數(shù)學(xué)建模實(shí)例人口預(yù)報(bào)問題

1、數(shù)學(xué)建模實(shí)例：人口預(yù)報(bào)問題1.問題人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長(zhǎng)的前提.下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型，并利用表1給出的近兩百年的美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對(duì)模型做出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2000年、2010年美國(guó)人口.表1 美國(guó)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)年（公元）人口（百萬）17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2年（公元）人口（百萬）186031.4187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.5年（公元）人口（百萬）1930123.

2、21940131.71950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42.指數(shù)增長(zhǎng)模型（馬爾薩斯人口模型）此模型由英國(guó)人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus17661834）于1798年提出.1 假設(shè)：人口增長(zhǎng)率r是常數(shù)（或單位時(shí)間內(nèi)人口的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的人口成正比）.2 建立模型： 記時(shí)刻t=0時(shí)人口數(shù)為x0, 時(shí)刻t的人口為，由于量大，可視為連續(xù)、可微函數(shù).t到時(shí)間內(nèi)人口的增量為： 于是滿足微分方程： （1）3 模型求解： 解微分方程（1）得 （2） 表明：時(shí)，（r0）.4 模型的參數(shù)估計(jì)：要用模型的結(jié)果（2）來預(yù)報(bào)人口，必須對(duì)其中的參數(shù)r進(jìn)行估計(jì)，這可以用

3、表1的數(shù)據(jù)通過擬合得到.擬合的具體方法參見數(shù)值分析教材中的插值問題.通過表中1790-1980的數(shù)據(jù)擬合得：r=0.307. 5 模型檢驗(yàn)： 將x0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的1810-1920的人口數(shù)，見表2.表2 美國(guó)實(shí)際人口與按指數(shù)增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較年實(shí)際人口（百萬）指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)人口（百萬）誤差（%）17903.918005.318107.27.31.418209.610.04.2183012.913.76.2184017.118.79.4185023.225.610.3186031.435.010.8187038.647.823.81880

4、50.265.530.5189062.989.642.4190076.0122.561.2191092.0167.682.11920106.5229.3115.3 從表2可看出，1810-1870間的預(yù)測(cè)人口數(shù)與實(shí)際人口數(shù)吻合較好，但1880年以后的誤差越來越大. 分析原因，該模型的結(jié)果說明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長(zhǎng).而事實(shí)上，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的限制作用越來越顯著.如果當(dāng)人口較少時(shí)人口的自然增長(zhǎng)率可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長(zhǎng)率就要隨著人口增加而減少.于是應(yīng)該對(duì)指數(shù)增長(zhǎng)模型關(guān)于人口凈增長(zhǎng)率是常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.下面的模型是在修改的模型中

5、著名的一個(gè). 3. 阻滯增長(zhǎng)模型（Logistic模型）1假設(shè)：（a）人口增長(zhǎng)率r為人口的函數(shù)（減函數(shù)），最簡(jiǎn)單假定（線性函數(shù)），r叫做固有增長(zhǎng)率.（b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量.2建立模型： 當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)率應(yīng)為0，即=0，于是，代入得： （3）將（3）式代入（1）得：模型為： （4） 3 模型的求解： 解方程組（4）得 （5） 根據(jù)方程（4）作出 曲線圖，見圖1-1，由該圖可看出人口增長(zhǎng)率隨人口數(shù)的變化規(guī)律.根據(jù)結(jié)果（5）作出xt曲線，見圖1-2，由該圖可看出人口數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律. ox圖1-1 曲線圖 xto圖1-2 xt曲線圖4 模型的參數(shù)估計(jì)：利用表1中1790-1980

6、的數(shù)據(jù)對(duì)r和xm擬合得：r=0.2072, xm=464. 5 模型檢驗(yàn)：將r=0.2072, xm=464代入公式（5），求出用指數(shù)增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)的1800-1990的人口數(shù)，見表3第3、4列.也可將方程（4）離散化，得 t=0,1,2, (6)用公式（6）預(yù)測(cè)1800-1990的人口數(shù)，結(jié)果見表3第5、6列.表3 美國(guó)實(shí)際人口與按阻滯增長(zhǎng)模型計(jì)算的人口比較年實(shí)際人口（百萬）阻滯增長(zhǎng)模型公式（5）公式（6）預(yù)測(cè)人口（百萬）誤差（%）預(yù)測(cè)人口（百萬）誤差（%）17903.918005.35.90250.11373.90000.264218107.27.2614 0.0085 6.50740.09

7、6218209.68.93320.06958.68100.0957183012.910.98990.148111.41530.1151184017.113.52010.209415.12320.1156185023.216.63280.283119.81970.1457186031.420.46210.348326.52280.1553187038.625.17310.347835.45280.0815188050.230.9687 0.383143.53290.1328189062.938.09860.394356.1884 0.1067190076.046.86990.383370.145

8、90.0770191092.057.66070.373384.73050.07901920106.570.93590.3339102.46260.03791930123.2 87.26740.2917118.9509 0.03451940131.7107.35880.1848137.88100.04691950150.7132.07590.1236148.7978 0.01261960179.3162.4835 0.0938170.27650.05031970204.0199.8919 0.0201201.17720.01381980226.5245.91270.0857227.57480.00471990251.4302.52880.2034250.4