函數(shù)地單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)地左右極限

1、標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的左右極限摘要：本文通過例子討論函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的區(qū)別，給出相應(yīng)的結(jié)論，并引用一個(gè)重要 的定理一一導(dǎo)數(shù)極限定理介紹了兩者的關(guān)系，在此定理的證明過程中簡(jiǎn)單的解釋了用羅比達(dá)法則求極限時(shí) 失效的原因，并在此基礎(chǔ)上，以定理的形式給出了函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限相等的充分條件。關(guān)鍵詞：右(左)導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的右(左)極限 關(guān)系 區(qū)別Unilateral Derivate of Function and the UnilateralLimit of Derived FunctionAbstract： This paper discussed the diff

2、erences between the unilateral derivate and the unilateral limit of derived function by some examples.And put forward the corresponding conclusion .By citing an important theory-the limit of derivative , introduced the relationship between them, and give a brief explanation whyL'Hospital loses i

3、ts value on solving the problem of the limit of function in theprocess of proving the theorem. After this,We find a sufficient condition about the unilateral derivate is equalled to the unilateral limit of derived function .Key words: The Right(Left) Derivative the Right(Left) Limit of Derived Funct

4、ion Relationship Difference0.引言在很多實(shí)際問題中，人們不僅要研究變量的變化規(guī)律，而且要研究變量變化的快慢程度。如研究物體運(yùn)動(dòng)的速度、研究工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的增長速度等等。導(dǎo)數(shù) 正是研究變量變化快慢的有效工具。導(dǎo)數(shù)反應(yīng)了函數(shù)相對(duì)于自變量變化而變化的 快慢程度，即函數(shù)的變化率。它使得人們能夠使用數(shù)學(xué)工具描述事物變化的快慢 及解決一系列與之相關(guān)的問題，所以在各領(lǐng)域有著極其廣泛的應(yīng)用。為了更好的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)去解決實(shí)際問題，我們需要進(jìn)一步的研究導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)和特點(diǎn)， 而單 側(cè)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的單側(cè)極限是研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要方面。單側(cè)導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)的單側(cè)極 限是微積分中兩個(gè)重要的概念，在求分段函數(shù)

5、的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、傅 里葉級(jí)數(shù)中都有其廣泛的應(yīng)用。本文就來討論一下單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的單側(cè)極限的區(qū)別與聯(lián)系，并介紹分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的一種求解方法。文 中引用了相關(guān)的參考文獻(xiàn)，其中文獻(xiàn)1、2介紹了單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極 限的定義，3-6介紹了兩者的區(qū)別與聯(lián)系及相等的充分條件，7 -10介紹 了分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的求解方法，并舉例運(yùn)用了此方法。1 .單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的定義定義1：由于f(x)=imf(x'qf(x)，由極限存在的定義，函數(shù)f(x)在x 處可導(dǎo)的充分必要條件是相應(yīng)的左右極限f'(x)= lim f(x)f(x)和 .

6、x Ri . xf式刈=2m+f(x+q-f(x)存在且相等,我們把他們分別稱為f (刈在x處的左 導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)。定義22:符號(hào)f'(。+0)(%-0»表示函數(shù)f(x)在點(diǎn)兒處導(dǎo)函數(shù)的右(左)極限，即 f x0 0 = lim f x f xo - 0 = lim f x . x_xox >xq-2 .單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的區(qū)別函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限是兩個(gè)完全不同的概念，微積分的初學(xué)者往往認(rèn)為 f4x0) = lim+f(x )= f'(x。+ 0，f Ax。)= lim f'(x )= f(x。- 0 )因此 x M0x 的一在求分段函

