數(shù)學(xué)建模第一講

1、 一個大學(xué)生如果具有堅實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(素質(zhì)),那么將來他(她)無論從事什么樣的工作, 成功的機(jī)會都大. 數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)來解決各種實(shí)際問題的橋梁, 因此了解、掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法也是具有良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)(素質(zhì))的重要組成部分. “硬能力”很重要！“一位美國朋友談及對未來中國人的看法: 20年后, 中國年輕人會丟了中國人現(xiàn)在的硬能力, 他們崇拜各種明星, 不愿獻(xiàn)身科學(xué), 不再以學(xué)術(shù)研究為榮, 聰明拔尖的學(xué)生都去學(xué)金融、法律等賺錢的專業(yè); 而美國人因為認(rèn)識到其硬能力(例如數(shù)學(xué))不行, 進(jìn)行教育改革, 20年后, 不但保持了其軟實(shí)力即非專業(yè)能力的優(yōu)勢, 而且在硬能力上趕上中國人.”“正在丟失的硬實(shí)力

2、”, 魯 鳴, 青年文摘2011年第5期 其實(shí)金融、法律等專業(yè)也需要許多數(shù)學(xué)! (全文見“參考文章”)什么是數(shù)學(xué)建模? 數(shù)學(xué)模型(Mathematical Model)是用數(shù)學(xué)符號對一類實(shí)際問題或?qū)嶋H發(fā)生的現(xiàn)象的(近似的)描述.數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modeling)則是獲得該模型并對之求解、解釋驗證并得到結(jié)論的全過程. 數(shù)學(xué)建模不僅是了解基本規(guī)律, 而且從應(yīng)用的觀點(diǎn)來看更重要的是預(yù)測和控制所建模的系統(tǒng)的行為的強(qiáng)有力的工具.觀察、分析實(shí)際問題抽象、簡化，確定變量和參數(shù) 利用某種“定律”建立變量和參數(shù) 間的確定的關(guān)系(數(shù)學(xué)問題, 這個層次上的一個數(shù)學(xué)模型) 解析或“近似”地求解該數(shù)

3、學(xué)問題（數(shù)學(xué)模型） 解釋、驗證、預(yù)測和發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象 通不過通過 可應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型, 模擬(仿真) 甚至預(yù)測定義：數(shù)學(xué)建模就是上述框圖多次執(zhí)行的過程 簡言之: 合理假設(shè)、數(shù)學(xué)問題、解釋驗證. 數(shù)學(xué)問題 = 建立數(shù)學(xué)模型 + 求解數(shù)學(xué)模型合理假設(shè)、建立數(shù)學(xué)模型、 求解數(shù)學(xué)模型、解釋驗證.記住這些, 將會受益即使對于那些自己幾乎不做建模的學(xué)生, 他們也將面對其他人的模型.(Even students who will do little modeling on their own will be confronted by the models of others.) 數(shù)學(xué)上, 希格斯玻色子(的存在

4、性)是描述稱為希格斯場的一種力場的方程組的一個推論. 物理學(xué)家Brian Greene說: “這是能對現(xiàn)實(shí)世界的各種事情作出預(yù)測的數(shù)學(xué)方法的偉大勝利.” “40多年來, 這個希格斯玻色子一直是我們的方程中假設(shè)的數(shù)學(xué)符號.”(Essay: Nature's secrets foretold Higgs discovery celebrates math's power to make predictions about the real world, By Tom Siegfried, Science News, July 4th, 2012.)植根于核科學(xué)的數(shù)學(xué)模型也在環(huán)境科學(xué)

5、家的工具箱中找到了一席之地. 依賴于數(shù)值方法的最早的全球氣候模型與核武器設(shè)計者研發(fā)的模型十分相似, 后者是為了分析核爆炸產(chǎn)生的沖擊波必須求解的流體動力學(xué)方程.(Nuclear Weapons' Surprising Contribution to Climate Science, ScienceDaily (July 13, 2012)貸款問題 離散模型 某人想貸款200,000, 20年用來買房. 如果按當(dāng)時的年利率6.39%, 20年后一次還清的話, 銀行將按月利率0.5325%的復(fù)利計算, 要還太多了, 怕還不起, 所以決定每個月還一點(diǎn)錢. 假設(shè): 月等額還款，20年還請.提示:

