中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)設(shè)計

1、課程簡介初中數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)設(shè)計【課程簡介】本課程主要研究初中數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)的設(shè)計。設(shè)計者從數(shù)學(xué)概念的定義、初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的現(xiàn)狀、初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略及注意事項等方面進行了較為詳細地闡述。列舉了大量的教學(xué)實例說明概念的引入、概念的剖析與辨析、概念的應(yīng)用與鞏固等環(huán)節(jié)的注意事項，特別提出：初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)課堂的設(shè)計，要力求使學(xué)生參與到概念的發(fā)生與形成過程中，了解概念的來龍去脈，理解概念的內(nèi)涵與外延，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，在頭腦中形成相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò)。即弄清為什么學(xué)、怎么學(xué)、學(xué)了有什么用以及如何用的問題?！緦W(xué)習(xí)要求】1經(jīng)驗反思：結(jié)合你的教學(xué)經(jīng)驗，總結(jié)出在概念教學(xué)過程中，自己做的好的地方、有問

2、題的地方以及目前還存在困惑的地方。2行為跟進：在總結(jié)與反思的基礎(chǔ)上，結(jié)合自己對概念教學(xué)的認識，設(shè)計一個概念教學(xué)的課例。3合作學(xué)習(xí)：組內(nèi)交流課例，大家提出改進意見后進一步完善。專題講座初中數(shù)學(xué)概念課堂教學(xué)設(shè)計俞京寧（北京教育學(xué)院豐臺分院）學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有一個現(xiàn)象：當(dāng)解決數(shù)學(xué)某一問題遇到困難時，如果追根求源，就會發(fā)現(xiàn)，往往是由于他們在某一個或某一些概念處產(chǎn)生問題，而導(dǎo)致思維受阻。許多事實例證了正確地理解 數(shù)學(xué)概念是牢固掌握數(shù)學(xué)知識，靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的金鑰匙?；诖?，我們就要對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)進行分析，并且希望找到合理的概念教學(xué)的模式，以使教師的教課與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輕松而有成效。一、什么是數(shù)

3、學(xué)概念？概念是反映客觀事物本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念，就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實踐，從數(shù)學(xué)所研究的對象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而形成的。它是進行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點?？梢?，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生必須掌握的重要基礎(chǔ)知識之一，是數(shù)學(xué)基本技能的形成與提高的必要條件，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的重點內(nèi)容。 為什么學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解總是停留在表層，往往知其然，并不知其所以然？教學(xué)中如何進行有效地概念教學(xué)，以使學(xué)生真正的理解概念？這是每名教師都在思考的問題。二、 目前概念教學(xué)的現(xiàn)狀數(shù)學(xué)概念具有抽象性、發(fā)展性、生成性等特點，

4、它的特點以及初中學(xué)生認知的思維水平的限制性，決定了他們在學(xué)習(xí)過程中，會對一些抽象的、不常接觸的概念不容易理解，需要教師進行合理的教學(xué)設(shè)計，使學(xué)生能夠參與到概念的發(fā)生與形成過程中，了解概念的來龍去脈，理解概念的內(nèi)涵與外延，弄清概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，在頭腦中形成相關(guān)概念的網(wǎng)絡(luò)，以達到掌握并靈活運用的程度。對于概念教學(xué)這個問題，在新課程實施以來，廣大教師都有了一定的認識，加強了對概念教學(xué)的重視程度。但由于各種各樣的原因，事實上，大部分教師只是停留在思想的層面上，而行動上仍然是傳統(tǒng)的教學(xué)模式。案例 1 ：前不久聽一位教師關(guān)于“平方根”的概念教學(xué)課，上課開始，教師呈現(xiàn)一組面積不同的正方形，要求學(xué)生求邊長

5、 x 。這組題對于初二的學(xué)生來講，能夠很快的得到答案。由于邊長都非負，所以學(xué)生的第一反應(yīng)說出的都是這組數(shù)的算術(shù)平方根，因為教師設(shè)計要講平方根，所以要求學(xué)生寫出計算過程，并強調(diào) ，然后取正舍負，再由這四個例子進行抽象概括出平方根與算數(shù)平方根的定義：即 時，我們把 叫做 的平方根，其中正值又叫做 的算術(shù)平方根。接下來就是根據(jù)定義求一些非負數(shù)的平方根與算術(shù)平方根的題組訓(xùn)練。表面上看，教師似乎讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的抽象概括的過程，但實質(zhì)上，教師的設(shè)計只是形式化的，并沒有使學(xué)生真正的參與到平方根的發(fā)生與形成過程中，沒有使學(xué)生真正弄清楚為什么 叫做 的平方根，所以可以想到學(xué)生只是機械的接受概念，在此基

