函數(shù)恒成立、能成立問題及課后練習(xí)(含問題詳解)

1、實(shí)用文檔恒成立、能成立問題專題一、基礎(chǔ)理論回顧1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：af(x )恒成立naf(x"ax; a < f (x )恒成立=aWf(x焉2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：af(x )能成立二af(xKn； aEf(x陛成立=2£“*濡3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：a > f X在 M 上恰成立u a a f )x的解集為fa > f (x在 M上恒成立M ：二一、a < f (x盧CRM上怛成立另一轉(zhuǎn)化方法：若xw D, f(x)2A在D上恰成立，等價(jià)于f(x)在D上的最小值fmin (x) = A ,若x = D, f(x) <B在D上恰成立，則等價(jià)于

2、f(x)在D上的最大值fmax(x)=B.4、設(shè)函數(shù)f(x卜g(x ),對(duì)任意的xw a , b，存在x2 w b, d，使得f(x1心g(x2),則fminx - g m i n x5、設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對(duì)任意的毛乞,，存在x2wb,d，使得f (x1g(x2 ),則fmaxx -gmaxx6、設(shè)函數(shù)f (x)、g(x ),存在XiW a , b 】，存在x2W C , d ，使得f 僅1)之g(x2 ),則 fmx(x 戶gmn(x)7、設(shè)函數(shù)f (x)、g(x ),存在XiW a , b ,存在X2W C , d ，使彳導(dǎo)f (Xi)<g(x2 ),則 fmn(x Agmx

3、(x)8、若不等式f (x»g(x )在區(qū)間D上包成立，等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)y= f(x)和圖象在函數(shù)y =g(x)圖象上方；9、若不等式f (x)<g(x )在區(qū)間D上包成立，等價(jià)于在區(qū)間 D上函數(shù)y= f(x)和圖象在函數(shù)y =g(x )圖象下方；二、經(jīng)典題型解析題型一、簡(jiǎn)單型 例 1、已知函數(shù) f (x) = x2 2ax +1 , g(x) = a ,其中 a > 0 , x = 0 .x1)對(duì)任意x1,2,都有f (x)>g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(構(gòu)造新函數(shù))2)對(duì)任意x1可1,2«2可2,4,都有f(x1)>g(x2)恒成立，

4、求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(轉(zhuǎn)化)33簡(jiǎn)解：(1)由x2-2ax+1-a >0= a<成立，只需滿足邛(x) =的最小值大于a即x2x2 12x2 142.32x x 1可.對(duì)火x)=T 求導(dǎo)，6(x)=22->0 ,故中(x)在xw 1,2是增函數(shù)，2x2 1(2x2 1)22 2中m i(nx)=9(1)=,所以a的取值范圍是0 <a <一 .3 3a.一、1. .1例2、設(shè)函數(shù)h(x) = +x+b ,對(duì)任意a仆,2,都有h(x)410在x ,1恒成立，求實(shí)數(shù)b的 x24范圍.分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù).以本題為例,實(shí)質(zhì) 還是

5、通過函數(shù)求最值解決.方法 1 :化歸最值，h(x) E10U hmax(x) <10 ；方法 2:變量分離，b M10_(a+x)或 a Mx2+(10b)x ； x11萬法3:變更王兀(新函數(shù))，5(a) = a+ x+b-10 E0 , a w ,2x2簡(jiǎn)解：方法1：對(duì) a 求導(dǎo)，卜國=1-4=("'a)(x"a),(單調(diào)函數(shù)) h(x)二一x bx xx ,1_1 .由此可知,h(x)在4,1上的最大值為h(4)與h中的較大者.1139h(一)三104a b 三10b _ 4af(4) 10=4 b 10=f 4 4a,對(duì)于任意a¥,2,得b的

6、取值范圍是h(1) <101a bM10b<9-a2x2e 1,2 使得例3、已知兩函數(shù)f (x) =x2 , g(x) = 1- -m ,對(duì)任意x1三0,2，存在2f(x1)2g(x2 ),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為-1案：m -4題型二、更換主元和換元法例1、已知函數(shù)f (x) = ln(ex+a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=?j(x)+sinx是區(qū) 問口,i上的減函數(shù)，(I)求a的值；(H)若g(x)wt2+兒t+1在xw -1,1上包成立，求t的取值范 圍；(R )分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：九及t,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一 個(gè)作為常數(shù)。顯

