勾股定理典型例題歸類總結(jié)材料

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案9 .已知Rt ABC勺周長為2十灰，其中斜邊43=2,求這個(gè)三角形的面積。10 .如果把勾股定理的邊的平方理解為正方形的面積，那么從面積的角度來說，勾股定理可以推廣（1）如圖，以ABC的三邊長為邊作三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)等邊三角形的面積S1、S2、S3之間有何關(guān)系？并說明理由。（2）如圖，以RtABC的三邊長為直徑作三個(gè)半圓，則這三個(gè)半圓的面積S1、S2、S3之間有何關(guān)系？（3）如果將上圖中的斜邊上白半圓沿斜邊翻折180。，請?zhí)接憙蓚€(gè)陰影部分的面積之和與直角三角形的面積之間的關(guān)系，并說明理由。（此陰影部分在數(shù)學(xué)史上稱為“希波克拉底月牙”）題型二：利用勾股定理測量長度例1.如果梯

2、子的底端離建筑物 9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米?跟蹤練習(xí)：1.如圖（8）,水池中離岸邊拉到岸邊，它的頂端 B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度 AC. taJ文檔大全5米，消防圖32 .一座建筑物發(fā)生了火災(zāi)，消防車到達(dá)現(xiàn)場后，發(fā)現(xiàn)最多只能靠近建筑物底端 長為13米，則云梯可以達(dá)該建筑物的最大高度是（A 12 米 B、13 米 C、14 米 D、15 米3 .如圖，有兩顆樹，一顆高 10米，另一顆高 4米，兩機(jī)目距8米.一只鳥從一顆樹的樹梢飛到另一顆樹 的樹梢，問小鳥至少飛行（）A 8 米 B 、10 米 C、12 米 D、14 米題型三：勾股定理和逆定理并用一一1 例3.如圖

3、3,正萬形 ABCD43, E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB=AB那么 DEF是直角三4角形嗎？為什么？注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。跟蹤練習(xí)：1.如圖，正方形 ABCM, E為BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)CD邊上一點(diǎn)，且 DF=3CF求證：/ AEF=90°題型四：利用勾股定理求線段長度一一例1.如圖4,已知長方形 ABC邛 AB=8cm,BC=10cm在邊CD上取一點(diǎn) E,將 ADE折疊使點(diǎn) D恰好落在 BC 邊上的點(diǎn)F,求CE的長.跟蹤練習(xí)：1 .如圖，將一個(gè)有45度角的三角板頂點(diǎn) C放在一弓寬為3cm的紙帶邊沿上，另一個(gè)頂點(diǎn)B在紙帶的另邊沿上，測得三角

4、板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30。角，求三角板的最大邊 AB的長.C2 .如圖，在 ABC中，AB=BC / ABC=90 , D為 AC的中點(diǎn)，DE!DF,交 AB于 E,交 BC于 F, (1)求證: BE=CF; (2)若 AE=3, CF=1,求 EF 的長.3 .如圖，CA=CB,CD=C& ACB4 ECD=90 ,D 為 AB邊上的一點(diǎn).若 AD=1, BD=3 求 CD的長.B題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直一一例1.有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高 4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高 1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈

5、剛好打開？跟蹤練習(xí)：1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是 1, ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上, 并說明理由.（1）求證：/ ABD=90 ;求S四期8的值試判斷 ABC的形狀,2 .下列各組數(shù)中，以它們邊的三角形不是直角三角形的是（）_ _ £11A 9, 12, 15 B、7,24,25 C 、”7飛7；、d 、3, 4, 53 .在 ABC中，下列說法/ B=Z C-/A;/ =/ A： / B: / C=3: 4: 5;a:b:c=5:4:3r/：/:/=1：2:3 ,其中能判斷 ABC為直角三角形的條件有（）A 2個(gè) B 、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)4 .在 ABC中，

6、/A、/B、/C的對邊分別是a、b、c.判斷下列三角形是否為直角三角形？并判斷哪一個(gè)是直角？（1） a=26, b=10, c=24; （2） a=5, b=7, c=9; （3） a=2, b =, <?=/A 2個(gè) B、3個(gè) C、4個(gè) D、5個(gè)5 .已知 ABC的三邊長為a、b、c,且滿足9 一司"+ |石一】/ +依- 13 =。,則此時(shí)三角形一定是（）A、等腰三角形B 、直角三角形 C、等腰直角三角形D、銳角三角形6 .在 ABC中，若 a=n 2 _1, b=2n , c= n2 +1,則 ABC是（）A、銳角三角形B 、鈍角三角形 C、等腰三角形D、直角三角形7 .

