圓內(nèi)接四邊形面積最大值的探究

1、圓內(nèi)接四邊形面積最大值的探究數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，特殊法是常用的一種思想方法 .比如，“問道于零”可以解決實(shí)數(shù)的很 多是非判斷題，特值法是解決代數(shù)式問題常用的方法，在解決圖形問題時(shí)常常脫口而出 “中點(diǎn)法”一一倍長(zhǎng)中線，遇見中點(diǎn)找中點(diǎn)，中點(diǎn)相連中位線教材編寫的體例也是遵循這一原 則，比如四邊形一平行四邊形一特殊平行四邊形.從平時(shí)的教學(xué)來看，絕大部分學(xué)生已經(jīng)把這當(dāng)作研究和解決問題的“常規(guī)思維”，中考復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)，筆者總是要求自己和學(xué)生在此基礎(chǔ)上再經(jīng)歷一個(gè)由特殊到一般的過程，感覺對(duì)問題的分析更深入，方法的衍生更具有生長(zhǎng)的空間，收獲很大.本文介紹一類圓內(nèi)接四邊形面積最大值的探究過程，希望得到同行的批評(píng) 指正.

2、一、問題呈現(xiàn),求圓內(nèi)接四邊形 ABCD面積的最大值如圖 1,在。中，r 1,AB BC 1解析如圖2,連結(jié)AC ,由條件易得要使四邊形 ABCD的面積最大，只需 與圓的交點(diǎn).圖23ABC 120 , AC V3-USABC .4ADC的面積最大，即點(diǎn) D是弦AC的中垂線此時(shí)，D,O,B三點(diǎn)共線，四邊形 ABCD面積的最大值為 J3.反思 本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)對(duì)角線 AC為定值，再將四邊形面積的最大值問題轉(zhuǎn)化為圓上 的點(diǎn)到直線距離的最大值問題 .但AB BC 1這個(gè)條件太強(qiáng)，于是筆者從邊長(zhǎng)和角度兩方 面對(duì)條件進(jìn)行弱化，并由此得到了兩個(gè)與圓內(nèi)接四邊形面積最大值有關(guān)的結(jié)論二、條件變式變式1如圖3, O。

3、是四邊形ABCD的外接圓，半徑為r ,且AB a,BC b,求 四邊形ABCD面積的最大值.解析 如圖4,連結(jié)AC ,因?yàn)橄褹B和BC已知，則AB , BC , AB BC也隨之確 定，所以弦AC是定值.那么，解題思路與原題相同，當(dāng)點(diǎn) D是AC中垂線與圓的交點(diǎn)， 即DA DC時(shí)，四邊形ABCD的面積最大0：C那么，如何計(jì)算此時(shí)的最大面積呢思路1先分別求出 ACD和 ABC的面積再相加.但a,b如果不是特殊值，D和B就不是特殊角，那么 AC的計(jì)算過程會(huì)特別復(fù)雜，所以不適用.思路2根據(jù)前面的分析，當(dāng)四邊形 ABCD面積最大時(shí)，有 DA DC ,即BD平分ABC .常規(guī)的輔助線是作旋轉(zhuǎn).如圖5,連結(jié)

4、DB ,將 DAB繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得 DA與DC重合，與 DBC拼接成等腰三角形DBB',且BB' a b.此時(shí)四邊形的最大面積等于 DBB'的面積，但同樣因?yàn)閍,b的非特殊性，使得DBB'不是特殊角，從而導(dǎo)致面11積求解困難，所以此方法也不適用思路3在同圓或等圓中,除了等弧所對(duì)的弦相等外，平行弦所夾的弧相等，則所夾的弦也相等.于是筆者再次嘗試.如圖6,連結(jié)OAOB,OC,OD ,將 OAB與 OAD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)“交換”位置，得到四邊形BCEF （如圖 7 , OAB 對(duì)應(yīng) OEF , OAD 對(duì)應(yīng) OBF ）.因?yàn)锽F ADDC EC ,所以四邊形 BCEF