7、然可將K視作自變量，則上述問題即可轉(zhuǎn)化為在(血，-1】?jī)?nèi)關(guān)于人的一次函數(shù)大于等于0包成立的問題。(H)略解：由(I)知：f(x)=x,.g(x)=zx+sinx ,g(x)在口1,1 上單調(diào)遞減，.g ( x)厘 +cox M 0九 M co x 在，1 上恒成立，九 < 1t b(x)l ax= g(- 1壯右 一 si,n1.只需 4-sin1t2+)t+1 ,(t +1)九五2 +sin1+1 0 (其中九E-1 )包成立，由上述結(jié)論：可令 f (九尸t.九十12H4,則_1+覺：1十1頡，二二I生°，而J+sin色0a成立， J.t <10例2、已知二次函數(shù)f (

8、x) =ax2 +x+1對(duì)x w b,2恒有f (x) >0,求a的取值范圍。解：Xtxw 0,2恒有 f(x) A0 即 ax2 +x+1 >0變形為 ax2 >-(x+1)當(dāng)x=0時(shí)對(duì)任意的a者B滿足f(x)>0只須考慮x#0的情況a > 一(x：1)即a > -1 -4 要滿足題意只要保證a比右邊的最大值大就行。 xx x現(xiàn)求 _l_在xW(0,2 1上的最大值。令 t =1- t A1 g(t) =-t2 -t =-(t +-)2 +-(t >-)x xx 2242133g(t)max =9(二)=- 所以 a -2443又f (x) =ax2

9、 +x +1是二次函數(shù)二a 0 0所以a a -且a# 04例3、對(duì)于?f足0EaE4的所有實(shí)數(shù)a求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范圍 答案： x<-1或x>3題型三、分離參數(shù)法(欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)分離出來)此類問題可把要求的參變量分離出來， 單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于 是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題：若對(duì)于 x取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有f (x)*g(a)包成立， 則g(a) « f (x)min ；若對(duì)于X取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有f (x) «g(a)恒成立,則g(a)之f (x)max .例1、當(dāng)xW

10、(1,2)時(shí)，不等式x2+mx + 4<0恒成立，則m的取值范圍是 L解析：當(dāng) x (1,2)時(shí)，由 x2 +mx + 4 <0得 m < .二 m < -5 .x例2、已知函數(shù)f (x) =ln(ex+a) ( a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x) = ilx-cosx在 區(qū)間白胃上是減函數(shù).(I )求a的值與人的范圍；(H)若對(duì)(I )中的任意實(shí)數(shù) 人都有g(shù)(x)1在卜，2" 上包成立， 求實(shí)數(shù)t的取值范圍.一3 3(田)若m>0,試討論關(guān)于x的方程nx = x22ex + m的根的個(gè)數(shù).f(x)解：(I )、(田)略(H )由題意知，函數(shù)g

11、(x) = M-cosx在區(qū)間 J,"上是減函數(shù).,3 3g(x)max=g(R3X,g(x) “I在E2F恒成立£入i/T文案大全-1)二 i-(3 2'題型四、數(shù)形結(jié)合(包成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系(零點(diǎn)、根的分布法) 例1、若對(duì)任意xw R,不等式|x|ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析:對(duì)V x w R,不等式|x信ax包成立、則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知 -IWaWl,即-iWaMl。例2、不等式axE%；x(4-x)在xw 0,3內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：畫出兩個(gè)曲數(shù)y =ax和y = Sx(4x)在x。0,3上的圖象如圖知當(dāng)x=3時(shí)y = J3 ,

12、3a =33x = 0,3時(shí)總有 ax < <x(4-x)所以 a < 3例4、已知函數(shù)y = f (x) = W3x 6,x-26 - 3x, x-2，若不等式f (x) 22x-m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.解：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=2x- m® y = f(x)的圖象，由于不等式f(x)22x-m恒成立，所以函數(shù)y =2x-m的圖象應(yīng)總在函數(shù)y=f(x)的圖象下 方，因此，當(dāng)x = -2時(shí)，y=T-mW0,所以m之T,故m的取值范圍是1-4,+ ).題型五、其它(最值)處理方法 若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)>A成立，則等價(jià)于