6、礎(chǔ)上照貓畫虎式進行解題練習(xí)，這種做法一定會造成學(xué)生后期將平方根與算術(shù)平方根混淆。案例 2：關(guān)于“同類項”的教學(xué)：教師往往采用如下引入：下面各式有何共同特點，請用簡潔的語言敘述：（ 1） ；（ 2） ,而后師生共同歸納出同類項的概念。這樣的教學(xué)只是揭示了“同類項是什么”，而沒有揭示“為什么提出同類項的概念，為什么教學(xué)中這樣定義同類項概念”。這里涉及到科學(xué)分類的問題，分類是自然科學(xué)中的基本邏輯方法，通常是根據(jù)所研究的具體問題，選取恰當(dāng)?shù)臉?biāo)準，然后根據(jù)對象的屬性，把他們不重不漏地劃為若干類別，再分別加以研究，從某種程度上說，概念是對客觀事物按照某種需要進行分類的產(chǎn)物，僅僅以事實為基礎(chǔ)形成的概念難以遷

7、移。案例 3：“矩形”概念的教學(xué)：首先采用合作學(xué)習(xí)：用 6根火柴棒首尾順次相接擺成一個平行四邊形。議一議：（1）能擺成多少個不同的平行四邊形？他們有什么特點？（2）在這些平行四邊形中，有沒有面積最大的一個平行四邊形？說出你的理由。（學(xué)生分組討論）生 1：我們這組認為，可以擺成無數(shù)個平行四邊形，他們的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。師：這些特點都是平行四邊形的性質(zhì)，鄰邊有什么特點嗎？生 1： (猶豫 )鄰邊不相等，其比值始終是 2： 1.生 2：有一個面積最大的平行四邊形，即長方形，因為平行四邊形的面積等于底邊乘以高，如果擺成長方形，高與平行四邊形的一邊相等，這樣面積才是最大的。（眾生疑惑）

8、師：你能說一下這個平行四邊形一個內(nèi)角的特點嗎？生 2：每個角都是直角。師：實際上，平行四邊形有一個內(nèi)角是直角，我們把這樣的平行四邊形就叫做矩形。生 (嘩然）：這不是小學(xué)的長方形嗎？教師在學(xué)生的疑惑聲中，畫出圖形，板書課題及矩形定義。在這個案例中，教師創(chuàng)設(shè)情境，采用小組合作學(xué)習(xí)的形式，通過“平行四邊形什么時候面積最大”的問題引導(dǎo)學(xué)生動手操作，從而引入矩形的定義，卻沒有取得很好的教學(xué)效果： 1.很多學(xué)生對“當(dāng)平行四邊形是矩形時，面積最大”的知識沒有真正理解，實質(zhì)上這個問題是平行四邊形面積與垂線段性質(zhì)兩方面知識的綜合，它與矩形的定義沒有多大關(guān)系； 2.矩形的邊沒有特殊性，但教師卻要求學(xué)生說出鄰邊之比

9、 2： 1，這無意中強調(diào)矩形鄰邊的不等性，使得在生成矩形概念時，學(xué)生錯誤的認為，矩形就是長方形； 3.這樣的問題設(shè)計很難在學(xué)生頭腦中形成“矩形是平行四邊形一個內(nèi)角的特殊化”的概念。教材把“矩形”安排在平行四邊形之后，就是因為它是特殊的平行四邊形，因此完全可以用概念同化的方法進行矩形概念的教學(xué)，這與以前學(xué)過的平行四邊形和將要學(xué)習(xí)的菱形、正方形在研究思路、方法上一脈相承，這樣的設(shè)計充分尊重學(xué)生的實際情況，可以使學(xué)生在獲得知識的同時，培養(yǎng)其類比思維的能力。盡管新課程倡導(dǎo)動手操作、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)方式，但更應(yīng)該根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的已有知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)制訂教學(xué)策略，應(yīng)該以有利于學(xué)生知識的獲得

10、、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累和數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟為標(biāo)準。在我們的日常教學(xué)中，類似于以上的概念教學(xué)并不是少數(shù)，我們將目前部分教師的概念教學(xué)模式進行簡單的歸納，可以分為以下幾類：（一）開門見山，教師直接給出定義，歸納注意事項、舉例讓學(xué)生反復(fù)練習(xí)；（二）認為概念教學(xué) = 解題教學(xué)，所以通過大容量訓(xùn)練，使學(xué)生逐步認識概念；（三）創(chuàng)設(shè)情境，但情境的選擇并不能揭示概念的本質(zhì)，只是為了設(shè)計情境而刻意安排的，讓人感到前后不夠協(xié)調(diào)；（四）注意到讓學(xué)生參與概念的形成過程，但在概念的分析過程中，缺乏與學(xué)生已有知識的聯(lián)系，總感覺每個概念都是孤零零的，沒有形成系統(tǒng)。這些模式的教學(xué)，其效果往往事倍功半，耗費學(xué)生大量的時間與精力，但知