5、是等腰梯形，且它的面積與四邊形ABCD的面積相等.如圖8,再過點(diǎn)。作EF, BC的垂線，垂足分別為點(diǎn) P,Q .又因?yàn)镋F AB a,BC b,所以O(shè)P j2 1a2 , OQ32 ：b2 ,由梯形面積公式，可得Sg邊形 BCEF （Sg邊形 ABCD ）max121221 2/ b）（J 4a r 4b）如果把問題中“鄰邊已知”改為“對(duì)邊已知”，情況又會(huì)怎么樣呢？變式2如圖9,。是四邊形 ABCD的外接圓，半徑為r ,且AD a,BC b,求四邊形ABCD面積的最大值.解析從條件來看， AD與BC是對(duì)邊，也就不存在“弦 AC是定值”這樣的結(jié)論.難道圓內(nèi)接四邊形面積最大值的公式僅PM于“有一組

6、鄰邊已知”的條件？上述“通過旋轉(zhuǎn)改變四邊形邊與邊的相鄰關(guān)系，但不改變四邊形面積”的思路為本題做了鋪墊圖9圖10如圖10,同樣連結(jié)OA,OB,OC,OD ,將 OAB與 OAD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)“交換”位置, 得到四邊形 BCEF （如圖7 , OAB對(duì)應(yīng) OEF , OAD對(duì)應(yīng) OBF ）.圖11BF AD a,BC b,問題轉(zhuǎn)化為變式1,解法同上，可得（S四邊形 ABCD ）max2（a評(píng)注 在不改變四邊形面積的前提下，利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性， 通過旋轉(zhuǎn)巧妙地改變了四邊形邊與邊的相鄰關(guān)系.一方面，“鄰邊”向“對(duì)邊”轉(zhuǎn)化有效地解決了面積最大值的求解問 題；另一方面，“對(duì)邊”向“鄰邊”轉(zhuǎn)化，完善了圓內(nèi)接四邊

7、形面積最大值與邊有關(guān)的結(jié)論由變式1和變式2,可得結(jié)論：b)(J2 4 a2 卜 M 則邊所對(duì)的圓心角、圓周角、弧的度數(shù)也是定值；那反過來， 弧的度數(shù)，也可轉(zhuǎn)化為上述變式中邊已知的情況，結(jié)論依然命題1若。是四邊形 ABCD的外接圓且半徑為 r ,已知四邊形任意兩邊的長(zhǎng)為 a,b, 則四邊形ABCD面積的最大值為1(S四邊形 ABCD Lax 2(a結(jié)論再反思 邊是定值， 如果給定的是圓心角、圓周角、 成立.在圓內(nèi)接四邊形中，一組鄰邊已知，則這組邊所對(duì)的一個(gè)四邊形內(nèi)角是定值；反過來,已知一個(gè)四邊形的內(nèi)角，但無法確定四邊形的任何一邊.于是，筆者嘗試從角度入手，進(jìn)一步弱化邊的條件，來增加四邊形頂點(diǎn)中動(dòng)

8、點(diǎn)的個(gè)數(shù).請(qǐng)見以下變式.變式3如圖12, O。是四邊形 ABCD的外接圓，半徑為r ,且AB BCm2 ,求 四邊形ABCD面積的最大值.D1 上 口- -圖12圖13解析如圖13,連結(jié)AC ,由ABBCm2 ,可得AC 2 ,則弦AC是定值.在四邊形ABCD中，不妨假設(shè)A,C是定點(diǎn)，則B,D是動(dòng)點(diǎn).分別過點(diǎn)B,D作AC的垂線，垂足是點(diǎn) Q,P ,S3邊形 ABCDAC«DP BQ).再連結(jié)BD ,因?yàn)樾贝笥谥保珼P BQ BD2r.所以，當(dāng)四邊形 ABCD面積最大時(shí)，BD過圓心。且垂直于AC，即BD是AC的中垂線（如圖14）.連結(jié)OA,OC ,因?yàn)锳C 2 ,則ADC AOB可得A