7、數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)或函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)時(shí)往往 不能得到正確的結(jié)果，在一般的情況下，兩者并沒有必然的聯(lián)系(方便起見下面 以函數(shù)的右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的右極限為代表說明)。我們知道，如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),則f (x)在點(diǎn)選處的右導(dǎo)數(shù) 仁(比)肯 定存在。這一點(diǎn)是毫無疑問的，而函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)函數(shù)的右極限f'(x0+0) 存在，則說明函數(shù)f(x)在點(diǎn)小處的某右鄰域(x0,x0+6)內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)， 但需要注意的是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處卻未必可導(dǎo)。這一個(gè)小小的細(xì)節(jié)往往被一些 學(xué)生甚至資歷較高的老師所忽視。我們先看一個(gè)例題。-2x-0,判斷f(x)在x=0是否可導(dǎo)

8、。X :二 0(x+1)例1 設(shè)函數(shù)f(x)=2x 1錯(cuò)誤解法：當(dāng)x>0時(shí)，(x) = x+1當(dāng) x<0時(shí)，f'(x)=1當(dāng) x = 0時(shí)，f；(0) = limj 卜)=lim4x+1) = 1 x_0 ,x_0 f_(0) = lim f (x) =lim 1 =1一 x W x )0 -即 f0) = f二(0)=1.故 f'(0)=12(.x 1)21正確：f.(0) = lim- .x0f(0 . x) - f(0)二 lim 22 ; lim.x0，'=x:J"lx2 x-2=1x文案大全1x -:lim 2不存在i.x-0 -: x八

9、 1f (0：x)-f(0).( x 1)一2但是 lim - = lim £J0-x二 J0 -x故f0)不存在，即f (x)在x = 0處不可導(dǎo)。從這個(gè)例題中可以看出，f；(x0)與f'(x0 +0)并沒有必然的聯(lián)系。為了更深 入的探討兩者之間的關(guān)系，我們來看幾個(gè)具體的例子，從這些例題中摸索其中的 內(nèi)涵。. x + 2 x>0.例2 設(shè)函數(shù)f(x)=求 "0)與f'(0 + 0).、xx <0.解：當(dāng) x>0時(shí)，f '(x) =1故 f (0 0) = lim f (x) -1x0 ,而f；(0) = limp3 = lim產(chǎn)不

10、存在x0 -xx0 x故f玄0)不存在,f '(0+0) =1例3設(shè)函數(shù)f (x) = ,x2sin-11斛：當(dāng) x#0 時(shí)，f <x) = 2xsin cos xx11故 f (0+0)= lim/ (x) = lim工2xsin - cos)不存在 x0 .x-.0 -x x而 f (0) = lim - x-.0 -=limx0f(x)-f(0)x21x sin - -01xi x.1c=lim xsin- = 0x )0 x因此(0 +0)不存在,f (0) =0%，例4設(shè)函數(shù)f(x)=<10=0：0解：f.(0) = lim- x-0 'f(x)- f(0

11、)-lim 1x_0x-ex xex-e=lim x x0 e xexf _(0)lim (x) 一() = lim e = lim ex =1x0 -xx Q - xx0 -故f (x)在x =0處不可導(dǎo)。-e x 0-xe x：二 0故 f (0 0) ulim f (x) u1 x0 所以f«0) = f'(0+0)，但f(x)在x = 0處不可導(dǎo)。例5設(shè)函數(shù)f (x)=e01"2x x = 0x = 0解：當(dāng) x #0時(shí)，f(x) = _2re型 x3故 f (0 0) = lim f (x) = lim 2rx10 -x J0 -e京=lim-64 x1x

12、2x2=lim -x :0 2x12r-exx=0一二 lim 普x x w ,二 ex=lim ; x 0 . _ 2e#=lim -x 0 -xr =。2exf(x) - f (0) e而 f (0); lim - = lim 一x_0，卜xx_0 二同理匚(0)=0,故f(x)在x=0處可導(dǎo)。所以 f0+0)= f；(0)=0,且 f(x)在 x = 0處可導(dǎo)由上面5個(gè)例子，我們很容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的右導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的右極 限沒有必然的聯(lián)系，即f'(x0+0)與f4(x0)可能一個(gè)存在，另一個(gè)不存在，如上 面的例2和例3;也可能兩者都存在但不相等，如例4;也可能兩者都存在且相等