11、識掌握的一知半解，吃夾生飯，對問題的解決，依靠簡單的機械模仿，所有的訓(xùn)練都游離在知識的表層甚至知識之外。長此以往，必將使學(xué)生成為并不優(yōu)秀的“做題機器”，數(shù)學(xué)雙基也無法落實。鑒于此，反思我們的概念教學(xué)就顯得尤為重要，到底什么樣的概念教學(xué)模式可以稱之為好的，有效的教學(xué)模式是什么呢？我認為應(yīng)該沒有統(tǒng)一的模式，教學(xué)有法、教無定法，只要教師能重視基本概念蘊含的智力開發(fā)價值，注意充分挖掘基本概念蘊含的數(shù)學(xué)思想方法的教育價值，能夠使學(xué)生掌握知識、發(fā)展能力的概念教學(xué)都是有效的、好的教學(xué)。三、初中數(shù)學(xué)課堂概念教學(xué)的一些想法從教育與發(fā)展心理學(xué)的角度出發(fā)，概念教學(xué)的核心就是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維

12、活動打開，以若干典型事例為載體，引導(dǎo)學(xué)生分析各事例的屬性、抽象概括其共同的本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動而獲得概念。數(shù)學(xué)概念要講背景、講思想、講應(yīng)用，概念教學(xué)則強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷概念的概括過程，由于數(shù)學(xué)能力是以數(shù)學(xué)概括為基礎(chǔ)的能力，因此重視數(shù)學(xué)概括過程對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有基本的重要性。概念的課堂教學(xué)大致經(jīng)歷以下幾個環(huán)節(jié)：概念的引入、概念的生成、概念的剖析及辨析、相關(guān)概念的聯(lián)系與區(qū)別、概念應(yīng)用舉例、概念的鞏固練習(xí)。下面結(jié)合實例就其中關(guān)鍵環(huán)節(jié)談?wù)勗谠O(shè)計時的注意事項。（一）概念的引入概念的引入是概念課教學(xué)的起始步驟，是形成概念的基礎(chǔ)。傳統(tǒng)教學(xué)中在教學(xué)方式上是以教師傳授為主，學(xué)生被動接受學(xué)習(xí)，這

13、顯然不利于新課程背景下創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)。課程標(biāo)準中提出“ 抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，幫助學(xué)生克服機械記憶概念的學(xué)習(xí)方式”。通過概念引入過程的教學(xué)，應(yīng)該使學(xué)生明確：“概念在生活中的實際背景是什么？”“為什么引入這一概念”以及“將如何建立這一概念”，從而使學(xué)生明確活動目的，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，提取有關(guān)知識，為建立概念的復(fù)雜智力活動做好心理準備。在引入過程中教師要積極地為學(xué)生創(chuàng)設(shè)有利于他們理解數(shù)學(xué)概念的各種情境，給學(xué)生提供廣闊的思維空間，讓他們逐漸養(yǎng)成主動探究的習(xí)慣，從而實現(xiàn)新課程標(biāo)準中提出的通過主動探究來獲取知識，使學(xué)生的學(xué)習(xí)活動不再單純地依賴于教師的講授，教師努力成為學(xué)習(xí)的參

14、與者、協(xié)作者、促進者和組織者。我認為在概念課的引入上，要樹立起讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)的觀念，如果能讓學(xué)生產(chǎn)生認知沖突，對學(xué)習(xí)新概念的必要性產(chǎn)生需求，并主動發(fā)現(xiàn)新概念是最佳途徑。這樣學(xué)生們在運用概念時不但“知其然”也“知其所以然”，同時還能培養(yǎng)他們的探究精神，激發(fā)學(xué)生的潛能。所以對于情境的設(shè)計，要結(jié)合概念的特點恰當(dāng)?shù)剡x取，特點不同，引入形式也就會存在差異：我們提倡借助生動、豐富的實際問題引入概念，能夠與學(xué)生的生活密切結(jié)合，這樣往往比較具體、形象，學(xué)生容易理解，也比較容易從中提煉出概念的本質(zhì)屬性，比如數(shù)與代數(shù)中的同類項、分式等，空間與圖形中的角、平行線、三角形等；但并非所有的數(shù)學(xué)概念都適宜用這種方法，比

