數(shù)學建模：高考志愿選取的層次分析

1、高考志愿選取的層次分析一 . 引言大學是廣大中學生心目中神圣的知識殿堂,對于每個擁有“大學夢”的中學畢業(yè)生來說,填報 高考志愿是他們通向高等學府關鍵的一步。在填報高考志愿時,學生和家長往往要考慮各種因素來 權衡利弊以做出最優(yōu)決策,但面對錯綜復雜的情況在緊迫的時間里又很難做出正確的選擇,而如果 他們填報志愿不得當,又勢必會對今后的發(fā)展有所影響,甚至于終生遺憾。因此在這里,我將綜合 學生在報考時最關心的幾個因素,幫助他們進行定量分析,以便更合理地填報高考志愿。二 . 問題的分析對于填報高考志愿這一事件,要想做出最優(yōu)決策,需要考慮的因素很多,而在這些因素中有些 可以定量化,有些只有定性關系。為將半定

2、性、半定量問題轉化為定量問題,可以采用層次分析法。 這種方法可以將各種有關因素層次化,并逐層比較多種關聯(lián)因素,為決策提供可比較的定量依據(jù), 所以針對填報高考志愿這一事件,我們將采取層次分析法。首先,我們確定目標為:填報高考志愿(A ,這里考慮的主要因素有:學校聲譽(B1、教學水平(B 2 、學校環(huán)境(B3、興趣愛好(B4、報考風險(B5、畢業(yè)后出路(B6、地理位置(B7,同時在教學水平(B2中我們還要同時考慮教師水平(C1 、學生水平(C2 、教學設備(C3這三個子 因素。最后我們將從學生提出的八個志愿中,選擇出最佳的四個。為了形象地表示出它們的關系,我們列出了它們之間的關系,如圖 三 . 建

3、立模型(一構造成對比較陣面臨的決策問題是:要比較 n 個因素 x 1, x 2, x n ,對目標 A 的影響,我們要確定它們在 A 中所 占的比重,即這 n 個因素對目標 A 的相對重要性。我們用兩兩比較的方法將各因素重要性的定性部 分數(shù)量化。設有因素 x 1, x 2, x n 每次取兩個因素 x i x j ,用正數(shù) a ij 表示 x i 與 x j 的重要性之比。由全部比較 結果得到矩陣 A=(a ij ,稱作成對比較陣 A 。nm n n nn a a a a a a a a a , , , , , 212, 2221112, 11 顯然有 n j i a a a ij ijij

4、>=, 1, 0, 1。然后求出成對比較矩陣 A 的最大特征值及其對應的特征向量 Y=(y1,y 2, ,y n T , 定義標準化向量Tn i inn i in i i Y Y Y YY Y Y =11211, , , ' 。 用標準化向量 Y 來反應 n x x x x , , , 21 = 這 n 個因素對目標 A 的相對重要性, Y 為同一層 次中相應元素對于上一層次中某個因素相對重要性的排序權值。 (二權向量對于已知的成對比較陣 A 來說,有 A Y=Y max 。由矩陣運算法則可知:當 n 較大時,精確地 計算成對比較 A=(a ij 的最大特征值 max 和特征向量

5、比較麻煩,而又由于 A 中的元素 a ij 是重要性 的比值,而重要性是人們根據(jù)目標推測出來的,精確度并不高,所以沒有必要十分精確地計算出max 和特征向量。因此,可以采用下述方法來近似計算 max 和相應的特征向量。對成對比較陣 A=(a ij ,令, , , 2, 1(111n k aaU ni n j ijnj kjk = (*稱 U=(U 1, U 2, U n T為 X=x1, x 2, x n 的權向量,它反映 n 個因素對目標 A 的相對重要 性。經驗證, U 與 Y 誤差很小,所以一般都用 U 代替 Y 。對于公式(* , 對于一致性矩陣, , ii ij y x a =即滿足