13、在區(qū)間D上f(x)maxA；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)<B成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上的f(xin<B.利用不等式性質(zhì)1、存在實(shí)數(shù)x ,使得不等式|x+3 +|x-1 Ma23a有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 。解：設(shè) f (x )=x+3| 寸x，由 f 卜 Ha2 一3a 有解，=a24a*(xXn,又 x 叫 +x -1 >|(x3 Hx T b=4 ,a2 -3a 之4 ,解得 a 之4或a W102、若關(guān)于x的不等式x-2 + x+3之a(chǎn)恒成立，試求a的范圍解：由題意知只須a比x-2 +1x+3的最小值相同或比其最小值小即可，得a %x-2 +x+3)min由

14、x2 + x+3 3x2(x+3) =5 所以 a 45利用分類討論1、已知函數(shù)f (x) =x2 -2ax+4在區(qū)間-1 , 2上都不小于2,求a的值。解：由函數(shù)f(x) =x22ax+4的對(duì)稱軸為x=a所以必須考察a與-1 , 2的大小，顯然要進(jìn)行三種分類討論1) .當(dāng) a 之2 時(shí) f(x)在-1 , 2上是減函數(shù)此時(shí) f (x)min = f(2)=4-4a+4 < 2即a之3 結(jié)合a2,所以a之222) .當(dāng)aT 時(shí)f(x)在-1 , 2上是增函數(shù)，此時(shí)f(-1)=1+2a+4工23f(x)min = f(-1)=1+2a+4 «2結(jié)合 a«1 IP a &

15、lt; -3) .當(dāng)-1<a<2 時(shí) f(x)min= f(a)= x2 -2a2 +4<2即a272或a W -72所以V2 < a < 2綜上1, 2, 3滿足條件的a的范圍為：aw3或a>v122利用導(dǎo)數(shù)迂回處理11、已知 f (x) = lg(x+1) g(x) =lg(2x+t)右當(dāng) xW0,i時(shí) f (x) «g(x)在0, 1恒成立,求頭數(shù) 2t的取值范圍解：f (x) Eg(x)在0 , 1上恒成立，即反于-2x-1 M0在0, 1上恒成立即A/x干-2x-1 E0在0, 1上的最大值小于或等于 0令 F(x) =v'7+1

16、 -2x -t 所以F'(x) = 1 2 = 1-4lx21 ,又 xW0,1所以 F'(x)<0 即 F(x)在0, 1上單調(diào)遞減2、x 12 .x 1所以 F(x)max =F(。)，即 F(x) <F(0) =1 -t <0 得 t 之12、已知函數(shù)f (x)=lnx-；ax2 -2x(a*0)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍.2解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以f'(x =1-ax-2 = -"ax2x-1 : 0xx,- 一 12八，、一12(0,)有解.即 a(x = <0,+°° )能成立,設(shè)

17、u(x)=7-.x2 xx2 x由 u(x) =4-2 =。-1 2 -1得，umin(x)=-1.于是，a A1,x2 x x由題設(shè)a# 0,所以a的取值范圍是(-1,0P(0,)3、已知函數(shù) f (x) =x(ln x + m), g(x) =a x3+x.3(I )當(dāng)m = 2時(shí)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；3 .(H ) 6m=-時(shí)，不等式g(x) A f (x)包成立，求頭數(shù)a的取值沱圍.2,一、，3a 33(H ) 當(dāng) m =一時(shí)，不等式 g(x) 2 f (x)即一x +x 之 x(ln x+-)恒成乂.由于 x > 0 , 23211a 2 ,.3-x +1 之In x +