15、如前面提到的平方根，我認為從數(shù)學(xué)內(nèi)部的運算關(guān)系角度入手，更容易理解（后面會具體分析）。下面介紹概念引入的三種想法：1. 聯(lián)系概念的現(xiàn)實原理引入新概念。在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生觀察有關(guān)實物、模型、圖示等，讓學(xué)生在感性認識的基礎(chǔ)上，建立概念，理解概念的實際內(nèi)容，搞清楚這些概念是從什么問題上提出來的。例如：在平面幾何平行線的教學(xué)中，可以讓學(xué)生觀察單線練習(xí)本中的一組平行線，分析這組線的位置特點，再利用相交線作對比，然后概括出平行線的定義；在圓的概念的教學(xué)時，讓學(xué)生動手做實驗，取一條定長的細繩，把它的一端固定，另一端栓一支鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的圖形是什么？學(xué)生通過動手實踐，觀察所畫出來的圖形，歸納總結(jié)

16、出圓的定義。2. 從具體到抽象引入新概念。數(shù)學(xué)概念有具體性和抽象性雙重特性。在教學(xué)中就可以從它具體性的一面入手，使學(xué)生形成抽象的數(shù)學(xué)概念。例如：在講線線垂直的概念時，先讓學(xué)生觀察教室或生活中的各種實例，再模擬出線線垂直的模型，抽象出其本質(zhì)特征，概括出線線垂直的定義，并畫出直觀圖，即沿著實例、模型、圖形直至想像的順序抽象成正確的概念，再比如對于一元一次方程的概念，可以借助一些簡單的實例，讓學(xué)生列方程，然后觀察這些具體方程的共同點，從具體到抽象歸納概括出一元一次方程的定義。案例 4 ：對于“用字母表示數(shù)”的教學(xué)，教師展示熟悉的生活實例，確立了一個學(xué)生熟悉的認知對象，由學(xué)生熟悉的鋪地用的各種形狀、各

17、種顏色的地磚鋪地時的圖案入手。提出問題 1 ：觀察圖案 1 至 4 ，用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時黒磚塊數(shù)與圖案序號之間的數(shù)量關(guān)系是什么？學(xué)生答案是：圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號相等。提出問題 2 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時的鋪法不變，請問第五個、第六個圖案中黑磚塊數(shù)是多少？與圖案序號之間的關(guān)系是什么？理由是什么？學(xué)生答案是：第五個圖案中的黑磚塊數(shù)是 5 ，第六個圖案中的黑磚塊數(shù)是 6 ，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號相等”的規(guī)律不變。提出問題 3 ：請同學(xué)們思考，如何使圖案序號與黒磚塊數(shù)之間的關(guān)系一目了然呢？（學(xué)生思考，最后達成共識：列一個圖案序號為第一行，黒磚塊

18、數(shù)為第二行的表格，學(xué)生順便體會到了在處理大量數(shù)字或者相關(guān)問題時的處理方法）圖案序號123456黒磚塊數(shù)123456提出問題 4 ：如果用正六邊形黑白兩色地磚鋪地時的鋪法不變，請問第任意個圖案中黒磚塊數(shù)是多少？與圖案序號之間的關(guān)系是什么？理由是什么？學(xué)生 1 的解答：第任意個圖案中黒磚塊數(shù)是任意個，與圖案序號之間是相等關(guān)系，理由是鋪法不變，就是“圖案中的黒磚塊數(shù)與圖案的序號相等”的規(guī)律不變，即：圖案序號123456第任意個圖案黒磚塊數(shù)123456任意個學(xué)生 2 的解釋：學(xué)生 1 列的表格中的“第任意個圖案”、“任意個”我覺得可以不用文字，但是也不能用具體的數(shù)來說明“第任意個圖案”中黒磚塊數(shù)的任意

19、性，怎么表示呢？學(xué)生 3 解釋：用字母表示“任意個”，因為“任意個”可以是 23 、123 、100 等等，但是一個具體的數(shù)不能表示任意性、一般性，我認為用一個字母就可以表示任意性，字母可以表示任意一個整數(shù)。學(xué)生 3 把表格改寫為：圖案序號123456第 n 個圖案黒磚塊數(shù)123456n至此，學(xué)生初步體會到表示任意性、一般性的問題時需要一個新的表示數(shù)的方法，體會到這類問題不用字母表示不行了，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一個“字母表示數(shù)”的必要性的學(xué)習(xí)情節(jié)，使學(xué)生認識到“字母表示數(shù)”的重要性，從而激發(fā)了學(xué)生進一步探索有關(guān)內(nèi)容的欲望，學(xué)生自己認為重要的、有用的東西，他們才能百分之百的經(jīng)歷、主動、積極地投入到所要做

20、的事情中來，這樣的學(xué)習(xí)才是最有效果的。3. 用類比的方法引入概念。類比不僅是一種重要形式，而且是引入新概念的重要方法。例如：可以通過同類項的定義類比地歸納出同類二次根式的定義，通過類比分數(shù)得到分式的概念，類比一元一次方程得到一元一次不等式、二元一次方程、一元二次方程、一次函數(shù)等概念。作這樣的類比更有利于學(xué)生理解和區(qū)別概念，在對比之下，既掌握了概念，又可以減少概念的混淆。概念的引入方法很多，設(shè)計時不僅要考慮概念自身的特點，還要結(jié)合學(xué)生的認識水平及生活經(jīng)驗，本著有利于突顯概念本質(zhì)的原則。就拿上面提到的平方根概念的教學(xué)引入為例，我認為首先要思考為什么要學(xué)習(xí)這個概念？不學(xué)行不行？其次還要弄清這個概念對

