2018年中考壓軸題匯編《幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理》含答案

1、3.2幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題例1 2017年杭州市中考第22題如圖 1,在 ABC 中，BC>AC, /ACB=90° ,點(diǎn) D 在 AB 邊上，DE，AC于點(diǎn)E.(1)若 AD =1 , AE = 2,求 EC 的長；DB 3(2)設(shè)點(diǎn)F在線段EC上，點(diǎn)G在射線CB上，以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形與 EDC 有一個銳角相等，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)P.問：線段CP可能是 CFG的高還是中線？或兩者都 有可能？請說明理由.1例2 2017年安徽省中考第23題如圖1,正六邊形 ABCDEF的邊長為a, P是BC邊上的一動點(diǎn)，過 P作PM/AB交AF 于M,作PN/CD交DE于N.

2、(1)/ MPN =° ;求證：PM + PN = 3a；(2)如圖2,點(diǎn)。是AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) OM、ON.求證：OM = ON.(3)如圖3,點(diǎn)。是AD的中點(diǎn)，OG平分/ MON ,判斷四邊形 OMGN是否為特殊的 四邊形，并說明理由.2例 3 2018 年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24 題已知二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn) P(0, 1)與Q(2, 3).( 1)求此二次函數(shù)的解析式；( 2)若點(diǎn)A 是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)A 作 x 軸的平行線交二次函數(shù)圖像于點(diǎn)B,分別過點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為 C、D,且所得四邊形 ABCD恰為 正方形求正方形的A

3、BCD 的面積；聯(lián)結(jié)PA、PD, PD交AB于點(diǎn)E,求證： PADspea.53.2幾何證明及通過幾何計(jì)算進(jìn)行說理問題答案例1 2017年杭州市中考第22題如圖 1,在 ABC 中，BC>AC, /ACB=90° ,點(diǎn) D 在 AB 邊上，DE，AC于點(diǎn)E.(1)若 AD =1 , AE = 2,求 EC 的長；DB 3(2)設(shè)點(diǎn)F在線段EC上，點(diǎn)G在射線CB上，以F、C、G為頂點(diǎn)的三角形與 EDC 有一個銳角相等，F(xiàn)G交CD于點(diǎn)P.問：線段CP可能是 CFG的高還是中線？或兩者都 有可能？請說明理由.動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“ 15杭州22”，拖動點(diǎn)D在AB上運(yùn)動，可以體

4、驗(yàn)到，CP既可以是 CFG的高，也可以是 CFG的中線.思路點(diǎn)撥1 . ACFG與4EDC都是直角三角形，有一個銳角相等，分兩種情況.2 .高和中線是直角三角形的兩條典型線，各自聯(lián)系著典型的定理，一個是直角三角形 的兩銳角互余，一個是直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3 .根據(jù)等角的余角相等，把圖形中相等的角都標(biāo)記出來.滿分解答(1)由/ ACB = 90° , DEXAC,得 DEBC.AEAD121會 c所以 = =. 所以 =. 解得 EC = 6.ECDB3EC3(2) ACFG與EDC都是直角三角形，有一個銳角相等，分兩種情況： 如圖2,當(dāng)/ 1 = / 2時，由于/

5、2與/ 3互余，所以/ 2與/ 3也互余. 因此/ CPF = 90° .所以 CP是ACFG的高.如圖3,當(dāng)/ 1 = / 3時，PF = PC.又因?yàn)? 1與/4互余，/ 3與/ 2互余，所以/ 4=/ 2.所以PC=PG.所以pf = pc = PG.所以CP是ACFG的中線.綜合、，當(dāng) CD是/ ACB的平分線時，CP既是 CFG的高，也是中線(如圖 4).考點(diǎn)伸展這道條件變換的題目，不由得勾起了我們的記憶：DE/BC 交 AC 于 E, DF/AC 交 BC如圖5,在 ABC中，點(diǎn)D是AB邊上的一個動點(diǎn),于F,那么四邊形 CEDF是平行四邊形.如圖6,當(dāng)CD平分/ ACB時

6、，四邊形 CEDF是菱形.圖5圖6如圖7,當(dāng)/ ACB=90° ,四邊形 CEDF是矩形.如圖8,當(dāng)/ ACB=90° , CD平分/ ACB時，四邊形 CEDF是正方形.例2 2017年安徽省中考第23題如圖1,正六邊形 ABCDEF的邊長為a, P是BC邊上的一動點(diǎn)，過 P作PM/AB交AF 于M,作PN/CD交DE于N.(1)/ MPN =° ;求證：PM + PN = 3a；(2)如圖2,點(diǎn)。是AD的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié) OM、ON.求證：OM = ON.(3)如圖3,點(diǎn)。是AD的中點(diǎn)，OG平分/ MON ,判斷四邊形 OMGN是否為特殊的 四邊形，并說明理由.6動