7、如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC是（）A、直角三角形B 、銳角三角形C 、鈍角三角形 D、銳角三角形或鈍角三角形8 .已知在 ABC中，乙A / B、/ C的對邊分別是 a、b、c,下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A 如果/ C-/B=/ A,那么/ C=90°B 、如果/ C=90° ,那么C 如果（a+b） （a-b） =二，那么/ A=90° D、如果/ A=30° ,那么 AC=2BC9 .已知 ABC的三邊分別為 a, b, c,且a+b=3, ab=1,匕=/,求/的值，試判斷 ABC的形狀,并說明理由10 .觀察下列各式：隼+d=已82 + 62 =1

8、5? +即=172,必+ 1產(chǎn)=2G2，根據(jù)其中規(guī)律,寫出下一個(gè)式子為 11 .已知，m> n, m n為正整數(shù)，以nn2 n2, 2mn,。,+，廠為邊的三角形是 三角形.12 .一個(gè)直角三角形的三邊分別為n+1, n-1 , 8,其中n+1是最大邊，當(dāng)n為多少時(shí)，三角形為直角三角形？題型六：旋轉(zhuǎn)問題：例題6.如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=2j3 ,PC=4,求4ABC的邊長.跟蹤練習(xí)1.如圖， ABC為等腰直角三角形，Z BAC=90 , E、F是BC上的點(diǎn)，且/ EAF=45，試探究BE2、CF 2、EF 2間的關(guān)系，并說明理由B E F C題型七：關(guān)于翻折問

9、題例題7.如圖，矩形紙片 ABC兩邊AB=10cm BC=6cm E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿 AE折疊，點(diǎn)B恰好落 在CD邊上的點(diǎn) G處，求BE的長.跟蹤練習(xí)1.如圖，AD是4ABC的中線，/ ADC=45 ,把 ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置，BC=4,求BC 的長.8 一1d（一）折疊直角三角形1 .如圖，在 ABC中，/ A = 90 ° ,點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，沿 CD折疊 ABC點(diǎn)A恰好落在 BC邊上的A處,AB=4, AC=3 求 BD的長。2 .如圖，RtABC中，/ B=90° , AB=3 AC=5將 ABC折疊使 C與A重合，折痕為 D

10、E,求BE的長.（二）折疊長方形AF折疊，點(diǎn)D恰好落在BC上的1 .如圖，長方形 ABCD43, AB=4, BC=5, F為CD上一點(diǎn)，將長方形沿折痕 點(diǎn)E處，求CF的長。B重合，點(diǎn)C與C'重合.（1）求2 .如圖，長方形 ABC邛，AD=8cm AB=4cm沿EF折疊，使點(diǎn) D與點(diǎn)DE的長；（2）求折痕EF的長.AC上，折痕為 CE且D點(diǎn)落在對3 . （2013?常德）如圖，將長方形紙片ABC所疊，使邊CD落在對角線角線D'處.若AB=3, AD=4則ED的長為（）BC于 F 點(diǎn).（1）求證：FB=FE4 .如圖，長方形 ABCN, AB=6, AD=& 1&

11、; BD折疊使A至U A'處DA(2)求證：CA' / BD(3)求 DBF的面積7.如圖，正方形 ABC邛，點(diǎn)E在邊CD上，將 ADE沿AE對折至/ AFE延長EF交邊BC于點(diǎn)G,G為BCDE的中點(diǎn)，連結(jié) AG CF. (1)求證：AG CF； (2)求的值.題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路 M港口公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn) A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為 80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)

12、，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？例2. 一輛裝滿貨物高為1.8米, 通過嗎？寬1.5米的卡車要通過一個(gè)直徑為5米的半圓形雙向行駛隧道,它能順利跟蹤練習(xí)：1 .某市氣象臺(tái)測得一熱帶風(fēng)暴中心從A城正西方向300km處，以每小時(shí)26km的速度向北偏東 60°方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心 200km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域。試問A城是否受這次風(fēng)暴的影響？如果受影響，請求出遭受風(fēng)暴影響的時(shí)間；如果沒有受影響，請說明理由。2 . 一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米,要開進(jìn)廠門形狀如下圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠白廠門？3 .有一個(gè)邊長為 50dm的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口