21、學(xué)生來講產(chǎn)生理解它的困難的原因：以前學(xué)生大多接觸的是答案唯一的情況，而正數(shù)的平方根都是兩個，互為相反數(shù)，答案不唯一了，這與學(xué)生已有的思維習(xí)慣產(chǎn)生了沖突，所以學(xué)生非常不習(xí)慣，而前面所提到的這位教師所借助的利用已知正方形面積求邊長的問題設(shè)計，并沒有突破這個難點，相反，容易造成平方根與算術(shù)平方根的混亂，實際上，在他所設(shè)置的背景下，應(yīng)該先介紹算術(shù)平方根更好，因為實際生活中，涉及到開方問題的結(jié)果，絕大部分都是非負數(shù)，并不能形象地揭示平方根的兩個結(jié)果，所以，人教版教材就先安排的是算術(shù)平方根，然后，在不限定字母的取值范圍時，再引入平方根的概念，有利于突出兩個概念的區(qū)別，在對比中加深對平方根概念的理解。其實我

22、認為，平方根的概念與其以生活實際為背景引入，不如從平方與開平方互為逆運算的角度引入更有利于突出重點、突破難點。因為學(xué)生已學(xué)過的加減互為逆運算、乘除互為逆運算，在此基礎(chǔ)上研究乘方的逆運算 - 開方。案例 5 ：設(shè)計如下：教師首先利用競賽的形式，給出兩組練習(xí)，要求學(xué)生口答后，觀察兩組題目的區(qū)別與聯(lián)系： 這種引入概念的方法，是建立在新舊知識的聯(lián)系上，充分考慮學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，使學(xué)生在具體數(shù)值的計算中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第一組題已知底數(shù)、指數(shù)，求冪，第二組已知冪、指數(shù)，求底數(shù)，在此基礎(chǔ)上學(xué)生能夠從特殊推廣到一般。當(dāng)學(xué)生由具體到抽象得到 時，教師可以提出：此時將已知數(shù) a 仍叫做冪、 x 叫做底數(shù)合適嗎？學(xué)生

23、回憶加減法互逆后以及乘除法互逆后各數(shù)的名稱都發(fā)生了變化，所以 中各部分的名稱也應(yīng)相應(yīng)改變。教師可以不急于給出平方根的概念，而讓學(xué)生結(jié)合式子的特點給 x 命名，由于 a 是已知數(shù)，此式從形式上看是一元二次方程，而求 x 就相當(dāng)于求方程中的未知數(shù)，結(jié)合已有知識，學(xué)生能夠想到諸如“二次方程的根 ( 解 ) ”“平方的根”等，在此基礎(chǔ)上，教師再規(guī)范成“平方根”，這樣會更有利于學(xué)生對平方根的理解，因為在參與命名時，學(xué)生就要認真分析式子以及結(jié)果的特點，對理解概念有幫助，在此基礎(chǔ)上，創(chuàng)設(shè)生活中的實例，使學(xué)生感受到生活中更多的是應(yīng)用平方根中那個非負的，順勢提出非負的平方根如何命名？學(xué)生結(jié)合小學(xué)學(xué)的都是算術(shù)，很

24、容易說出算術(shù)平方根。這也保證與數(shù)學(xué)結(jié)果唯一的特性一致了。此外，在分析 時，也可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出，式子中的三個量，知其二，可以求第三個，為后續(xù)高中學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。再比如，前面舉過的“矩形”概念的教學(xué)，另一位老師是這樣設(shè)計的：案例 6 ：首先借助幾何畫板：師：如圖，四邊形 ABCD 是平行四邊形，那么它的邊、角、對角線有什么性質(zhì)？他有什么樣的對稱性？生（齊答）： 對邊相等、對角相等、對角線互相平分；是中心對稱圖形。師：它具有穩(wěn)定性嗎？那么，若把一個內(nèi)角 A變成一個直角，（如圖，拖動點 A，使角 A變成 90度）。這時，平行四邊形 ABCD是我們熟悉的什么圖形？ 生：正方形！我知道了，當(dāng)平行四邊形有一