18、一，32a13(lx )3(lnx )亦即一 x2 之 In x + 一，所以 a 之2-2-.令 h(x) = 2-2-, 則32x2x2hx) = 6 3rx ,由 h<x) =0 得 x =1.且當(dāng) 0 cx <1 時(shí)，h'(x) a0 ;當(dāng) x >1 時(shí)，h'(x) <0 ,即 h(x)在 x3(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,y)上單調(diào)遞減，所以h(x)在x = 1處取得極大值h(1) = -,也就是函數(shù)213(ln x)3h(x)在定義域上的最大值.因此要使a 2包成立，需要a 2 3,所以a的取值范圍為x223 二-2,注：包成立問題多與參數(shù)的

19、取值范圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個(gè)熱門題型，往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等有關(guān)。小結(jié)：包成立與有解的區(qū)別：不等式f(x)<M對(duì)xWl時(shí)恒成立二fmax(x)<M?, xWl。即f(x)的上界小于或等于M ；不等式f(x)<M對(duì)xWl時(shí)有解。fmin(x)<M?, xWl?；騠(x)的下界小于或等于M ;不等式)川對(duì)*"時(shí)恒成立。fmin(x)M?, xl 0即f(x用勺下界大于或等于M ;不等式f(x)>M)xW|時(shí)有解U fmax(x)AM , xW| .?；騠(x )的上界大于或等于M ；三、包成立、能成立問題專題練習(xí)23.21、已知兩函數(shù)

20、 f(x)=7x _28x_c, g(x)=2x +4x -40x 0(1)對(duì)任意xWH3,都有f(xAg(x成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(2)存在xwk,3,使f(x)Eg(x )成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(3)對(duì)任意入2三口,3,都有f(x1 Ag(x2),求實(shí)數(shù)c的取值范圍；(4)存在XW3 ,都有),求實(shí)數(shù)c的取值范圍；2、設(shè)a>1,若對(duì)于任意的x勺a,2a,都有yWa,a2滿足方程loga x + loga y = 3 ,這時(shí)a的取值集合為()(A) a|1 <a <2(B) a|a 之 2(C) a|2<a<3(D) 2,3x - y < 03、若

21、任意滿足<x+y-5"的實(shí)數(shù)x,y ,不等式a(x QOO 6、設(shè)函數(shù) f (x) = x3 +2ax2 3a2x+b (0<a<1,bWR). (I )求函數(shù)f (x柏勺單調(diào)區(qū)間和極值；(II)若對(duì)任意的xa+1,a+2,不等式f'(x)Ea成立，求a的取值范圍+y2)M(x+y)2恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值 y -3 _0是.4、不等式sin2 x -4sin x +1 -a <0有解，貝U a的取值范圍是 5、不等式ax-Jx(4-x)在xw b,3】?jī)?nèi)包成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。7、已知 A、B、C 是直線 I 上的三點(diǎn)，向量 OA,OB ,OC

22、 滿足：OA ly+2f'(1)OB +ln(x+1 >OC=0.(1)求函數(shù)y = f(x)的表達(dá)式；2x(2)若 x>0,證明：f(x) > x + 2 ；(3)若不等式gx2 wf(x2 km2 _2bm _3時(shí)，x w Li ,1 及b w Li,i 都何成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.8、設(shè) f (x )=px -q -2lnx ,且 f(e)=qe-E -2 (e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) xe(I)求p與q的關(guān)系；(II)若f(x而其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 p的取值范圍；(III)設(shè)g(xb生，若在1,e】上至少存在一點(diǎn)xo ,使得f(xo)>g(xo )成

23、立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍. x課后作業(yè)答案：1、解析：(1 )設(shè) h(X)=g(x 尸。)=2x3 -3x2 -12x4c，問題轉(zhuǎn)化為 XW_3,3時(shí)，h(x /0 恒成立,故 hmin(xA0 0 令h x )=6x2 -6X-12 =6(x +1 Jx-2尸0 ,得X =_1或2。由導(dǎo)數(shù)知識(shí),可知h(x )在匕,單調(diào)遞增,在口,2 單調(diào)遞減，在12,3 單調(diào)遞增，且h(4)=c_45, h(x%大值=h(1尸+7, h(x*小值=h(2)=c20, h(3)=c9, hmin (x 尸h(口 產(chǎn) U5 ,由 c 口5 之0 ,得 c >45。(2)據(jù)題意：存在xwH25a -1y 3