13、，圓的直徑至少多長？（結(jié)果保留整4 .如圖，鐵路上A,B兩點(diǎn)相距25km,C,D為兩村莊，D叱AB于A,CB± AB于B,已知DA=15km,CB=10km現(xiàn)在要在鐵路 AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收購站 E,使得C, D兩村到E站的距離相等，則 E站應(yīng)建在離A站多 少km處？題型九：關(guān)于最短性問題例1、如右圖1 19,壁虎在一座底面半徑為 2米，高為4米的油罐的下底邊沿 A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正 上方油罐上邊緣的 B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而 是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對害蟲進(jìn)行突然襲擊.結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐.請問壁

14、虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲？（兀取3.14,結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案例2.跟蹤練習(xí)：1 .如圖為一棱長為3cm的正方體，把所有面都分為 9個(gè)小正方形，其邊長都是 1cm,假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm,則它從下地面 A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的 B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？A2 .如圖，是一個(gè)三級臺(tái)階，它的每一級的長、寬和高分別等于5cm, 3cm和1cm, A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到 B點(diǎn)去吃可口的食物.請你想一想，這只螞蟻從 A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階 面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？3 .一個(gè)長方體盒子的長、寬、高分別為8cm, 6cm, 12cm,一只

15、螞蟻想從盒底的 A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn)，你能幫螞蟻設(shè)計(jì)一條最短的線路嗎？螞蟻要爬行的最短路程是多少？4 .如圖將一根13.5厘米長的細(xì)木棒放入長、寬、高分別為4厘米、3厘米和12厘米的長方體無蓋盒子中,能全部放進(jìn)去嗎？題型十：勾股定理與特殊角文檔大全實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案（1） 直接運(yùn)用30°或45°的直角三角形1 .如圖，在 ABC中，/ C = 90 ° , Z B = 30 ° , AD是ABC的角平分線，若 AC=2察,求AD的長。2 .如圖，在 ABC中，Z ACB = 90 ° , AD是 ABC的角平分線，CDL AB于 D, Z A= 30&

16、#176; , CD=2 求 AB 的 長。3 .如圖，在 ABC中，AD± BC于 D, / B= 60 ° , / ,C= 45 ° , AC=2 求 BD的長。（2） 作垂線構(gòu)造30°或45°的直角三角形（1） 將105°轉(zhuǎn)化為45°和60°1 .如圖，在 ABC中，/ B= 45° , / A=105° , AC=2,求 BC 的長。2 .如圖，在四邊形 ABCD43, /A=/ C= 45° , / ADB4 ABC=105 ，若 AD=2,求 AB的長；若 AB+CD2&#

17、171;+2,求AB的長。文檔大全（2）將75°轉(zhuǎn)化為30°和453 .如圖，在 ABC中，/ B= 45 , Z BAC=75 , AB=J6 ,求 BC的長。題型十一：運(yùn)用勾股定理列方程（一）直接用勾股定理列方程求AD的長。1 .如圖，在 ABC中，/ C= 90° , AD平分/ CAB交 CB于 D, CD=3,BD=5AB的長。2 .如圖，在 ABC中，AD±BC于 D,且/ CAD=Z BAD,若 BD=3, CD=8 求（二）巧用“連環(huán)勾”列方程1 .如圖，在 ABC中,AB=5, BC=7, AC=4也，求 SaBC.2 .如圖，在 AB

18、C中，/ ACB= 90° , CCLAB于 D, AC=3 BC=4,求 AD的長。3 .如圖， ABC中，/ ACB=90 , CDLAB于 D, AD=1, BD=4,求 AC的長4 .如圖， ABC中，/ ACB=90 , CDL AB于 D, CD=3, BD=4 求 AD的長題型十二：勾股定理與分類討論（一） 銳角與鈍角不明時(shí)需分類討論1 .在4ABC中,AB=AC=5 S上REP = 7.3,求 bc的長2 .在4ABC中，AB=15, AC=13, AD為 ABC的高，且 AD=12 求 ABC的面積。（二）腰和底不明時(shí)需分類討論ABD3 .如圖1, 4ABC中，/