25、個角是直角時，這個四邊形就是長方形或正方形。從而引入矩形的概念。在這個教學(xué)案例中，教師充分考慮了所教內(nèi)容的系統(tǒng)性及學(xué)生的已有知識及認知水平，概念的形成給人水到渠成的感覺。此外，函數(shù)概念的教學(xué)一直是初中教學(xué)中的難點，因其抽象性而令學(xué)生“望而卻步”。函數(shù)的特點是什么？學(xué)生感到困難的主要原因是什么？我們在進行概念教學(xué)時，都要考慮到。函數(shù)從學(xué)科角度看，研究對象由定到動，思維方式由靜止到運動，而學(xué)生的困難主要源于函數(shù)概念的高度抽象性以及函數(shù)表達形式的多樣性和思維方式的變化。教學(xué)時，就要考慮到這些問題，生活中存在大量的函數(shù)實例，在選擇時要注意所選實例不僅應(yīng)該是學(xué)生熟悉的、感興趣的，還要考慮到實例中要包含函

26、數(shù)的三種表示形式 - 解析法、列表法、圖像法，使學(xué)生從不同的角度，多方位地理解函數(shù)概念 - 從變化、對應(yīng)到形成概念，繼而概念辨析，分層次使學(xué)生逐步加深對函數(shù)本質(zhì)的認識。對于三角形中位線概念的教學(xué)設(shè)計，有老師可能利用生活中的實例引入，也有的老師利用它與三角形中線的區(qū)別與聯(lián)系引入，其實還可以借助學(xué)生動手實驗引入。案例 7 ：事先讓每位學(xué)生準備一張三角形紙片和剪刀，課上讓學(xué)生思考，只剪一刀，將剪成的兩張紙片拼成一個平行四邊形。學(xué)生很樂于參與這種動手操作的活動，根據(jù)生活經(jīng)驗也不難完成活動（如圖），但當(dāng)教師提出“說說你的裁剪方法”時， 學(xué)生只能用生活語言，如“沿三角形的中間剪的”，說不出準確的數(shù)學(xué)語言。

27、此時教師引導(dǎo)學(xué)生觀察裁剪線的端點具有什么樣的特征？有實物模型加上學(xué)生動手剪拼，可以得到 D 、 E 均為各邊的中點。那么，它能叫中線嗎？如果不能，我們可以給它起個什么名字？讓學(xué)生嘗試命名，根據(jù)它位置的特殊性，學(xué)生在教師的啟發(fā)下，可以得到中位線的概念。這樣的設(shè)計激發(fā)了學(xué)生的探究欲望，而且為后續(xù)探究中位線的性質(zhì)埋下了伏筆，可謂一舉多得。由上面的分析可以看出，概念的引入方式?jīng)]有統(tǒng)一的模式，總的原則是通過教師創(chuàng)設(shè)典型、豐富的具體實例（可以讓學(xué)生自己舉例），引導(dǎo)學(xué)生展開分析、比較、綜合等活動，在此基礎(chǔ)上，概括出共同本質(zhì)特征，得到概念的本質(zhì)屬性。為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促進學(xué)生的思考，引入的形式應(yīng)該多種多

28、樣，可以是問題導(dǎo)入、游戲?qū)?、史話?dǎo)入等等。（二）概念的剖析及辨析概念生成之后，應(yīng)用概念解決問題之前，往往要進行概念剖析，即用實例（包括正例與反例）引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵詞的含義，包括對概念特性的考察，可以達到明確概念、再次認識概念本質(zhì)的目的，還可以從中體會概念中所呈現(xiàn)的轉(zhuǎn)化問題的方法，這是最基本、最重要的方法。案例 8 ：函數(shù)定義： 在某一變化過程中有兩個變量 x， y，對于 x的每一個值， y都有唯一確定的值與它對應(yīng)， y叫作 x的函數(shù)，其中 x叫做自變量， y叫做因變量。教師引導(dǎo)學(xué)生分析概念中的關(guān)鍵詞：兩個變量；對應(yīng)；x 的每一個值；y 唯一確定 .關(guān)鍵詞中的“每一個 ”、 “唯一確定 ”是指

29、對于 x取值范圍內(nèi)的每一個值， y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，不能有兩個或者兩個以上與其對應(yīng)。 在此基礎(chǔ)上，給出一些具體問題，讓學(xué)生嘗試利用概念進行辨析練習(xí)，進一步加強對概念的理解。如有一位學(xué)生的考試情況是這樣的： 讓學(xué)生分析每次考試的分數(shù)與序號之間是否具有函數(shù)關(guān)系？再比如：在 中， y 是不是 x 的函數(shù)？那么反過來 x 是不是 y 的函數(shù)呢？還可以給出右圖，讓學(xué)生對圖像中 y 與 x 的關(guān)系進行判斷，是否具有函數(shù)關(guān)系然后利用兩個圖像進行對比，從中體會“唯一”的含義。 還可以讓學(xué)生自己舉出一些例子，大家一起判斷所舉例子是否存在函數(shù)關(guān)系。在概念剖析練習(xí)中，進一步體會概念的內(nèi)涵與外延，認識函數(shù)的本