6、 a ij a jk =aikU k 可以簡化為, 1111=ni iknj jn i inj jk k xx xx x x U則, , 2, 1(, , , 11211n i x x x xx x U Tn i inn i in i i =. X i 代表第 i 項因素的重要性指標。四 . 實際計算下面將調查兩名學生(A 1, A 2 ,根據(jù)他們所提供的情況,建立一致性矩陣,幫助他們填報志愿。 設七種因素學校聲譽、教學水平、學校環(huán)境、興趣愛好、報考風險、畢業(yè)后出路、地理位置分 別為 B 1, B 2, B 7。在七種因素教學水平中設有三個子因素教師水平 C 1、學生水平 C 2、教學設備 C

7、 3。學生所要報考 的八個志愿分別為 K 1, K 2, K 8。同時,設重要性指標為 110,其中 10為最重要的, 1為最不重要的。 (一考查學生 A1(目標 A1(1考慮 B=B1, B 2, B 7這七個因素對目標 A 1的相對重要性。 U (x =(0.189,0.170,0.094,0.132,0.189,0.189,0.037 。 (2考慮 C=C1, C 2, C 3這三個因素對目標 A 1的相對重要性。 U (y =(0.348,0.391,0.261T。經調查學生 A 1所要選報的八個志愿為:北大國際金融、北大臨床醫(yī)學、北大生化、清華建筑、 南開機電、北京體院、復旦物理、清

8、華數(shù)學,分別設這八個志愿為 K 1, K 2, K 8。(3考慮對于因素 C 1, C 2, C 3,比較 K 1, K 2, K 8的相對差異。 Wc1(K =(0.127,.0.127,0.127,0.127,0.127,0.111,0.127,0.127 ,Wc2(K=(0.137,0.137,0.137,0.137,0.123,0.082.,0.110,0.137T ,Wc3(K=(0.122,0.122,0.134,0.134,0.122,0.122,0.122,0.122T 。(4考慮對于因素 B 1 , B3, B4, B7,比較 K1, K2, K8的相對差異。 B1WB3(K

9、=(0.128,0.128,0.128,0.128,0.128,0.116,0.116,0.128T ,WB4(K=(0.192,0.173,0.135,0.096,0.077,0.135,0.135,0.057T ,WB5(K=(0.022,0.044,0.022,0.156,0.178,0.222,0.222,0.134T ,WB6(K=(0.152,0.152,0.152,0.152,0.106,0.074,0.106,0.106T ,WB7(K=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.116,0.130,0.104,0.130T最后再計算學生 A1所選報的八個志愿的得分:

10、W A1 (K1=U(x1 WB1(K1+=+ =733121(j iiCiiBjjKWyUxUKWxU 0.189×0.137+0.094×0.128+0.132×0.192+0.189×0.022+0.189×0.152+0.037×0.130+0.170×(0.348×0.127+0.391×0.137+0.261×0.122=0.123 12.W A1 (K2=0.122 13, WA1(K3=0.116 18, WA1(K4=0.136 36,W A1 (K5=0.124 67, WA

11、1(K6=0.122 99, WA1(K7=0.138 06,W A1 (K8=0.117 72很顯然,得分排在前四位的志愿為 K 7 , K4, K5, K1,也就是說復旦物理、清華建筑、南開機電、北大國際金融這四個志愿最適合 A1報考。 (二 考查學生 A2(目標 A2(1考慮 B=B1U (x =(2考慮 C=C 1 , C2, C3這三個因素對目標 A2的相對重要性。U (y =(經調查,學生 A2所要選報的八個志愿為:清華金融、清華精密儀器、北大計算機、北大物理、北大環(huán)境、廈門數(shù)學、廈門法學、北航計算機,分別設這八個志愿為 K 1 , K2, K 8。(3考慮對于因素 C 1 , C

12、2, C3,比較 K1, K2, K8的相對差異。 Wc1Wc2(K= (0.132,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.104T , Wc3(K= (0.118,0.132,0.132,0.132,0.132,0.118,0.118,0.118T 。(4考慮對于因素 B 1 , B3, B4, B7,比較 K1, K2, K8的相對差異。 B1WB3WB4(K=(0.164,0.115,0.131,0.115,0.082,0.131,0.131,0.131,T ,WB5WB6(K=(0.137,0.123,0.137,0.096,0.137,0.096