19、ACB=90 , AC=6, BC=8點(diǎn)D為射線 AC上一點(diǎn)，且 ABD是等腰三角形，求 的周長.圖I（三）直角邊和斜邊不明時(shí)需分類討論1 .已知直角三角形兩邊分別為2和3,則第三邊的長為 2 .在 ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=2以AB為邊向外作等腰直角三角形 ABD求CD的長x軸上，這樣的等腰三角形能畫多少個(gè)3 .如圖，D（2,1）,以。的一邊畫等腰三角形，并且使另一個(gè)頂點(diǎn)在 寫出落在x軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo).題型十三：口土方=或 瘍c問題的證明1 .如圖 1, 4ABC中，CA=CB / ACB=90 , D為 AB的中點(diǎn)，M N分別為 AC BC上一點(diǎn)，且 DML DN.

20、(1)求證：CM+CN= BD(2)如圖2,若M N分別在AC CB的延長線上，探究 CM CN BD之間的數(shù)量關(guān)系式。2 .已知/ BCD=x ,/ BAD=3 , CB=CD.(1)如圖 1,若 a =3=90°,求證：AB+AD=2AC;(2)如圖2,若a =3 =90° ,求證：AB-AD="AC; (3)如圖 3,若 a =120° , 3 =60° ,求證：AB=ADqAC; (4)如圖 3, 若 a =3=120° ,求證：AB-AD=AC;題型十四：a =，夕6問題的證明1 .如圖，OA=OB OC=OD / AOBh

21、 COD=90 , M N分別為 AC BD的中點(diǎn)，連 MN ON.求證：MN=與 ON.2 .已知 ABC中，AB=AC / BAC=90 , D為BC的中點(diǎn)，AE=CF連DE EF. (1)如圖1 ,若E、F分別在AR AC上，求證：EFA&DE; (2)如圖2,若E、F分別在BA AC的延長線上，則 中的結(jié)論是否仍成 立？請說明理由.圖23 .如圖， ABD中，。為AB的中點(diǎn)，C為DO延長線上一點(diǎn)，/ ACO=135 , / ODB=45探究 OD OC AC之 間相等的數(shù)量關(guān)系.4 .如圖， ABD是等腰直角, / BAD=90 , BC/ AD BC=2AB CE平分/ BC

22、D 交 AB于 E,交 BD于 H.求 證：DS K Xf C(1) DC=%A (2) be=15dh題型十五：勾股定理(逆定理)與網(wǎng)格畫圖1.如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1, A、日C是小正方形的頂點(diǎn)，則/ ABC的度數(shù)為.2 .如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1,在圖中畫一個(gè)三角形，使它的三邊長分別是3,2且三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上.3 .如圖，每個(gè)小正方形的邊長都是1,在圖中畫一個(gè)邊長為的正方形，且正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.4 .在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)等腰三角形，使其內(nèi)部已標(biāo)注的格點(diǎn)只有3個(gè).5 .如圖，在4個(gè)均勻由16個(gè)小正方形組成的網(wǎng)格正方形中，各有一個(gè)格點(diǎn)三角形，那么這 4個(gè)三角形

23、中,與眾不同的是 中的三角形，圖4中最長邊上的高為 圖】圖26 .如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都為1,每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫圖：(1)畫一條線段 MN使MN=Ti; (2)畫ABC三邊長分別為 3,卡甘，2V行。7 .如圖，在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,線段AB的端點(diǎn)在格點(diǎn)上.圖I國2(1)圖1中以AB為腰的等腰三角形有 個(gè)，畫出其中的一個(gè)，并直接寫出其底邊長.(2)圖2中，以AB為底邊的等腰三角形有 個(gè)，畫出其中的一個(gè)，并直接寫出其底邊上的高.題型十六：利用勾股定理逆定理證垂直1 .如圖，在 ABC中，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，且 AB=10, BD=6 AD=8 AC=7,其求 CD的長.B rS2 .如圖，在四邊形 ABCD43, / B=90° , AB=2,= CD=5 AD=4,求四事蛇口3 .如圖，在 ABC中，AD為BC邊上的中線， AB=5,AC=13,AD=6,求BC的長.CCA=CB, /ACB=c,點(diǎn)P為