30、質(zhì)。此外，在剖析概念時通常要對概念的多種表示語言進行轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)語言主要是文字敘述、符號表示、圖形表示，要會三者的翻譯，同時更重要的是強調(diào)符號感。 三種語言的轉(zhuǎn)換在空間與圖形的教學(xué)中體現(xiàn)得較為充分。例如：在講三角形的中位線的概念時，得到定義“聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線”后，往往會要求學(xué)生根據(jù)定義畫出與之相對應(yīng)的圖形，然后，要求學(xué)生嘗試用符號語言來表示定義。即：在 ABC 中， D 為 AB邊中點， E為 AC邊中點， DE為 ABC 的中位線。（三角形中位線定義）反之，已知： DE 為 ABC 的中位線， D 為 AB邊中點， E為 AC邊中點。（三角形中位線定義）兩個角度的描述

31、，體現(xiàn)定義的雙重性（性質(zhì)、判定），然后讓學(xué)生畫出三角形中所有的中位線，進一步體會它的位置特征。往往還會要求學(xué)生將中位線與三角形的中線進行對比，找相同點與差異，在對比中進一步熟悉三角形的中位線。再比如案例 9：全等三角形的概念：引入全等形的概念“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形 ”后 ,給出一組判斷題：判斷下列三組圖形是否是全等形：第一組：兩個三角形；第二組：兩面中國國旗第三組：兩個六邊形其中第三組圖片，教師根據(jù)學(xué)生回答，利用幾何畫板動態(tài)演示其中一個圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)后是否與另一個圖形重合的過程，從而驗證學(xué)生的判斷，鞏固全等形的概念 .提問 ：你認為兩個圖形是全等形應(yīng)具備哪幾個條件？教師引導(dǎo)學(xué)生

32、歸納總結(jié)出：（ 1）形狀相同；（ 2）大小相等。你還能再舉出生活中具有全等形的例子嗎？學(xué)生在思考問題的過程中，進一步認識全等形的概念。其中對于概念中所涉及到的圖形，要注意采用圖形變式，加強對概念的理解。比如，圓中直徑的概念，有的教師教學(xué)中一般畫出的圖形如圖 1，忽視了其他的情況，造成有些不愛動腦筋的學(xué)生的定勢思維，認為只有滿足圖 1的情形， AB才叫直徑，對于變式圖形中的直徑識別不出來。所以在概念教學(xué)中圖形的變式訓(xùn)練，有利于突出概念的本質(zhì)，只要抓住概念的本質(zhì)，就可以保證無論圖形如何改變，都能從中找到研究的對象。（三）相關(guān)概念的區(qū)別與聯(lián)系數(shù)學(xué)概念不是孤立存在的，概念間都有著千絲萬縷的聯(lián)系，概念教

33、學(xué)還應(yīng)該承擔(dān)著建立與相關(guān)概念的聯(lián)系的任務(wù)，教學(xué)時，要引導(dǎo)學(xué)生試著對概念進行適度的聯(lián)系與發(fā)散，努力找出概念間一些體現(xiàn)共性的東西，以使學(xué)生形成功能良好的認知結(jié)構(gòu)。案例 10 ：對于三角函數(shù)的教學(xué)，我們先對函數(shù)概念的本質(zhì)特征進行逐層剖析，再通過類比，來學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)： 如圖，在銳角 （不妨令 BAC= ）的一邊上任取一點 B ，作 BC AC ，垂足為點 C ，當(dāng) 確定時，三個相應(yīng)的比值 、 、 隨之確定，與點 B 的位置無關(guān)；而當(dāng)銳角 變化時，三個相應(yīng)的比值隨之變化說明變量的存在性“存在某個變化過程”； “在某個變化過程中有兩個變量 ”（不妨令 ，以此為例）說明三角函數(shù)同樣是研究兩個變量之間的依

34、存關(guān)系；“對于 在某一范圍內(nèi)的每一個確定的值”說明變量 的取值是有范圍限制的，即在銳角范疇內(nèi)研究它們；“ 有唯一確定的值和它對應(yīng)”說明有唯一確定的對應(yīng)規(guī)律，由以上類比剖析可知，銳角三角函數(shù)概念的本質(zhì)同樣是一種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系不能像一次函數(shù)那樣用解析式表示，只能用特定的符號來表示，這也是它與以前所學(xué)代數(shù)函數(shù)的區(qū)別所在。另外，教學(xué)中還要使學(xué)生明白：銳角三角函數(shù)概念的建立，是對函數(shù)概念的一種升華，即從對應(yīng)的角度來認識函數(shù)。對應(yīng)的角度的認識：可以 是一對一，也可以是多對一（如二次函數(shù)），但不能是一對多的，掌握了這一點，我們可以據(jù)此進行一些訓(xùn)練，概念通過這樣的聯(lián)系與發(fā)散，同學(xué)們一定會對三角函數(shù)有進