24、3、答案：25。解析：由不等式a(x2+y2)W(x + y)2可得/十、，由線性規(guī)劃可得1<- <- 0 13x 2，使f(x尸g(x)成立，即為：h(x戶g(x)-f(x盧。在xwY3有解，故 hmax 0產(chǎn),由(1 )知hmax 0尸c十7至0 ,于是得c >-7 0(3)它與(1)問雖然都是不等式包成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意 式亡匕3,都有 “為)山作)成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x- x2的取值在 匕,31上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是:fmax(x)_gmi(x?x- £3,3 = f x )=7 x 2 2 一 c28,

25、 x T . 3, 3 . f(x)ax =f(T)=147Y ,g,(x 產(chǎn)x 48xK0 =2(3x+10x2),. g ” )=。在區(qū)間 匕,3 上只有一個(gè)解 x =2 0 g(xmin =g© X8 ,147-c-8,即 c心95.(4 )存在x/Wb3,都有f(x1 )<g(xa ),等價(jià)于fm (x后g (m摳，由得 fmin 僅1 )=f (2)=-c-28, gmaxd )=g(-3) = 102, y-28M 102n c"130點(diǎn)評(píng)：本題的三個(gè)小題，表面形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考， 多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件。3

26、232、Bo解析：由方程 嘮2*+嘮2丫 = 3可得丫 =邑，對(duì)于任意的xWa,2a,可得里=2力2, x2 x2 a I a <： 依題意彳322 = a之2。a2 - a24、解：原不等式有解 =a >sin2 x _4sinx+1曾 sinx _ 句 _3 ( _1W sinx W 1 有解，而 x2j31in =-2 ,所以a >2。5、解：畫出兩個(gè)曲數(shù)y =ax和y=Jx(4-x)在xw0,3上的圖象如圖知當(dāng)乂=3時(shí)丫=，3，a= 3當(dāng) aw«3, xw D3時(shí)總有 axwjx(4x )所以 aw，3 336、解：(I ) f '(x) = -x2

27、 +4ax -3a2(1 分)令令x) >0,得f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a,3a )令f'(x)<0,得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，a)和(3a, +刃(4分)3 3二當(dāng) x=a 時(shí)，f(x)極小值=a +b;4當(dāng)x=3a時(shí)，f (x)極小值=b.(6分)(H)由 | f'(x)| <a,得一a0 x2+4ax 3a2 &a.(7 分)0<a<1 ,a+1>2a.f (x) =x2 +4ax3a2在a+1, a+2上是減函數(shù).(9 分)f (x)max =f (a 1) =2a-1.f (x)min = f (a 2)=4a-4.

28、于是，對(duì)任意xWa+1,a+2,不等式包成立，等價(jià)于< a<1.- a 4a _4，在萬/曰 4解得一a 之 2a1.54又0 <a <1,一 <a <1.57、解：(1) . OA y + 2f/(1)ObT +ln(x +1)OC =0, . OA = y + 2f/(1)OET ln(x+1)OC由于 A、B、C 三點(diǎn)共線 即y+2f/(1) + ln(x+1) = 1 2分. .y=f(x)=ln(x +1)+1 2f/(1)11f/(x) ;x77,得 f/(1) =2,故 f(x)=ln(x +1) 4分2x12(x+2) 2x x2(2)令 g

29、(x)=f(x)x+2，由 g/(x) =x + 1 (x + 2)2 =(x+ 1)(x + 2)2,. x>0, . . g/(x) >0, ；g(x)在(0, +oo)上是增函數(shù) 6分故 g(x)>g(0) = 02x 即 f(x) >xT2 8分1(3)原不等式等價(jià)于2x2 - f(x2) < m2 2bm 3112x x3-x令 h(x) =2x2 f(x2) =2x2 ln(1 +x2),由 h/(x) =x-1+x2 = 1 + x210 分當(dāng) x C 1 , 1時(shí)，h(x)max =0 , m2 2bm 3>0:Q(1) = m2 -2m -3>0令 Q(b)=m22bm 3,則Q(1) = m2 +2m 30 得 m>3或mW 312分q _p _1 _一 18、解：(I) f (e )= pe - -2ln e = qe