13、如例5.3,單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限的聯(lián)系對(duì)于例5中這樣的題目，有些讀者不加驗(yàn)證誤把 f«0)與f'(0+0)認(rèn)為相 等的計(jì)算方法也能奏效，但前提是函數(shù)必須滿足一些特定的條件。下面我們來 看一個(gè)重要的定理，這個(gè)定理和其證明過程表現(xiàn)了單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極 限的聯(lián)系，即求單側(cè)導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)極限法。定理13:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0的某鄰域U(Xo)內(nèi)連續(xù)，在U0(Xo)內(nèi)可導(dǎo)，且極限lim f(x)存在,則“*)在點(diǎn)乂0處可導(dǎo),且f'(x0) = lim f1r(x)x_X0x 兇證明：分別按左右導(dǎo)數(shù)來證明上式。(1) VxW U ；(%), f (x)在4,x 上滿足拉

14、格朗日定理的條件,則(x0,x),S.t f(x)-f(x0) = f ( )(*)x - xo由于 x0 < t < x,故當(dāng) xt x”時(shí)，x T x.對(duì)上式兩邊同時(shí)取極限，得f (x0) = lim -f-()-f(x - lim f ( ) - f (x0 0)x x x -x0x >x0(2 )同理可得 f：(x0) = f'(x。-0)由于 lim f(x)存在,故 f'(x0+0)= f'(x0-0) x曲' 因此 f；(x°)= flx°)即 f'(x0)存在，且 f'(x0) = lim f

15、'(x) X本定理闡明了函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)在該點(diǎn)處的極限的關(guān)系，對(duì)于一般的函數(shù)而言，若在某點(diǎn)處極限存在時(shí)，并不能保證它在該點(diǎn)是連續(xù)的，而 導(dǎo)函數(shù)則具有這個(gè)特點(diǎn)，即只要導(dǎo)函數(shù)的極限存在，那么其導(dǎo)函數(shù)就一定是連 續(xù)的。在此定理的證明過程中，需要我們特別注意的是，當(dāng)lim+f'(x)不存在時(shí)， x四并不能由此判定f式x0)不存在，因?yàn)楫?dāng)lim+f'(x)不存在時(shí)，lim+f'(有可能存 x >x0x >x0在，這是因?yàn)?，?duì)于某些特殊的函數(shù)而言，(*)式中的U可能有一個(gè)，也可能有很多個(gè)，當(dāng)x連續(xù)的變化而從右側(cè)逼近x0時(shí)，對(duì)應(yīng)的上并不一定能夠連續(xù)的變化

16、，例如可能構(gòu)成一個(gè)以x0為極限的數(shù)列&,并且其對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值數(shù)列*'()可能會(huì)有極限，而lim . f V) = lim f Vn) 0所以lim+f'(：)可能存在。例 x.x0nr-x >x0中如例2中的函數(shù)就是符合上述情況的一個(gè)例子，對(duì)于其中具體的細(xì)節(jié)這里就 不討論了。大家很容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)用羅比達(dá)法則求一些函數(shù)的極限時(shí)有時(shí)會(huì)失效，其中的原因就與上述所討論的情況類似。我們知道在羅比達(dá)法則的證明過程有，、':, ., . .* I a之間) 故lim 工兇 =lim f9g(x) g(x) g(a) g ( )x，a g(x) x，a g ()同理當(dāng)lim