35、一步的認識。再比如，對于二次函數(shù)的教學(xué)，可以類比一次函數(shù)進行定義，此外還要引導(dǎo)學(xué)生分析它與二次方程、二次不等式以及二次代數(shù)式四者之間的關(guān)系。使學(xué)生對它們有全面的認識，知識點串成線，最后結(jié)成網(wǎng)，必然有利于知識的理解與應(yīng)用。再有，對于梯形的教學(xué)，教師首先要認識到，它是一個組合圖形，是由特殊的平行四邊形和三角形組合而成的，所以它基本上沒什么性質(zhì)，而是通過圖形分解，轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形來解決問題的。其次教師要將這一點傳遞給學(xué)生，學(xué)生如果明確了，那么也就能自覺地添加輔助線解決問題了。如果進一步能夠弄清四邊形與三角形如何拼成梯形，那么，對于如何添加輔助線將梯形轉(zhuǎn)化為特殊的平行四邊形以及三角形就不是特別

36、困難了。（四）概念的應(yīng)用舉例與訓(xùn)練鞏固概念的形成是一個由個別到一般的過程，而概念的運用是一個由一般到個別的過程，它們是學(xué)生掌握概念的兩個階段。通過運用概念解決實際問題，可以加深、豐富和鞏固學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握，并且在概念的運用過程中培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要注意概念的形成過程，也要注意概念的應(yīng)用。根據(jù)不同概念的特點，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段，激勵學(xué)生實現(xiàn)對概念的理解，才能使學(xué)生學(xué)得好、學(xué)得牢。這一階段，主要是選用有代表性的簡單例子，使學(xué)生形成用概念做判斷的具體步驟。例如：在全等三角形的教學(xué)中，對于定義不難理解，但是在應(yīng)用定義的性質(zhì)解決問題時，學(xué)生往往由于找不準對應(yīng)邊與對應(yīng)角而出現(xiàn)問題

37、，為了突破這個難點，可以安排如下例題：（1）指出對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊和對應(yīng)角；（2）在此圖形中，你還能得到哪些結(jié)論？闡述你的理由。預(yù)案 ： AB FD， AC FE， BD=CE等等。（3）教師拖動三角形的一個頂點，學(xué)生觀察圖形的變化情況，引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論：兩個三角形形狀雖然改變了，但它們?nèi)鹊年P(guān)系仍舊保持不變。得出結(jié)論后，教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生觀察對應(yīng)邊、對應(yīng)角的變化，并得出結(jié)論：雖然長度和角度發(fā)生了變化，但對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等這一結(jié)論卻始終保持不變。這一環(huán)節(jié)通過改變?nèi)切蔚男螤?，讓學(xué)生感受到全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角在圖形變換中相等這一關(guān)系始終保持不變的性質(zhì)，從而樹立“對應(yīng)”思想。（4）教師將 FD

38、E 進行 平移，改變兩個全等三角形的位置關(guān)系，讓學(xué)生觀察對應(yīng)邊、對應(yīng)角的變化，并引導(dǎo)學(xué)生思考在圖形的運動變換過程中還有哪些關(guān)系保持著不變的性質(zhì)。通過改變兩個全等三角形的位置關(guān)系，讓學(xué)生體會全等變換，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力。接下來可以讓學(xué)生自己動手操作：兩人一機，利用幾何畫板操作平臺探究并完成實驗報告（見下表） .要求： 1對實驗報告中的由全等三角形圖形變換得到的組合圖形進行探究，指出對應(yīng)邊和對應(yīng)角；2 通過幾何畫板課件動態(tài)操作演示，研究每組圖形所具有的特殊的數(shù)量關(guān)系或位置關(guān)系，將結(jié)論填寫在實驗報告上， 然后全班交流、師生共同評價，并對學(xué)生給予及時的鼓勵。通過學(xué)生的小組合作探究，培養(yǎng)學(xué)生的交流能力和語言表達能力，幾何畫板的動態(tài)演示可幫助學(xué)生識別對應(yīng)邊、對應(yīng)角，從而突破教學(xué)難點。例 2：已知 :如圖，長方形 ABCD沿 AM折疊，使點 D落在 BC上的 N點處如果 AD=10， DAM=25°， 則 AN=_ , NAB=_通過此題的解決，教師引導(dǎo)學(xué)生反思得出：全等三角形的性質(zhì)提供了相等的線段和相等的角，為今后的證明開拓了解題的思路。通過例題配備，對所學(xué)知識進行及時反饋，使學(xué)生能夠利用全等的概念和性質(zhì)解決問題。再比如，對