信號(hào)的信號(hào)的瞬時(shí)頻瞬時(shí)頻率率，表示的是信，表示的是信號(hào)的譜峰在時(shí)間號(hào)的譜峰在

32、時(shí)間頻率平面上的頻率平面上的位置及其隨時(shí)間位置及其隨時(shí)間的變化情況，瞬的變化情況，瞬時(shí)頻率曲線也是時(shí)頻率曲線也是信號(hào)能量的主要信號(hào)能量的主要集中之處。集中之處。Fourier變換后信號(hào)變換后信號(hào)頻譜頻譜中的頻率中的頻率反映的是整體信反映的是整體信號(hào)中包含的某一頻率分量號(hào)中包含的某一頻率分量的平均值。的平均值。 52在時(shí)間和頻率分辨上的局限性在時(shí)間和頻率分辨上的局限性 頻率分辨率頻率分辨率是通過(guò)一個(gè)頻域窗函數(shù)來(lái)觀察頻是通過(guò)一個(gè)頻域窗函數(shù)來(lái)觀察頻譜時(shí)，所能看到的頻率寬度。譜時(shí)，所能看到的頻率寬度。時(shí)間分辨率時(shí)間分辨率是通過(guò)一個(gè)時(shí)域窗函數(shù)來(lái)觀察是通過(guò)一個(gè)時(shí)域窗函數(shù)來(lái)觀察時(shí)間信號(hào)時(shí)，所能看到的時(shí)間寬度

33、。時(shí)間信號(hào)時(shí)，所能看到的時(shí)間寬度。 結(jié)論：結(jié)論：Fourier變換僅僅適用于平穩(wěn)信號(hào)分變換僅僅適用于平穩(wěn)信號(hào)分析，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的本質(zhì)把握不好析，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)的本質(zhì)把握不好53矛盾矛盾：時(shí)頻不確定性原理指出，時(shí)間分辨率和頻率：時(shí)頻不確定性原理指出，時(shí)間分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最好。分辨率不可能同時(shí)達(dá)到最好。 解決矛盾的方法解決矛盾的方法：根據(jù)是快變信號(hào)還是慢變信號(hào)，：根據(jù)是快變信號(hào)還是慢變信號(hào)，來(lái)選擇不同的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。來(lái)選擇不同的時(shí)間分辨率和頻率分辨率。工程應(yīng)用的工程應(yīng)用的目標(biāo)目標(biāo)：同時(shí)得到好的時(shí)間分辨率和好的：同時(shí)得到好的時(shí)間分辨率和好的頻率分辨率頻率分辨率 Fourier

34、變化無(wú)法解決這樣的問(wèn)題。變化無(wú)法解決這樣的問(wèn)題。 545 .克服克服 Fourier變換的局限性的方法變換的局限性的方法短時(shí)短時(shí)Fourier變換變換 信號(hào)的子帶分解信號(hào)的子帶分解 小波變換和多分辨分析小波變換和多分辨分析時(shí)頻聯(lián)合分析時(shí)頻聯(lián)合分析 作業(yè)作業(yè)4-24-2 請(qǐng)分析說(shuō)明請(qǐng)分析說(shuō)明Fourier變換的特點(diǎn)和局限性，變換的特點(diǎn)和局限性，可有哪些舉措來(lái)克服這些局限性？可有哪些舉措來(lái)克服這些局限性？55主要內(nèi)容主要內(nèi)容uFourier變換的局限性變換的局限性u(píng)短時(shí)短時(shí)Fourier變換與變換與Gabor變換變換u時(shí)頻分析的基本知識(shí)時(shí)頻分析的基本知識(shí)561.定義定義短時(shí)短時(shí)Fourier變換，

35、又名變換，又名加窗的加窗的Fourier變換變換*( ,)( )()j tss ttedt F( ), ()j ts tte( ) t其中，時(shí)限函數(shù)稱為分析窗*( )()j ts ttedt*( ,)( )()j tss ttedt F短時(shí)短時(shí)Fourier變換的闡釋變換的闡釋*( )()j ts ttedt*( )()j ts ttedt( ), ()j ts tte( ),j ts t eFourier變換變換571.定義定義(續(xù)續(xù))tjett)(),(短時(shí)短時(shí)Fourier變換的核函數(shù)為變換的核函數(shù)為其中其中是位移參數(shù)是位移參數(shù), 其其Fourier變換為變換為dteetvjvttj)(

36、)(,) ()()(dtetetvjvj)()(vjevwhere)()(t58( ) t窗函數(shù)：高斯窗、漢明窗、矩形窗窗函數(shù)：高斯窗、漢明窗、矩形窗對(duì)窗函數(shù)要求：時(shí)、頻域都有良好的局域性，即能量對(duì)窗函數(shù)要求：時(shí)、頻域都有良好的局域性，即能量在時(shí)、頻域高度集中在時(shí)、頻域高度集中(緊支撐特性緊支撐特性)。 該變換是一維該變換是一維 t 時(shí)域向二維時(shí)域向二維 、域空間的積分變換。域空間的積分變換。tjsetts)(),(),(F)(),(21,vvSdvevvSvj)(*)()(21dvevvSejvj)()(2*59窗口窗口 窗函數(shù)中心窗函數(shù)中心 ：窗函數(shù)能量的重心。：窗函數(shù)能量的重心。 窗口寬

37、度：窗函數(shù)能量相對(duì)于中心的標(biāo)準(zhǔn)差。窗口寬度：窗函數(shù)能量相對(duì)于中心的標(biāo)準(zhǔn)差。 窗口面積窗口面積t-0.8-0.4-0.200.20.40.60.8信號(hào)幅度信號(hào)幅度-0.6)(ts)(t)()(tts解釋解釋160t-0.8-0.4-0.200.20.40.60.8信號(hào)幅信號(hào)幅度度-0.6)(ts)(t)()(tts-4-20246810121416-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.811()jtte-4-2024681012141600.10.20.30.40.50.60.70.80.91()t-4-20246810121416-1-0.8-0.6-0.4-0.200.

38、20.40.60.812()jtte解釋解釋261(a)f(b)t短時(shí)短時(shí)Fourier變換的基函數(shù)和時(shí)頻網(wǎng)格變換的基函數(shù)和時(shí)頻網(wǎng)格 tjet)( tjsetts)(),(),(F622 短時(shí)短時(shí)Fourier變換的逆變換變換的逆變換*( ,)( )()j tss ttedt F兩邊作兩邊作Fourier逆變換逆變換 dtdettsdetjjs)()()(21),(21Fdtttts)()()()()( sdettstjs),()0(21)(F631( )( ,) ()2j tss tg ted d F重構(gòu)函數(shù)必須滿足條件重構(gòu)函數(shù)必須滿足條件*( ) ( )1t g t dt*()() () ()tttg ttt d 特點(diǎn)：特點(diǎn)： (1)對(duì)連續(xù)對(duì)連續(xù) STFT 連續(xù)變化窗口大小不變。連續(xù)變化窗口大小不變。 (2) 服從海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理服從海森堡測(cè)不準(zhǔn)原理 需用三維空間表示。需用三維空間表示。, tct),(sF還可以用下式