17、f(x)不存在時(shí)，lim f'(?有可能存在，所以lim f(x)可能存在，x a g (x)x，a g ( )x a g(x)但我們需要用別的方法求解了 40定理1說明了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的極限的聯(lián)系，若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 在一點(diǎn)x0處存在極限，則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)x0處必連續(xù)。在此定理的證明過 程中我們得到了函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的單側(cè)極限相等的結(jié)論，并成功的運(yùn)用了此結(jié)論，對(duì)于例5中的函數(shù)，此結(jié)論也成立，那么，函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與函 數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的左右極限到底有什么樣的聯(lián)系，在什么樣的情況下可以相等呢？4.函數(shù)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的左右極限相等的充分條件定理25:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)

18、間 Lxo+bklxo -6,x。)上連續(xù)，在開區(qū)間(x0,x0 +8 ) ( (x0 -6,x° )內(nèi)可導(dǎo),且 f'(x0 +0) = l ,則函數(shù) f(x)在點(diǎn) % 處右(左)可導(dǎo)，且 fXx°)=l(匚(x0)=l)。證明同定理1類似。需要注意的是定理2的條件是充分的，不是必要的。 /ci-V.如例3中的函數(shù)f(x)=x sin x x 00 x = 0由于 lim f()-f0)- = lim xsin- = 0 故 f 0)=0xoxx:0x即f (x)在x =0處可導(dǎo)。1.11-c而 f (x)=2xsinx-cosx x#o0x = 0-11 -,但

19、f(0+0)=Cm f'(x) = lim (2xsin- cos)不存在 x 0 x 0 x x所以定理2的條件是充分的，不是必要的。推論6:設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)存在有限的導(dǎo)數(shù) L(x),若其導(dǎo)函數(shù)f (x)在a點(diǎn)存在右極限(有限)，即lim f ,(x)=A ( A為有限數(shù))記為 x af'(a+0),則f(x)在a點(diǎn)存在右導(dǎo)數(shù)f1(a),且f“a) = lim J，(x),對(duì)于b點(diǎn)左側(cè) x /-有類似的結(jié)論。分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)我們一般都是用導(dǎo)數(shù) 的定義去求，但這種方法計(jì)算繁雜，容易出錯(cuò)，如果所給的函數(shù)滿足定理2及其 推

20、論的條件，我們利用導(dǎo)數(shù)的極限法去求解題目就簡(jiǎn)單的多了。下面我們來看幾3 3 x例6設(shè)函數(shù)f (x)=ax + b個(gè)例子。x_2 , .、，在x=2處可導(dǎo)，求a、b的值。x 2解：由f(x)在x=2處可導(dǎo)，故f(x)在x=2處連續(xù)故嗎 f (x)=呵(ax b) = 2a blim f (x) = lim x3 = 8x-2 一x.2 一即有2a b =8又 x<2 時(shí)，f'(x)=3x x>2 時(shí)，f'(x)=a故 f_(2) =lim 3x2 =12, f (2) = lim a =a x )2 -x 2 又因 “*)在乂=2處可導(dǎo)故 f*2) = f：(2),即

21、 a =12,解出 b = 16例 7 (1) 設(shè)函數(shù) f (x) =cosln(x2+3) , x 0,1 ,求 f40)與 f解：函數(shù)f (x) =cosln(x2+3)在b,1】上連續(xù)，(0,1)內(nèi)可導(dǎo)2f (x) = -2xsin21n(x *3) ,且 f <x)在 0,1 上連續(xù)。x 3一1 .一故 f (0 0) = f (0) = 0, f (1 一 0) = f =-1sin In 4由定理2,得到f (0)= f (0 0) =01f_(1) = f (1 -0) = -slnln 4x + sin x2 x < 0(2)求分段函數(shù)f(x) = J的導(dǎo)數(shù)。Jn(1+x)x > 0二，八2-1 +2xcosx x <0解：首先易得r(x)=, x>01 x進(jìn)一步考慮f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，在此之前，我們只能用導(dǎo)數(shù)的定義來處理，現(xiàn)在則可以利用導(dǎo)數(shù)極限定理。由于lim f (x) = lim 1n(1 x) = 0 = f (0)x 0 -x 0 -一2 一 一 一lim f