7、感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名 “14安徽23”，拖動點(diǎn)P運(yùn)動，可以體3到，PM+PN等于正六 邊形的3條邊長.AOMBOP, ACOPA DON ,所以O(shè)M = OP=ON.還可以體驗(yàn)到， MOG與 NOG是兩個全等的等邊三角形，四邊形 OMGN是菱形.思路點(diǎn)撥1 .第(1)題的思路是，把 PM+PN轉(zhuǎn)化到同一條直線上.2 .第(2)題的思路是，以。為圓心，OM為半徑畫圓，這個圓經(jīng)過點(diǎn) N、P.于是想 到聯(lián)結(jié)OP,這樣就出現(xiàn)了兩對全等三角形.3 .第(3)題直覺告訴我們，四邊形 OMGN是菱形.如果你直覺 MOG與 NOG是 等邊三角形，那么矛盾就是如何證明/MON = 120° .滿

8、分解答(1)/ MPN = 60° .如圖4,延長FA、ED交直線 BC與M'、N那么 ABM'、 MPM '、 DCN'、 EPN都是等邊三角形.所以 PM + PN= M N '= M B + BC+ CN '= 3a.圖5圖6(2)如圖5,聯(lián)結(jié)OP.由(1)知，AM=BP, DN = CP.由 AM = BP, Z OAM = Z OBP = 60° , OA=OB, 得AOMBOP.所以 OM = OP.同理COPDON,得 ON = OP.所以O(shè)M = ON.（3）四邊形OMGN是菱形.說理如下：由（2）知，/ AO

9、M=/BOP, /DON=/COP （如圖 5）.所以/ AOM + / DON = / BOP+/ COP=60° .所以/ MON = 120° .如圖 6,當(dāng) OG 平分/ MON 時，/ MOG =Z NOG=60° .又因?yàn)? AOF = / FOE = / EOD = 60° ,于是可得/ AOM = / FOG = / EON .于是可得 AOMAFOGA EON.所以 OM = OG=ON.所以 MOG與 NOG是兩個全等的等邊三角形.所以四邊形 OMGN的四條邊都相等，四邊形 OMGN是菱形.考點(diǎn)伸展在本題情景下，菱形 OMGN的面積的

10、最大值和最小值各是多少？因?yàn)?MOG與 NOG是全等的等邊三角形，所以 OG最大時菱形的面積最大，OG最小時菱形的面積最小.OG的最大值等于 OA,此時正三角形的邊長為 a,菱形的最大面積為 蟲a2.2OG與EF垂直時最小，此時正三角形的邊長為W3a ,菱形的最小面積為 33 a2 .289例3 2018年上海市黃浦區(qū)中考模擬第24題已知二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn) P(0, 1)與Q(2, 3).(1)求此二次函數(shù)的解析式；(2)若點(diǎn)A是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖像上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交二次函數(shù)圖像于點(diǎn)B,分別過點(diǎn)B、A作x軸的垂線，垂足分別為 C、D,且所得四邊形 ABCD

11、恰為 正方形.求正方形的ABCD的面積；聯(lián)結(jié)PA、PD, PD交AB于點(diǎn)E,求證： PADspea.動感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“ 13黃浦24”，拖動點(diǎn)A在第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動，可以 體驗(yàn)到，/ PAE與/PDA總保持相等， PAD與 PEA保持相似.請打開超級畫板文件名“ 13黃浦24”，拖動點(diǎn)A在第一象限內(nèi)的拋物線上運(yùn)動，可以 體驗(yàn)到，/ PAE與/PDA總保持相等， PAD與 PEA保持相似.思路點(diǎn)撥1.數(shù)形結(jié)合，用拋物線的解析式表示點(diǎn)A的坐標(biāo)，用點(diǎn) A的坐標(biāo)表示AD、AB的長，當(dāng)四邊形 ABCD是正方形時，AD = AB.2,通過計(jì)算/ PAE與/ DPO的正切值，得到/ PAE

12、 = Z DPO = / PDA,從而證明 PADPEA.滿分解答(1)將點(diǎn) P(0, 1)、Q(2, 3)分別代入 y=- x2+bx+c,得了 i解得"0，Y 2b 1 = -3.c=1.所以該二次函數(shù)的解析太為y= -x2+ 1.(2)如圖1,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x, -x2+1),當(dāng)四邊形ABCD恰為正方形時，AD = AB.此時 yA= 2xA.解方程一x2+1 = 2x,得 x = 1±J2.所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 丘-1 .因此正方形 ABCD的面積等于2( J21)2 =12-8/2 .設(shè) OP 與 AB 交于點(diǎn) F,那么 PF =OPOF =12(J21) = 3 2/2=(J21)2 .所以 tanPAE =-PF =成=1- = J21 AF .2-1又因?yàn)?tan/PDA = tan/DPO =OD = J21 , OP所以/ P