6、貸款模型是按月利率，按月計算的.用符號表示，設(shè)一開始的貸款金額記為，貸款年數(shù)記為，年利率記為R = 0.0639，月利率記為r = R/12 = 0.005325數(shù)學(xué)模型的建立：確定變量以及變量之間的關(guān)系, 即數(shù)學(xué)模型的建立：這個月(記為第n個月)尚欠銀行的款數(shù)記為, 上個月(記為第n - 1個月)結(jié)余欠款記為加上利息記為，減去這個月的還款, 還欠.所以,這個月的欠款等于上個月欠款加上利息, 再減去這個月的(等額)還款; 一開始的借(欠)款已知; 20年必須還清. 用數(shù)學(xué)語言表示, 即: 表示20年 = 240個月還清貸款. 求解這個數(shù)學(xué)模型只需要用到等比級數(shù)部分和的求和公式. 數(shù)學(xué)模型的求解

7、: 容易觀察出規(guī)律, 并用數(shù)學(xué)歸納法證明, 對于任何n有由等比級數(shù)部分和的求和公式()于是有由于, 所以解釋驗證:利用數(shù)學(xué)軟件, 例如, Mathematica，Matlab，可以用不同的數(shù)據(jù)代入此公式得到結(jié)果和銀行的結(jié)果相比較相關(guān)問題在公式4個變量中任何一個都可以作為因變量，其他3個作為自變量，這樣就又有了另外3個數(shù)學(xué)模型.或練習(xí) 請嚴(yán)格按照“合理假設(shè)、數(shù)學(xué)模型的建立、數(shù)學(xué)模型的求解、解釋驗證”的步驟來回答下列問題. 某人想貸款買房, 他估計在10年里每月的還款能力x = 3000元沒有問題, 已知貸款年利率R = 6%(月利率r = 0.5%), 貸款年數(shù)為N = 10年. 1. 建立他應(yīng)

8、該借多少錢的數(shù)學(xué)模型. 2. 請從你所建立的數(shù)學(xué)模型估算一下他應(yīng)該借(貸款)多少錢? (提示: ). 作業(yè) 花旗銀行的一則低息現(xiàn)金貸款廣告：借50,000元, 分36期(月) 還清, 每月還1,637元. 問：該銀行的貸款月利率為多少？再論貸款問題 連續(xù)模型(微分方程)模型, 連續(xù)模型和離散模型的關(guān)系預(yù)習(xí)：設(shè)為隨時間變化的距離函數(shù)，在時間間隔上的平均速度為若當(dāng)時平均速度的極限存在，則稱其為時刻的瞬時速度，記為，即也稱為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微商).函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則: 設(shè)都可導(dǎo), 即存在, 則定積分, 微積分基本定理:我們還是以貸款問題為例. 借期(單位時間)一期不一定非要一個月, 信用卡的計息就是按

9、天算的. 所以考慮連續(xù)模型是有道理的.假設(shè)一開始的貸款(或借款)本金總額記為, 單位時間(一期)的利率記為r%, 只不過這時假設(shè)時間是連續(xù)的, 也就是說, 要把 n個單位時間后所欠金額記為改為時刻所欠金額. 任何時刻都可以計算所欠銀行的金額.我們來建立模型, 先不考慮等額還款. 在時間區(qū)間 上, 時刻所欠金額為, 時刻所欠金額為, 因此在區(qū)間 里所欠金額的增加為 , 應(yīng)該有或如果的長度越來越小, 并趨于零時, 即時, 就得到下列連續(xù)模型(微分方程模型)它的解為 如果設(shè)單位時間的長度為1, 等于個單位時間, 即 , 從而有如果 比較小, 則可以認(rèn)為有一次近似式或由帶Lagrange余項的泰勒(Taylor)公式, 其中在和之間.若,則有如果 比較小, 則可以認(rèn)為有一