9、C 2rsin ，所以（S四邊形ABCD）max(2rsin2r 2r2 sin根據(jù)前面的探究經(jīng)驗(yàn)，可繼續(xù)研究把“相鄰弧的度數(shù)和”改為“相對(duì)弧的度數(shù)和”的情況.請(qǐng)見以下變式.D圖15圖14變式4如圖15,。是四邊形ABCD的外接圓，半徑為r ,且AD BCm2 ,求 四邊形ABCD面積的最大值.解析 連結(jié)OA,OB,OC,OD ,將 OAB與 OAD繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)“交換”位置，得到四邊形BCEF (如圖7 , OAB對(duì)應(yīng) OEF , OAD對(duì)應(yīng) OBF ).因?yàn)锽F AD ,E0C圖16則 BF BCm2圖17,故問題轉(zhuǎn)化為了變式3.同理，可得（Sfe邊形 BCEF ） max2r2sin進(jìn)一步發(fā)

10、現(xiàn)，當(dāng)四邊形BCEF面積最大時(shí)， EB是FC的中垂線，即 BF BC ,EF EC .如果將旋轉(zhuǎn)后的圖形還原，就有AD BF BC,ABEF EC DC ,此時(shí)四邊形ABCD是矩形（如圖17）.通法歸類在不改變四邊形面積的前提下，利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性,通過旋轉(zhuǎn)巧妙地改變了圓周上弧與弧的相鄰關(guān)系，從而將“對(duì)弧”的條件向“鄰弧”的條件轉(zhuǎn)化,并由此得出圓內(nèi)接四邊形面積最大值與角度有關(guān)的結(jié)論。命題2 O。的半徑為r ,它的內(nèi)接四邊形 ABCD將其分成4段弧，只知其中兩段弧的度數(shù)和為2 ,則四邊形ABCD面積的最大值為（S四邊形 abcd ） max2r sin .結(jié)論再反思 首先，相鄰弧的度數(shù)和已知，則

11、這組弧所對(duì)的一個(gè)四邊形內(nèi)角也是定值那反過來，如果只給定圓內(nèi)接四邊形一個(gè)內(nèi)角或一組對(duì)角的度數(shù),也可以轉(zhuǎn)化為上述變式中只知其中兩段弧的度數(shù)和的情況，解法相同在這里，筆者特別提醒讀者仔細(xì)體會(huì)結(jié)論2中的“只知”二字.它強(qiáng)調(diào)只知弧的度數(shù)和,但其中每段弧的度數(shù)是未知的， 這樣才能保證四個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) .結(jié)論1中已知兩條邊,則這兩邊各自所對(duì)的弧度數(shù)以及弧的度數(shù)和都是確定的,但四個(gè)頂點(diǎn)中只有一個(gè)動(dòng)點(diǎn).因此,在運(yùn)用相關(guān)結(jié)論時(shí)，先要明確條件所涉及的動(dòng)點(diǎn)情況三、結(jié)論應(yīng)用例1如圖18所示，。是四邊形ABCD的外接圓，半徑為1. AC與BD交于點(diǎn)E,且 AEB 60 ,求四邊形ABCD面積的最大值.解析 AEB D

12、BC圖18ACB 60 ,則CD ABm120 ,符合結(jié)論2的條件，代如公式，可得(Sg邊形 ABCD ) max2r2sin2|l2|sin60,3.例3如圖19,。是四邊形ABCD的外接圓接圓，半徑為 J5. AC BD ,垂足為E , OH BC ,且OH 1 ,求四邊形 ABCD面積的最大值.解析 如圖20,連結(jié)BO并延長(zhǎng)交。O于點(diǎn)F ,連結(jié)FD,FC .BF是直徑， BDF BCF 90 . AC BD ,DF /AC ,且 AD FC 。又 OH BC ,由垂徑定理，得 H是BC的中點(diǎn),AD FC 2OH 2 .在Rt BOH中,由勾股定理，可得 BH 2,BC 2BH4. AD 2,BC4,符合結(jié)論1的條件，代人，得(S四邊形ABCD ) max12(