13、,0.137,0.137T ,WB7(K=(0.130,0.130,0.130,0.130,0.130,0.123,0.123,0.123T 。最后再計算學生 A2所選報的八個志愿的得分:W A2 (K1=U(x1 WB1(K1+=+=733121(j iiCiiBjjKWyUxUKWxU 0.204×0.132+0.082×0.127+0.163×0.164+0.204×0.024+0.143×0.137+0.041×0.13+0.163×(0.28×0.127+0.4×0.132+0.32×

14、0.118 =0.114 45W A2 (K2=0.110 29, WA2(K3=0.139 79, WA2(K4=0.101 33,W A2 (K5=0.116 91, WA2(K6=0.144 03, WA2(K7=0.149 89,W A2 (K8=0.125 15很顯然,得分拓在前四位的志愿是 K 7 , K6, K3, K8,也就是廈門法學、廈門數(shù)學、北大計算機、北航計算機這四個志愿最適合 A2報考。五 . 模型的改進與推廣(1通過上面的分析與計算,我們已經將填報高考志愿這一問題,由不定性的模糊判斷轉化為定量的分析，并最終通過建立數(shù)學模型，為兩位學生各選擇了四所最有希望考上的學校。但

15、這只是 在理想狀況下的結果，有很多問題還需要我們在填報志愿時進行考慮和分析。例如在填報志愿時所 報考的學校一定要拉開檔次，這樣即使第一志愿學校沒被錄取上，在檔次相差較大的第二志愿會有 更大希望被錄取。我們前面所做出的模型，只是將學生所選擇的八個學校定量地排了個名次，所以 學生在填報志愿時不能將得分前四名的學校全填在最前面，最終具體如何報考還要看學生當時的實 際情況和側重點。 ， （2） 在前面的數(shù)學模型中，我并沒有直接訪問高三學生每兩個因素之間的重要性之比（即 aij） 而是分別問了他們心目中的每個因素的重要性指標， 然后再用 xi 做出矩陣。 這樣做是因為直接詢問 xj 高三學生每兩個因素之

16、間的重要性之比比較困難（人們很難馬上將兩個關聯(lián)不大的因素用定量化的 數(shù)字之比表示出他們之間的重要性，而用數(shù)字分別表示每個因素的重要性比較容易） 。 ，而將其所構成的成對比較 如果我們直接詢問高三學生每兩個因素之間的重要性之比（即 aij） 陣就可能會出現(xiàn)一致性問題。 下面簡要說一下關于一致性問題的解決方法。 對于成對比較陣 A 來說，其中的關系應滿足 a ij a jk = a ik ,1 i, j , k n, 這樣的成對比較陣 A 為一致矩陣。 而 由 于 人 的 思 維 活 動 的 原 因 ， 人 們 用 a ij 構 成 的 成 對 比 較 陣 A 往 往 不 是 一 致 矩 陣 ，

17、即 a ij a jk a ik ,所以在分析 X=x1,x2,xn對目標 A 的影響時，必須對 A 進行一致性檢驗。 因為 n 階成對比較陣 A 是一致矩陣， 當且僅當 A 的最大特征值 性，則 max n 。于是我們引入一致性指標 max = n ，所以若 A 不具有一致 CI = max ( A n n 1 。 將 CI 作為衡量成對比較陣 A 不致程度的標準， max ( A 稍大于 n 時， A 具有滿意的一致性。 當 稱 此外，用這樣的方法定義一致性是不嚴格的，還要給出量度。令這里 RI 為平均隨機一致性指標 （查表可得） ，CR 稱為隨機一致性比率，可以用 CR 代替 CI 作為一致性檢驗的臨界值。當 CR0.1 時，就認為 A 有滿意的一致性，否則就必須重新調整成對比較陣 A，直到達到